精品解析：河北辛集中学2026-2027学年度第一学期第一次阶段考试高二数学试题

河北省辛集中学高二2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 4. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A. B. C. D. 8. 若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是 A. B. C. 1 D. 10. 下列结论正确的是（　　） A. 若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 11. 已知正方体的棱长为1，动点满足，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点到平面的距离是 三、填空题 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 13. 已知直线与直线，若，则______ 14. 已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的中点的轨迹方程为______． 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求直线的方程． 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上任意一点，定点，点N满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中，为的中点，为上的动点． （1）求证：平面； （2）当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）当到平面的距离为时，与平面的交点为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省辛集中学高二2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定方程求出直线的斜率即可求得倾斜角作答. 【详解】直线的斜率，由斜率的定义得直线的倾斜角为， 所以所求倾斜角为. 故选：A 2. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 3. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 【答案】D 【解析】 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 4. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 5. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 7. 已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求点的轨迹方程，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【详解】设点，又，所以，整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上. 点在圆上运动，圆心为，半径为，点在直线上运动，如图， 圆与圆关于直线对称，则，所以， 即当，，三点共线时，取得最小值. 设，则，解得. 因此. 8. 若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意，将平面的方程化为的形式，从而得到该平面的法向量及经过的点坐标，再应用向量法求点面距，结合球体的特征确定球半径最小值，进而求其表面积的最小值即可． 【详解】由平面的方程可化为， 则平面的一个法向量为，且过点， 又球经过点，则， 所以点到平面的距离为， 所以球半径最小值为，故球表面积的最小值为． 二、多选题 9. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是 A. B. C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解 【详解】 当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则 当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或 故选：ACD 【点睛】本题考查了过定点的直线与线段相交的直线的取值范围问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题 10. 下列结论正确的是（　　） A. 若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用点到圆心的距离大于该圆的半径即可求解，对于 B，通过求出直线恒过的圆内定点，确定过该定点的最短弦长为，对于C，将距离条件转化为圆必须与两条特定的平行直线均产生交点，从而推导出圆的半径必须大于圆心到较远平行线的距离，对于D，由点在圆上即可确定切线的斜率，进而使用点斜式方程即可求解. 【详解】对于A，圆O的圆心为，半径， 其圆心到直线的距离为， 即到圆心的距离，所以点在圆O的外部，A正确， 对于B，整理直线得，令，解得，则直线过定点， 已知圆心为，半径，则， 所以定点在圆内， 经过圆内一点的最长弦即为该圆的直径，长度为， 最短弦长为与垂直的弦，其长度为，故B错误， 对于C，圆上的点到直线的距离为1，则有， 即这些点位于两条平行线上，即， 整理得或， 这两条直线到原点的距离分别为和， 要使圆上有4个不同的点满足条件，则两条直线都应与圆交于两点， 则有，故C错误， 对于D，由题意得在圆上，且，所以过的切线的斜率， 所以切线方程为，整理得，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为1，动点满足，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点到平面的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系标点，根据题意可得，对于A：利用向量可得，即可判断垂直；对于B：利用向量法可得垂直于平面的法向量，即可判断平面；对于C：分别求平面与平面的法向量，利用向量求面面夹角的余弦值即可判断；对于D：求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】如图，以点A为坐标原点所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则， 可得, 则，即 对于A项，若，，则, ， 则，故所以，故选项A正确； 对于B项，若，，则， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，得到， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面，故B正确； 对于C项，由题可得， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 设平面与平面夹角的大小为， 则. 即夹角只与，有关，与无关，故C错误； 对于D项，， 设平面的法向量为， 则，令，得到， 因为， 所以，故D正确. 三、填空题 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知直线与直线，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 14. 已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的中点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的性质及直角三角形斜边上中线的性质列式求出轨迹方程. 【详解】设，连接，由弦的中点为，得，， 由以线段为直径的圆过点，得，则， 因此，整理得， 所以的中点的轨迹方程为 故答案为： 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. 【小问2详解】 因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上任意一点，定点，点N满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】（1） （2） （3）；轨迹是一个以为圆心，半径为的圆 【解析】 【分析】（1）设圆方程为，代入点解出的值即可得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长公式计算即可得到答案； （3）设点坐标为，点坐标为，根据已知条件解出，，再代入圆的方程化简即可得到答案． 【小问1详解】 设圆心为，半径为，则圆的标准方程为， 由于圆经过点， 故， 解得，即圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得到和， 此时弦长为，不满足条件， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 又由勾股定理可得， 即，解得，故直线的方程为. 综上所述，直线的方程为． 【小问3详解】 设点坐标为，点坐标为， 则，， 故，，解得，， 又点在圆上，则， 化简得， 因此点的轨迹方程为，该轨迹是一个以为圆心，半径为的圆． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接； 因为为平行四边形，故为的中点； 又因为为中点，故， 因为平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，找平面内一条直线与已知直线平行，根据题干所给中点以及平行四边形的性质利用中位线证明平行，即可证明线面平行； （2）利用空间向量求出平面的法向量和直线的方向向量，根据线面夹角的正弦值等于直线的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值的绝对值进行计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，因为平面，故平面； 又因为底面为平行四边形，且，故底面为菱形， 则； 则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，可知，，则为等边三角形； 故，；； 故，，，，， 则，，； 设为平面的法向量， 则，令，则； 设为直线与平面所成角， 则； 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，由圆与直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时，则直线，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. 【小问1详解】 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 【小问3详解】 法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中，为的中点，为上的动点． （1）求证：平面； （2）当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）当到平面的距离为时，与平面的交点为，求的长． 【答案】（1） 由已知，以 D为原点，DA、DC、DP 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 各点坐标为：, 向量, ，所以， ，所以， 因为，且平面， 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，向量法证明，，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）求出两个平面的法向量，再利用向量的夹角公式求二面角的余弦值； （3）设先根据点到平面的距离求出参数t，确定平面的法向量，再利用线面交点的性质求出交点坐标，最后计算线段长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当 F 为 PC 中点时，， 则， 设平面的法向量为， 则，令 ，得到， 由（1）知平面， 所以取平面的法向量； 设平面与平面夹角为 ， 则. 【小问3详解】 因为为上的动点，所以设， 所以，， 平面的法向量为， 则，令，则. 因为到平面的距离为， 所以， 化简得到，解得或（舍去）， 所以，， 设 ，令 ， 则 ，所以， 即， 所以，即， 化简得到，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $