精品解析：重庆市渝西中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

高2028届数学学科高二（上）第一次月考 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，即可求解. 【详解】因为直线，则， 设的倾斜角为，所以，所以. 2. 已知圆，圆，则两圆位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆圆心的距离，再与两圆半径的和差进行比较，得到答案. 【详解】圆，圆， 所以两圆圆心为，， 所以， 两圆半径分别为，， 所以， 所以两圆位置关系为相切（外切）. 3. 已知是左右焦点分别为、的椭圆上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】椭圆化成标准方程为，则，故， 又点是椭圆上一点， 所以. 4. 已知为坐标原点，点是直线上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】因为点是直线上任意一点， 所以的最小值即是坐标原点到直线的距离，设点到直线的距离为， 又， 所以的最小值为. 5. 已知直线与圆相离，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将圆的方程配方得,所以圆心为,半径,且需,即. 圆心到直线的距离. 因为直线与圆相离,所以,即,两边平方得,解得. 与取交集,得,即的取值范围为. 6. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点，然后结合圆的切线性质计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 由题意得，解得， 即， 设圆的圆心为C，则，，， 故， 根据对称性，光线经过的路程即为. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最大值即可. 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 当或时，取最大值：， 所以的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，若，可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故B正确； 对于C，可化为， 所以直线恒过，故C正确； 对于D，当时，直线与轴无截距，不满足条件， 当时，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为与轴截距，即 解之可得或，故D错误. 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆长轴端点，点P是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率 B. 的最大值为25 C. 存在点P使 D. 以为直径的圆与以为直径的圆内切 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，得，，则，椭圆的离心率，故A正确； 对于B，由，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，设，则，即； ，分别是椭圆的左、右焦点，，； ，. ；故C错误； 对于D，，是椭圆长轴端点，，则以为直径的圆的圆心为原点,半径为； 设以为直径的圆的圆心为，则其半径为. 是的中点，是的中点， . 是椭圆上的点，，分别是椭圆的左、右焦点，； ，即以为直径的圆与以为直径的圆内切，故D正确. 11. 已知圆，圆，直线，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，；过作圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是圆与圆的公共弦所在直线 B. 对于直线上任意一点，都有 C. 当直线与相交时，设交点为，则一定在直线上 D. 若圆与圆，均外切，记点到直线的距离为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两圆相离可判断A；根据切线长计算公式计算可判断B；写出切点弦所在直线方程，求出交点，计算可判断C；设，由题意可得，根据两点间距离公式及点到直线距离公式计算可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 对于A，因为， 所以圆与圆相离，不存在公共弦，故A错误； 对于B，设满足直线， 则， ， 所以，故B正确； 对于C，先证明圆上点处的切线方程为． 证明如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则， 所以，又过点，由点斜式可得， 化简可得，，又，所以切线的方程为； ②若切线的斜率不存在，则，此时切线方程为． 综上所述，圆上点处的切线方程为， 设，，，再证明直线的方程为， 证明如下：因为圆在处的切线方程为， 因为点在切线方程上，所以，同理可得， 则，满足方程， 根据不同两点确定唯一一条直线，故直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 设两条直线交点为，代入两条直线并作差得， 因为点满足，所以， 故点在直线上，故C正确； 对于D，设圆的半径为，则， 所以， 设，则，即， 化简可得， 而点到直线的距离， 因为， 所以，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆过点，，，则圆的方程为_______； 【答案】（或） 【解析】 【详解】设圆的方程为，其中． 将，，的坐标代入，得，前两式相减得，解得． 将代入第一式和第三式，得，解得，进而． 所以圆的方程为，即． 13. 已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是_______； 【答案】 【解析】 【分析】由直线与线段相交，通过画图象，找出斜率边界值，即可求解. 【详解】因为点，，且直线恒过定点， 则直线的斜率为，直线的斜率为，若直线与线段相交， 如图所示， 结合图象可得，，，解得或. 14. 已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P的运动而变化，可得：GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为y0，再利用等面积法列式解方程可得：. 【详解】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时， 若时，△PF1F2的内心和重心重合，不合题意； 当时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，且不重合， 由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴， 设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示： 设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上， 连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N， 则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E， 可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|， 由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2， 所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2 =（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON， 而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a， 由角平分线的性质可得，所以可得OM， 所以可得MN=ON﹣OM， 所以ME=OE﹣OM=x0， 所以，即INPEy0， （PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c）， 所以整理为：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于，， 的齐次式，化简可得.本题属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理求； （2）在中，利用余弦定理求，再根据三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：， 又，，． 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， 代入得， （负数舍）， 故的面积为． 16. 在平面直角坐标系中，点，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）因为，由两点间距离公式列出方程后化简即可求得轨迹的方程； （2）由点斜式设出直线的方程，因为与相切，且的轨迹是圆，则有圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式即可求得当斜率存在时直线的方程，再考虑直线的斜率不存在即可． 【小问1详解】 因为，由，得， 化简得，即， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，轨迹表示圆心为，半径为2的圆， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时圆心到直线的距离，等于圆的半径， 故直线与相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 于是圆心到的距离等于半径2， 即，解得， 因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面为正方形，所以. 又因为，，平面，所以平面PBD； 因为平面，所以. 因为，与相交，平面. 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可得，结合可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. ， 易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． （1）求点P所在曲线的方程； （2）已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 【解析】 【分析】（1）根据“伴随点”的定义得出点满足的方程即可求出点所在曲线的方程； （2）（i）由“共生点”定义可求直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线，可得其方程； （ii）易知圆H的方程为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线和圆的方程利用韦达定理得出的表达式，由其为定值解得的值可得结论. 【小问1详解】 易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）略 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． （3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】（1） （2）时，为定值 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，得，进而解出即可求解； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求解即可； （3）结合（2）求得，，，表示出的周长，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立，消去y整理得， 则， 且，， 又，， 则 ， 则，即时，此时为定值. 【小问3详解】 由（2）知，，，直线l的方程为， 且，，，， 则，， 则直线的方程为， 令，得 ， 即，则，，， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立， 则周长的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届数学学科高二（上）第一次月考 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，圆，则两圆位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 3. 已知是左右焦点分别为、的椭圆上的一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为坐标原点，点是直线上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 5. 已知直线与圆相离，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆长轴端点，点P是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率 B. 的最大值为25 C. 存在点P使 D. 以为直径的圆与以为直径的圆内切 11. 已知圆，圆，直线，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，；过作圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是圆与圆的公共弦所在直线 B. 对于直线上任意一点，都有 C. 当直线与相交时，设交点为，则一定在直线上 D. 若圆与圆，均外切，记点到直线的距离为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆过点，，，则圆的方程为_______； 13. 已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是_______； 14. 已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的面积． 16. 在平面直角坐标系中，点，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求二面角的余弦值. 18. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． （1）求点P所在曲线的方程； （2）已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． （3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $