专题 4.2 一元一次方程及其解法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题 4.2 一元一次方程及其解法（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】一元一次方程的概念 2 【知识点二】移项法则 2 【知识点三】解一元一次方程的一般步骤 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】一元一次方程的识别与概念辨析 3 【题型2】移项法则与简单方程求解 4 【题型3】去括号解一元一次方程 4 【题型4】去分母解一元一次方程 5 四.题型精析（综合提升） 5 【题型5】含小数分母的方程 5 【题型6】已知方程的解求待定字母 6 【题型7】含多重括号的方程 6 【题型8】方程解的综合应用（含绝对值与新定义） 7 五.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 19．（本小题满分8分） 10 20．（本小题满分8分） 10 21．（本小题满分10分） 10 22．（本小题满分10分） 10 23．（本小题满分10分） 10 24．（本小题满分12分） 11 一.学习目标 1. 理解一元一次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元一次方程。 2. 掌握移项法则，理解移项的依据是等式的基本性质1。 3. 熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 4. 能正确求解含括号、含分母的一元一次方程，并能检验方程的解。 5. 能根据方程的解求待定字母的值，解决简单的综合问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。 判断要素 说明 一元 只含有一个未知数，通常用 x、y、z 等字母表示。 一次 未知数的最高次数为1，即未知数的指数为1，不能出现 x²、x³ 或等形式。 整式 等号两边都是整式，分母中不能含有未知数。 一般形式： （其中 ）。 易错提醒：判断是否为一元一次方程前，必须先化简整理。如 化简后不成立（无解），但形式上仍是一元一次方程；而 分母含未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程。 【知识点二】移项法则 定义：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。 依据：等式的基本性质1——等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 移项目的：把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，便于合并同类项。 移项口诀：移项要变号，不移的项不变号。通常把含 x 的项移到左边，常数项移到右边。 【知识点三】解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 注意事项 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数。 不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时要加括号。 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 注意括号前是负号时，括号内各项都要变号。 移项 含未知数的项移到左边，常数项移到右边。 移项必须变号。 合并同类项 把方程化为的形式。 系数相加，字母及指数不变。 系数化为1 方程两边同除以未知数的系数，得。 不要把分子、分母写颠倒。 原则：五个步骤不一定每次都全部用到，也不一定按固定顺序。有些方程可直接合并同类项，有些方程先去括号更简便。根据方程特点灵活选择。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】一元一次方程的识别与概念辨析 方法：紧扣"一元、一次、整式"三要素，先化简再判断。 【例题1】（26-27七年级上·全国·课后作业）若（为常数）是关于的一元一次方程． （1）的值为________； （2）求式子的值． 【变式1】（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·全国·单元复习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有________，其中是一元一次方程的有________．（只填序号） 【变式3】（25-26七年级上·广西河池·期末）先化简，再求值：，其中是关于x的一元一次方程． 【题型2】移项法则与简单方程求解 方法：移项变号→合并同类项→系数化为1。 【例题1】（26-27七年级上·全国·课后作业）用合并同类项的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）若，则x的值是（     ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 【变式2】（26-27七年级上·全国·单元复习）若的相反数是，则的相反数是______． 【变式3】（26-27六年级上·黑龙江绥化·开学考试）解方程． （1） （2） （3） （4） 【题型3】去括号解一元一次方程 方法：先去括号（注意符号），再移项、合并、系数化为1。 【例题3】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列解方程过程中的去括号步骤是否正确？如果不正确，请指出错误，并加以改正． （1）． 解：去括号，得． （2）． 解：去括号，得． 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期末）方程：的解为______． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： （1）； （2）． 【题型4】去分母解一元一次方程 方法：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时要加括号。 【例题4】（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）若代数式与的和为12，则a的值为________． 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： （1） （2） 四.题型精析（综合提升） 【题型5】含小数分母的方程 方法：先利用分数的基本性质，将分子、分母同乘一个数，把小数化为整数，再按正常步骤求解。 【例题5】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式1】（25-26六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）方程的解为_______． 【变式3】（24-25七年级下·山东威海·期中）计算： （1）； （2）． 关键区别：化小数为整数是分数的基本性质（只变这一项的分子分母），不是方程两边同乘一个数。不要与去分母混淆！ 【题型6】已知方程的解求待定字母 方法：把已知解代入原方程，得到关于待定字母的新方程，再求解。 【例题6】（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． （1）若，该方程的解为________； （2）若该方程的解与方程的解相同，则的值为________； （3）若该方程的解与方程的解互为相反数，则的值为________； （4）若该方程有正整数解，则整数的最小值为________． 【变式1】（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（2026七年级上·全国·专题练习）小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 【变式3】（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， （1）求a的值； （2）写出正确的求解过程． 【题型7】含多重括号的方程 方法：根据方程特点选择去括号顺序。若括号内有同类项可先合并，可简化计算。 【例题7】（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）方程 的解（     ） A． B． C． D．2 【变式2】（24-25七年级上·重庆丰都·期末）定义符号“*”表示的运算法则为，若，则_______． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 【题型8】方程解的综合应用（含绝对值与新定义） 方法：理解新定义或绝对值含义，转化为常规一元一次方程求解。 【例题8】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）定义一种新运算：，如．请解决下列问题： （1）直接写出结果：_____________；_____________． （2）若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·云南昆明·期末）对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）根据绝对值的定义我们知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．若，则x的值为__________． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级上·全国·单元复习）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列变形属于移项的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列方程变形正确的是（     ） A．，移项得 B．，去括号得 C．，去分母得 D．，系数化为1得 5．（2022·浙江温州·二模）解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 7．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·吉林长春·一模）方程的解是（　　） A． B． C． D．或 9．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 10．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）方程中，_________． 12．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）由去括号得__________． 13．（25-26七年级下·山东淄博·期中）当______时，代数式与的值互为相反数． 14．（25-26七年级下·河南周口·期末）若方程的解为，则_____ 15．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知关于x的多项式，小明在求当时多项式的值时，错误地把某项前面的“+”当成“”运算，求出的结果为11，被小明看错的项是______． 17．（2026七年级上·全国·专题练习）小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 18．（26-27七年级上·江苏南京·单元测试）如图，在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为，6，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为t秒，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为_________秒． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27六年级上·上海·开学考试）解方程． （1） （2） 20．（本小题满分8分）（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，求这两个方程的解． 22．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）老师在黑板上出了一道解方程的题：．小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的： ．    第一步 ．        第二步 ．        第三步 ．        第四步 ．        第五步 老师说小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了． （1）请你指出他错在第________步（填序号） 细心地解下面的方程，相信你一定能做对． （2）； （3）； （4）． 23．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程是一元一次方程． （1）的值为________； （2）若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； （3）若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 （1）若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； （2）若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 一元一次方程及其解法（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】一元一次方程的概念 2 【知识点二】移项法则 2 【知识点三】解一元一次方程的一般步骤 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】一元一次方程的识别与概念辨析 3 【题型2】移项法则与简单方程求解 5 【题型3】去括号解一元一次方程 7 【题型4】去分母解一元一次方程 8 四.题型精析（综合提升） 10 【题型5】含小数分母的方程 10 【题型6】已知方程的解求待定字母 12 【题型7】含多重括号的方程 16 【题型8】方程解的综合应用（含绝对值与新定义） 20 五.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 26 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 29 19．（本小题满分8分） 29 20．（本小题满分8分） 29 21．（本小题满分10分） 30 22．（本小题满分10分） 31 23．（本小题满分10分） 32 24．（本小题满分12分） 33 一.学习目标 1. 理解一元一次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元一次方程。 2. 掌握移项法则，理解移项的依据是等式的基本性质1。 3. 熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 4. 能正确求解含括号、含分母的一元一次方程，并能检验方程的解。 5. 能根据方程的解求待定字母的值，解决简单的综合问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。 判断要素 说明 一元 只含有一个未知数，通常用 x、y、z 等字母表示。 一次 未知数的最高次数为1，即未知数的指数为1，不能出现 x²、x³ 或等形式。 整式 等号两边都是整式，分母中不能含有未知数。 一般形式： （其中 ）。 易错提醒：判断是否为一元一次方程前，必须先化简整理。如 化简后不成立（无解），但形式上仍是一元一次方程；而 分母含未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程。 【知识点二】移项法则 定义：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。 依据：等式的基本性质1——等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 移项目的：把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，便于合并同类项。 移项口诀：移项要变号，不移的项不变号。通常把含 x 的项移到左边，常数项移到右边。 【知识点三】解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 注意事项 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数。 不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时要加括号。 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 注意括号前是负号时，括号内各项都要变号。 移项 含未知数的项移到左边，常数项移到右边。 移项必须变号。 合并同类项 把方程化为的形式。 系数相加，字母及指数不变。 系数化为1 方程两边同除以未知数的系数，得。 不要把分子、分母写颠倒。 原则：五个步骤不一定每次都全部用到，也不一定按固定顺序。有些方程可直接合并同类项，有些方程先去括号更简便。根据方程特点灵活选择。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】一元一次方程的识别与概念辨析 方法：紧扣"一元、一次、整式"三要素，先化简再判断。 【例题1】（26-27七年级上·全国·课后作业）若（为常数）是关于的一元一次方程． （1）的值为________； （2）求式子的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得且，再进一步求解即可； （2）把代入去括号后的代数式计算即可. （1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：. （2）解：当时， 原式． 【变式1】（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的三个判定维度：整式、一个未知数、未知数次数为1判断各选项． 解：A、符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，符合题意； B、分母含未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； C、含两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意． 【变式2】（26-27七年级上·全国·单元复习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有________，其中是一元一次方程的有________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤⑥ ①⑥ 【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式）和一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），逐一判断每个式子即可． 解：①，是含有未知数的等式，是方程；仅含一个未知数，未知数次数为1，是一元一次方程； ②，不是等式，不是方程，也不是一元一次方程； ③，是含有未知数的等式，是方程；含两个未知数，不是一元一次方程； ④，是含有未知数的等式，是方程；未知数最高次数为2，不是一元一次方程； ⑤，是含有未知数的等式，是方程；未知数最高次数为2，不是一元一次方程； ⑥，是含有未知数的等式，是方程；仅含一个未知数，未知数次数为1，是一元一次方程； 综上，是方程的为①③④⑤⑥，是一元一次方程的为①⑥． 【变式3】（25-26七年级上·广西河池·期末）先化简，再求值：，其中是关于x的一元一次方程． 【答案】化简为，值为3． 【分析】先去括号，合并同类项，根据一元一次方程的定义得到，代入化简结果计算即可． 解：原式， ∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 【题型2】移项法则与简单方程求解 方法：移项变号→合并同类项→系数化为1。 【例题1】（26-27七年级上·全国·课后作业）用合并同类项的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解：合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：合并同类项，得． 系数化为1，得； （3）解：合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式1】（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）若，则x的值是（     ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 【答案】C 【分析】利用绝对值的意义去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解． 解：∵， ∴， 解得或． 【变式2】（26-27七年级上·全国·单元复习）若的相反数是，则的相反数是______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，若一个数的相反数等于它本身，则这个数为，据此列方程求出的值，再计算的相反数即可． 解：∵ 的相反数是， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ 的相反数是． 【变式3】（26-27六年级上·黑龙江绥化·开学考试）解方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型3】去括号解一元一次方程 方法：先去括号（注意符号），再移项、合并、系数化为1。 【例题3】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列解方程过程中的去括号步骤是否正确？如果不正确，请指出错误，并加以改正． （1）． 解：去括号，得． （2）． 解：去括号，得． 【答案】（1）错误，去括号时，未改变符号；去括号，得；（2）错误，去括号时出现漏乘2；去括号，得 【分析】根据解一元一次方程的求解步骤，结合去括号法则逐个判断正误，然后纠正错误即可． （1）解：根据所给解方程过程，去括号时，未改变符号， 正确解法：去括号，得； （2）解：根据所给解方程过程，去括号时，3漏乘2， 正确解法：去括号，得； 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程，即可得出答案． 解： 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期末）方程：的解为______． 【答案】 解：， ， ， . 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【题型4】去分母解一元一次方程 方法：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时要加括号。 【例题4】（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得； （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是6， ∴给方程两边同时乘以6去分母，可得：， 化简得． 【变式2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）若代数式与的和为12，则a的值为________． 【答案】7 【分析】根据题意列出一元一次方程，按照一元一次方程的解法求解即可． 解：根据题意列方程得 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得． 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】含小数分母的方程 方法：先利用分数的基本性质，将分子、分母同乘一个数，把小数化为整数，再按正常步骤求解。 【例题5】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题侧重考查了解一元一次方程，解决本题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 先将含有小数的方程转化为整数的方程，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程的解． 解：分母化为整数，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（25-26六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，将方程第二项分式的分子和分母同时乘以10，消除小数，得到等价变形，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． 解：∵， ∴该方程变形正确的是， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的过程是解题的关键． 先根据分数的基本性质，将方程整理为，再通过去括号，移项，合并同类项，系数化为1等步骤即可求解． 解： 整理，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 故答案为． 【变式3】（24-25七年级下·山东威海·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可． 本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解题步骤． （1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： ∴， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 关键区别：化小数为整数是分数的基本性质（只变这一项的分子分母），不是方程两边同乘一个数。不要与去分母混淆！ 【题型6】已知方程的解求待定字母 方法：把已知解代入原方程，得到关于待定字母的新方程，再求解。 【例题6】（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． （1）若，该方程的解为________； （2）若该方程的解与方程的解相同，则的值为________； （3）若该方程的解与方程的解互为相反数，则的值为________； （4）若该方程有正整数解，则整数的最小值为________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）6 【分析】（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （3）先求出方程的解，再根据相反数的定义，得到的解为，代入求出m的值即可． （4）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正整数倍，又取最小值，进而得解； （1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：解，得 ， ∵的解与方程的解互为相反数， ∴的解为， 即， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 【变式1】（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 【变式2】（2026七年级上·全国·专题练习）小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 【答案】 【分析】将错误求得的解代入错误方程，先求出参数的值，再代入原方程求解即可． 解：由题意得，将代入错误的方程得，， ， 整理得， 解得， 将代入原方程得，， ， ， ， 解得． 【变式3】（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， （1）求a的值； （2）写出正确的求解过程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）理解题意，先整理得，再去括号，移项，合并同类项，得，然后再把代入计算，即可作答． （2）由（1）得，故，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． （1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得． （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【题型7】含多重括号的方程 方法：根据方程特点选择去括号顺序。若括号内有同类项可先合并，可简化计算。 【例题7】（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】按照解一元一次方程的步骤解答即可． 解：去括号，得， ， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）方程 的解（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，根据方程的特点，逐步的去分母与去括号即可得到答案． 解：． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选A 【变式2】（24-25七年级上·重庆丰都·期末）定义符号“*”表示的运算法则为，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是根据新定义正确列出方程，并熟练掌握运用解一元一次方程的步骤． 根据题意可得：，然后解一元一次方即可求解． 解：∵，， ∴， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得： 故答案为：． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，是解题的关键． 运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1的方法解答即可．可先从外部去括号，使运算简便，（1），（3），（5）题，可方程两边乘一适当的数，兼顾去分母去括号，（2），（4）题出现了互为倒数，或分母能约尽的情况，用括号外的数直接乘即可． （1）解：（1）∵， ∴两边乘2，得， 移项，得， 两边乘3，得， 移项，得， ∴， 系数化为1，得． （2）∵， ∴去中括号，得， 去小括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）∵， 两边乘2，得， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）∵ ∴去中括号，得，， 去小括号，得，， 移项，得， 合并同类项，得， 把x的系数化为1，得； （5）∵， ∴两边乘2，得， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型8】方程解的综合应用（含绝对值与新定义） 方法：理解新定义或绝对值含义，转化为常规一元一次方程求解。 【例题8】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）定义一种新运算：，如．请解决下列问题： （1）直接写出结果：_____________；_____________． （2）若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】（1）；18；（2）2 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用新定义得出一元一次方程，解方程求出，解第二个方程得出，根据两方程的解相同得出，得出，然后整体代入即可求解． （1）解：， ， ； （2）解： 解得 解方程得 ∵两方程的解相同， ∴ ∴ ∴． 【变式1】（25-26七年级上·云南昆明·期末）对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程——合并同类项，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 根据题中的新定义，可得，合并同类项，然后系数化为1，即可得出答案． 解：根据题中的新定义，可得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）根据绝对值的定义我们知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．若，则x的值为__________． 【答案】或4 【分析】本题考查的是绝对值的含义，一元一次方程的应用，分三种情况：当时，当时，当时，再化简绝对值，建立一元一次方程求解即可． 解：当时，， ∴， 解得：， 当时， ， 当时， ∴， 解得：， 综上：或； 故答案为：或4 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值等知识点，根据绝对值的性质得到两个一元一次方程，分别解一元一次方程即可，熟练掌握绝对值和解一元一次方程是解决此题的关键． 解：∵，， ∴或， ∴或． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级上·全国·单元复习）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：选项B的方程含两个未知数， 选项C的方程是分式方程， 选项D的方程中未知数最高次数为2，均不符合一元一次方程的要求； 只有选项A的符合要求． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求； 选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列变形属于移项的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】依据移项“跨等号移动且变号”的核心特征判断． 解：A：由得，是交换方程左右两边的位置，不属于移项； B：由得，仅调整等号左侧项的顺序，未跨等号移动项，不属于移项； C：由得，将等号右侧的移到左侧变号为，等号左侧的移到右侧变号为，符合移项的特征，属于移项； D：由得，是将方程未知数的系数化为，不属于移项． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列方程变形正确的是（     ） A．，移项得 B．，去括号得 C．，去分母得 D．，系数化为1得 【答案】B 解：A选项，方程移项时，移项要变号，正确结果应为，错误； B选项，方程去括号，用2乘括号内每一项，得，正确； C选项，方程去分母，两边同乘2，正确结果应为，错误； D选项，方程系数化为1，两边同除以，正确结果应为，错误． 5．（2022·浙江温州·二模）解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 解：方程两边同乘以6， 得． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 解：关于x的一元一次方程的解为1， ∴ 解得． 7．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将新方程中的看作原方程中的，利用已知原方程的解，建立关于的一元一次方程求解即可． 解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程中，， 解得： ∴的解为． 8．（2026·吉林长春·一模）方程的解是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，若 ，则或，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可； 解：∵ ∴ 或 当时，移项得 当时，移项得 ∴ 方程的解为或． 9．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与k的取值无关，得到，且，求解即可． 解：方程的解总为， 代入得， 化简得， 该式对任意成立， ，且， 解得， ，， 故选：A． 10．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）方程中，_________． 【答案】 【分析】将看作未知量，通过移项合并同类项求解一元一次方程即可． 解：原方程为， 移项得， 合并同类项得， 两边同时除以2，得 ． 12．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）由去括号得__________． 【答案】 【分析】本题考查了去括号的法则，掌握去括号的法则是解决本题的关键． 根据去括号的法则求解即可． 解： ， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·山东淄博·期中）当______时，代数式与的值互为相反数． 【答案】 【分析】根据相反数的定义列方程求解即可． 解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 解得：． 14．（25-26七年级下·河南周口·期末）若方程的解为，则_____ 【答案】1 解：， 去分母得，， ∴， ∵解为， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可． 解：解方程 得； 解方程 得． 由题意，，即， 解得． 故答案为：． 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知关于x的多项式，小明在求当时多项式的值时，错误地把某项前面的“+”当成“”运算，求出的结果为11，被小明看错的项是______． 【答案】 【分析】先求出时多项式的正确值，设看错的数是a，把某项前的加号看成减号后，错误结果=正确结果，计算即可． 解：当时， ， 当时，设看错的项的系数是a， ， 解得， 当时， 所以小明看错的项是． 17．（2026七年级上·全国·专题练习）小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 【答案】 【分析】将错误求得的解代入错误方程，先求出参数的值，再代入原方程求解即可． 解：由题意得，将代入错误的方程得，， ， 整理得， 解得， 将代入原方程得，， ， ， ， 解得． 18．（26-27七年级上·江苏南京·单元测试）如图，在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为，6，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为t秒，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为_________秒． 【答案】3或5 【分析】数轴上的点向右移动多少个单位长度，表示的数就加多少；数轴上两点之间的距离等于位置之差的绝对值． 解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为3或5秒． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27六年级上·上海·开学考试）解方程． （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． （1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 21．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，求这两个方程的解． 【答案】方程的解是，方程的解是 解：， 解得． 由， 解得． 因为关于的方程的解是关于的方程的解的5倍， 所以， 解得． 所以方程的解是，方程的解是． 22．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）老师在黑板上出了一道解方程的题：．小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的： ．    第一步 ．        第二步 ．        第三步 ．        第四步 ．        第五步 老师说小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了． （1）请你指出他错在第________步（填序号） 细心地解下面的方程，相信你一定能做对． （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）一；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据等式的基本性质即可解答； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可； （3）（4）先化简方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可． （1）解：小明在第一步不含分母的项1未乘以分母的最小公倍数，所以第一步错误． （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 解得． （3）解：可化为． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （4）解：， 方程两边同乘7，得． 方程两边同乘5，得． 移项、合并同类项，得， 所以，解得． 23．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程是一元一次方程． （1）的值为________； （2）若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； （3）若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1，并且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程； （2）由及，求出，由，求出，根据两个方程的解相同，求出． （1）解：， 解得； （2）解：把代入， 得， 所以． 由，解得． 因为已知方程与关于的方程的解相同， 所以． 所以． 解得． 所以的值为． （3）解：由，解得． 因为已知方程的解比方程的解小5， 所以已知方程的解为． 所以把，代入 中，得， 所以， 解得， 所以的值为． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 （1）若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； （2）若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【答案】（1）15；（2） 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值； （2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解． （1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $