期中复习专题3——拓展探究与压轴突破- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

期中复习专题3一一拓展探究与压轴突破 (浙教版八年级数学上册：期中核心考点) 目录 、专题定位 二、核心考点梳理 2 三、压轴与拓展.. .2 题型1：倍长中线辅助线模型线段数量关系压轴题. ..2 题型2：截长补短辅助线模型线段和差证明题. 题型3：等腰三角形边、角多情况分类讨论压轴题， .19 题型4：等腰三角形结合全等三角形多问综合探究题 ..27 题型5：直角三角形存在性、斜边中线动态探究题 .38 题型6：勾股定理折叠、立体图形最短路径压轴题. ..48 题型7：动点几何结合全等三角形与特殊三角形分类讨论探究题. .58 题型8：含参数不等式（组）整数解、解集范围讨论压轴题.84 题型9：将军饮马变式最值与全等综合压轴题.58 题型10：代数（不等式）与几何（全等、勾股）融合多问压轴综合题71 一、专题定位 本专题面向优生培优拔高，整合第1章三角形、第2章特殊三角形、第3章一元 次不等式单章难点与多章节跨模块综合压轴考点。聚焦数形结合、分类讨论、几何建模、 动态探究四大核心数学思想，精准对标浙教版八上期中多问压轴大题。重点训练学生挖掘 题干隐含条件、拆解复杂综合题型、处理参数问题、动态几何问题与存在性探究问题的能 力，攻克全等辅助线构造、等腰与直角三角形分类讨论、动点动态综合、含参不等式讨 论、代数几何融合等高难度拉分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔 高限时训练，助力学生突破高分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 全等辅助线模型：倍长中线、截长补短；多组全等嵌套、连环证明；全等 三角形 结合垂直平分线、角平分线压轴；多结论全等选择压轴；利用中线、全等 探究线段数量关系 等腰三角形边、角多情况分类讨论（已知边求周长、已知角求角、判断形 特殊三角形 状)；等腰+全等多问综合探究；直角三角形存在性、斜边中线分类讨论： 勾股定理折叠、立体图形最短路径压轴；将军饮马变式（两定一动、周长 最小) 一元一次不等式 含参数不等式（组）整数解、解集范围讨论压轴；不等式组整数解的应用 最值；不等式与几何条件结合的参数范围问题 动点几何中全等三角形结合特殊三角形分类讨论；全等+等腰、直角三角形 跨章节压轴综合 +勾股定理多问探究；几何存在性问题结合含参数不等式解的情况分类讨 论；代数（不等式）与几何（全等、勾股）融合的期中压轴大题 三、压轴与拓展 题型1：倍长中线辅助线模型线段数量关系压轴题 1.(25-26八年级上陕西商洛期末)(1)问题提出：小明和小华在一次数学学习 中遇到了以下问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB=7,AC=5,求BC长和 AD长的取值范围.他们利用所学知识很快计算出了BC长的取值范围为一： (2)方法探究：但是他们怎么也算不出AD长的取值范围，经小组讨论后发现： 延长AD至点E.使DE=AD,连接BE,如图①.可证出△ACD≌aEBD,利用全等 三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD长的取值范围， 请写出解答过程； (3)方法应用：如图②，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC,过点E作 EFI‖AB,交AD于点F,且EF=AC.求证：AD平分∠BAC. B B D 图① 图② 【答案】(1)2<BC<12:(2)解：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE, :AD是△ABC的中线， ..CD=BD. :CD=BD,∠ADC=∠BDE,AD=DE, △ADC≌AEDB(SAS), .BE=AC=5. 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .7-5<AE<7+5,即2<AE<12, .2<2AD<12. 1<AD<6: (3)证明：如图所示，延长AD,取DH=AD,连接EH, H DC=DE,∠ADC=∠EDH,AD=DH, ∴△ADC≌△HDE(SAS). ∠H=∠DAC,EH=AC, .EF =AC, :EF=EH, .∠EFH=∠H, .∠DAC=∠EFH, .:EF AB, .∠EFH=∠BAD. .∠DAC=∠BAD ·AD平分∠BAC 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的 关键是掌握全等三角形的性质与判定. (1)根据三角形的三边关系即可解答： (2)延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,可证出△ADC≌aEDB(SAS),利用全等三角形 的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围： (3)延长AD,取DH=AD,连接EH,可证出△ADC≌aHDE(SAS),则∠H=∠DAC, EH=AC,证明EF=EH,得出∠EFH=∠H,根据平行线的性质得出∠EFH=∠BAD,证明 ∠DAC=∠BAD,即可得出答案. (1)解：AB=7,AC=5, .7-5<BC<7+5, 即2<BC<12, 故答案为：2<BC<12: (2)略 (3)略 2.(25-26七年级下·重庆奉节期末)如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是 AC下方一点，连接BE,CE,BD平分∠ABE,CE AB.若CE=3,BE=8,则AB 的长为() B E A.8 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【分析】连接ED并延长，交AB于点F,利用ASA证明△ADF≌△CDE,得出AF=CE=3 ,DF=DE,再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明BF=BE=8,最后由AB=AF+BF求 解. 解：连接ED并延长，交AB于点F, :CE‖AB ∴.∠A=∠DCE, :点D为AC的中点， ∴.AD=CD 在△ADF和△CDE中， ∠A=∠DCE AD=CD ∠ADF=∠CDE .△ADF≌aCDE(ASA), ∴.AF=CE=3,DF=DE, 延长BD至点G,使DG=BD,连接EG, 在△BDF和△GDE中， BD=GD ∠BDF=∠GDE DF=DE ·.△BDF≌aGDE(SAS), ∴.BF=GE,∠FBD=∠G ,BD平分∠ABE, ∴.∠FBD=∠EBD, ,∠G=∠EBD. ..BE=GE,BF=BE=8, :B=4F+BF=3+8=11 3.(25-26七年级下·四川达州·阶段检测)如图，AD是△ABC的中线，在AB边上取 一点E,连接CE交AD于点F,若AB=CF,∠ACE=16°，∠CAD=30°，则∠AEF的 度数为 【答案】88° 【分析】先证明△ADB≌aGDC(SAS),则AB=CG,∠G=∠FAE,由AB=CF,得到 CG=CF,则∠CFG=∠G=∠AFE=∠FAE,由于∠ACE=16°，∠CAD=30°，再由三角形 内角和定理求解。 解：延长AD至点G,使得DG=AD,连接CG, 0 G :AD是△ABC的中线， .CD=DB. AB=CF,∠ADB=∠GDC. .△ADB≌aGDC(SAS). .AB=CG,∠G=∠FAE, .AB=CF, ∴.CG=CF, ∴.∠CFG=∠G, ∴.∠CFG=∠G=∠AFE=∠FAE, .∠ACE=16°，∠CAD=30°， .∠AFE=180°-∠AFC=180°-(（180°-∠CAD-∠ACE)=46° :∠4EF=180-∠FAE-∠AFE=180°-46°x2=80 4.(25-26八年级上全国期末)八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究 试验活动，请你和他们一起活动吧. 【探究与发现】 (I)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,写出图 中全等的两个三角形 【理解与应用】 (2)填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5,DE=3,设EP=x,则x的取 值范围是 (3)已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点O在BC的延长线上， QC=BC,求证：A0=2AD 图1 图2 图3 【答案】(1)△ADC≌aEDB:(2)1<x<4;(3)证明：如图，延长AD到点M,使 MD=AD,连接BM, :AM =2AD, :AD是△ABC的中线， :BD=CD, .∠BDM=∠CDA .△BDM≌aCDA(SAS) .BM=CA,∠M=∠CAD, .∠BAC=∠BAM+LCAD=∠BAM+∠M, ·∠ACB=LQ+LCAg,∠BAC=∠ACB, ∴.∠Q+∠CAQ=∠BAM+∠M .180°-（∠Q+∠CAg)=180°-（∠BAM+∠M), 即∠ACQ=∠MBA. :∠BAC=∠ACB」 :AB=BC, .QC=BC, ∴QC=AB .△ACQ2 MBA(SAS) :.A0=AM .AM =2AD, :.AO=2AD 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的 关键. (1)根据全等三角形的判定证明即可： (2)参照(I)的证明过程可添加辅助线，延长EP至点Q,使QP=EP=x,连接F巴，证明 △FPO≌aDPE,得到FO=DE=3,再根据三角形三边关系求解即可； (3)参照(I)的证明过程可添加辅助线，延长AD到点M,使MD=AD,连接BM,证明 △BDM≌△CDA,得到BM=CA,∠M=∠CAD,再证明△ACO≌△MBA,得到A0=AM ,即可证明结论， 解：(1)：AD是△ABC的中线， :CD=BD. :∠ADC=∠EDB,AD=ED, .△ADC≌△EDB(SAS) 故答案为：△ADC≌aEDB; (2)延长EP至点Q,使QP=EP=x,连接FO, ..EO=2x, :EP是△DEF的中线， :FP=DP, .∠FPQ=∠DPE ∴AFPO≌aDPE(SAS) F0=DE=3, .EF-FO<EO<EF +FO .5-3<2x<5+3 解得1<x<4 故答案为：1<x<4 D 图2 (3)略 题型2：截长补短辅助线模型线段和差证明题 1.(25-26八年级上·吉林长春期末)同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信 息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长 补短”法解决一些几何图形问题， (1)(1)在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,求证：AC=AB+BD;任选 下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角 形，进而解决问题： 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角 形，进而解决问题。 (2)如图③，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AH⊥BC交BC于点H,直接写出 AB、BH、BC之间的等量关系 (3)如图④，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,AD、BG分别为 ∠B1C∠Mc的角平分线，8=5n-3,4G 8,直接写出GC= D 图① 图② 图③ 图④ 【答案】(1)若选择方法一. 证明：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE, :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD 又AD=AD, :△ABD≌aAED(SAS)」 .BD=ED,∠B=∠AED ,∠ABC=2∠C, ∴.∠AED=2LC, :∠AED=∠EDC+∠C, .∠EDC=∠C, .ED=EC=BD. ∴.AC=AE+EC=AB+BD. 若选择方法二 证明：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF, AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD 又，BF=BD, .∠F=∠BDF. ∴.∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F ∠ABC=2∠C. ∴.∠F=∠C AD=AD :.△AFD≌aACD(AAS) .AF=AC, .AF=AB+BF=AB+BD. .AC=AB+BD (2)AB+2BH=BC 9 3)8 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的 判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关 键。 (I)选择方法一：证明△ABD2aAED(SAS).则BD=ED,∠B=∠AED,证明∠EDC=∠C, 则ED=EC=BD,即可得到结论；选择方法二：证明△AFD≌△ACD(AAS).则AF=AC,即 可得到结论： (2)在CH上取点G,使BH=GH,证明AB=AG,AG=GC,则AB=GC,即可得到 CG+BG=AB+2BH=BC (3)根据角平分线的性质定理可知点D到AC的距离等于点D到AB的距离，得到 S△Mm=AB SAABD BD AB BD AB AG SAACD AC,又由CD,得到CCD,同理，aCCG,设cG=CD=y列 出方程组并解方程组即可得到答案. 解：(1)略 (2)解：在CH上取点G,使BH=GH, B H G 图③ :AH⊥BC,BH=GH, .AB=AG. ∴.∠B=∠AGB. ,∠ABC=2∠C,∠AGB=∠C+∠GAC, ∴.∠C=∠GAC, ..AG=GC, .AB=GC, :.CG+BG=AB+2BH BC. 故答案为：AB+2BH=BC: (3)解：，AD平分∠BAC, ,点D到AC的距离等于点D到AB的距离， SAABD=AB :·SAACD AC S△MBD= BD SAACD CD AB BD AC-CD' AB AG 同理，BCCG 设CG=xCD=y,则BC=BD+CD=3+yAC=AG+CG= 5 8 5=3 25 8+x少，5 .25 =8, y+3 x t39 89 :CG=39 39 故答案为： 8 2.(25-26八年级上广东广州·阶段检测)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC, ∠B=2∠ADB,AB=5,CD=6,则AC的长为() O A.3 B.9 C.11 D.15 【答案】C 【分析】在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD≌△AED,得到∠B=∠AED, AB=AE,再证明CD=CE,进而代入数值解答即可. 解：在AC上截取AE=AB,连接DE, D E .AD平分∠BAC, ∠BAD=∠DAC, 在△ABD和△AED中， AE=AB ∠BAD=∠DAC, AD=AD .∴.△ABD≌△AED(SAS), ∴.∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE,AB=AE, 又∠B-2∠ADB .∴.∠AED=2∠ADB,∠BDE-2∠ADB, .'∠AED=∠C+∠EDC2∠ADB,∠BDE-∠C+∠DEC=2∠ADB, .∴.∠DEC=∠EDC, ∴.CD=CE, AB=5,CD=6, ..AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11, 故选：C 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质：利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构 造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握 3.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨开学考试)四边形ABCD中，AC平分∠BAD, BC=DC,∠B=70°，则∠D的度数是 【答案】70°或110° 【分析】根据题意画出图形，在线段AB取一点E,使得AD=AE,然后证明△DAC≌△EAC, 进而得出答案 解：如图，在线段AB取一点E,使得AD=AE, B :AC平分∠BAD, ∴.∠DAC=∠EAC, 在△DAC和△EAC中， AD=AE ∠DAC=∠EAC, AC=AC .△DAC≌△EAC(SAS) .CE=CD. BC=DC, .CE=CB, ∴.∠CEB=∠B=70°， .∠CEA=∠CDA=110°. 当点D位于D'时， ..CD=CD'. .∠CDD'=∠CD'D=70°， 综上所述，∠D的度数是70°或110°， 故答案为：70°或110°」 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意画出相应的图形以及运用截长补短的 方法构造全等三角形是解本题的关键. 4.(25-26八年级上湖北孝感期中)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O ,AC平分∠DAB,BD平分∠CBA,∠ADC+∠BCD=240°. (1)求∠A0B的度数： (2)求证：0D=0C. 【答案】(1)120°；(2)证明：∠AOD=∠BOC=180°-∠AOB=60°. 如图，作∠AOB的平分线交AB于E.则∠AOE=∠BOE=∠DOA=∠COB=60° E 在△AOD和△AOE中， ∠AOD=∠AOE OA-OA ∠DAO=∠EAO △AOD≌△AOE(ASA) ..OD=OE 同理，OC=OE. .∴0D=0C 【分析】(1)由四边形内角和性质求得∠DAB+∠ABC=120°.再由角平分线定义可得 ∠01BD1B,∠0B1-BC,最后由三角形内角和性质得到练论： (2)作∠AOB的平分线交AB于E,证明△AOD≌△AOE,再由全等三角形的性质可得答 案， 解：(I)在四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， 又.∠ADC+∠BCD=240°， .∠DAB+∠ABC=120° :AC平分∠DAB,BD平分∠CBA, 20aB-DMB,∠04=号Ac, :∠0AB+∠0BA=(∠DAB+∠ABC)=60°. 在△0AB中，∠A0B=180°-（∠0AB+∠0BA)=120° (2)略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的 关键。 题型3：等腰三角形边、角多情况分类讨论压轴题 1.(2026八年级上·全国·专题练习)如图，∠A0B=80°，C是∠A0B的平分线上的一 动点，P在射线OA上.若aOPC是等腰三角形，求∠OPC的度数. B 【答案】∠0PC的度数为40°或100°或70° 【分析】分三种情况讨论：当C0=CP时，当乃0=CB时，当O=OC时，分别根据等腰三 角形的性质和三角形内角和定理，进行求解即可， 解：OC平分∠AOB,∠AOB=80°， ∠40C=号∠A0B=40°， 2 分三种情况（如图）： 当C0=CP时，∠0PC=∠COR=40°： 当B0=CR时，∠0CP=∠C0P=40°， ∴.∠OP,C=180°-∠COR-∠OCP=100°， 当B0=0C时，∠0Cg=∠0BC=180,40°=70 2 综上，∠OP 的度数为40°或10°或70 或 2.(25-26七年级下河南平顶山期中)如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，且两 个三角形在线段AD同侧，①△ABE≌aCBD;②△MBD≌aFBE;③△ABF≌aCBM:④ △AFC≌△BDE.则上述结论中正确的是（) B A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③ 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°，即得 ∠CBE=60°，进而得到∠ABE=∠CBD,得到△ABE≌aCBD(SAS),即可判定①：由 △ABE≌ACBD得∠AEB=∠CDB,可证△MBD≌aFBE(ASA),即可判定②：由AMBD≌AFBE 得BM=BF,可证△MBF≌aCBM(SAS),即可判定③：由∠CAF<60°可知△AFC不是等边三 角形，而△BDE为等边三角形，即可判定④，综上即可求解. 解：：△ABC和△BDE均为等边三角形， ∴.AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=6O° :A、B、D三点共线， .∠CBE=180°-∠ABC-∠DBE=60°， ∴.∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°，∠CBD=∠CBE+∠DBE=120° ∴.∠ABE=∠CBD 在△ABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD :·△ABE2aCBD(SAS),故①正确： ∴.∠AEB=∠CDB 在△MBD和△FBE中， ∠MDB=∠FEB BD=BE ∠MBD=∠FBE=60° :AMBD2△FBE(ASA),故②正确： :.BM =BF, 在△ABF和△CBM中， AB=CB ∠ABF=∠CBM=60°， BF=BM :△ABF≌ACBM(SAS),故③正确； :∠CAF<60° :△AFC不是等边三角形，而△BDE为等边三角形， :∴△AFC与△BDE不能全等，故④错误： 综上，结论中正确的是①②③. 3.(2026辽宁丹东·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12, D为BC上一点，连接AD,过点A作AE⊥AD,取AE=AD,连接BE交AC于F. 当△AEF为等腰三角形时，CD= E B 【答案】4或12 【分析】分两种情形：当EA=EF时，如图1，过点E作EH⊥AC于H,证明 AH=FH=CF=CD,可得结论：当AF=EF时，如图2，点D与B重合，此时 CD=BC=12 解：当EA=EF时，如图1，过点E作EH⊥AC于H. B 图1 EA=EF,EH⊥AF, ..AH=FH, EA⊥AD, ∴.∠EAD=∠EHA=∠EHF=∠C=90° ∴.∠EAH+∠CAD=90°，∠CAD+∠ADC=90° .∠EAH=∠ADC, 在△EHA和△ACD中， [∠EAH=∠ADC ∠EHA=∠C AE=DA ∴.△EHA≌△ACD(AAS). .AH=CD EH=CB ..AC=BC=12. .EH=CB 在△EHF和△BCF中， [∠EFH=∠BFC ∠EHF=∠C EH=BC .AEHF≌ABCF(AAS), .FH=CF, .AH=FH=CF=CD cD=Cr-写4C=4 当AF=EF时，如图2，点D与B重合，此时CD=BC=I2 E C(F) B(D) 图2 综上所述，满足条件的C0的长度为4或2 CD 4.(25-26七年级下·陕西西安·期末)【问题情境】 如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD,以AD为直角边向右作直角△ADE, 其中∠ADE=90°，∠BAC+2∠DEA=180°，AE与BC交于点F. 【问题梳理】 (1)如图1，若∠ABC=∠ACB=45°，AD=AF,求∠ADF的度数； F >E B 图1 【问题探究】 (2)如图2，过点D作DM⊥AC于点M,点N为AB边上一点，过点N作NP⊥AB 交AE于点P,连接DP,延长DM至点H,使得MH=NP,连接AH,若AM=AW ,求线段DM、PW、DP之间的数量关系，并说明理由. D M 图2 【答案】(1)67.5°；(2)DM+PN=DP,理由如下： .∠ADE=90°， .∠DEA+∠DAE=90°， ·∠BAC+2∠DEA=180°， ·.∠BAC+2(90°-∠DAE)=180°， ∴.∠BAC=2∠DAE, :DM⊥AC,NP⊥AB. ∴.∠AMH=∠ANP=90° 在△AMH和△ANP中， AM=AN ∠AMH=∠ANP MH=NP .△AMH≌△ANP(SAS), ∴.∠BAE=∠MAH,AH=AP, LCAD+∠BAE+∠DAE=∠BAC,∠BAC=2LDAE, ∴.∠CAD+∠BAE=∠DAE ∴.∠CAD+∠MAH=∠DAE .∠DAH=∠DAE. 在△DAH和△DAP中， AH=AP ∠DAH=∠DAE. AD=AD .△DAH≌aDAP(SAS), .DH DP .DM+PN DM+MH DH. .DM+PN DP 【分析】(I)根据已知角度可得到∠BAC,进而得到∠DEA,接着在Rt△ADE中，根据已知 角得到∠DAE,最后根据等边对等角求出∠ADF的度数， (2)首先根据已知条件∠ADE=90°，∠BAC+2∠DEA=180°得出∠BAC和∠DAE的关系， 然后运用两边及夹角相等判定△AMH和△AWP全等，得出对应边和对应角相等，通过代换得到 ∠DAH=∠DAE,再次运用边角边定理判定△DAH和△DAP全等，得到DH=DP,结合已知 条件MH=NP即可求解. (1)解：：∠ABC=∠ACB=45°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°， ,∠BAC+2∠DEA=180°， ∠DE1=2080-∠BMC)=80-90)=45°， 在Rt△ADE中，∠ADE=90°， .∠DAE=180°-∠ADE-∠DEA=180°-90°-45°=45°， AD=AF, &24DF=∠4D-080-∠DM）)-080-46)-13°=673 (2)略 题型4：等腰三角形结合全等三角形多问综合探究题 1.(26-27七年级上·山东淄博阶段检测)完成以下探究问题 (I)【基础巩固】如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, 求证：△AEC≌△ADB: (2)【尝试应用】如图2，在△ABC与△ADE中， AB=AC,AD=AE,LBAC=∠DAE=90°，B,D,E三点在一条直线上，AC与BE交于 点F,若点F为AC中点. ①求∠BEC的大小： ②CE=3,求△ACE的面积； (3)【拓展提高】如图3，△ABC与△ADE中，AB=AC,DA=DE, ∠BAC=∠ADE=9O°，BE与CA交于点F,若DC=DF,CD⊥DF,△BCF的面积为l8, 直接写出AF的长， B 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：，∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, 即∠CAE=∠BAD. 在△AEC和△ADB中， AC=AB ∠CAE=∠BAD, AE=AD .△AEC≌aADB(SAS): (2)①90：②2： (3)AF的长为6 【分析】(1)先说明∠CAE=∠BAD,再根据“边角边”可得答案： (2)①先说明△AEC≌△ADB,可得∠AEC=∠ADB,再根据∠BEC=∠AEC-∠AED得出答 案 ②作AG⊥DE,证明△AGF≌△CEF,可得AG=CE=3,GF=EF,再根据等腰三角形的性 DG=G二4G3进而求出GF=EF=5EG=,最后根据S=2S得1 2 (3)连接CE,同(2)得：△CDE≌aFDA,接下来说明△ACE≌aBAF,可得 CE=A从S=S心进面得S=Sc=4C-AB号4C,然后根据 21 SMBc+SAC-SAE-SC=SBCr,可得AF(AC-CF)=36,则此题可解 解：(1)略 (2)解：①，AD=AE,∠DAE=90° ∴.∠ADE=∠AED=45°， ∴.∠ADB=180°-∠ADE=180°-45°=135°， :∠BAD=∠CAE=90°-∠DAC,AB=AC,AD=AE, .△AEC≌aADB(SAS), .∠AEC=∠ADB=135°， ∴.∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°， ②如图2，过点A作AG1DE于点G, 图2 则∠FGM=90°， 由①可知，∠FEC=90°， ∴.∠FGA=∠FEC, :点F为AC中点， ..AF=CF, 又，∠AFG=∠CFE, ∴.△AGF≌aCEF(AAS), ..AG=CE=3,GF=EF, .AD=AE,∠DAE=90°， ..DG=EG=AG=3. GF-EF-1EG=3 2 2 S.C=28.cr=2x1CE.EF=9 (3)解：如图3，连接CE, D B 图3 ∠CDE=∠FDA=90°-∠EDF, 又DE=DACD=DF, .aCDE≌aFDA(SAS), .CE=AF,∠DCE=∠DFA=135°， ∴.∠ACE=∠DCE-∠ACB=135°-45°=90°， 在△ACE和△BAF中， AC=AB ∠ACE=∠BAF=90°， CE=AF .△ACE≌△BAF(SAS), CE=AF,S.ACE=S.BAF ∠ACE=∠BAC, .CEll AB ÷Sm=SA=)ACAB=)AC2 1 2 2 SANC+SACE-SAME-S.CEF =S.BCF: CC-CE-AC-CE.CF-8, 2 2 ∴.AC·AF-AF.CF=36, 即AF(4AC-CF)=36, 解得AF2=36, .AF=V36=6. 即4F的长为6。 2.(25-26七年级下·陕西渭南期末)如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E ，且BE=BC,若点D为BE延长线上一点，且BD=BA,连接CD,AD,过点D作 DG⊥AB于点G,DH⊥BC交BC的延长线于点H.下列结论：①DG=DH;② △ABE≌△DBC;③AD=CE:④LBAD=∠BCA,其中所有正确结论的序号是() G CH A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理即可判断①：根据题意得到∠ABE=∠DBC,进而证明 △ABE≌aDBC(SAS)即可判断②；根据题意得到AABD和△EBC不全等，得到AD≠CE,即可 判断③：根据等边对等角和三角形内角和定理即可判断④. 解：①：BE平分∠ABC,DG⊥AB,DH⊥BC .DG=DH,故①正确： ②，BE平分∠ABC, ∠ABE=LDBC, .BE=BC,BD=BA, :.△ABE≌aDBC(SAS),故②正确： :∠ABD=∠EBC,AB=BD,BE=BC,BD≠BE, .△ABD和△EBC不全等， ∴.AD≠CE,故③错误： AB=BD, :∠BAD=∠BDA=(I80°-∠ABD). :∠BEC=∠BCE=(I80°-∠EBC), ∠ABE=∠DBC. :.∠BAD=∠BCA,故④正确. 综上所述，正确的有：①②④. 3.(25-26七年级下·辽宁锦州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=150°， △AED和△ABD关于直线AD对称，∠EAC的平分线交BC于点F,连接EF,当ADEF 为等腰三角形时，∠EDF的度数为 B 【答案】30°或75°或120° 【分析】令∠BAD=m,根据轴对称的性质及三角形的外角定理用m表示出△DEF三个内角的 度数，再对等腰△DEF进行分类讨论即可解决问题. 解：：AB=AC,∠BAC=150°， ∠B=∠C=15°， 令∠BAD=m, ,△AED和△ABD关于直线AD对称， ∴.∠DAE=m,AB=AE :AC=AE, :∠CAE=150°-2m,且AF平分∠CAE, .∠EAF=∠CAF=75°-m, ∠ADF=∠B+∠BAD=m+15°，∠ADE=∠ADB=180°-15°-m=165°-m, .∠EDF=∠ADE-∠ADF=165°-m-(m+15)=150°-2m, :AF=AF,∠EAF=∠CAF,AC=AE, .△AFE≌aAFC(SAS), .∠AFE=∠AFC=180°-15°-(75°-m）=90°+m, :∠AFD=∠C+∠CAF=15°+75°-m=90°-m, ∴.∠DFE=∠AFE-∠AFD=2m, ∠DEF=180°-(LEDF+∠DFE)=30°， 当DE=DF时，∠DEF=∠DFE=30°，即2m=30, 解得：m=15, :∠EDF=120°： 当D=Er时，∠0=X0s0-309）=75: 当FD=FE时，∠EDF=∠DEF=30°： ∠EDF 30°75°120° 综上所述， 的度数为：0或⊙或 4.(25-26七年级下·四川成都期末)△ABC是等边三角形，点D为射线AB上一点， 连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转120°至CE,∠DCE=120°，CD=CE. (I)【初步探究】如图1，过点E作EF‖AB交边AC于点F,求证：BD=CF: (2)【迁移应用】如图2，若AB=4,点D为边AB中点，连接BE交边AC于点 G,求CG的长： (3)【拓展延伸】当点D在AB的延长线上时，连接BE与射线CA交于点G,若 -()，求C的值《（用含的代数式表示）· BD B 图1 图2 备用图 【答案】(1)证明：·△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60°， ∴.∠CBD=180°-∠ABC=120°. ∠DCE=120°， ∴.∠BCD+∠ABC+∠ECF=120°， .∠BCD+∠ECF=60°， ..EF Il AB .∠AFE=∠A=60°， .∠E+∠ECF=60,∠EFC=180°-∠AEF=120°， ∴.∠BCD=∠E,∠CBD=∠EFC, .CD=CE, .CBDEFC(AAS). ..BD=CF: (2)1 k-11-k (3)k+i或1+k 【分析】(I)利用等边三角形的性质及旋转的性质证明△CBD≌aEFC即可： (2)过点E作EF‖AB交AC的延长线于点F,先证明△CBD≌△EFC,再证明 △ABG≌△FEG,得G是AF的中点，即可求解： (3)设BD=x,则AB=x:过点E作EF‖AB交射线CA于点F,分两种情况：当点F在线 段AC上时；当点F在线段CA的延长线上时；先证明aCBD≌aEFC,再证明 △ABG≌△FEG,即可求解. 解：(1)略 (2)解：：△ABC是等边三角形， .∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC=4, 过点E作EF‖AB交AC的延长线于点F,如图， 则∠F=∠A=60°， D G B 图2 .∠ABC=∠F=60°， .'∠BCD=∠ACB-∠ACD =∠ACB-(∠DCE-∠ACE) =∠ACE-60° 又：∠FEC=∠ACE-∠F=∠ACE-60°， .∠BCD=∠FEC, .CD=CE. .ACBD≌aEFC(AAS). ..BD=CF,BC=EF: AB=4,点D为边AB中点， :CF=BD=AB=2, .AB=BC,BC=EF, .AB=EF, ∠A=∠F,∠AGB=∠FGE, .△ABG2aFEG(AAS), ..AG=FG, 即G是AF的中点， .AF=AC+CF=6, c号r-3, :CG=FG-CF=3-2=1: .AB=k(k+). (3)解：BD .设BD=x,则AB=, 过点E作EFI‖AB交射线CA于点F, 当点F在线段AC上时，如图3： 同理可证明△CBD≌aEFC(AAS),则CF=BD=x,BC=EF, 同理可证明△ABG2aFEG(AAS),则AG=FG=)AF, 2 .AB=BC=AC=kx, 46-4C-CP)=分，cG=4c-4G-: 2t, E A G 图3 AG k-1 CGk+1: 当点F在线段CA的延长线上时，如图4： B D 图4 同理得△CBD≌aEFC,则CF=BD=x, 同理得△MBG2△FEG,则FG=AG=)F, 2 4G-FG-(CF-AC)CGC 2 -x, AG _1-k “CG1+k AG k-11-k 综上， CG 的值为←+或+k k+1 题型5：直角三角形存在性、斜边中线动态探究题 1.(24-25八年级上·湖南长沙期中)已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4 (1)如图1，BD是△ABC的中线. ①△BCD的面积是_； ②已知：CF⊥BD,交AB于点E,AF⊥AC,连接DE,求证：∠BDC=∠EDA: (2)如图2，点M为线段CA延长线上一点，过点A作Ag1AB,过点M作BM的垂 线交AQ于点P,线段PA的延长线与线段BC的延长线交于点N,是否存在点M, Sw,若存在，求CM的长：若不存在，请说明理由。 使Swm=2 D 图1 图2 【答案】(1)①4；②AF⊥AC, ∴.∠CAF=90°，∠ACF+∠AFC=90° CF⊥BD, .∠ACF+∠BDC=90°， .∴∠AFC=∠BDC, 在△ACF和△CBD中， ∠AFC=∠BDC ∠CAF=∠BCD=90°. AC=BC △ACF≌ACBD(AAS), ∴.AF=CD=AD, ∠ACB=90°，AC=BC, .∠DAE=45°， ∠CAF=90°. :.∠FAE=∠CAF-∠DAE=90°-45°=45° ∴.∠FAE=∠DAE=45°， 在△ADE和△AFE中， AD=AF ∠DAE=∠FAE, AE=AE :△ADW≌aAFE(SAS), .∠EDA=∠EFA, ∠EFA=∠BDC, .∠BDC=∠EDA: (2)6 【分析】(1)①由BD是。M4BC的中线，可得CD=24C=2,最后根据三角形的面积公式求 2 解即可； ②根据AF⊥AC,CF⊥BD可推出∠AFC=∠BDC,证明△ACF≌aCBD,得到AF=CD=AD ,证明△ADE≌△AFE,得到∠EDA=∠EFA,即可解答； (2)过点P作PD⊥CM,交CM的延长线于点D,设BM、AP交于点E,证明 △ABC≌△ANC,得到BC=NC,AB=AW,推出CM是BN的垂直平分线，得到BM=NM ,证明△ABM≌aANM,得到∠ABM=∠ANM,进而得∠ANM=∠APM,则MP=MN,证明 △PNDAMRC得到pD=MC,由Sao-5uw,Sam-方AM.PD,及m4M.CN 3 ,可得PD=CN,即可求解。 2 (1)解：①：BD是△ABC的中线，AC=BC=4, CD 24C=2, SABCD= CD-BC=X2X4=4 故答案为：4： ②略 (2)解：如图，过点P作PD⊥CM,交CM的延长线于点D,设BM、AP交于点E, ∠ACB=90°，AC=BC, .∠BAC=45°， :Ag⊥AB .∠BAN=90 ∴.∠NAC=∠BAN-∠BAC=45°=∠BAC. 在△ABC和△ANC中， I∠BAC=∠NAC AC=AC ∠ACB=∠ACN=90° .△ABC≌aANC(ASA), .BC=NC AB=AN .CM是BN的垂直平分线， ∴.BM=NM 在△ABM和△ANM中， AB=AN BM=NM AM=AM :.△ABM≌aAWM(SSS), .∠ABM=∠ANM A0⊥AB,BM⊥MP, .∠ABE+∠AEB=90°，∠MPE+∠MEP=90°， :∠AEB=∠MEP, ∴.∠ABE=∠MPE, ·∠ABE=∠ANM .∠ANM=∠MPE. :MP=NM BM, ∠BMC+∠PMD=180°-∠BMP=90°，∠BMC+∠MBC=90°. .∠PMD=∠MBC、 在△PMD和△MBC中， [∠PMD=∠MBC ∠PDM=∠MCB MP=BM ·.△PMD≌aMBC(AAS). .PD=MC. 3 AMPD-AMCN 2 PD-3CN 2 .CM-PD-CN-34C=6. 2 2 B M D 图2 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的 判定与性质，垂直的定义，解题的关键是证明三角形全等. 2.(26-27八年级上江苏连云港阶段检测)如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=45°，M、N分别是对角线AC、BD的中点，若BD=6 ,则MN的长为() M ◇D A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【分析】连接BM和DM,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，证明 BM=DM-)4C；然后利用等边对等角和三角形外角定理，推导出∠BMD=2∠BAD=90, 从而判定△BMD为等腰直角三角形：最后利用等腰直角三角形“三线合一”的性质（或直角三 角形斜边中线定理)，求出MN的长度. 解：如图，连接MB、MD, M D B :∠ABC=∠ADC=90°，MN分别是对角线AC、BD的中点， .MC-AM.DM-TAC-AM. ∴.BM=DM,∠MAB=∠MBA,∠MAD=∠MDA, .∠BMC=∠MAB+∠MBA=2∠MAB,∠DMC=∠MAD+∠MDA=2∠MAD. 又，∠BAD=45°， ∴.∠BMD=∠BMC+∠DMC=2∠MAB+2∠MAD=2∠BAD=90°. ∴，△BMD是等腰直角三角形 N是对角线BD的中点，BD=6, AN-BD-3 3.(2026八年级上·全国专题练习)如图，一根木杆AB斜靠在竖直的墙AC上， ∠BAC=32°，木杆的顶端A沿墙面下滑至位置，此时∠AB'C=32°，CD,CD'分别 是斜边AB,AB上的中线，则∠DCD'的度数为 B B 【答案】26° 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质CD'=B'D',CD=AD,则有∠B'CD=∠A'B'C=32° ，∠ACD=∠BAC=32°，再通过角度和差即可求解. 解：：CD,CD'分别是斜边AB,AB上的中线， .CD'=B'D',CD=AD. .∠B'CD'=∠AB'C=32°，∠ACD=∠BAC=32°， .∠ACB=90°. :∠DCD'=∠ACB-∠B'CD-∠ACD=26° 4.(25-26八年级上·全国期末)【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角 形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的-半.如图O,在R△ABC中，∠4CB=90∠ABC=30,则4C=4B 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究. (I)如图①，作AB边上的中线CE,得到结论：①△ACE为等边三角形；②BE与 CE之间的数量关系为 (2)如图②，CE是△ABC的中线，D是边CB上任意一点，连接AD,作等边△ADP ,且点P在∠ACB的内部，连接BP.试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你 的猜想并说明理由： (3)当D为边CB延长线上任意一点时，在(2)中条件的基础上，线段BP与DP 之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可. B D 图① 图② 【答案】(1)BE=CE:(2)解：猜想PD=PB,理由如下： 如图②，连接PE, D B 图② △ACE,△ADP都是等边三角形， ∴.AC=AE，AD=AP,∠CAE=∠DAP=60°， .∠CAD=∠EAP 在△CAD和△EAP中， AC=AE ∠CAD=∠EAP, AD=AP .∴，ACAD≌AEAP ∴.∠ACD=∠AEP=90° .PE⊥AB EA=EB, .PA=PB DP=AP. ..PD=PB: (3)PD=PB 【分析】山根据直角三角形的性质得到∠4=60,4C- AB,CE-1AB-AE, 2 根据等 边三角形的判定定理证明①：根据直角三角形的性质得出②的结论： (2)连接PE,证明△CAD≌aEAP,根据全等三角形的性质得到∠ACD=∠AEP=90°，根据 垂直平分线的性质得到PA=PB,证明结论： (3)根据题意画出图形，由(2)的证明方法解答即可. (1)解：①：∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=600, AC=AB 2 :CE为AB边上的中线， ..CE=14B=A .AC=AE=CE, :∴△ACE是等边三角形： ②在Rt△ABC中，CE为AB边上的中线， 六c-=级 故答案为：BE=CE: (2)略 (3)解：当点D为边CB延长线上任意一点时，PD=PB.理由如下： 连接PE,如图③， D E BD 图③ ·,△ACE,△ADP都是等边三角形， ∴.AC=AE,AD=AP,∠CAE=∠DAP=60°， ∴∠CAE+∠DAB=∠DAP+∠DAB,即∠CAD=∠EAP, 则△CAD≌AEAP, ∴.∠ACD=∠AEP=90° 同(2)可知，PD=PB 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形性质，三角形全等的判定和性质， 垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 题型6：勾股定理折叠、立体图形最短路径压轴题 1.(26-27八年级上·全国课后作业)如图，长方体的底面边长分别为lcm和3cm, 高为6cm.如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B,那么 所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点 B,那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕圈呢？（保留根号） B 6cm A Icm 3cm 【答案】10厘米；2√73厘米；6√17厘米；2W16n2+9厘米 【分析】将长方体展开，利用两点间距离最短，以及勾股定理进行求解即可： 解：如图，是长方体的侧面展开图， B 根据题意可得，从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB, AB=V62+(3+1+3+1)2=10(厘米)： 缠绕2圈，则长方形的长变为2×(3+1+3+1)=16， AB=V162+6=273(厘米)： 缠绕3圈，则长方形的长变为3×(3+1+3+1)=24， AB=V242+62=6V17(厘米)： 缠绕n圈，则长方形的长变为(3+1+3+1)n=8n, AB=V(8n)2+6=V64n2+36=2√16n2+9 (厘米)· 2.(2026河南模拟预测)如图，正方形ABCD中，点P,O分别为AB,CD上一个 动点，将正方形沿P折叠，点D的对应点M始终落在BC上，已知AB=8,当点M 为BC中点时，D№的长为() A D P B M A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到AD=CD=BC-g:由中点的性质得到MC=BC=4,D0=x ,则C2=CD-D0=8-x,由折叠可得M0=D卫=x,再利用勾股定理运算求解即可. 解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD=BC=8, :点M为BC中点， :MC=)BC=4, 2 设D0=x,则C2=CD-D0=8-x, 折叠， ...MO=DO=x, ∴.在Rt△QMC中，MC2+CQ=Mg, .42+(8-x}=x2, 解得：x=5, .D2=5 3.(24-25九年级上福建福州阶段检测)在△ABC中，∠BCA=90°，AC=6,BC=8,D是 AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD,连接BE,则线段BE的长为 D E 4 【答案】5 【分析】如图，连接AE交CD于点H,作CF⊥AB,垂足为F.首先证明DC垂直平分线段 AE,△ABE是直角三角形，求出AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题. 解：如图，连接AE交CD于点H,作CF⊥AB,垂足为F, D B 在Rt△ABC中，AC=6,BC=8, .AB=VAC2+BC2=V6+82=10, ,D为AB的中点， .AD=BD=DC=5. 4cc-4 x6x8-10xCF. 21 解得：C℉=24 由翻折的性质可知AC=CE,AD=DE, .CD⊥AE,AH=HE DC=AD.AD.CF=DC.AH, 2 ·AH=CF=24 ·AE=48 5’ AD=DE BD, .∠DAE=∠DEA,∠DEB=∠DBE, ,∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°， ∴.∠AEB=∠DEA+∠DEB=90°， 48 在 Rt△ABE BE-AB2-4E2=102- 中： 4.(25-26八年级上浙江宁波阶段检测)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”， 这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学 问题，通常称为“将军饮马”问题. (I)线段AB=3,CA⊥AB于点A且CA=1,DB⊥AB于点B且DB=3,点P为线段 AB上任意一点，则图1中PC+PD最小值为. 图2中PC+PD最小值为 (2)如图3，△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=2,点D是AC边的中点，点P是 AB边上任意一点，则PC+PD的最小值是 (3)如图4，△ABC中，∠BAC=90°且AB=AC=V2,作AD⊥BC于点D,过A点的射 线m始终平行于BC,点E是高AD上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段 AB上一点，且始终保持AF=EA=BG,则BE+DF的最小值为 ；则 BE+DG的最小值为 D D B ■ B 图1 图2 D D B 图3 图4 【答案】(1)5,5；(2)3：(3)5,5 【分析】(I)连接CD交AB于点P,由点D、P、C三点共线时，PC+PD最小，结合勾股 定理即可求解；作点C关于AB的对称点C,连接DC交AB于点P,连接CP,根据图形的 对称性可知，当点C”、P、D三点共线时，PC+PD最小，由此求解即可： (2)作点C关于AB的对称点C”,连接DC交AB于点P,连接CP,根据图形的对称性可得 PC=PC,即当点C'、P、D三点共线时，PC+PD最小，由此求解即可； (3)先由边角边的证明方法证明△BAE与△CAF全等，即可得BE=CF,再由由图形的对称性 可知，当点D'、点F、点C三点共线时，BE+DF最小，结合勾股定理求解即可；作辅助线 构造全等三角形，由此可得KG=BE,再由点K、点G、点D三点共线时，BE+DG最小， 结合勾股定理求解即可. (1)解：连接CD交AB于点P,过点C作CH⊥DB交DB的延长线于点H,如图， D B PC+PD CD. ∴当点D、P、C三点共线时，PC+PD最小， CH=AB=3.DH=DB+BH=3+1=4. 由勾股定理可得，CD=VCH2+DH2=5, PC+PD最小值为5： 作点C关于AB的对称点C"',连接DC交AB于点P,连接CP,如图. B 由图形的对称性可知，PC=PC, PC+PD=PC'+PD≥CD, 当点C'、P、D三点共线时，PC+PD最小， 同理可求CD=5, ·PC+PD最小值为5： 故答案为：5：5； (2)解：作点C关于AB的对称点C',连接DC交AB于点P,连接CP,过点D作 DH⊥BC交BC于点H,连接BD,如图， 由图形的对称性可知，PC=PC',BC=BC'=2, ∴当点C、P、D三点共线时，PC+PD最小， 即PC+PD=PC'+PD≥C'D 在△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=2, 由勾股定理可得AC=VAB2+BC2=V42+22=25, 点D是AC边的中点，BD=CD=4C=5, aBDC为等腰三角形，且DH⊥BC, BH-HC-7BC-1, 在Rt△BHD中，DH=VBD2-BH=V(N5}-1P=2, C"H=C'B+BH=2+1=3 在RtAC"HD中，C'D=VCH+DH=V32+22=√I3, .则PC+PD的最小值是V13: 故答案为：V3: (3)解：连接CF,作点D关于射线m的对称点D',连接CD'交射线m于点F',连接DF', 如图， A m G B :△ABC中，∠BAC=90°且AB=AC=√2， :'△ABC为等腰直角三角形， BC=VAB2+4C=2+(2=2,且∠ACB=45: :AD⊥BC, AD为∠BAC的角平分线，即∠BAE=45°， 射线m∥BC, .∠ACB=∠CAF=45°， ∴.∠BAE=∠CAF 在△BAE与△CAF中， AB=AC ∠BAE=LCAF, EA=FA ABAE≌ACAF(SAS), :.BE=CF, 由图形的对称性可知，AD'=AD,D'F'=DF', 当点D、点F、点C三点共线时，BE+DF最小， 即BE+DF=CF+DF≥CD', :CD=BD=1, 2 又D=AC2-CD=2-P-1, ∴.DD'=2AD=2, 在RIACDD'中，CD'=VCD2+DD2=P+22=√5， ∴BE+DF最小值为V5, 作BK∥AD,使BK=AB,连接KG,连接KD交AB于点G,如图， K A m B :BK∥AD, ∴.∠KBG=∠BAE, 在△KBG与△BAE中， BK=AB ∠KBG=∠BAE, BG=AE :△KBG=△BAE(SAS), :.KG=BE, ∴当点K、点G、点D三点共线时，BE+DG最小， 即BE+DG=KG+DG≥KD, .BK=AB=2,BD=1, :BK∥AD, ∴.∠KBD=∠ADC=90° 在RtAKBD中，KD=VBK2+BD=N2'+P=V5, .BE+DG的最小值为V3, 故答案为：V5,3」 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三 角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构 造全等三角形 题型7：将军饮马变式最值与全等综合压轴题 1.(26-27八年级上陕西西安阶段检测)探究解题 (1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=4,AB=3.线段AC的最大 值是 (2)应用：点A为线段BC外一动点，如图2所示，分别以AB,AC为边作等边 △ABD和等边△ACE,连接CD、BE,若BC=4,AB=3,求出线段BE长的最大值 并说明理由. (3)拓展：如图3，AB=400,AC=100,CD=BD,∠CDB=90°，求线段AD最大 值为 此时△ACD的面积为 B 图1 图2 图3 【答案】(1)7：(2)线段BE长的最大值为7， 理由：：△ABD和△ACE都是等边三角形， .AB=AD=BD,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°， ∴.∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∴.∠DAC=∠BAE. .△DAC≌aBAE(SAS), ..BE=DC, 在△BCD中，BC=4,BD=AB=3, :DC≤BC+BD. 即DC≤7， DC最大值为7， ,线段BE长的最大值为7： (3)250√2,12500 【分析】(1)根据BC-AB≤AC≤BC+AB即可确定线段AC的最大值： (2)根据△DAC≌aBAE(SMS)得到BE=DC,当点D在线段CB的延长线上时，DC最大，即 BE最大： (3)根据△CDA≌aBDE(SAS)得到AC=EB,当点E在线段AB的延长线上时，AE最大，在 P△E中，根据勾股定理得，AD三之AE=250V2:再过点D作DHLAR·很据直角三 形斜边上的中线等于斜边的一半得到DH=2AE=250,进而得到。ACD的面积。 2 (I)解：BC-AB≤AC≤BC+AB BC=4,AB=3, .1≤AC≤7， ∴.AC的最大值是7： (2)略 (3)解：过点D作DE⊥AD,且DE=AD,连接BE、AE, ,DE⊥AD, .∠ADE=90°， .∠CDB=90°， .∠CDB=∠ADE, .∠CDB-∠ADB=∠ADE-∠ADB, 即∠CDA=∠BDE. 又，CD=BD,AD=DE, aCDA≌aBDE(SAS), ..AC=EB, ,AC=100, .EB=100, 在△ABE中，AB=400,EB=100. ,AE≤AB+EB, 即AE≤500， .线段AE长的最大值为500： 在RIAADE中，DE=AD,根据勾股定理得， AE2=DE2+AD2=2AD2. :AD=2AB=250N5, 2 ∴线段AD最大值为250W2: D E B 图3 过点D作DH⊥AB, AC=EB=100, ∴.AE=AB+EB=400+100=500, ,DE=AD,DH⊥AB, 六4h=H-证=2350， ,DE⊥AD, DM-=4E=230, ..x x100x250-1200 Γ2 H 图3 2.(25-26八年级下·河北保定期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=3, BC=2,D为其内部一动点，AD=AB,E为AD的中点，连接CD,BD,BE,下列结论 一定正确的是（) E以 A. BE=AE B.DE- 2 C,BE+CD的最小值为3-5 贴+D的最小自为受 D. 【答案】D 【分1结合匀酸定度可有0E一0-。 4B的中点只连接Dp·则BF-B=5 ,取AB的 2 ,证明△BDF≌aDBE(SAS),可得DF=BE,从而得到当点C,D,F在同一条直线上时， BE+CD取最小值，此时最小值为CF的长，即可求解. 解：：∠ABD≠90°，E为AD的中点， ∴，无法确定BE与AE的大小关系，故选项A不正确： .·∠ABC=90°，AC=3,BC=2, ∴.AB=VAC2-BC2=V5, AD=AB=√5， DE=14D=5 2 ,选项B不正确： 如图，取1B的中点尺连接DF,Cg,则ar-号 2 A E B D AD=AB,E为AD的中点， D5=号4D=4B=BF。 ∠ABD=∠ADB' BD=DB. .△BDF≌aDBE(SAS), .DF=BE, .BE+CD=DF+CD, 当点C,D,F在同一条直线上时，BE+CD取最小值，此时最小值为CF的长， .CF=BC2+BF2= √21 2 √21 BE+CD 即 的最小值为 2,故D选项正确，C选项不正确. 3.(26-27八年级上·安徽池州阶段检测)如图，正方形ABCD的面积为144，H是 边DC上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边AB上）· D B (1)若∠EHC=∠GHE,则∠BGH= (2)若点D的对应点E恰好落在边BC上的三等分点处，则线段DH的长是 26.20 【答案】 60° 3或3 【分析】(1)根据题意可得∠EHC=∠GHE=∠DHG=60°，再由四边形ABCD是正方形，可 得AB‖CD,即可得LBGH=∠DHG=60°： (2)由正方形ABCD的面积为144，可得BC=CD=12,由E为BC的三等分点，可得CE=4 或CE=8,再由折叠可知DH=EH,设DH=EH=x,利用勾股定理列方程即可求解. 解：(1)由折叠可得，∠DHG=∠GHE, .∠EHC=∠GHE, ∴.∠EHC=∠GHE=∠DHG. H是边DC上的一个动点， .∠EHC+∠GHE+∠DHG=180°， ∴∠EHC=∠GHE=∠DHG=60°， :四边形ABCD是正方形， .AB‖CD .∠BGH=∠DHG=60° (2):正方形ABCD的面积为144， .正方形的边长为12，即BC=CD=12, ,E为BC的三等分点， .CE=4或CE=8, 由折叠可知DH=EH, 设DH=EH=x,则CH=12-x, 当CE=8时， 在Rt△ECH中，CE2+CH2=EH2, 82+(12-x}=x2, 26 解得x 3 当CE=4时， 在Rt△ECH中，CE2+CH2=EH2, .42+(12-x)2=x2, 20 解得x= 3年 2620 综上所述， DH 的长为3或3 4.(25-26七年级下·四川成都期末)如图，△ABC与△AED为等腰三角形，AB=AC ,AD=AE,∠DAE=∠BAC,D为线段BC上一个动点，AC与DE相交于点G. (I)如图1，求证：CA平分∠BCE: (2)如图2，在ED延长线上取一点F,当DF=EG时，线段AC与BF有什么位置 关系？并说明理由； 25 (3)如图3，若4E⊥AB,且∠CAD=2∠CDE,ACDE的面积为4，求CD的长. B 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：：∠DAE=∠BAC, .∠DAE-∠DAC=∠BAC-LDAC,即∠CAE=∠BAD, AB=AC 在 和 中， ∠BAD=∠CAE, △ABD△ACE AD=AE .△ABD≌△ACE(SMS), ∴.∠B=∠ACE, ..AB=AC, .∠B=∠ACB, ∴.∠ACE=∠ACB, 即CA平分∠BCE. (2)解：AC‖BF,理由如下： 如图所示，在AB上截取AM,使得AM=AG,连接DM,在AB上取点H,连接DH,使得 DH=DB. A H M B :AD=AE, .∴∠ADE=∠AED, AM=AG 在 和 中， ∠BAD=∠CAE △ADM△AEG AD=AE △ADM≌aAEG(SAS), :.DM=EG,∠AMD=∠AGE,∠ADM=∠AED, ∴.∠ABC=∠DHB,∠ADM=∠ADE, ·∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,∠ADM=∠AED ∴.∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=∠ADM=∠DHB, 又'：∠BDF=18O°-∠ADE-∠ADM-∠BDM, ∠MDH=180°-∠ABC-∠DHB-∠BDM, .∠BDF=∠MDH, DF=EG,DM=EG, ∴.DF=DM, DH=DB 在 和 中， ∠MDH=∠BDF △DMH△DFB DM=DF .△DMH≌aDFB(SAS), .∠AMD=∠F, 又，'∠AMD=∠AGE=∠CGD. ∴.∠F=∠CGD .ACll BF (3)CD=5 【分析】(I)利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明∠CAE=∠BAD,进 而证明△ABD≌△ACE,得到对应角相等证明结果； (2)在AB上截取AM,使得AM=AG,连接DM,在AB上取点H,连接DH, 使得DH=DB,证明△ADM≌△AEG,利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代 换证明△DMH≌aDFB,最后根据等量代换证得∠F=∠CGD,从而得到答案； (3)先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到∠BAD=∠CDE=∠CAE, 利用AB⊥AE算出∠CAD=45°，再利用三角形内角和为180°和等量代换得出∠CEG=45°， 取线段AD,CD垂直平分线的交点M,连接AM,DM,EM,CM,过点M作MN⊥BC交BC于 点N,通过角度的换算得到△CDM,aDMN,aCMN是等腰直角三角形，再证得ME∥BC,根据 平行线间垂线段相等，利用同底等高得到△CDM的面积，从而求解。 解：(1)略 (2)略 (3)解：由(1)知，∠ACB=∠ACE,∠BAD=∠CAE, :·∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE, .∠ABC=∠ADE=∠ACB, ,∠ABC+∠BAD+∠ADB=∠ADB+∠ADE+∠CDE=18O°， ∴.∠BAD=∠CDE, :∠CAD=2∠CDE, ∴设∠CDE=a,则∠BAD=∠CDE=a,∠CAD=2a, AB⊥AE, ∴.∠BAE=∠BAD+∠CAD+∠CAE=4a=90°，解得a=22.5°， ∠CAD=45,∠CDE=22.5°， 在△ADG和△CEG中，∠ADE=∠ABC=∠ACE,∠AGD=∠CGE, .∠CEG=∠CAD=45°，∠DAE=∠BAC=∠DAC+∠BAD=67.5, 如图所示，取线段AD,CD垂直平分线的交点M，,连接AM,DM,EM,CM,过点M作 MN⊥BC交BC于点N, B D ∴.AM=DM=CM, .∠MAD=∠MDA,∠MAC=∠MCA,∠MDC=∠MCD. :∠CAD=∠DAM+∠MAC=45°， ∠DAM+∠MAC=∠MDA+∠MCA=45°， 在△ADC中，∠DAC+∠ADC+∠ACD=∠DAC+∠MDA+∠MDC+∠MCD+MCA=180°， ∴.∠MDC+∠MCD=90°，则∠DMC=90°， 又：DM=CM, ∴，△CDM是等腰直角三角形， .∠MDC=∠MCD=45°， 又MN⊥BC, ·.aDNM,aCNM是等腰直角三角形， .DN MN,CN MN, .CD=CN+DN, 1 :MN=CD: 2 ∠DAE=67.5,AD=AE, :∠ADE=∠ABD=180°-，DME-=5625. 2 又.∠CDE=22.5°. ∴.∠ADC=∠ADE+∠CDE=78.75°. .∠ADM=∠ADC-∠MDC=33.75°， AM=DM, ∴.∠MAD=∠ADM=33.75°， ∠DAE=67.5°， .∠MAE=∠DAE-∠MAD=33.75°， ∴.∠MAE=∠MAD, AD=AE 在 和 中， ∠MAD=∠MAE △AMD△AME AM=AM .△AMD≌aAME(SAS), ∴.∠AEM=∠ADM=∠MAD=33.75°. ∴.∠MEG=∠AED-∠AEM=22.5°， ∠CDE=22.5°， .∠CDE=∠MEG, .ME∥DC, .S.CDM =S.CDE, SwcD-wD,m-空 4 4 CD23 49 .CD2=25, 又52=25，(-5)}2=25， .CD=5或CD=-5, ,线段的长度为非负数， :CD=5 题型8：代数（不等式）与几何（全等、勾股）融合多问压轴综合题 x+y=2-m① 1.(25-26八年级下陕西西安期中)已知关于x’y的方程组2x-y=7m-5迥的解 满足x<0,y>0,求m的取值范围. 【答案】m<2 【分析】用加减消元法求解，得到用含m的代数式表示的x和y.根据x<0,y>0,得到关 于m的一元一次不等式组，解这个一元一次不等式组即可得到结果. x+y=2-m① 解：解2x-y=7m-5②' ①+②，得3x=6m-3, 化简，得x=2m-1, 把x=2m-1代入①x+y=2-m, 得y=2-m-(2m-1)=3-3m, 即y=3-3m, ,x<0,y>0, [2m-1<0 代入得13-3m>0' 1 解第一个不等式得：m< 2 解第二个不等式得：m<1, 1 < 取两个解集的公共部分，得”的取值范围 2.(25-26七年级下浙江金华期末)在课本124页“设计题”中，有3张边长为 x(x>)的正方形纸片，4张长为x,宽为1的长方形纸片，5张边长为1的正方形纸 片.若从中取若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的纸片无空隙、无重叠 地拼成一个正方形，则拼成的正方形的边长最大可以为() A.2x-1 B.x+1 C.2x+1 D.x+2 【答案】D 【分析】设拼成的正方形边长为c+1(k,1为正整数)，则拼成的正方形面积为 (c+)}=x2+2x+P,题目中所给的三种纸片面积分别为x2,x,1,且数量分别为3,4,5，据 此确定k,I的取值范围. 解：设拼成的正方形边长为c+l(k,I为正整数)， 则拼成的正方形面积为(x+)=2x2+2+P, :所给的三种纸片面积分别为，x,1,且数量分别为3,4,5， k2≤3 .2kl≤4 12≤5 故，代入可知=2时正方形边长最大且为+ 1=2 +2 3.(26-27八年级上山东日照·阶段检测)已知a,b,c为△ABC的三边，且满足 a+b=3c-2,a-b=6-2c,则c的取值范围是 【答案】2<c<6 【分析】结合己知条件表示出a和b,再根据三角形三边关系列出不等式，取解集的公共部分 得到C的取值范围， 解：：a,b,c为△ABC的三边，满足a+b=3c-2,a-b=6-2c, 联立两个等式相加得2a=c+4;即asC+4 2,两个等式相减得26=5c-8,即6-5C,8 2 根据三角形任意两边之和大于第三边， 列出不等式a+b>c,代入得3c-2>c,解得C>1: 0+c>bf代入得2+c>5c8 ,c+4 c>2,解得c<6 6+c>af代入得28+c>1 5c-8, 2，解得c>2 取三个不等式解集的公共部分，得2<c<6, x-(5-2x)>1 4.(25-26七年级下全国单元测试)明明在解一元一次不等式组x+☐>0 时， 发现“☐”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为x>2.若用字母a表 示“口”里的常数，试求字母a的取值范围. 【答案】a≥-2 【分析】先解出第一个不含参数的不等式，再用参数a表示第二个不等式的解集，最后结合已 知的不等式组解集x>2,利用“同大取大”的原则来确定参数a的取值范围. x-(5-2x)>1① 解：由题意，得 x+a>0② 解不等式①，得x>2, 解不等式②，得x>-a. 不等式组的解集为x>2, ∴.-a≤2， .a2-2 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法与含参数不等式组的解集分析，解题关键是熟练 掌握不等式组解集法则，并能结合已知解集反向推导参数的取值范围. 题型9：动点几何结合全等三角形与特殊三角形分类讨论探究题 1.(26-27九年级上·北京海淀·开学考试)在△ABC中，AD为△ABC的角平分线. (1)如图，AB>AC.求证：AB-AC>BD-DC; (2)若∠BAC=45°，点E是直线BC上的动点(E不与B,C重合)，满足 ∠DAE=90°，AB+AC=CE.请根据题意画出示意图，并求出∠ACB的度数. 【答案】(I)证明：在AB上截AP=AC,连接DP, D :AD为△ABC的角平分线， .∠BAD=∠CAD」 :AD=AD, :△MPD≌aACD(SAS), :DC=DP, 在△BPD中，BD-DP<BP, ∴.BD-DC<BP, BP=AB-AP=AB-AC. .AB-AC>BD-DC: (2)当AB>AC时， B E 图1 当AB<AC时， 5A B D 图2 ∠ACB的度数为90°或30° 【分析】(I)在AB上截AP=AC,连接DP,证明△APD≌aACD(SAS),可得 BD-DP<BP,再根据线段的加减即可解答； (2)分三种情况，即当AB>AC时，当AB<AC时，当AB=AC时，分别画出图形，再求解 即可， 解：(1)略 (2)解：①当AB>AC时，图1为示意图，延长BA到F,使AF=AC,连接EF, B 图1 ∠DAE=90°， ∴.∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90° :AD为△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2 .∠3=∠4 AE=AE, .△AFE≌△ACE(SAS). :.CE=EF. :CE=AB+AC=AB+AF=BF, :EF =BF. ∴∠B=∠FEB=180°-∠F_180°-∠ACE∠ACB 2 2· 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠ACB=180°且∠BAC=45°， :4CB+45°+∠4CB=180°，解得∠ACB=90°： 2 ②当AB<AC时，图2为示意图，延长CA到H,使AH=AB,连接EH, 5入 B D 图2 同理可得△AHE≌△ABE(SAS), ∴.∠H=∠5， CE=AB+AC=AH+AC=CH ∠H=∠HBC=180°-∠ACB=∠5. 2 在△ABC中，∠5=∠BAC+∠ACB且∠BAC=45°， 180°-4CB=45+∠ACB,解得∠ACB=30: ③当AB=AC时， 根据三线合一，AD为△ABC的高， ∠DAE=90° .AE∥BC. 即AE与BC无交点，不符合题意. ∠ACB 90°.30° 综上所述， 的度数为或· 2.(24-25八年级上江苏宿迁·阶段检测)如图：在等腰△ABC中，D、E分别为腰 AB、AC边上的动点，BD=2AE,连接DE,以DE为边在△ABC内作等腰△DEF, 使顶角∠DEF=∠A=36°，连接CF,当D从点A向B运动（不运动到点B)时， LBCF度数() B 0 F A.18 B.36° C.30° D.54° 【答案】D 【分析】在AC上截取AE=CW,连接FN,由题意得，∠EDA=∠FEN,根据等腰三角形的性 质得，DE=FE,AD=EN,进而证得△AEDAEFN,得AE=FN,∠A=∠FNE=36°，再 根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得∠FCW=18°，由三角形的内角和求得 ∠BCA=72°，进而求解即可. 解：在AC上截取AE=CN,连接FN, :∠DEN=∠DEF+∠FEN=∠A+∠ADE,∠DEF=∠A=36°， ∴.∠EDA=∠FEN, ,△DEF是等腰三角形， ∴，DE=FE, .BD=2AE,AE=CN, .BD=AE+CN, AB=AC, .AB-BD=AC-(AE+CN). .AD EN, .△AED∽aEFN(SAS), .AE=FN,∠A=∠FWE=36°. AE=CN, .FN=CN, ∴.∠FCN=∠CFN, ∴.∠FNE=2∠FCN=36°， .∠FCN=18°， ∠BCA=∠B=180°-36°=72 3 ∴.∠BCF=∠BCA-∠FCN=72°-18°=54°， 故选：D B 0 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定 理、三角形外角的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 3.(25-26八年级上河南新乡·期末)如图，△ABC中∠ACB=90°，AC=4,BC=3,AB=5, BP平分∠ABC,点D、E分别是BCBP上不与端点重合的动点，连接CE,DE,则 CE+DE的最小值为 ◇ 【路1号 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等积法求线段的长，在AB上截取 BF-BD,连接EF,作CG⊥AB于点G,证明△DBE≌△FBE,得到DE=EF,进而得到 CE+DE=CE+EF之CF,根据垂线段最短，得到当点F与点G重合时，CF最小，此时 CE+DE最小，进行求解即可. 解：在AB上截取BF=BD,连接EF,作CG⊥AB于点G, D BP平分∠ABC, ∴.∠FBE=∠DBE, 又BE=BE, .△DBE≌aFBE(SAS) ∴.DE=EF, .CE+DE=CE+EF≥CF, 垂线段最短， ∴.当CF⊥AB,即点F与点G重合时，CF最小， ·∠ACB=90°，AC=4,BC=3,AB=5, CG 4x35CG CG=12 5 12 ∴·CF的最小值为5， 12 ·CE+DE的最小值为5： 12 5 故答案为： 4.(25-26七年级下·宁夏银川期末)如图，在△ABC中，AD为高，BD=AD, MC=18,点B为4C上的一点，CE=E,连接BE,交AD于点0，OD=CD: (I)判断BE与AC的位置关系，并说明理由； (2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点 Q的运动时间为t秒 ①AQ= (用含t的代数式表示)，B0= ②当△BO9的面积为27时，请求出t的值： (3)在(2)的条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度向终点B 匀速运动，P、O两点同时出发，当点P到达点B时，P、O两点同时停止运动，设 运动时间为t秒，点F是直线BC上的一点，且CF=AO,当△AOP与△FCO全等时， 请直接写出t的值. 备用图 【答案】(1)解：BE⊥AC,理由如下： 在△ABC中，AD为高， .∠ODB=∠ADC=90°」 又BD=AD,OD=CD, .△BDO2aADC(SAS), ∴.∠OBD=∠CAD .·∠OBD=∠CAD,∠BOD=∠AOE, .∠AEO=∠ODB=90°. .BE⊥AC; 2②06u18:@1减1- 3 2 99 (3)的值为2或4· 【分析】(I)证明△BDO≌△ADC,由全等三角形的性质可得∠OBD=∠CAD,由余角的性质 可得∠AE0=∠ODB=90°，即可求解： (2)①根据路程等于速度乘以时间，求出AQ,由全等三角形的性质可得B0=AC=18,② 由三角形的面积公式可求解： (3)分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解. 解：(1)略 (2)解：①由题意，AQ=61, 由(1)可知，△BDO≌aADC, ..BO=AC=18; ②由①知B0O=AC=18, CE=2AE,AC=CE+AE=18’ .AE=12,CE=6, 由(1)可知，BE⊥AC, ~Q在射线AC上， .B0⊥QE,QE=12-6d. 5we号a0x0E=x18x12-6=27, 3 5 解得：1-2或1=2： (3)解：aBDO2aADC, .∠BOD=∠ACD. a、当点F在线段BC延长线上时，如图3， A 图3 ·.∠BOD=∠ACD .∠AOP=L0CF, ..AO=CF, :.当OP=-CQ时，△AOP≌aFCQ(SAS), 此时。21=18-6：解得：1-名： b、当点F在线段BC上时，如图4， P/O B 图4 ·.∠BOD=LACD ∠AOP=LFCO, ..AO=CF, .当OP=CQ时，△AOP≌aFCQ(SAS), 此时，21=6-18：解得：1=号 2 99 综上所述，当△4OP与aFC 全等时，‘的值为2或4. 2 与 题型10：含参数不等式（组）整数解、解集范围讨论压轴题 1.(25-26七年级下·福建漳州期末)用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数x 和y,规定x⊕y=rx-y+1 (1)已知2®1=2,3©(-1)=10 ①求a,b的值： (2x-1)⊕(-2)≥17 ②若关于的不等式组(-2)®(2x-)>m有且只有三个整数解，求m的取值范围. (2)无论x取何值，等式(-x+)©(2x-)=16均成立，求a,b的值. 【答案】(1)①2,3②-36≤m<-30:(2)30,-15 【分析】(1)①根据题意可得方程组，求出解；②根据题意得出不等式组，再将a,b的值代 入，并表示出不等式组的解集，然后根据整数解的个数得出不等式组，求出解集： (2)先根据题意整理，再根据x的系数等于0得出方程组，求出解即可. 2a-b+1=2 (1)解：①根据题意可得方程组3a+b+1=10: a=2 解得b=3 所以a的值是2，b的值是3； a(2x-1)-b(-2)+1≥17 ②根据题意，得不等式组1a(-2)-b(2x-)+1>m' 2×(2x-1)-3×(-2)+1≥17 即12x(-2)-3x(2x-)+1>m 解不等式组得3≤x<-” 6· :不等式组有三个整数解，由x≥3，知这三个整数解是3,4,5， 5<-ms6, 6 解得-36≤m<-30: (2)解：根据题意，得(-x+l)©(2x-)=a(-x+1)-b(2.x-1)+1=-a+a-2bx+b+1 =(-a-2b)x+a+b+1=16, ,无论x取何值，等式均成立， .-a-2b=0,且a+b+1=16, [-a-2b=0 联立，得1a+b+1=16 a=30 解得1b=15 所以a的值是30，b的值是15。 x-m>1 2.(25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)关于x的不等式组1+2x≥x-1,下列五 3 个结论： ①若不等式x-m>1的解集是x>-3,则不等式mx>8的解集是x<-2; ②若不等式组的解集中任意一个x的值都在1≤x≤4的范围内，则m的取值范围是 m>0: ③若不等式组仅有5个整数解，则-2≤m<-1; ④若不等式组无解，则m≥3： ⑤当m=4时，不等式组有解. 其中正确的结论是() A.①②③④ B.①③④⑤ C.②③④ D.①③④ 【答案】D 【分析】先将不等式组的解集用含参数m的式子表示，再结合各结论的条件建立关于m的等式 或不等式求解判断. x-m>1① 解：不等式组 1+2x≥x-1②' 3 解不等式①得：x>m+l, 解不等式②得：x≤4， ①若不等式x-m>1的解集是x>-3, m+1=-3, 解得：.m=-4, 将m=-4代入mx>8得：-4x>8, 解得：x<-2, 故①正确： ②：不等式组的解集中任意x都在1≤x≤4范围内， .m+1之1， 解得：m≥0，与结论中m>0不符， 故②错误： ③不等式组仅有5个整数解，且x≤4， .整数解为4,3,2,1,0， .-1≤m+1<0. 解得：-2≤m<-1, 故③正确： ④：不等式组无解， .m+124, 解得：m≥3， 故④正确： ⑤当m=4时，m+1=5,此时不等式组解集为x>5且x≤4，无解， 故⑤错误： 综上所述，正确的结论为①③④. 3x-2y=z 3.(26-27八年级上·天津河北开学考试)已知关于x,y的方程组 -x+3y=a· (1)若方程组有解，则x= V= (均用含a和z的代数式表 示)： (2)已知关于z的不等式5z-4<a恰有3个正整数解，a的取值范围为 2a+3z 3a+z 【答案】 7 11<a≤16 【分析】(1)用加减消元法解方程组即可得到结果； (2)先求解不等式，再根据恰有3个正整数解的条件列出关于a的不等式，求解即可得到口的 取值范围。 3x-2y=z① 解：对于方程组 -x+3y=a②' ②×3得-3x+9y=3a③ ①+③得7y=3a+z, 3a+z 解得y= 7 把y=3a+2 0代入②得-x+3.30=0, 7 2a+3z 整理计算得x= 7: (2)解不等式5z-4<a, 移项得5z<a+4, 解得2<Q+4 5· ,不等式恰有3个正整数解， ·正整数解为1,2,3， 3<44≤4， 三边同乘5得15<a+4≤20. 三边同减4得1<a≤16 4.(25-26七年级下·贵州铜仁期中)定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式 的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”.例如：方程3x-6=0的 解是x=2,同时x=2也是不等式2x+5>0的解，则方程3x-6=0的解x=2是不等式 2x+5>0的“内含解”. .x-2 (1)判断方程4x+5=x-1的解是不是不等式4>0的“内含解”，并说明理由： 3x+2y=4k+2 (2)若关于x’y的方程组2x+3y=k-7的解是不等式x+y>3的“内含解”，求 k的取值范围： [x+1>0 (3)若关于x的方程x-m=0的解是不等式组3x-8≤m的“内含解”，且该不等式 组恰好有3个整数解，求m的取值范围. 〔答案】（山方程4x+5=x-1的解不是不等式4今 二>0的“内含解”，理由见详解；(2) k>4:(3)-1<m<1 【分析】(1)先得出方程的解和不等式的解集，然后根据“内含解”的定义进行判断即可： x=2k+4 (2)先得出方程组的解为1 y=-k-5”然后根据题意可得2k+4+(-k-5)>3,进而求解即 可： ,8+m (3)先得出方程和不等式组的解分别为x=m,-1<x≤Q),然后根据题意可得 2≤8+m<3.-1<m≤ 8+m 3 3,进而求解即可. (1)解：解方程4x+5=x-1得：x=-2, -2 解不等式4 >0得：x>2' .x=-2不在x>2范围内， x-2」 方程4x+5=x-1的解不是不等式4>0的“内含解”： 3x+2y=4k+2① (2)解： 2x+3y=k-7② ①×3-②×2得：5x=10k+20,解得：x=2k+4, 把x=2k+4代入①得：3(2k+4)+2y=4k+2,解得：y=-k-5, x=2k+4 方程组的解为 y=-k-5' ,方程组的解是不等式x+y>3的“内含解”， .2k+4+(-k-5)>3, 解得：k>4; x+1>0① (3)解： 3x-8≤m② 由①可得：x>-1, 由②可得：xs8+m 3 不等式组的解集为一1<x<8+m 3 ·该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为0,1,2， :2s8+m<3, 解得：2≤m<1, x+1>0 由方程x-m=0可得x=m'且方程x-m=0 的解是不等式组 3x-8≤m的“内含解”， -1<ms8+m 3 解得：-1<m≤4， m -1<m<1 综上所述：的取值范围为 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （浙教版八年级数学上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、压轴与拓展 2 题型1：倍长中线辅助线模型线段数量关系压轴题 2 题型2：截长补短辅助线模型线段和差证明题 4 题型3：等腰三角形边、角多情况分类讨论压轴题 6 题型4：等腰三角形结合全等三角形多问综合探究题 7 题型5：直角三角形存在性、斜边中线动态探究题 9 题型6：勾股定理折叠、立体图形最短路径压轴题 12 题型7：动点几何结合全等三角形与特殊三角形分类讨论探究题 14 题型8：含参数不等式（组）整数解、解集范围讨论压轴题 18 题型9：将军饮马变式最值与全等综合压轴题 14 题型10：代数（不等式）与几何（全等、勾股）融合多问压轴综合题 16 一、专题定位 本专题面向优生培优拔高，整合第1章 三角形、第2章 特殊三角形、第3章 一元一次不等式单章难点与多章节跨模块综合压轴考点。聚焦数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，精准对标浙教版八上期中多问压轴大题。重点训练学生挖掘题干隐含条件、拆解复杂综合题型、处理参数问题、动态几何问题与存在性探究问题的能力，攻克全等辅助线构造、等腰与直角三角形分类讨论、动点动态综合、含参不等式讨论、代数几何融合等高难度拉分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔高限时训练，助力学生突破高分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 三角形 全等辅助线模型：倍长中线、截长补短；多组全等嵌套、连环证明；全等结合垂直平分线、角平分线压轴；多结论全等选择压轴；利用中线、全等探究线段数量关系 特殊三角形 等腰三角形边、角多情况分类讨论（已知边求周长、已知角求角、判断形状）；等腰+全等多问综合探究；直角三角形存在性、斜边中线分类讨论；勾股定理折叠、立体图形最短路径压轴；将军饮马变式（两定一动、周长最小） 一元一次不等式 含参数不等式（组）整数解、解集范围讨论压轴；不等式组整数解的应用最值；不等式与几何条件结合的参数范围问题 跨章节压轴综合 动点几何中全等三角形结合特殊三角形分类讨论；全等+等腰、直角三角形+勾股定理多问探究；几何存在性问题结合含参数不等式解的情况分类讨论；代数（不等式）与几何（全等、勾股）融合的期中压轴大题 三、压轴与拓展 题型1：倍长中线辅助线模型线段数量关系压轴题 1.（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 2.（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 4.（25-26八年级上·全国·期末）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形______； 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是_________； （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 题型2：截长补短辅助线模型线段和差证明题 1.（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． （1）（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （2）如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． （3）如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 2.（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 3.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）四边形中，平分，，，则的度数是______． 4.（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，． （1）求的度数； （2）求证：． 题型3：等腰三角形边、角多情况分类讨论压轴题 1.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，，是的平分线上的一动点，在射线上．若是等腰三角形，求的度数． 2.（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③：④．则上述结论中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 3.（2026·辽宁丹东·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当为等腰三角形时，______． 4.（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题情境】 如图，在中，点在边上，连接，以为直角边向右作直角，其中，，与交于点． 【问题梳理】 （1）如图1，若，，求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，过点作于点，点为边上一点，过点作交于点，连接，延长至点，使得，连接，若，求线段、、之间的数量关系，并说明理由． 题型4：等腰三角形结合全等三角形多问综合探究题 1.（26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）完成以下探究问题 （1）【基础巩固】如图1，在与中，，求证：； （2）【尝试应用】如图2，在与中，，B，D，E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点． ①求的大小； ②，求的面积； （3）【拓展提高】如图3，与中，，，，与交于点F，若，，的面积为18，直接写出的长． 2.（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，平分交于点，且，若点为延长线上一点，且，连接，，过点作于点，交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3.（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 4.（25-26七年级下·四川成都·期末）是等边三角形，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，， ． （1）【初步探究】如图1，过点E作交边于点F，求证：； （2）【迁移应用】如图2，若，点D为边中点，连接交边于点G，求的长； （3）【拓展延伸】当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若 ，求 的值（用含k的代数式表示）． 题型5：直角三角形存在性、斜边中线动态探究题 1.（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知：在中，，． （1）如图1，是的中线． ①的面积是 ； ②已知：，交于点，，连接，求证：； （2）如图2，点为线段延长线上一点，过点作，过点作的垂线交于点，线段的延长线与线段的延长线交于点，是否存在点，使，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 2.（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在四边形中，，，M、N分别是对角线、的中点，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 4.（25-26八年级上·全国·期末）【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图①，在中，，则． 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究． （1）如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为____________； （2）如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由； （3）当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可． 题型6：勾股定理折叠、立体图形最短路径压轴题 1.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 2.（2026·河南·模拟预测）如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 3.（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）在中，是的中点，将沿直线折叠得到，连接，则线段的长为____________． 4.（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； （2）如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； （3）如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 题型7：将军饮马变式最值与全等综合压轴题 1.（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）探究解题 （1）发现：如图1，点为线段外一动点，且，．线段的最大值是________． （2）应用：点为线段外一动点，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，若，，求出线段长的最大值并说明理由． （3）拓展：如图3，，，，，求线段最大值为___________________，此时的面积为______________． 2.（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，D为其内部一动点，，E为的中点，连接，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 3.（26-27八年级上·安徽池州·阶段检测）如图，正方形的面积为144，H是边上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边上）． （1）若，则__________． （2）若点D的对应点E恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是__________． 4.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； （3）如图3，若，且的面积为，求的长． 题型8：代数（不等式）与几何（全等、勾股）融合多问压轴综合题 1.（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知关于，的方程组的解满足，，求的取值范围． 2.（25-26七年级下·浙江金华·期末）在课本124页“设计题”中，有3张边长为的正方形纸片，4张长为x，宽为1的长方形纸片，5张边长为1的正方形纸片．若从中取若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的纸片无空隙、无重叠地拼成一个正方形，则拼成的正方形的边长最大可以为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）已知a，b，c为的三边，且满足，，则c的取值范围是______． 4.（25-26七年级下·全国·单元测试）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 题型9：动点几何结合全等三角形与特殊三角形分类讨论探究题 1.（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）在中，为的角平分线． （1）如图，．求证：； （2）若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 2.（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图：在等腰中，D、E分别为腰、边上的动点，，连接，以为边在内作等腰，使顶角，连接，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，度数（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，中平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为____________． 4.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，为高，，．点E为上的一点，，连接，交于点O，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）有一动点Q从点A出发沿射线以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点Q的运动时间为t秒． ①_______（用含t的代数式表示），_______； ②当的面积为27时，请求出t的值； （3）在（2）的条件下，动点从点O出发沿线段以每秒2个单位长度向终点B匀速运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线上的一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 题型10：含参数不等式（组）整数解、解集范围讨论压轴题 1.（25-26七年级下·福建漳州·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． （1）已知． ①求的值； ②若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． （2）无论取何值，等式均成立，求的值． 2.（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）关于x的不等式组，下列五个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则； ⑤当时，不等式组有解． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④ D．①③④ 3.（26-27八年级上·天津河北·开学考试）已知关于，的方程组． （1）若方程组有解，则_________，_________（均用含和的代数式表示）； （2）已知关于的不等式恰有3个正整数解，的取值范围为_________． 4.（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． （1）判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； （2）若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； （3）若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $