5.4 第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

二次函数与一元二次方程 @第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系 ①基础在线沙知识要点分类然 7.若函数y=ax2十bx的图象如图所示，则关于x …0 的一元二次方程ax2+bx十5=0的根的情况为 知识点1二次函数图象与x轴的交点个数 ) 1.二次函数y=x2一2x十1与x轴的交点个数是 A.没有实数根 B.只有一个实数根 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C.有两个相等的实数根 2.若二次函数y=mx2-2x十1的图象与x轴无 D.有两个不相等的实数根 交点，则m的取值范围为 ( 8.已知二次函数y=ax2十bx十c的图象经过点 A.m<1 B.m>1 C.m>-1且m≠0D.m<1且m≠0 A(一8,0)，B(4,0)两点，则关于x的一元二次 3.抛物线y=x2+8x+m的顶点在x轴上，则 方程ax2十bx十c=0的解是 m= 9.已知二次函数y=a,x2+bx十c的图象如图所 4.已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0). 示，利用图象回答： 证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点. 12B4.567x (1)方程a.x2+bx+c=0的根是 (2)方程a.x2+bx+c=-3的根是 (3)方程a.x2十bx十c=5的根是 知识点2二次函数与一元二次方程之间的 (4)方程a.x2+bx十c=-4的根是 关系 (5)方程ax2+bx+c=一6的根的情况怎样？ 5.关于x的一元二次方程x2十2.x十m=0没有实 数根，抛物线y=x2+2x十m的顶点在( A.第一象限 B.第二象限 易错点忽略确定函数类型，漏掉函数是一次 C.第三象限 D.第四象限 函数的情况而导致出错 6.已知二次函数y=x2一3x+m(m为常数)的图 象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元 10.若函数y=mx2+(m十2)x十m十1的图象 二次方程x2一3x十m=0的两实数根是() 与x轴只有一个交点，那么m的值为() A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=-3 A.0 B.0或2 C.x1=1,x2=2 D.x1=1,x2=3 C.2或-2 D.0,2或-2 107探究在线九年级数学（上）·BS :方法规律综合练 ②能力在线沙方法规律 求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一 个交点坐标 11.抛物线y=x2-4x-m2十1(m是常数)与坐 标轴交点的个数为 ( A.0 B.1 C.2或3D.3 12.已知直线y=x十2过一、二、三象限，则直线 y=x十2与抛物线y=x2-2x十3的交点个 数为 () A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 13.已知二次函数y=(x一p)(x-q)-2,若m,n 是关于x的方程(x一p)(x一q)一2=0的两 个根，则实数m,n,p,q的大小关系可能是 ③拓展在线》培优拔尖提升然 …0 ( 17.已知二次函数y=ax2-2ax-3(a>0),当 A.m<p<q<n B.m<p<n<q 2≤x≤4时，函数有最大值5. C.p<m<n<q D.p<m<g<n (1)求此二次函数图象与坐标轴的交点； 14.若抛物线y=(a一1)x2一2x+3与x轴有交 (2)将函数y=ax2-2ax-3(a>0)图象x轴 点，则整数a的最大值是 下方部分沿x轴向上翻折，得到新的图象，若点 15.抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c为常数，a>0) P(x,%)是翻折得到的抛物线弧部分上任意一 经过(0,0)，(4,0)两点.则下列四个结论正确 点，若关于m的一元二次方程m2-y6m十k-4 的有 (填写序号). 十%=0恒有实数根，求实数k的最大值. ①4a+b=0; ②5a+3b+2c>0; ③若该抛物线y=ax2+bx十c与直线y= -3有交点，则a的取值范围是a≥}： ④对于a的每一个确定值，如果一元二次方 程ax2十bx十c一t=0(t为常数，t≤0)的根为 整数，则t的值只有3个 16.已知二次函数y=x2+2x十m的图象C1与x 轴有且只有一个公共点， (1)求C1的顶点坐标； (2)将C1向下平移若干个单位后，得抛物线 C2,如果C2与x轴的一个交点为A(一3,0)， 第五章10810.(1)当0≤x≤5时，设y=a(x-5)2+25, 当x≥1时，y随x的增大而增大. 把(0,0)代人，得0=25a+25,解得a=-1, :当2≤x≤4时，函数有最大值5， ∴.y=-(x-5)2+25=-x2+10x. .当x=4时，y=5. 当5<x≤15时，y=25. .16a-8a3=5,解得a=1. ∫-x2+10x(0≤x≤5)， 综上可得y={25(5<x≤15). y=x2-2x-3. 当x=0时，y=一3， (2)设陆臻用于回顾反思的时间为x(0≤x≤15)分钟，学 当y=0时，x2-2x一3=0，解得x=-1或x=3. 习收益总量为Z,则他用于解题的时间为(30一x)分钟. ∴.抛物线与y轴交于(0，一3)，与x轴交于（一1,0），(3,0). 当0≤x≤5时，Z=-x2十10x+2(30-x)=-x2+8x十60 (2):关于m的一元二次方程m2-y%m十k-4十=0 =一(x-4)2+76, 恒有实数根， .当x=4时，Z最大=76； .△=(-yo)2-4(k-4+y%)≥0，即4k≤y6-40+16 当5<x≤15时，Z=25+2(30-x)=一2x+85, 恒成立，k≤一2)+12恒成立. Z随x的增大而减小，.Z<-2×5+85=75. 4 综上所述，当x=4时，Z最大=76. :(1)中的抛物线表达式为y=x2-2x一3， 此时30一x=26. ·函数的最小值为4X1×(-3)-(-2) 4 =-4. ∴.陆臻用于回顾反思的时间为4分钟，用于解题的时间 为26分钟时，才能使这30分钟的学习收益总量最大. ,点P(x0,y%)是(1)中抛物线沿x轴翻折得到的抛物线 拓展在线 弧部分上任意一点， 11.(1) .0<yo≤4， 工人数 每天产量 每件利润 产品 (人) (件) (元) :3≤%-2)2+12≤46取为-22+12值的下限). 4 4 分 25x 实数飞的最大值为3. 乙 25-x 15(25-x) 19+x 第2课时利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 (2)y=1825x+15(25 -x)(19+x)=-15x2+540x+ 基础在线 7125 1.C2.C3.-3.3 (3)y=-15x2+540x+7125=-15(x-18)2+11985. 4.设y=x2十2x-4,列表如下： 当x=18时，y取得最大值，最大值为11985 4 -3 2 -1 0 .分配18个人生产甲产品，7人生产乙产品时，可以获 得最大利润11985元. y=x2+2x-4 4二次函数与一元二次方程 作草图（略） 第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系 由图象可知x2十2x一4=0的近似根为x1≈一3.2，x2≈ 基础在线 1.2. 1.B2.B3.16 5.C6.C 4.抛物线y=x2+mx-2m-4中， 7.(1)①③(2)-1<x<3 a=1,b=m,c=-2m-4, (3)设y=-x2+4x-3, .b-4ac=m2-4(-2m-4)=m2+8m+16=(m十4)2， 则y是x的二次函数， :m>0,∴.m≠-4，(m十4)2>0. :a=一1<0，.抛物线开口向下， 即仔一4ac>0,抛物线与x轴总有两个不同的交点. 又当y=0时，-x2+4x-3=0, 5.B6.C7.A8.x=-8或4 解得x1=1,x2=3, 9.(1)x1=-1,x2=3(2)1=0,x2=2 由此得抛物线y=一x2+4x一3的大致图象如图所示. (3)x1=-2,x2=4(4)x1=x2=1 ∴当y<0时，即-x2+4x-3<0, (5)方程a.x2十bx十c=-6无实数根. 解集为x<1或x>3. 10.D 能力在线 能力在线 8.D9.C10.0<x<411.1.4 11.C12.C13.A14.015.①③④ 12.(1)利用函数y=x2一2x一2的图象可知， 16.(1)y=x2+2x十m=(x十1)2十m一1，对称轴为直线x=-1. 当x=2时，y<0,当x=3时，y>0, :抛物线与x轴有且只有一个公共点， 所以方程的另一个根在2和3之间， .顶点的纵坐标为0. (2)函数y=x2一2x十c的图象的对称轴为直线x=1, .C1的顶点坐标为（一1,0） (2)设C2的函数关系式为y=(x十1)2+k, 把A(-3,0)代人上式，得(-3+1)2+=0，得=-4， 由题意用仁2+0.解得0<<1 .C2的函数关系式为y=(x十1)2-4. 拓展在线 当(x十1)2-4=0时，解得x=1或-3. 13.(1)y1=-x2-2x十3，令y1=0,则-x2-2x十3=0， :点A(-3,0),∴.它与x轴的另一个交点坐标为(1,0). .x=一3或1. 拓展在线 点A,B的坐标分别为(-3,0)，(1,0). 17.(1)抛物线y=ax2-2ax-3(a>0)的对 2a=1. 将点B的坐标代人%=一号x十6，得0=一是+b, 称轴为直线x=一2a 6=3 3 a>0,∴抛物线开口向上，大致图象如 2=- 22+3 2 图所示. 联立y1=一x2-2x十3,2=一 2+3 3 ，得 一探究在线·九年 y=-x2-2x+3, 令x=0,得y=3,即C(0,3). =解得号或1 .△BCD的面积=SAOOD+SAOD-SAoC =2×1×3+合×3×4-2×3×3=3. 点D在第二象限，当x=一 时y=-是×(-) (3)存在点M使得以A,B,C,M为顶点的四边形是平行四 +号=只“点D的坐标为(-是，) 边形，满足条件的点M的坐标为（一4,3），(4,3)，(2，一3). 4.(1)-2-3 (2)设BD与y轴交点为E, (2)存在点P,使四边形POP'C为菱 当x=0时，y1=-0-0+3=3, .C(0,3). 形，点P的坐标为（牛，-） 当x=0时=0+号-， 理由如下： 由△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C, E(0,号)△BCD的面积为分×EC 得PP'⊥CO,垂足为E,则PE=EP,PP∥x轴， 四边形POP'C为菱形，C(0,-3), ×(x-m)=2×(3-)×(1+）-g E-EC.) (3)由图象可以看出， 当>时，x<-名或x>1. 根据题意，设P(m,一）- =m2-2m-3. 微专题10二次函数的图象、性质与字母系数的关系 解得m-2计①，m-2D(不合题意，合去)， 2 2 1.D2.B3.C4.D5.②③④6.②③④ 故存在点P,使四边形POP'C为菱形，且点P的坐标为 微专题11二次函数的存在性问题 1.(1)y=-x2-2x+3 (+-） (2)存在.设点M(a,b),由题意可知，△ABC中，底AB= 5.(1)y=x2-2x-3 4,高0C=3号5a度=10. (2)当y=x2一2x一3=0时，解得x1=3,x2 =-1, 在△ABM中，以AB=4为底，则高为|b, .B(3,0). 5Aw=4Xh=号Sag=10, 2 ,C(0,一3)，易得直线BC的解析式为y M点在x轴的下方，∴.b<0.∴b=-5. x一3. :点M在抛物线上，所以满足抛物线解析式.代人，得 作PF⊥x轴于点F,如图，设P(m,m2-2m-3), -a2-2a+3=-5,解得a=-4或a=2, 则OF=m,PF=一m2+2m+3,∴.BF=3-m .M点的坐标为（一4，-5）或(2，-5). :△CDE与△PBE的面积相等， 2.(1)将B(1,0),C(2,5)代入y=a.x2+bx-3(a≠0)，得抛 ∴.SACDE十S四边形ODEB=S△PBE十S四边形ODEB, 物线的解析式为y=x2+2x一3. 即S△B0c=S四边形CDPB=SAPFB十S四边形ODPF, (2)①令y=0,则x2+2x-3=0, D(0,-1),.OD=1. 解得x=一3或x=1, .点A的坐标为（一3,0） ∴2×3×3=号×(-m+2m+3)(3-m）+号×(-m ②-3<x<1 +2m+3+1)m. (3)存在.设点P的坐标为(0，a), A(-3,0),C(2,5), 解得m=了或m=0(含去)P(子，） ,.AC=(2+3)+(5-0)2=50,AP2=(0+3)2+(a-0)2 (3)存在.①若点M,N分别在直线BC的两侧，不妨令点 =9+a2,CP2=(0-2)2+(a-5)2=a2-10a+29. M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如答图①，可知 ,△ACP是以AC为直角边的直角三角形， ∠MGH=90°，则∠MGN=∠MGH+∠HGN>90°，不符 .分以下两种情况讨论： 合题意.②若点M,N在直线BC的下方，不妨设点M在 若AP为斜边，则AP2=AC+CP2, 点H的下方，如答图②.由(2)知，直线BC的解析式为y ∴.9+a2=50+a2-10a+29.解得a=-7, =x-3,连接MH,GN,由题意，易得△MGN是等腰直角 ∴.P1(0,7). 三角形，∠HGN=45°，.GN⊥y轴，MH⊥x轴.设点M 若CP为斜边，则CP=AC+AP, 的坐标为(m,m2-2m-3),其中0<m<3,则点H的坐标 ∴a2-10a+29=50+9+a2.解得a=-3, 为(m,m一3)，根据正方形的性质，得点N的坐标为 .P2(0,-3). 综上所述，存在符合条件的P点，P1(0,7),P(0,一3). (仁心士5，心”-)，将点N的坐标代入抛物线解 3.(1)在二次函数y=一x2+2x十3中，令 析式y=x2-2x-3,解得m=1,m2=6(舍去)，此时，MH y=0,得 =2,正方形的边长为√2.③若点M,N在直线BC的上方， 一x2十2x+3=0, 不妨设点M在点H的上方，如答图③.设点M(m,m2一 解得x1=一1，x2=3, 2m-3),其中m<0或m>3,根据正方形性质，得点N的 ∴.A(-1,0),B(3,0). .AB=3-(-1)|=4. 坐标为（二5血，心”）将点N的坐标代入跑 (2)如图，连接CD,OD,BD, 物线的解析式y=x2-2x一3，同理可得m1=1(舍去)，m2 由y=-x2十2x十3=-(x2-2x)+3=-(x-1)2+4,得顶 =6,此时，MH=18,正方形的边长为9√2， 点D(1,4. 综上所述，正方形的边长为2或9√2. 级数学（上）·BS一 27