期中复习专题2——综合运算与推理证明- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

期中复习专题2——综合运算与推理证明 （浙教版八年级数学上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：全等三角形判定推理证明解答题（规范书写） 2 题型2：全等结合角平分线、线段垂直平分线综合证明计算题 2 题型3：三角形内外角结合角平分线角度综合计算题 4 题型4：等腰三角形判定与性质综合证明题 5 题型5：直角三角形斜边中线性质综合应用题 7 题型6：勾股定理折叠问题求线段长度解答题 9 题型7：直角三角形HL判定全等证明题 10 题型8：解一元一次不等式（组）并求整数解解答题 13 题型9：含参数不等式（组）解集讨论填空题、解答题 14 题型10：一元一次不等式实际应用（方案选择）解答题 15 题型11：将军饮马最短路径求值填空题 16 题型12：全等证明结合勾股定理综合解答题 18 一、专题定位 本专题整合第1章 三角形、第2章 特殊三角形、第3章 一元一次不等式三章中档核心重难点，兼顾单章节综合运用、推理证明、运算求解与简单实际建模，同时融入跨章节联动中档试题。重点规范学生几何证明、代数计算解题步骤，落实全等三角形判定证明、等腰与直角三角形综合运用、勾股定理计算、解一元一次不等式（组）与含参讨论等核心考点。培养学生几何推理、代数运算与数形转化思维，解决中档题型思路混乱、步骤疏漏、知识割裂的高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 三角形 全等三角形的判定推理证明（SSS、SAS、ASA、AAS）与规范几何证明书写；全等结合角平分线、线段垂直平分线综合证明与计算；三角形内角、外角结合角平分线综合求角度；利用中线等分面积、等腰性质进行线段证明 特殊三角形 等腰三角形判定与性质综合证明；等边三角形性质、判定综合；直角三角形两锐角互余、斜边中线性质综合应用；勾股定理在折叠、最短路径、等积求高中的应用；HL判定直角三角形全等；将军饮马（两定一动）最短路径求值 一元一次不等式 解一元一次不等式（组），在数轴上表示并求整数解；含参数不等式（组）解集的分析讨论；不等式基本性质综合应用；一元一次不等式在实际问题中的建模与方案选择 跨章节中档综合 全等证明结合勾股定理求线段长度；等腰、直角三角形与全等综合证明；含参数不等式结合几何条件的整数解问题；将军饮马与全等、轴对称综合求值 三、必考、常考题型 题型1：全等三角形判定推理证明解答题（规范书写） 1．（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）十九中趣味数学社的同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离． 2．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，在和中，，，，连接与交于点P． （1）求证：． （2）求的度数． 3．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）如图，在四边形中，对角线相交于点O，已知，． （1）求证： （2）求证：． 4．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，D是上一点，，交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 题型2：全等结合角平分线、线段垂直平分线综合证明计算题 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为20，，求的长． 2．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． （1）若，，求的度数； （2）若，，，则______；并求出的长． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，是边上的中线，点为的中点． （1）用尺规作出边上的高线． （2）若，，求__________度． （3）若的面积为10，，则__________． 4．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）在中，平分平分． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，连接，过点作于点，求的面积． 题型3：三角形内外角结合角平分线角度综合计算题 1．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（） A． B． C．° D． 2．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，∠1＝∠2．若P为△ABC的角平分线BP、CP的交点，则∠BPC＝__________°． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是它的角平分线，求证：； （1）在图中完成上面的证明过程． （2）在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 4．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）教材呈现： 我们在教材第28页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．我们可以用演绎推理的数学方法来证明这一定理． 定理证明： （1）请结合图（1）写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； 已知： 求证： 证明： 知识应用： （2）如图（2）在四边形中，，点在边上，平分，平分． ①求证：； ②若四边形的周长为20，面积为26，，则的边上高的长度为 ． 题型4：等腰三角形判定与性质综合证明题 1．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，D是斜边上任一点，于E，交的延长线于F，于H，交于G．求证： （1）； （2）． 3．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点E． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 4．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图 ，平分，P 是上一点， 交 于点 D, （1）求证： 是等腰三角形． （2）若，，求的长和的度数． 题型5：直角三角形斜边中线性质综合应用题 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接、、．若，则的度数为______． 3．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，，M、N分别是、的中点． （1）求证：． （2）请你探究当为多少度时，，并说明理由． 4．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 题型6：勾股定理折叠问题求线段长度 1.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． （1）试判断的形状，并说明理由；（2）求的长度． 2.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），．点在边上，沿折叠，点落在边的处．则的面积为（     ） A．3 B．4 C． D．2.5 3.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________． 4.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． （1）求的长； （2）的面积为__________； （3）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 题型7：直角三角形HL判定全等证明题 1.（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为点，． （1）求证：． （2）若，，则_____________． 2.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，平分，点D在边上，，则_____ ． 4.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． （1）求证：点D在的垂直平分线上； （2）的长度是________． 题型8：解一元一次不等式（组）并求整数解 1.（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）解不等式组，在数轴上画出解集，并求出它的整数解之和． 2.（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）不等式的所有正整数解的和是（     ） A．10 B．15 C．6 D．3 3.（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）不等式组的整数解是_______． 4.（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）解不等式组将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 题型9：含参数不等式（组）解集讨论 1.（25-26七年级下·北京昌平·期中）已知不等式组． （1）当时，在数轴上表示出不等式组的解集； （2）当k取何值时，此不等式组有解； （3）当k取何值时，此不等式组无解． 2.（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.（25-26七年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 4.（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 题型10：一元一次不等式实际应用（方案选择） 1.（25-26八年级上·广西柳州·开学考试）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． （1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ （2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，有哪几种进货方案？ 2.（25-26八年级下·山东烟台·期末）小军同学有勤俭节约的好习惯．开学前夕，他用自己平时积攒的30元零花钱去“嘉学文具店”购买单价为3元的笔和单价为2元的本这两种学习用品（两种都要买），若30元的零花钱恰好花完，则小军同学的购买方案有（     ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 3.（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与包场的人数至少为______ 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 4.（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）请你根据以下素材，探索完成任务． 背景 某校组织学生去农场实践基地进行学农实践，体验小番茄的采摘、包装和销售． 素材一 包装小番茄时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式； 素材二 精包装：每份斤，售价元； 简包装：每份斤，售价元． 请完成下列任务： （1）任务一：实践日上午共卖出两种包装的小番茄份，销售总收入元．求精包装、简包装各卖出多少份？ （2）任务二：实践日下午新采摘小番茄斤，要求全部进行分装，两种包装都要有，请直接写出共有多少种包装方案； （3）任务三：在任务二的条件下，每个精包装的成本为元，每个简包装的成本为元．若包装总成本不超过元，请直接写出所有符合条件的分装方案． 题型11：将军饮马最短路径求值 1.（25-26七年级下·陕西西安·期末）最短路径问题： 例：如图①所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：如图②，只有A关于l的对称点与点C、B在一直线上时，才能使最小．作点A关于直线“街道”的对称点，然后连接，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：如图③，点A是锐角内部任意一点，在的两边上各取一点B，C，组成，当B、C在什么位置时，周长最小？ （1）在图中找出符合条件的点B和C，并画出． （2）若，，求周长的最小值． 2.（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，等腰的底边长为，面积为，腰的垂直平分线交于点E，交于点F，D为的中点，M为直线上的动点．则周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 3.（2026·河北沧州·三模）在城市规划的图纸上，有一块直角三角形的市民休闲绿地，，其中米，米．点是绿地的斜边的中点，规划人员要在，边上各设置一个休息点，，两点之间铺设一条长度为40米的步道，为步道的中点，连接和．若有最小值，则的最小值为____________米． 4.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，为边上一个动点（与、均不重合）．．，连接． （1）求证：； （2）若，的面积为，求四边形周长的最小值． 题型12：全等证明结合勾股定理综合 1.（湖北黄石市四校2026-2027学年八年级上学期10月阶段练习数学试题）按要求完成： （1）如图1，在中，，是边上的中线，延长到点使，连接，使得、、集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______； （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且．求证：； 2.（26-27八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，在与中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图所示，，，，，，则__________． 4.（26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； （2）求得的取值范围是 ； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，在四边形中，，的平分线交于E，连接，且平分，猜想： ①的度数； ②，，的数量关系，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习专题2一一综合运算与推理证明 (浙教版八年级数学上册：期中核心综合考点) 目录 、专题定位】 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：全等三角形判定推理证明解答题（规范书写） 2 题型2：全等结合角平分线、线段垂直平分线综合证明计算题.2 题型3：三角形内外角结合角平分线角度综合计算题… .7 题型4：等腰三角形判定与性质综合证明题 13 题型5：直角三角形斜边中线性质综合应用题. 20 题型6：勾股定理折叠问题求线段长度解答题… 27 题型7：直角三角形HL判定全等证明题 ..34 题型8：解一元一次不等式（组）并求整数解解答题 .45 题型9：含参数不等式（组）解集讨论填空题、解答题48 题型10：一元一次不等式实际应用（方案选择)解答题.51 题型11：将军饮马最短路径求值填空题.56 题型12：全等证明结合勾股定理综合解答题.61 一、专题定位 本专题整合第1章三角形、第2章特殊三角形、第3章一元一次不等式三章中档核 心重难点，兼顾单章节综合运用、推理证明、运算求解与简单实际建模，同时融入跨章节 联动中档试题。重点规范学生几何证明、代数计算解题步骤，落实全等三角形判定证明、 等腰与直角三角形综合运用、勾股定理计算、解一元一次不等式（组）与含参讨论等核心 考点。培养学生几何推理、代数运算与数形转化思维，解决中档题型思路混乱、步骤疏 漏、知识割裂的高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时 训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 全等三角形的判定推理证明(SSS、SAS、ASA、AAS)与规范几何证明书 写：全等结合角平分线、线段垂直平分线综合证明与计算；三角形内 三角形 角、外角结合角平分线综合求角度：利用中线等分面积、等腰性质进行 线段证明 等腰三角形判定与性质综合证明；等边三角形性质、判定综合；直角三 特殊三角形 角形两锐角互余、斜边中线性质综合应用：勾股定理在折叠、最短路 径、等积求高中的应用；HL判定直角三角形全等；将军饮马（两定一 动)最短路径求值 解一元一次不等式（组），在数轴上表示并求整数解；含参数不等式 一元一次不等式 (组)解集的分析讨论；不等式基本性质综合应用：一元一次不等式在 实际问题中的建模与方案选择 全等证明结合勾股定理求线段长度；等腰、直角三角形与全等综合证 跨章节中档综合 明；含参数不等式结合几何条件的整数解问题；将军饮马与全等、轴对 称综合求值 三、必考、常考题型 题型1：全等三角形判定推理证明解答题（规范书写） 1.(26-27八年级上山东聊城阶段检测)十九中趣味数学社的同学用10块高度都 是lcm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进 一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙 的顶端重合. (I)求证：△ADC≌△CEB; (2)求两堵木墙之间的距离. 【答案】(1)证明：由题意得：AC=BC,∠ACB=90°，AD⊥DE,BE⊥DE, .∠ADC=∠CEB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴.∠BCE=∠DAC, 在△ADC和△CEB中， I∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠BCE, AC=BC .△ADC≌△CEB(AAS): (2)10cm. 【分析】(1)根据垂直的定义得到∠ADC=∠CEB=90°，进而得到∠BCE=∠DAC,根据 AAS证明即可； (2)根据题意及全等三角形的性质作答即可， 解：(1)略 (2)解：由图中可得两堵木墙分别由3块、7块小木块垒成。 .AD=1x3=3(cm),BE=7x1=7(cm), .·△ADC≌△CEB. .EC=AD=3cm,DC=BE=7cm, :.DE=DC+CE=l0(cm）, 答：两堵木墙之间的距离为l0cm, 2.(26-27八年级上山西大同·阶段检测)如图，在aAOB和△COD中，OA=OB, OC=OD,∠AOB=∠COD=25°，连接AC与BD交于点P. (1)求证：AC=BD (2)求∠APB的度数. 【答案】(1)证明：：∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD OA=OB 在 和 中， ∠AOC=∠BOD. △AOC△BOD OC=OD .AAOC≌△BOD(SAS) ∴AC=BD (2)25 【分析】(1)利用SAS证明△AOC≌aBOD,即可得出结论： (2)根据全等三角形得出相等的角，然后利用三角形的外角定理得出 ∠OBD+∠APB=∠OAC+∠AOB,即可求解. 解：(1)证明：略： (2)解：如图，将AC与OB的交点记为点Q, B 由(1)，得△AOC≌△BOD, .∠OAC=∠OBD. :∠00C是△AO0的一个外角， ∴.∠OQC=∠OAC+∠AOB 同理∠OQC=∠OBD+∠APB, ∴.∠OBD+∠APB=∠OAC+∠AOB, .∠APB=∠AOB=25° 3.(26-27八年级上·重庆巫山阶段检测)如图，在四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,已知∠ADC=∠BCD,AD=BC. (1)求证：AC=BD (2)求证：AO=B0, D 【答案】(I)证明：在△ADC和△BCD中， AD=BC ∠ADC=∠BCD DC=CD ∴.△ADC≌aBCD(SAS), ∴AC=BD: (2)证明：由(1)得△ADC≌aBCD, ∴.∠DAC=∠CBD, 在△AOD和△BOC中， ∠OAD=∠OBC ∠AOD=∠BOC AD=BC :.△AOD≌aBOC(AAS). ∴.AO=BO 【分析】(I)利用SAS证明△ADC≌aBCD,则可证明AC=BD: (2)利用AAS证明△AOD≌aBOC,则可证明AO=BO. 解：(1)略 (2)略 4.(26-27八年级上江苏扬州阶段检测)如图，在△ABC中，D是AC上一点， ∠C=∠EBF,DF交BC于点E,DE=EF. (1)求证：△CDE≌△BFE: (2)若AC=10,BF=8,求AD的长 A A B 【答案】(1)证明：在△CDE和△BFE中， ∠C=∠EBF ∠CED=∠BEF, DE=EF :ACDE≌aBFE(AAS): (2)2 【分析】(I)根据AAS定理即可证得结论； (2)根据全等三角形的性质得到CD=BF=8,即可求出AD. 解：(1)略 (2)解：△CDE≌△BFE, ∴.CD=BF=8 .AD=AC-CD=10-8=2 题型2：全等结合角平分线、线段垂直平分线综合证明计算题 1.(25-26七年级下·陕西汉中·期末)如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是 BC上一点，BD=DE,且EF垂直平分AC,交AC于点F,连接AE. (1)若∠BAE=40°，求∠C的度数： (2)若△ABC的周长为20，AC=8,求DC的长. B 【答案】(1)∠C=35°；(2)DC=6 【分析】(I)由AD垂直平分BE得AB=AE,△ABE为等腰三角形，∠BAE=4O°，故 ∠AEB=7O°.由EF垂直平分AC得AE=EC,△AEC为等腰三角形，∠C=∠EAC.∠AEB 为△AEC的外角，故∠AEB=2∠C=70°，∠C=35° (2)由(1)得AB=AE=EC.BE=2DE,△ABC周长为20，AC=8,得AB+BC=12,即 2CE+2DE=12,可得DC=CE+DE=6. (1)解：AD⊥BC,BD=DE .AD垂直平分BE, .AB=AE, ∴.△ABE为等腰三角形. :∠BAE=40° ∠AEB= 180°-40 2=70° 2 'EF垂直平分AC, ..AE=EC, “.△AEC为等腰三角形， ∴.∠C=∠EAC ∴.∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C. <C=70 =35° 2 (2)解：由(1)得AB=AE=EC,且BE=2DE, :△ABC周长AB+BC+AC=20,AC=8 .AB+BC=20-8=12 .AB+CE+BE=12.2CE+2DE=12. :.CE+DE=6,DC=CE+DE=6. 2.(26-27八年级上湖北襄阳·阶段检测)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD 的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N,EM为△BED的高. (1)若∠BEA=140°，∠BAD=25°，求∠ABD的度数； (2)若AB=16,BD=8,Sc=64,则SAMn=一；并求出EM的长。 N B DM 【答案】(1) 8-3 30°：(2)32， 【分析】(1)由三角形内角和定理可得∠ABE=15°，再根据角平分线的定义即可解答： (2)由三角形中线的性质可得△ABD的面积为32，再根据角平分线的性质可得WE=ME,再 根据S△MBD=SAABE+S&BDE=32列方程求解即可. 1)解：，∠BEA=140°，∠BAD=25°， .∠ABE=180°-∠BEA-∠BAD=180°-140°-25°=15°， ,BE为△ABD的角平分线， ∴.∠ABD=2∠ABE=30°： (2)解：：AD为△ABC的中线，SMc=64, 1 六AABD的面积为234=2×64=32， :BE为△ABD的角平分线，EN⊥AB,EM为△BED的高， .NE=ME, SAABD=SABE+SABDE =32, 74BE+号8D-ME=2, AB=16,BD=8.NE=ME. 1 “2×16ME+2×8ME=32, 解得ME=8 · 3.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线， 点E为AD的中点. (I)用尺规作出BC边上的高线AF. (2)若∠ABE=27°，∠BAD=35°，求∠BED=」 度 (3)若△BDE的面积为10，BC=10,则AF= 【答案】(1) (2) (3)8 B 62° 【分析】(1)根据垂线的尺规作图方法进行作图即可： (2)直接根据三角形外角的性质解答即可； (3)先根据E是AD中点，△BDE的面积为IO得出△ABD的面积，再根据AD是BC边上的中 线得出△ABC的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论. 解：(1)略： (2)解：∠BED=∠ABE+∠BAD=27°+35°=62°： (3)解：E是AD中点，△BDE的面积为10， S4BE =SRDE=10. S.ABD=S.ARE+S.RDE =20 :AD是BC边上的中线， SAABD=SAACD=20. S.ABC =SABD+S4CD =40 :BC=10,AF是BC边上的高线， .5.c 、夏2S。ABc之×0=8 BC 10 4.(26-27八年级上：陕西宝鸡开学考试)在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分 ∠ACB. (1)如图①，若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BDC的度数： (2)如图②，连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,DE=2,AC=4,求△ADC的面 积. D B 图① 图② 【答案】(1)130°：(2)4 【分析】(I)由角平分线的性质可得，在△BDC中，∠DBC与∠DCB的度数，再根据“三角 形内角和为180°”求得∠BDC的度数. (2)过点D作两条分别垂直于BC、AC的辅助线后，由“角平分线上的点到角的两边距离相 等”推导即可 (1)解：BD平分∠ABC, 2DBC=1Bc-x60°=30r, 2 2 CD平分∠ACB, ∠DcB4cB-x40=2. 2 ∴.∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-30°-20° =130°. (2)解：过点D作DF⊥AC于F,DH⊥BC于H, E B H BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC, :.DH=DE=2, CD平分∠ACB,DH⊥BC,DF⊥AC, ∴DH=DF=2, .S.c=1DF.AC=x2x4-4. 2 题型3：三角形内外角结合角平分线角度综合计算题 1,(25-26八年级上·安徽淮南期中)如图，△ABC中，∠A=80°，△ABC的两条角 平分线交于点P，,∠BPD的度数是() D P B A.50° B.60° C.70° D.130° 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理 及角平分线定义是解题的关键， 运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠I+∠2，进而求出∠BPC即可解决问 题 解：如图， B :在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=80°， .∠ABC+∠ACB=100°， A-1/ABC 22-LACB 六4+2-248c+4c0)=方x10=50. .∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-50°=130°， ∴.∠BPD=180°-130°=50°， 故选A. 2.(25-26七年级下河北秦皇岛期末)如图，在△ABC中，∠ACB=68°，∠1= ∠2.若P为△ABC的角平分线BP、CP的交点，则∠BPC= B 【答案】112 【分析】首先根据∠ACB=68°可得∠1+∠PCB=68°，再根据三角形内角和定理和角平分线的定 义等量代换可得答案。 解：：∠ACB-68°， ∴.∠1+∠PCB=68°， ∠1=∠2， ∴∠2+∠PCB=68°， ∴.∠BPC=180°.（∠2+∠PCB)=112°. 故答案为：112 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理和角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练掌握 三角形的内角和定理， 3.(25-26八年级上河北邢台期末)如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，求 证：SABm:SAD=AB:AC: (1)在图①中完成上面的证明过程， (2)在图②中，AD是△ABC的外角平分线，延长BC交AD于D,如果AB=10, AC=4,BC=7,求BD的长. E A B B D ① ② 【答案】(1)证明：过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于， E B D AD平分∠BAC, :DE =DF, :△BD的画积=号-DE,AMCD的面积=4C-DF, SAABD= B-DE 1 AB S&ACD 1 AC.DF AC, SAABD SAACD=AB:AC: (2)BD=35 3· 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积来解决问题. (I)过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于，由角平分线性质得到DE=DF,由三角形面积公 SAABD=AB 式即可证明SA4,AC: AB BD (2)过D作DF⊥AB于F,DG14C于G:由三角形面积公式可得到ACCD,再代入数 据计算即可求解。 解：(1)略 (2)解：如图，过D作DF⊥AB于F,DG⊥AC于G, B :AD平分∠CAE, :.DF=DG, :△ABD的面积=24B-DF,A4CD的面积=4C-DG, 1 AB DF SABD一 AB SACD 1 2 AC.DG AC, 过A作AH⊥BD于H, LAH.BD BD S。AD 1 AH-CD CD, AB、BD 10 BD ACCD,即4=BD-7· 解得BD=35 3· 4.(24-25八年级下·河南郑州阶段检测)教材呈现： 我们在教材第28页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.我 们可以用演绎推理的数学方法来证明这一定理 B D 图① 图② 定理证明： (1)请结合图(1)写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程： 已知： 求证： 证明： 知识应用： (2)如图(2)在四边形ABCD中，∠B=∠C,点E在边BC上，AE平分∠BAD, DE平分∠ADC. ①求证：BE=CE: ②若四边形ABCD的周长为20，面积为26，BE=2,则△ABE的边AB上高的长度为 【答案】(1)已知：OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是点D和B: 求证：PD=PE: 证明：：OC是∠AOB的平分线， ∴.∠POD=∠POE, PD⊥OA,PE⊥OB, ∴.∠PD0=∠PEO=90°， 在△POD和△POE中， ∠POD=∠POE ∠PDO=∠PEO OP=OP .△POD≌aPOE(AAS), ∴.PD=PE: (2)①证明：过E作EF⊥AB于F,EG⊥AD于G,EH⊥CD于H, :AE平分∠BAD,DE平分∠ADC, ∴.EF=EG=EH, 在△BEF与△CEH中， 「∠B=∠C ∠BFE=∠CHE=90, EF=EH △BEF≌aCEH(AAS), .BE=CE: E 图② ②3.25 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识；构造全等三角形 是解题的关键 (1)由角平分线的性质定理，通过作辅助线构造全等三角形，通过证明三角形全等，得出 BE=EC: (2)证明RtAAEFS≌Rt△AEG(H),得出AF=AG,同理DG=DH,由①得出△BEF≌aCEH ,得出BF=CH,设BF=CH=x,AF=AG=y,DG=DH=z,由四边形ABCD的周长得 出x+y+z=8,由四边形ABCD的面积得出(x+y+z小EF=26,求出EF=3.25即可. 解：(1)略 (2)①略 ②解：由①得：EF=EG=EH, 在R△AEF和Rt△AEG中， AE=AE EF=EG' .RtAAEFS≌Rt△AEG(HL), .AF=AG, 同理：DG=DH, 由①得：△BEF≌aCEH, ∴.BF=CH, BF=CH=x,AF=AG=y,DG=DH=z, :四边形ABCD的周长为20，CE=BE=2, .x+y+y+z+z+x+2+2=20 .x+y+z=8 ,四边形ABCD的面积为26， x+0F+0+小Bc+e+ED=26. 整理得：(x+y+2)EF=26,即8×EF=26, .EF=3.25 即△ABE的边AB的高的长为3.25， 题型4：等腰三角形判定与性质综合证明题 1.(26-27八年级上江苏扬州阶段检测)已知：如图，AD是等腰三角形ABC的 底边BC上的高，DEI‖AB,且DE交AC于点E, (1)求证：△ADE是等腰三角形： (2)若AB=10,求DE的长. 【答案】(I)证明：：AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， .∠BAD=∠CAD DE∥AB, .∠EDA=∠BAD, ∴.∠EDA=∠CAD .AE=DE, △ADE是等腰三角形 (2)5 【分析】(1)根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明即可： (2)根据等腰三角形的判定和性质解答即可 解：(1)略 (2)解：△ABC是等腰三角形， ∠B=LC, DE∥AB, ∴.∠EDC=∠B .∠EDC=∠C, :.DE=EC, DE=AE, 、1 ÷DE=AE=EC=2AC= 2 AB=10, e=4×10=5. 2.(25-26八年级上湖南衡阳·阶段检测)如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠ACB=9O°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F, CH⊥AB于H,交AE于G.求证： (1)AE=EF+BF; (2)CG=BD」 B 【答案】(1)证明：：∠ACB=90° .∠ACE+∠BCF=90° BF⊥CD于F, .∠BCF+∠CBF=90° .∠ACE=∠CBF 又：AE⊥CD于E,BF⊥CD于F .∠AEC=∠CFB=90° :△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB=90°， ∴AC=CB 在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB ∠ACE=∠CBF AC=CB △ACE≌aCBF(AAS) ∴.AE=CF,CE=BF .CF=CE+EF=BF+EF, ∴，AE=EF+BF, (2)证法一：：CH1AB于H, ∴.∠CDH+∠DCH=90°， 又∠BDF+∠FBD=90°，且∠CDH=∠BDF, ∴.∠ECG=∠FBD 由(1)知，CE=BF, 在△CEG和△BFD中， ∠ECG=∠FBD CE=BF ∠CEG=∠BFD=90° .△CEG≌ABFD(ASA), ..CG=BD 证法二：：CH是等腰直角三角形ABC斜边上的高线， .∠ACG=45°. 又，∠CBA=∠CAB=45°， ∴.∠ACG=∠CBD 由(1)知，△ACE≌aCBF, .∠CAG=∠BCD 在△ACG和△CBD中， [∠ACG=∠CBD AC=CB ∠CAG=∠BCD .△ACG≌△CBD(ASA), ∴.CG=BD 【分析】(I)求出∠ACE=∠CBF,AC=CB,证明△ACE≌aCBF(AAS),得到AE=CF, CE=BF,然后等量代换即可证明： (2)证法一：求出∠ECG=∠FBD,然后证明△CEG≌△BFD(ASA),得到CG=BD: 证法二：求出∠ACG=∠CBD,然后证明AACG≌△CBD(ASA),得到CG=BD. 解：(1)略 (2)略 3.(26-27八年级上浙江嘉兴·阶段检测)如图所示，在△ABC中，∠A=∠ABC, DE垂直平分BC,交BC于点D,交AC于点E. (1)若AB=6,BC=8,求△ABE的周长： (2)若BE=BA,求∠C的度数. E ◇ B 【答案】(1)14：(2)36° 【分析】(1)由等边对等角可知AC=BC=8,由线段垂直平分线的性质可知CE=BE,进而 可求AABE的周长： (2)由BE=CE可知∠C=∠CBE,由外角性质可得∠BEA=2∠C,由BE=BA可证 ∠A=∠BEA=2∠C,然后利用三角形内角和等于180°列式求解即可. (1)解：：△ABC中，∠A=∠ABC, .AC=BC=8 :DE垂直平分BC, .EB=EC, 又：AB=6, .△ABE的周长为： AB+AE+EB=AB+(AE+EC)=AB+AC=6+8=14 (2)解：·EB=EC, .∠C=LEBC, ∠AEB=∠C+∠EBC. .∠AEB=2C, BE BA, .∠AEB=∠A, 又AC=BC, .∠CBA=∠A=2∠C. :∠C+∠A+∠CBA=180°， .5∠C=180°， .∠C=36° 4.(26-27八年级上黑龙江大庆阶段检测)如图，0C平分∠A0B,P是0C上一 点， PDOB交OA于点D, (1)求证：aODP是等腰三角形. (2)若∠AOB=60°，OD=6,求DP的长和∠ODP的度数. B O 【答案】(1)证明：如图， B X D .PDIIOB. ∴.∠DPO=∠POB .OC平分∠AOB, ∴.∠DOP=∠POB ∴.∠DPO=∠DOP, ..OD=DP, .AODP是等腰三角形. (2)DP的长为6，∠ODP的度数120° 【分析】(1)根据条件PD‖OB,结合平行线性质得∠DPO=∠POB,再根据角平分线的性 质得∠DOP=∠POB,进而得∠DPO=∠DOP,再根据等角对等边即可得OD=DP, (2)根据OC平分∠AOB,结合条件∠AOB=60°，即可求出∠D0P=∠POB=30°，再根据 平行线性质得∠DPO=∠POB=30°，进而求出∠ODP=120°，再根据等腰三角形性质即可得 DP=OD=6 解：(1)略 (2)解：如图， B D :∠A0B=60°，OC平分∠A0B, .∠DOP=∠POB=30°， ..PDIOB. .∠DPO=∠POB=30°， .∠0DP=180°-∠D0P-∠DP0=180°-30°-30°=120°， :△ODP是等腰三角形，且OD=DP, ∴.DP=OD=6 题型5：直角三角形斜边中线性质综合应用题 1.(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，在△ABC中，AB⊥BC,垂足为B,点 D是AC的中点，连接BD,若AC=6,则BD的长为() D B A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线定理，直接计算中线长度即可. 解：：AB⊥BC. ∴.△ABC是直角三角形， :点D是AC的中点，AC=6,, :BD=}4C=x6=3 21 2 2.(26-27九年级上·吉林长春·阶段检测)如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD.若∠BAD=54°， 则∠EDB的度数为 B 【答案】36 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出DE=AE=BE,利用等边对等 角及三角形外角的性质求出∠DEB的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求 解即可 解：∠ABC=∠ADC=90°，E为AC的中点， .DE-ZAC-AE,BE-C-E DE-AE-BE ∴.∠EAD=∠EDA,∠EAB=∠EBA, :.∠DEC=∠EAD+∠EDA=2∠EAD,∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB, :.∠DEB=∠DEC+∠BEC-2(∠EAD+∠EAB)=2∠BAD, :∠BAD=54°， .∠DEB=108°， .DE=BE, ∠EDB=2（180°-∠DEB)=36°. 3.(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，M N分别是AC、BD的中点. (I)求证：MN⊥BD」 (2)请你探究当∠BAD为多少度时，MN=2BD,并说明理由. M 【答案】(1)证明：如图， M B ∠ABC=∠ADC=90°，MN分别是AC、BD的中点， 2.BM-AC.DM-ZAC.IN-ND 2 .BM=DM, ..MN NM, .aBNM≌aDNM(SSS), .∠MWB=∠MND. .∠MWB+∠MND=180°. .∠MNB=∠MND=90°， .MN⊥BD (②当∠B1D=45时，MN=BD,理由如下 如图， M D B :∠ABC=∠ADC=90°，MN分别是AC、BD的中点， .BM AM MC=DM=AC. 2 ∴，∠MAB=∠ABM,∠MAD=∠ADM, .'∠BMC=∠MAB+∠ABM,∠DMC=∠MAD+∠ADM, ∴.∠BMC=2∠MAB,∠DMC=2LMAD. ∴.∠BMD=∠BMC+∠DMC =2∠MAB+2∠MAD =2(∠MAB+∠MAD) =2∠BAD .∠BMD=2∠BAD, :MN=BD,N是BD的中点， 2 :MN=BN=ND-IBD, .∠MBN=∠NMB,∠MDN=∠NMD. ,MN⊥BD, ∠MBN=∠NMB=45°，∠MDN=∠NMD=45°， ∴.∠BMD=∠NMB+∠NMD=45°+45°=90°， .∠BMD=2∠BAD=90°， .∠BAD=45°， ∠BMD=45时，AW=BD 【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合已知条件即可得BN=ND, BM=DM,再根据MN是公共边，即可证明△BNM≌aDNM,根据全等三角形性质得 ∠MNB=∠MND,再根据平角的定义即可计算出∠MNB=∠MND=90°，即可证明MN⊥BD (2)根据直角三角形斜边上中线等于斜边的中线，结合已知条件即可得 BM=AM=MC=DM,根据等边对等角得∠MAB=∠ABM,∠MAD=∠ADM,再根据三角 形外角性质，∠BMC=2∠MAB,∠DMC=2∠MAD,进而根据∠BMD=∠BMC+∠DMC得 ∠BMD=2∠BAD:再根据MN=D,N是BD的中点，得MN=N=ND,进而得 ∠MBN=∠NMB,∠MDN=∠NMD,再根据MN⊥BD,得∠MBN=∠NMB=45°， ∠MDN=∠NMD=45°，即可计算出∠BMD=90°，进而得∠BAD=45°，即可得∠BAD=45 时，MN=BD 解：(1)略 (2)略 4.(26-27八年级上江苏连云港·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,AD为 BC上的中线，BE⊥AC,垂足为点E,点F为AB中点，连接EF,FD,DE, (1)求证：EF=FD. (2)已知∠BAC=50°，求∠FDE的度数. E 0 【答案】(1)证明：AB=AC,AD为BC上的中线， .∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°， .△ABD是直角三角形 ,点F为AB中点， D=号4B=AF=那， :BE⊥AC, .∠AEB=90°， ,△ABE是直角三角形， 点F为AB中点， .EF-AB-AF-BF ∴.EF=FD: (2)∠FDE=65° 【分析】(I)根据等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°，再根据直角 旦`8=P=8F三=a彭4科明狂县三县卓群御日海H8=V=双V一=QH影当明狂县三二 得答案： (2)先求出∠BAD=∠CAD=25°，即可得∠ABC=65°，根据直角三角形两锐角互余得出 ∠ABE=90°-50=40，根据直角三角形的性质得出DE=BD)BC,根据等腰三角形的性 2 质得出∠DEB=∠DBE=25°，最后根据三角形内角和定理求出结果即可. 解：(1)略 (2)解：.∠BAC=50°，∠BAD=∠CAD, ∴.∠BAD=∠CAD=25°， .∠ADB=90°， .∠ABC=65°， ·∠BAC=50,∠BEA=90°， .∠ABE=90°-50°=40°， ∴.∠DBE=65°-40°=25°， ,AD为BC上的中线， .D为BC的中点， LBEC=90°， :DE=BD=IBC, 2 .∠DEB=∠DBE=25° .∠BDE=180°-25°-25°=130°， 由(1)可知：DF=BF, ∴.∠FDB=∠ABC=65O .∠FDE=∠BDE-∠FDB=130°-65°=65° 题型6：勾股定理折叠问题求线段长度 1.(25-26八年级上陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AC=8,BC=15, AB=I7,D,E分别是边AB和边CB上的点.把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的 对应点B刚好落在边AC的中点上. (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求CE的长度. _---=B 【答案】(I)△ABC是直角三角形，理由如下： 82+152=289=172, ..AC2+BC2=AB2, 即△ABC是直角三角形： 209 (2) 30· 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质. (1)根据勾股定理逆定理证明即可： (2)根据中点的定义得到BC=4,设CE=x,根据折叠的性质结合勾股定理计算即可. 解：(1)略 (2)解：，B刚好落在边AC的中点上， :BC=)4AC=4, 2 设CE=x, ,把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点B'落在AC边中点上， ∴.BE=BE=BC-CE=15-x, ∴.RtaB'CE中，BC2+CE2=B'E2, .42+x2=(（15-x2, 209 x= 30 解得： 2.(26-27八年级上广东深圳·阶段检测)在长方形ABCD中（长方形四个角是直 角，对边平行且相等)，AB=I0,AD=6.点E在边AD上，沿CE折叠，点D落在边 AB的F处.则△AEF的面积为() D- A.3 B.4 C.3 D.2.5 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得△CDE≌△CFE,接着在Rt△BCF中，利用勾股定理求得 BF=8,设AE=x,在RtAAEF中利用勾股定理列式计算求得AE,最后利用三角形面积公式 求解即可 解：由折叠可得△CDE≌△CFE, .DE=FE,CD=CF=10. :四边形ABCD是长方形，AB=10,AD=6, .BC=AD=6,CD=AB=10,∠A=∠B=90°， 在Rt△BCF中，BF=VCF2-BC2=V102-6=8, .AF=2, 设AE=x,则DE=FE=6-x, 在RtAEF中，得x2+4=(6-x)2, 解得，x=8 .AEP 2*2x88 AF-AE- 2 233 的面积为 3.(2026八年级上全国专题练习)如图，长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm ,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则△ABE的面积为 cm2 E --------D 【答案】6 【分析】根据长方形的性质可得：CD=AB=3cm,BC=AD=9cm,∠A=90°，设AE=xcm ,根据折叠的性质可得：BE=ED=(9-)©m,利用勾股定理求出x的值即为AE的长度，根 据三角形的面积公式求出结果即可！ 解：四边形ABCD是长方形，AB=3cm,AD=9Cm, .CD=AB=3cm,BC=AD=9cm.∠A=90°. 由折叠可知BE=ED, 设AE=xCm, 则BE=ED=(9-x)cm, 在RIAABE中，BE2=AB2+AE2, (9-x)}2=x2+32, 解得：x=4, AE=4, ABE的面积为号AB:AE=3x4=6cm2 2 4.（25-26八年级上江苏无锡期中)我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四 个角都是直角，即：如图1，在长方形ABCO中，∠A=∠ABC=∠C=∠AOC=90°， AB=CO,AO=BC,AB‖CO,AO∥BC.将长方形OABC沿OB翻折，点A的对应 点为D,OD与BC交于点E,OC=4,BC=8. (1)求CE的长： (2)△BDE的面积为 (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着OA向终点A运 动，设点P运动的时间为t秒.当aOPE是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 图1 图2 25 【答案】(1)3：(2)6：(3)t=2.5或3或12 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的 关键是掌握以上性质. (1)根据长方形的性质和翻折的性质得出EO=EB,假设OE=BE=x,表示出相关线段的长 度，然后利用勾股定理列方程求解即可： (2)利用(1)的结论OE=BE=5,求出三角形的底和高，然后求面积即可： (3)分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可. (1)解：将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D,OD与BC交于点E. .∠DOB=∠AOB 四边形OABC是长方形， .BC‖OA ∴.∠OBC=∠AOB .∠OBC=LDOB, :.EO=EB. 设OE=BE=x,则CE=8-x, 在RtAOCE中，OC=4,根据勾股定理得，OC2+CE2=OE2, 16+8-x2=x2, x=5, .BE=5, .CE=3: (2)解：由(1)得OE=BE=5, DE=OD-0E=8-5=3, 根据翻折的性质得BD=AB=CO=4,∠D=∠A=90°， ABDE的面积为2DE-BD=×3x4=6, 2 故答案为：6： (3)解：①若OE=OP, .21=5, t=2.5: ②若OE=EP,作EF⊥OP于点F, OP=2t OF=1 EF=OC=4 ..FO=OE2-EF2 =3. .0P=6, 1=3: ③若OP=PE,则OP=EP=2t,EF=4,OE=5, E ∴.OF=3,FP=2t-3, .42+(21-3)2=(20）}2, 25 :1 25 六综上所述， t=2.5 或3或 题型7：直角三角形HL判定全等证明题 1.(26-27八年级上江苏无锡阶段检测)如图，△ABC的外角∠EAC的平分线与边 BC的垂直平分线相交于点D,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F (1)求证：BE=CF. (2)若AB=9,AC=16,则AE= B 【答案】(I)证明：如图，连接BD,CD A :∠EAC的平分线与边BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF,BD=CD,∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△DEB和RtADFC中， DE=DF IBD=CD· .RtADEBS≌RtDFC(HL), ∴.BE=CF © 【分析】(1)根据角平分线的性质和垂直平分线的性质，可证DE=DF,BD=CD,再根 据“HL”可证Rt△DEB≌Rt△DFC,即可求证； (2)设AE=x,根据“HL”可得Rt△AED≌Rt△AFD,从而AF=AE=x,BE=9+x, CF=I6-x,再根据BE=CF,列出方程，求解即可， 解：(1)略 (2)解：设AE=x, 在Rt△AED和RtAAFD中， DE=DF AD=AD' :Rt△AED≌Rt△AFD(HL), ∴.AF=AE=x, AB=9,AC=16 ..BE=AB+AE=9+x,CF=AC-AF=16-x, .BE=CF, 7 9+x=16-x’解得x= 2, 7 AE= 2 2.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，点E,F分别在△ABC的边AC上， AE=EF,BE⊥AC,过点F作FD⊥BC,垂足为D,且EF=FD.若∠A=75°，则 ∠ABC的度数为() D A.50° B.60° C.45° D.55 【答案】C 【分析】可证得△BEA≌ABEF与△BEF≌△BDF,得到∠A=∠EFB=75°， ∠EFB=∠BFD=75°，再计算出∠ACB,即可求解∠ABC. 解：：BE⊥AC, .∴.∠BEA=∠BEF, AE=EF,BE=BE, ·.△BEA≌aBEF(SAS), ∴.∠A=∠EFB=75°， FD⊥BC, .∠BEF=∠BDF=90°， 又：EF=FD,BF=BF, .△BEF≌aBDF(HL), .∠EFB=∠BFD=75°， .∠CFD=180°-∠EFB-∠BFD=180°-75°-75°=30°， ∴.∠ACB=180°-∠CDF-∠CFD=180°-90°-30°=60°， ∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-75°-60°=45° 3.(26-27八年级上福建莆田阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分 ∠ABC,点D在边BC上，AE=DE,EF⊥AB,AB=I0,CD=2.5,则BD=· A 【答案】5 【分析】证明RtAAEFS≌RtADEC(HL),可得AF=DC=2.5,再证明 Rt△BCE≌Rt△BFE(HL),可得BC=BF=7.5,即可求解. 解：，∠C=90°， ∴.EC⊥BC, :BE平分∠ABC,EF⊥AB, ∴.EC=EF, 在RtAEF和Rt△DEC中， .AE=DE,EF =EC. ..RtAAEFRtADEC(HL). .AF=DC=2.5. AB=10, .BF AB-AF =7.5. 在RtABCE和Rt△BFE中， ·BE=BE,EC=EF, :.Rt△BCE≌Rt△BFE(HL), .BC=BF=7.5, :BD=BC-DC=75-25=5 4.(26-27八年级上江苏盐城阶段检测)如图，在△ABC中，AB=10,AC=6,若 点D在∠BAC的平分线所在的直线上.当点D在△ABC的外部时，过点D作DE⊥AB 于E,作DF⊥AC交AC的延长线于F,且BE=CF. (1)求证：点D在BC的垂直平分线上： (2)BE的长度是 B 【答案】(1)证明：连接BD、CD E B D ,点D在∠BAC的平分线所在的直线上，DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF,∠BED=∠CFD=90°， 在△BED和△CFD中， BE=CF ∠BED=∠CFD, DE=DF .△BED≌aCFD(SAS). .BD=CD. ∴.点D在BC的垂直平分线上： (2)2 【分析】(I)连接BD,CD,根据SAS证明△BED≌△CFD得BD=CD,可证点D在BC的 垂直平分线上： (2)由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF,进而就可以求出结论. 解：(1)略. (2)解：在Rt△ADE和Rt△ADF中， AD=AD DE=DF· :.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), .AE=AF, .:BE=CF, .:.AB-BE=AC+CF, ∴.10-BE=6+BE, ∴.BE=2 题型8：解一元一次不等式（组）并求整数解 5x-1<3(x+1) 1.(26-27九年级上重庆渝北阶段检测)解不等式组2x-_5x+1≤1， 在数轴上画 3 2 出解集，并求出它的整数解之和. 【答案】解集为-1≤x<2,数轴表示如图： -5-4-3-2-1012345 整数解之和为0 【分析】分别求出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，在数轴上表示解集， 再找出范围内的整数解，最后求和 5x-1<3(x+1)① 解： 2x-1_5x+1≤1② 3 2 解不等式①，得 x<2; 解不等式②，得 x2-1, ·不等式组的解集为1≤x<2 数轴画法：在数轴上，-1处画实心圆点，2处画空心圆圈，两点之间连线. 该范围内的整数解为：-山，0,1， 整数解之和：-1+0+1=0， 0 “不等式组整数解之和为· 2.(25-26七年级下·陕西安康阶段检测)不等式4(x-2)≤x+5的所有正整数解的和 是() A.10 B.15 C.6 D.3 【答案】A 解：去括号，得4x-8≤x+5, 移项，得4x-x≤5+8， 合并同类项，得3x≤13， 13 系数化为1，得x≤ 3 不等式的正整数解为1,2,3,4， 1+2+3+4=10 正整数解的和为 2x-1>3 3.(26-27九年级上河北邯郸开学考试)不等式组x+1≤4的整数解是 【答案】3 【分析】求出不等式组的解集，确定整数解即可， 解：解不等式2x-1>3得x>2: 解不等式x+1≤4得x≤3： .不等式组的解集为2<x≤3， 2x-1>3 x+1≤4 ∴，不等式组 的整数解是3. 2x+1>3(x-1) 4.(26-27九年级上陕西宝鸡开学考试)解不等式组 x+*-121 将解集在数轴 3 上表示出来，并写出它的所有整数解. 54321012345→ 【答案】不等式组的解集为1≤x<4:在数轴上表示为： 方4320之345→，它的所有整数解为1,2,3 【分析】在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即 为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可. 2x+1>3(x-1)① 解： +号1e 解不等式①得：x<4； 解不等式②得：x之1： 故不等式组的解集为1≤x<4: 在数轴上表示：略， 它的所有整数解为1,2,3. 题型9：含参数不等式（组）解集讨论 1<x≤2 1.(25-26七年级下·北京昌平期中)已知不等式组 x>k· (1)当k=1.5时，在数轴上表示出不等式组的解集： (2)当k取何值时，此不等式组有解： (3)当k取何值时，此不等式组无解. 【答案】(1)数轴上表示出不等式组的解集为 0 11.52 3 (2)k<2:(3)k≥2. 1<x≤2 【分析】（山)当k=15时，不等式组为x>15,解出即可 (2)数形结合的思想，即可得出结果. (3)数形结合的思想，即可得出结果， 1<x≤2 解：(1)当k=1.5时，不等式组为x>15· 解之得1.5<x≤2， (2)如图所示： 0 1k2 3 当k<2时，此不等式组有解. (3)如图所示： 0 2k3 当k之2时，此不等式组无解. 【点睛】本题考查了不等式组的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小 取较小，小大大小中间找，大大小小解不了. x-a<0 2.(26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测)己知关于x的不等式组2x-1≥7至少有两 个整数解，且存在三边长为3，a,7的三角形，则a的整数解有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【分析】先解不等式组，依据不等式组至少有两个整数解，得到a>5,再根据存在以3,4,7 为边的三角形，可得4<a<10,进而得出a的取值范围，即可得到a的整数解个数. x-a<0① 解： 2x-1≥7② 解不等式①，得x<a, 解不等式②，得x≥4， :不等式组至少有两个整数解， .a>5: 又，存在以3，a,7为边的三角形， .7-3<a<7+3,即4<a<10, ∴.a的取值范围是5<a<10, .a的整数解有4个. 2x-3≥x 3.(25-26七年级下山东烟台期末)已知关于x的一元一次不等式组x≤-m-1无 解，则m的取值范围是 【答案】m>-4 【分析】解不等式①得x≥3，根据不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分列出关于m 的不等式，即可求解。 2x-3≥x① 解： x≤-m-1②？ 解不等式①得x≥3， :该不等式组无解，即两个不等式的解集无公共部分， ∴.-m-1<3, m>-4 解得 4(x+1)≤5x-a① 4.(25-26八年级下·山东青岛期中)已知关于x的不等式组 x-a<x+2 )有 2 4 解，求a的取值范围. 【答案】a>2 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到它们的解集，再根据不等式组有解的条件， 确定两个解集的公共部分存在时a的取值范围. 解：解不等式①得，x≥a+4, x-0<x+2 解不等式②2<4得，x<2a+2' 4(x+1)≤5x-a① ,关于x的不等式组 x,0<+2②有解， 2 4 ∴.a+4<2a+2 解得0>2 题型10：一元一次不等式实际应用（方案选择) 1.(25-26八年级上·广西柳州开学考试)某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念 品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件：也可以用380元购进A种 纪念品10件，B种纪念品6件. (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ (2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利 7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全 部售出后总获利不低于216元，有哪几种进货方案？ 【答案】(1)A种纪念品的进价为20元，B种纪念品的进价为30元：(2)共有3种进货方 案：方案1：购进A种纪念品30件，B种纪念品10件；方案2：购进A种纪念品31件，B种 纪念品9件；方案3：购进A种纪念品32件，B种纪念品8件 【分析】(1)设A种纪念品的进价为x元、B种纪念品的进价为y元，由题意可得到一个二元 一次方程组，解方程组即可. (2)设购买A商品件，则购买B商品(40-m)件，由题意可得到两个不等式，解不等式组 即可. (1)解：设A种纪念品的进价为x元，B种纪念品的进价为y元，则由题意得： [7x+8y=380 10x+6y=380' x=20 解得： y=30: 答：A种纪念品的进价为20元，B种纪念品的进价为30元； (2)解：设购进A种纪念品m件，购进B种纪念品（40-m)件， 5m+7(40-m)≥216 由题意得： 20m+30(40-m)≤900， 解得：30≤m≤32， m为正整数， .m取30,31,32， ∴.当m=30时，40-m=10, 当m=31时，40-m=9, 当m=32时，40-m=8, 所以共有3种进货方案： 方案1：购进A种纪念品30件，B种纪念品10件： 方案2：购进A种纪念品31件，B种纪念品9件： 方案3：购进A种纪念品32件，B种纪念品8件. 2.(25-26八年级下·山东烟台期末)小军同学有勤俭节约的好习惯.开学前夕，他 用自己平时积攒的30元零花钱去“嘉学文具店”购买单价为3元的笔和单价为2 元的本这两种学习用品（两种都要买），若30元的零花钱恰好花完，则小军同学 的购买方案有（) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 【答案】C 【分析】设购买笔x支，购买本少本，根据总费用列出方程后，结合x,y均为正整数（两种商 品都要买)的条件，找出所有符合的正整数解即可得到方案数， 解：设购买笔x支，购买本y本，其中x,y均为正整数， 根据总费用恰好为30元，可得：3x+2y=30, 整理得：y=15-3x 少是正整数， 3x …2为整数， ,3是奇数，因此x必为偶数， 又，两种商品都要买， .x>0,y>0, 由y>0得15->0，解得x<10 2 2,4,6,8 因此符合条件的正偶数为 ,共4个，对应4种购买方案。 3.(24-25八年级下·山东青岛·阶段检测)某乒乓球馆有两种计费方案，如下表.李 强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包 场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与包场的人数至少为 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 【答案】8 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设参与包场的人数为x人，根据题意列不等式求出 x的取值范围，然后取最小整数解题即可. 解：设参与包场的人数为x人， 50×4+5x<20x+12x, 200 解得x> 27 ,人数为整数， 至少为8人， 故答案为： 4.(25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)请你根据以下素材，探索完成任务. 某校组织学生去农场实践基地进行学农实践，体验小番茄的采摘、包装和 背景 销售. 素材 包装小番茄时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式： 一 素材 精包装：每份3斤，售价18元： 二 简包装：每份4斤，售价20元. 请完成下列任务： (1)任务一：实践日上午共卖出两种包装的小番茄38份，销售总收入726元.求 精包装、简包装各卖出多少份？ (2)任务二：实践日下午新采摘小番茄68斤，要求全部进行分装，两种包装都要 有，请直接写出共有多少种包装方案： (3)任务三：在任务二的条件下，每个精包装的成本为12元，每个简包装的成本 为0.8元.若包装总成本不超过20元，请直接写出所有符合条件的分装方案. 【答案】(1)精包装卖出17份、简包装卖出21份；(2)共有5种包装方案；(3)方案一： 精包装4份、简包装14份：方案二：精包装8份、简包装11份 【分析】(1)设精包装卖出x份、简包装卖出少份，根据题意列方程组，据此求解即可： (2)设精包装4份，简包装b份，且a,b为正整数，根据总重量列方程得：3a+4b=68,据此 求解即可： (3)根据题意得到1.2a+0.8b≤20，结合(2)b<17,据此求解即可. (1)解：设精包装卖出x份、简包装卖出y份， x+y=38 根据题意得118x+20y=726 [x=17 解得1y=21 答：精包装卖出17份、简包装卖出21份： (2)解：设精包装a份，简包装b份，且a,b为正整数， 根据总重量列方程得：3a+4b=68, a,b为正整数，3a=68-4b>0, .b<17, a=20[a=16 [a=12「a=8a=4 b=2,b=5,b=8,b=11,b=14共5种包装方案： (3)解：根据题意得总成本：1.2a+0.8b≤20， ,3a+4b=68, a 68-4b 3· :12x68,40+0.86≤20. 3 解得b≥9， 结合(2)b<17, .9≤b<17, a=8a=4 1b=11和b=14符合题意， ÷方案一：精包装4份、简包装4份：方案二：精包装8份、简包装份. 题型11：将军饮马最短路径求值 1.(25-26七年级下·陕西西安期末)最短路径问题： 例：如图①所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建 在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短. 解：如图②，只有A关于1的对称点A与点C、B在一直线上时，才能使AC+BC最 小.作点A关于直线“街道”的对称点A',然后连接AB,交“街道”于点C,则 点C就是所求的点. 应用：如图③，点A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM,ON上各取 一点B,C,组成△ABC,当B、C在什么位置时，△ABC周长最小？ (1)在图中找出符合条件的点B和C,并画出△ABC. (2)若∠MON=30°，OA=10,求△ABC周长的最小值. 居民区B B M 居民区A ·A 街道 ① ② ③ A M XsA 【答案】(1) (2)10 0 C 【分析】(1)分别作点A关于OM,ON的对称点A,A',连接A”分别交OM,ON于点B,点 C,则点B,点C即为所求： (2)连接OA,OA,OA",由轴对称的性质可得OA'=OA=10,0A"=OA=10, BA=BA,CA=CA',可证明△A'OA"是等边三角形，得到AA'=OA"=10:可证明当 水B、CA"四点共线时，△ABC的周长有最小值，据此可得答案. 解：(1)略 (2)解：如图所示，连接OA,0A,OA”, A M B A 由轴对称的性质可得OA'=OA=10,OA”=OA=10,BA=BA,CA=CA”, ∠BOA=∠BOA,∠COA"=∠COA, :.∠A'OA"=∠BOA'+∠BOA+∠COA"+∠COA=2(∠BOA+∠COA)=2∠MON=60°， .△A'OA”是等边三角形， .AA"=OA"=10, :△ABC的周长=BA+CB+CA=BA'+CB+CA≥AA, 当RC 四点共线时，△ABC 的周长有最小值，最小值为10. 2.(25-26七年级上山东东营期中)如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm,面积为 16cm',腰AC的垂直平分线EF交AC于点E,交AB于点F,D为BC的中点，M为 直线EF上的动点.则aCDM周长的最小值为() M F A.6cm B.8cm C.9cm D.10cm 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质可得AM=CM,即A,、M、D三点共线时，CM+DM最小值 为AD的长，根据面积求出AD的长，即可解决问题. 解：连接AM, D :AC的垂直平分线EF交AC于点E, .AM =CM, ∴.CM+DM=DM+AM, 即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长， :AB=AC,点D为BC的中点， AD⊥BC' CD=二BC=2cm, :等腰△ABC的底边BC长为4cm,面积为16cm, ∴.AD=8cm, .ACDM AD+CD=10cm 周长的最小值为 3.(2026河北沧州·三模)在城市规划的图纸上，有一块直角三角形的市民休闲绿 地ABC,∠C=90°，其中BC=80米，AC=40米.点M是绿地ABC的斜边AB的中 点，规划人员要在AC,BC边上各设置一个休息点P,卫，两点之间铺设一条长度 为40米的步道，N为步道PO的中点，连接MN和BN.若MN有最小值，则MN的 最小值为 米. 【答案】20v5-20) 【分析】画出图形，连接CM,CN,先求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半可得CM,CV的长，然后根据MW≥CM-CW求解即可. 解：由题意，画出图形如下： 连接CM,CN, :∠ACB=90°，BC=80米，AC=40米， .AB=VAC2+BC2=40W5米， :点M是绿地ABC的斜边AB的中点， :CM=4B=205米 :∠PC0=90°，Pp=40米，N为步道P№的中点， :cw-0=0米 :MW≥CM-CN,当且仅当点C,N,M三点共线时，等号成立， 20V5-20 的最小值为 米 4.(24-25八年级上·贵州遵义期中)如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个 动点(D与B、C均不重合)·AD=AE.∠DAE=60°，连接CE (I)求证：△ABD≌aACE; (2)若AB=4,△ABC的面积为4V3,求四边形ADCE周长的最小值. 【答案】(I)证明：“△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°，AB=AC, :∠DAE=60° .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE :△ABD2△ACE(SAS): (2)4W3+4 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，证 明△ABD≌△ACE是解答本题的关键. (I)先证明∠BAD=∠CAE,根据ASA即可证明△ABD≌△ACE； (2)根据题意知四边形ADCE的周长C四边形s=AD+DC+CE+AE=2AD+BC,BC=4, 根据垂线段最短得当AD垂直BC时，AD最小，求出AD的长即可解决问题. 解：(1)略 (2)解：由题(1)得△ABD≌△ACE, ∴.BD=CE, ..BC=DC+CE :四边形ADCE的周长C四边形ADCE=AD+DC+CE+AE .C四边形ADE=AD+BC+AE AD=AE, ∴C四边形ADCE=2AD+BC, AB=BC=4. 当AD最小时，四边形ADCE的周长最小， 当AD垂直BC时，AD最小， 当AD垂直C时，S子CAD=45, AD最小为23， ADCE 4V3+4 则四边形 的周长最小 题型12：全等证明结合勾股定理综合 1.(湖北黄石市四校2026-2027学年八年级上学期10月阶段练习数学试题)按要求 完成： (1)如图1，在△ABC中，AB=6,AC=4,AD是BC边上的中线，延长AD到点E 使DE=AD,连接CE,使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系 可得AD的取值范围是 (2)如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E,F分别在AB,AC上，且 DE⊥DF.求证：BE+CF>EF; B D D F 图1 图2 【答案】(1)1<AD<5:(2)证明：如图2中，延长ED到H,使得DH=DE,连接CH FH. B H 图2 :AD是BC边上的中线， ∴.BD=CD 在△BDE和△CDH中 :BD=DC,∠BDE=∠CDH,DE=DH, :ABDE≌aCDH(SAS), :BE=CH, ,DE⊥DF,即FD⊥EH. ∴.EF=FH, 在△CFH中，CH+CF>FH, CH=BE,FH=EF, .BE+CF>EF 【分析】(I)证明△CDE≌aBDA(SAS),推出CE=AB=6,在△ACE中，利用三角形的三边 关系解决问题即可. (2)如图2中，延长ED到H,使得DH=DE,连接DH,FH.证明△BDE≌aCDH(SAS) ,推出BE=CH,再证明EF=FH，,利用三角形的三边关系即可解决问题. (I)解：在△CDE和△BDA中， 'CD=BD,AD=DE.∠CDE=∠ADB :ACDE≌aBDA(SAS), :EC=AB=6, 6-4<AE<6+4, 2<2AD<10, .1<AD<5: (2)略. 2.(26-27八年级上四川自贡阶段检测)如图，在△ACD与△BCE中，若 AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为() A.110° B.125° C.130° D.155° 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理解答即可. 解：如图 D AC=BC,AD=BE,CD=CE :△ACD≌aBCE(SSS), ∴.∠BCE=∠ACD,∠D=∠E 设AD与CE交于点F, :∠E+∠EPF+∠PFE=180°=∠D+∠ECD+∠CFD,∠PFE=∠CFD .∠EPF=∠ECD. :∠BCE=∠ACD ∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD, ∠BCA=∠ECD. ∠ACE=55°，∠BCD=I55°，∠BCA+∠ACE+∠ECD=∠BCD, ∴.∠BCA+55°+∠ECD=155°」 .2∠ECD=100° .∠ECD=50°， .∠EPF=50°. .∠BPD=180°-50°=130° 3.(26-27七年级上山东淄博阶段检测)如图所示，AB=AC，AD=AE, ∠BAC=∠DAE,∠1=25°，∠2=30°，则∠3=」 A D 【答案】55°155度 【分析】通过角度等量代换推出∠I=∠EAC,利用边角边证明△BAD≌△CAE,推出 ∠2=∠ABD,最后利用外角的定义即可求出∠3度数. 解：'∠BAC=∠DAE,∠BAC=∠I+∠DAC,∠DAE=∠EAC+∠DAC, ∴.∠1=∠EAC=25° AB=AC AD=AE ABADACAE(SAS). ∴.∠2=∠ABD=30° ∴.∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55° 4.(26-27七年级上·山东淄博阶段检测)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问 题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组 内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小 明的方法思考： (I)由已知和作图能得到△ADC≌aEDB的理由是_； (2)求得AD的取值范围是_： 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全 等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中： 【问题解决】 (3)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB的平分线AE交CD于E,连接 BE,且BE平分∠ABC,猜想： ①∠AEB的度数； ②BC,AD,AB的数量关系，说明理由. 4 D E E D 图1 图2 【答案】(1)SAS;(2)1<AD<7;(3)①90°； ②AB=BC+AD,理由如下： 如图2，延长AE交BC的延长线于F, B 图2 ·∠AEB=90°， .BE⊥AF, :BE平分∠ABC, .∠ABE=∠FBE, ∠ABE=∠FBE 在 中， BE=BE △ABE△FBE ∠AEB=∠FEB=90° :AABE≌AFBE(ASA), .AB=BF,AE=FE, :AD∥BC, .∠EAD=∠F, ∠EAD=∠F 在 与 中， AE=FE AADE△FCE ∠AED=∠FEC :△ADE≌AFCE(ASA), .AD=CF ∴.AB=BF=BC+CF=BC+AD 【分析】(I)根据AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=CD,得出△ADC和△EDB全等即可： (2)根据(I)得出△ADC≌△EDB,再根据全等三角形的性质，得出BE=AC=6, AE=2AD,再根据三角形三边关系，得出8-6<2AD<8+6,求出即可： (3)①根据平行线的性质，得出∠ABC+∠BAD=180°，再根据角平分线的定义，得出 ∠BAB=)∠BAD,∠1BE=)∠ABC,进而得出∠B1E+∠ABE=90:再根据三角形的内角和 2 定理，计算即可得出∠AEB的度数： ②延长AE交BC的延长线于点F,根据①得出∠AEB=90°，进而得出BE⊥AF,再根据角平 分线的定义，得出∠ABE=∠FBE,再根据“角边角”，得出△ABE≌△FBE,再根据全等三 角形的性质，得出AB=BF,AE=FE,再根据平行线的性质，得出∠EAD=∠F,再根 据“角边角”，得出△ADE≌aFCE，,再根据全等三角形的性质，得出AD=CF,再根据线段 之间数量关系，即可得出结论， (I)解：在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠BDE, BD=CD .:△ADC2aEDB(SAS): (2)解：由(1)知：△ADC≌aEDB, ∴.BE=AC=6,AE=2AD, 在△ABE中，AB=8, 由三角形三边关系定理得：8-6<2AD<8+6, 1<AD<7: (3)解：①AD∥BC, ∠ABC+∠BAD=180°， :AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线， 2B46=BMD,∠M8E=ABC, ZBE+∠1BE-(AD+乙aBC)=g. ∴.∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE)=180°-90°=90°， ②略