5.1观察 抽象 同步讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第5章 5.1 观察 抽象 内 容 导 航 题型1 认识立体图形 题型2 点、线、面、体 题型3 欧拉公式 题型4 认识平面图形 考 点 演 练 题型1 认识立体图形 解｜题｜知｜识 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 【典例1】下面几何体中，是棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【变式2】2024年巴黎奥运会顺利闭幕．如图，这是此届奥运会的金牌，用数学的眼光观察这个金牌，它的形状类似于（　　） A．球体 B．圆柱体 C．棱柱 D．棱锥 【变式3】如图1，该三棱柱的高为9cm，底面是一个每条边长都为5cm的三角形． （1）这个三棱柱有 　 个面，有 　 　 条棱． （2）如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． （3）这个三棱柱的侧面积是多少？ 题型2 点、线、面、体 解｜题｜知｜识 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成． 【典例1】将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【变式2】中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（　　） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【变式3】探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． （1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大． 题型3 欧拉公式 解｜题｜知｜识 （1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． （2）V+F﹣E＝X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数． 【典例1】一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【变式1】在下列结论中，错误的是（　　） A．棱柱的侧面数与侧棱数相同 B．棱柱的棱数一定是3的倍数 C．棱柱的面数一定是奇数 D．棱柱的顶点一定是偶数 【变式2】一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（　　） A．十八边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形 【变式3】丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 观察：下面这些几何体都是简单几何体，请你仔细观察． 统计：每个几何体都会有棱（棱数为E）、面（面数为F）、顶点（顶点数为V），现将有关数据统计，完成下表． 几何体 a b c d e 棱数（E） 6 9 15 面数（F） 4 5 5 6 顶点数（V） 4 5 8 发现：（1）简单几何中，V+F﹣E＝　 　 ； （2）简单几何中，每条棱都是 　 　 个面的公共边； （3）在正方体中，每个顶点处有 　 　 条棱，每条棱都有 　 　 个顶点，所以有2×E＝3×V． 应用：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．请问它有 　 　 条棱，　 　 个顶点，每个顶点处有 　 　 条棱． 题型4 认识平面图形 解｜题｜知｜识 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 【典例1】如图，是由6个大小相同的正方体组成的立体图形，从前面观察得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1】一个密封的圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（　　） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【变式3】求阴影部分的周长和面积．（π取3.14） 过 关 验 收 1. 下列几何体中，属于棱柱的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2. 下列哪个物体给我们以圆柱的形象（　　） A． B． C． D． 3. 如图，将正五角星沿虚线折叠，使A、B、C、D、E五个顶点重合，得到的立体图形是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 4. 小明用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小明总共剪开了　 　 条棱； （2）小明说：已知这个长方体纸盒高为10cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是160cm，求这个长方体纸盒的体积． 5. 将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 6. 在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 7. 电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 8. 嘉嘉发现某酒店大堂的旋转门内部是由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成的，这让她想起了七年级数学第一章《丰富的图形世界》里的知识，并提出了以下问题，你能帮她解决吗？ （1）将此旋转门的一块玻璃隔板旋转一周，能形成的几何体是　 　 ； （2）（1）中的现象用数学知识解释为C （填选项）； A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 （3）求该旋转门的一块玻璃隔板旋转一周形成的几何体的体积（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）． 9. 五棱柱的顶点数、面数和棱数分别是（　　） A．10，9，15 B．8，7，15 C．10，7，15 D．8，8，16 10. 十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则x+y＝ 　 　 ． 11. 阅读下面的材料： 1750年，欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V、E、F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现，就是著名的欧拉定理． 根据所阅读的材料，完成： 据百度百科介绍：C60是一种由60个碳原子构成的分子，这种分子的微观结构是个多面体，形似足球，故名足球烯．C60具有金属光泽，有许多优异性能，如超导、强磁性、耐高压、抗化学腐蚀等，在光、电、磁等领域有潜在的应用前景．已知足球烯的分子具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形．那么，这种多面体的棱数是　 　 ． 12. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　6　 长方体 8 6 12 正八面体 　6　 8 12 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 　 ； （2）如图，正十二面体，它的棱数比顶点数大　 ； （3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面八边形的个数． 13. 下面的几何体中，哪一个不能由平面图形绕某直线旋转一周得到（　　） A． B． C． D． 14. 下面几种几何图形中，属于平面图形的有（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15. 如图，圆环中外圆周长比内圆周长长2πm，则外圆的半径比内圆的半径大 　 　 m． 16. 如图是一个台灯． （1）画出灯罩的平面直观图； （2）将灯罩沿一条装饰线（图中的实线）剪开，得到的平面图形是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 5.1 观察 抽象 内 容 导 航 题型1 认识立体图形 题型2 点、线、面、体 题型3 欧拉公式 题型4 认识平面图形 考 点 演 练 题型1 认识立体图形 解｜题｜知｜识 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 【典例1】下面几何体中，是棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．选项A中的几何体是球体，因此选项A不符合题意； B．选项B中的几何体是三棱锥，因此选项B不符合题意； C．选项C中的几何体是三棱柱，因此选项C符合题意； D．选项D中的几何体是圆柱，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【变式1】如图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【解答】解：如图是美术素描常用的几何体模型，则： 该几何体模型，有几何体：球，正方体，圆柱，棱锥，没有圆锥． 故选：D． 【变式2】2024年巴黎奥运会顺利闭幕．如图，这是此届奥运会的金牌，用数学的眼光观察这个金牌，它的形状类似于（　　） A．球体 B．圆柱体 C．棱柱 D．棱锥 【答案】B 【解答】解：由图可得：奖牌的形状类似于圆柱体， 故选：B． 【变式3】如图1，该三棱柱的高为9cm，底面是一个每条边长都为5cm的三角形． （1）这个三棱柱有 　5　 个面，有 　9　 条棱． （2）如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． （3）这个三棱柱的侧面积是多少？ 【答案】（1）5；9； （2）作图见解析（答案不唯一）； （3）135cm2． 【解答】解：（1）这个三棱柱有5个面，共有棱：3+3+3＝9（条）， 故答案为：5；9； （2）答案不唯一， （3）这个三棱柱的侧面积＝9×5×3＝135（cm2）， 答：侧面积135cm2． 题型2 点、线、面、体 解｜题｜知｜识 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成． 【典例1】将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：长方形绕轴旋转一周可得到圆柱，A不符合题意； 半圆绕轴旋转一周可得到球体，B不符合题意； C选项绕轴旋转一周可得到一个中间空心的几何体，不符合题意； D选项绕轴旋转一周可得到图中所示的立体图形，符合题意； 故选：D． 【变式1】“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，雨滴滴下来形成雨丝属于点动成线． 故选：A． 【变式2】中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（　　） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【答案】A 【解答】解：枪挑一条线即为点动成线，棍扫一大片即为线动成面， 故选：A． 【变式3】探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． （1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大． 【答案】（1）方案一构造的圆柱的体积大； （2）方案一构造的圆柱的体积大． 【解答】解：（1）根据圆柱的体积公式可得： 方案一：π×32×4＝36π（cm3）， 方案二：π×22×6＝24π（cm3）， ∵36π＞24π， ∴方案一构造的圆柱的体积大； （2）根据圆柱的体积公式可得： 方案一：（cm3）， 方案二：（cm3）， ∵， ∴方案一构造的圆柱的体积大． 题型3 欧拉公式 解｜题｜知｜识 （1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． （2）V+F﹣E＝X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数． 【典例1】一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】C 【解答】解：直棱柱有12个顶点，一定是六棱柱， 所以它有6个侧面和2个底面共8个面． 故选：C． 【变式1】在下列结论中，错误的是（　　） A．棱柱的侧面数与侧棱数相同 B．棱柱的棱数一定是3的倍数 C．棱柱的面数一定是奇数 D．棱柱的顶点一定是偶数 【答案】C 【解答】解：A、棱柱的侧面数与侧棱数相同是正确的，不符合题意； B、棱柱的棱数有3n条，一定是3的倍数，正确，不符合题意； C、四棱柱的面数是6，是偶数，错误，符合题意； D、棱柱的顶点有2n个，一定是偶数，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（　　） A．十八边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形 【答案】C 【解答】解：根据欧拉公式有：V+F﹣E＝2， ∵E＝18， ∴V+F＝2+18＝20， ①当棱柱是四棱柱时，V＝8，F＝6，V+F＝14， ②当棱柱是五棱柱时，V＝10，F＝7，V+F＝17， ③当棱柱是六棱柱时，V＝12，F＝8，V+F＝20， ∴有18条棱的棱柱是六棱柱，它的底面是六边形． 故选：C． 【变式3】丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 观察：下面这些几何体都是简单几何体，请你仔细观察． 统计：每个几何体都会有棱（棱数为E）、面（面数为F）、顶点（顶点数为V），现将有关数据统计，完成下表． 几何体 a b c d e 棱数（E） 6 9 15 面数（F） 4 5 5 6 顶点数（V） 4 5 8 发现：（1）简单几何中，V+F﹣E＝　2　 ； （2）简单几何中，每条棱都是 　2　 个面的公共边； （3）在正方体中，每个顶点处有 　3　 条棱，每条棱都有 　2　 个顶点，所以有2×E＝3×V． 应用：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．请问它有 　30　 条棱，　20　 个顶点，每个顶点处有 　3　 条棱． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）简单几何中，V+F﹣E＝2； （2）简单几何中，每条棱都是 2个面的公共边； （3）在正方体中，每个顶点处有 3条棱，每条棱都有 2个顶点，所以有2×E＝3×V； 应用：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．它有 30条棱，20个顶点，每个顶点处有 3条棱， 故答案为：2；3，2；30，20，3． 题型4 认识平面图形 解｜题｜知｜识 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 【典例1】如图，是由6个大小相同的正方体组成的立体图形，从前面观察得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：平面图形有两行，下面有4个正方形，上面有1个正方形，且靠左侧，如图所示． 故选：D． 【变式1】一个密封的圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：对于选项A， ∵当圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆， ∴该选项不符合题意； 对于选项B， ∵无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不是一般的平行四边形， ∴该选项符合题意； 对于选项C， ∵当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形， ∴该选项不符合题意； 对于选项D， ∵当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆， ∴该选项不符合题意， 故选：B． 【变式2】图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（　　） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【答案】C 【解答】解：由题意可知，图甲的面积与图乙的面积和是长方形的面积，但图甲、图乙的面积不一定相等，图甲、图乙的周长都等于长方形的长、宽与曲线对角线的和，即它们的周长相等， 故选：C． 【变式3】求阴影部分的周长和面积．（π取3.14） 【答案】49.12m；96m2． 【解答】解：3.14×83.14×812×2 ＝3.14×8+24， ＝49.12（m）； 12×8＝96（m2）， 答：阴影部分的周长是49.12m，面积是96m2． 过 关 验 收 1. 下列几何体中，属于棱柱的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【解答】D 【分析】本题考查的是立体图形的认识； 根据棱柱的概念、结合图形解得即可． 认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥是解题的关键． 【详解】解：第一、第三、第六个几何体是棱柱，共有3个． 故选：D． 2. 下列哪个物体给我们以圆柱的形象（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．此物体给我们以圆锥的形象； B．此物体给我们以正方体的形象； C．此物体给我们以圆柱的形象； D．此物体给我们以球的形象； 故选：C． 3. 如图，将正五角星沿虚线折叠，使A、B、C、D、E五个顶点重合，得到的立体图形是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 【答案】A 【解答】解：折叠成的几何体底面是正五边形，5个侧面是等腰三角形，因此这个几何体是五棱锥， 故选：A． 4. 小明用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小明总共剪开了　8　 条棱； （2）小明说：已知这个长方体纸盒高为10cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是160cm，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】（1）8； （2）2250cm3． 【解答】解：（1）由图①可得，小明总共剪开了8条棱， 故答案为：8； （2）这个长方体的底面是正方形，高为10cm，所有棱长之和是160cm， 所以这个长方体底面边长为（160﹣10×4）÷8＝15（cm）， 因此体积为15×15×10＝2250（cm3）， 答：这个长方体的体积为2250cm3． 5. 将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：将下列平面图形绕轴旋转一周， A．能得到图中所示的立体图形，故A符合题意； B．能得到圆台，故B不符合题意； C．能得到圆柱，故C不符合题意； D．能得到圆锥，故D不符合题意； 故选：A． 6. 在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【解答】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线， 故选：A． 7. 电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【解答】解：说明了线动成面， 故选：B． 8. 嘉嘉发现某酒店大堂的旋转门内部是由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成的，这让她想起了七年级数学第一章《丰富的图形世界》里的知识，并提出了以下问题，你能帮她解决吗？ （1）将此旋转门的一块玻璃隔板旋转一周，能形成的几何体是　圆柱　 ； （2）（1）中的现象用数学知识解释为C （填选项）； A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 （3）求该旋转门的一块玻璃隔板旋转一周形成的几何体的体积（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）． 【答案】（1）圆柱； （2）C； （3）12πm3． 【解答】解：（1）将此旋转门的一块玻璃隔板旋转一周，能形成的几何体是圆柱； 故答案为：圆柱； （2）（1）中的现象用数学知识解释为面动成体； 故选：C； （3）π×22×3＝12π（m3）， 答：形成的几何体的体积是12πm3． 9. 五棱柱的顶点数、面数和棱数分别是（　　） A．10，9，15 B．8，7，15 C．10，7，15 D．8，8，16 【答案】C 【解答】解：一个五棱柱的面数为7； 顶点数分别为10，棱数为15． 故选：C． 10. 十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则x+y＝ 　16　 ． 【答案】16． 【解答】解：∵多面体有28个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴多面体共有28×3÷2＝42条棱， 由顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2， 得28+f﹣42＝2，解得f＝16， ∴x+y＝16． 故答案为：16． 11. 阅读下面的材料： 1750年，欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V、E、F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现，就是著名的欧拉定理． 根据所阅读的材料，完成： 据百度百科介绍：C60是一种由60个碳原子构成的分子，这种分子的微观结构是个多面体，形似足球，故名足球烯．C60具有金属光泽，有许多优异性能，如超导、强磁性、耐高压、抗化学腐蚀等，在光、电、磁等领域有潜在的应用前景．已知足球烯的分子具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形．那么，这种多面体的棱数是　90　 ． 【答案】90 【解答】解：根据欧拉定理得，60﹣E+32＝2， 解得E＝90． 故答案为90． 12. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　6　 长方体 8 6 12 正八面体 　6　 8 12 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2　 ； （2）如图，正十二面体，它的棱数比顶点数大　10　 ； （3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面八边形的个数． 【答案】（1） 填表如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 ∵4+4﹣6＝2；8+6﹣12＝2；6+8﹣12＝2；V+F﹣E＝2； （2）10； （3）4． 【解答】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 ∵4+4﹣6＝2；8+6﹣12＝2；6+8﹣12＝2； 故顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2； 故答案为：V+F﹣E＝2； （2）∵正十二面体有12个面，即F＝12， ∴V+F﹣E＝V+12﹣E＝2， ∴V﹣E＝﹣10，即E﹣V＝10， ∴正十二面体的棱数比顶点数大10； 故答案为：10； （3）外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱． ∵多面体共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴多面体共有24×3÷2＝36（条）棱，即：E＝36， ∴V+F﹣E＝24+F﹣36＝2， ∴F＝14， 设该多面体外表面八边形的个数为x，则该多面体外表面三角形的个数为2x+2，由题意，x+2x+2＝14，解得x＝4； 故该多面体外表面八边形的个数为4． 13. 下面的几何体中，哪一个不能由平面图形绕某直线旋转一周得到（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．因为正方体不能由由一个平面图形绕某直线旋转一周得到，故A选项符合题意； B．因为球体可以由一个圆绕一条直径旋转一周得到，故B选项不符合题意； C．因为圆锥可以由一个直角三角形绕一条直角边旋转一周得到，故C选项不符合题意； D．因为圆柱可以由一个长方形绕一条边旋转一周得到，故D选项不符合题意． 故选：A． 14. 下面几种几何图形中，属于平面图形的有（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：由有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形可得： ①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形． 故选：D． 15. 如图，圆环中外圆周长比内圆周长长2πm，则外圆的半径比内圆的半径大 　1　 m． 【答案】1． 【解答】解：设内圆的周长为l，则外圆周长l+2π， 根据题意得：1， 则外圆的半径比内圆的半径长1m． 故答案为：1． 16. 如图是一个台灯． （1）画出灯罩的平面直观图； （2）将灯罩沿一条装饰线（图中的实线）剪开，得到的平面图形是 D ． 【答案】（1）如图， （2）D． 【解答】解：（1）如图， （2）将灯罩沿一条装饰线（图中的实线）剪开，得到的平面图形是扇面， 故答案为：D． 学科网（北京）股份有限公司 $