专题 4.3 用一元一次方程解决问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题 4.3 用一元一次方程解决问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 2 【知识点二】几类基础问题核心公式 2 【知识点三】设元方法与解题技巧 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】和差倍分与分配问题 3 【题型 2】配套与比例问题 4 【题型 3】工程问题 4 【题型 4】基础行程问题 5 四.题型精析（综合提升） 6 【题型 5】销售利润（打折盈亏）问题 6 【题型 6】数字与日历问题（间接设元） 7 【题型 7】分段计费问题（高频难点） 8 【题型 8】方案选择与综合调配问题 9 五.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 19．（本小题满分8分） 14 20．（本小题满分8分） 14 21．（本小题满分10分） 14 22．（本小题满分10分） 14 23．（本小题满分10分） 14 24．（本小题满分12分） 15 一.学习目标 1. 掌握列一元一次方程解决实际问题的完整步骤：审、找、设、列、解、验、答，理解每一步的要求。 2. 会区分直接设元、间接设元，能用代数式表达题目中的各类数量。 3. 熟练掌握常见应用模型：和差倍分、配套、工程、行程、销售利润、数字与比例问题。 4. 学会用线段示意图、列表法梳理复杂数量关系；懂得双重检验：检验方程解，同时检验结果是否符合现实实际意义，舍去不合理的解。 5. 能够处理分段计费、简单方案选择综合题型，提升数学建模能力。 二.知识梳理与解读 【知识点一】用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 步骤 操作要点 易错提醒 审 读懂题意，分清已知量、未知量，划出关键语句，找出等量关系 不要读完题直接套数，等量关系是解题核心 设 设未知数，可以直接设（求什么设什么），也可以间接设；带上单位 设未知数时写清单位；代数式单位要统一 列 用含未知数的代数式表示相关量，依据等量关系列出一元一次方程 方程两边量要同类，单位保持一致 解 解一元一次方程，求出未知数的值 计算细心，注意去分母、去括号符号问题 验 双重检验：①代入方程检验是否为方程的解；②检验解是否符合生活实际，不符合则舍去 人数、物品件数不能为负数、小数 答 写出完整答句，带上单位 答要和问题保持对应，不要漏写单位 关键：找等量关系。常用手段：抓关键词（共、比… 多、比… 少、等于）；借助公式；画线段图；列表整理信息。 【知识点二】几类基础问题核心公式 1. 和差倍分问题 增长量=原有量 × 增长率；现有量=原有量±增长量；关键词：倍数、多、少、总和。 2. 配套问题：抓住配套比例，两种部件数量满足固定倍数关系。 3. 工程问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间；没有给出总工作量时，通常把总工作量看作； 等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量。 3. 行程问题 路程 = 速度 × 时间； 相遇问题：两者路程之和=总路程；追及问题：快者路程−慢者 路程 = 路程差；航行：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=水速度−水流速度。 5. 销售利润问题 利润 = 售价 − 进价； 利润率； 售价 = 标价； 售价 = 进价利润率。 【知识点三】设元方法与解题技巧 1. 直接设元：题目问什么，就设什么为，大部分基础题使用。 2. 间接设元：直接设元列式复杂，设中间量为未知数，求出后再计算最终结果（常见数字问题、比例问题）。 3. 复杂题目优先用列表法、线段示意图梳理数量，降低理解难度。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】和差倍分与分配问题 解题要点：抓住 “总和、比… 多、比… 少” 找等量关系。 【例题1】（26-27七年级上·全国·课后作业）一天，东东去问爸爸的年龄，爸爸说：“我的年龄是你年龄的3.5倍，咱们俩的年龄和是54岁！” （1）东东和爸爸各多少岁？ （2）东东又去询问了妈妈和奶奶的年龄，请你仿照上述例题，编写一道与妈妈和奶奶年龄有关的试题，并解答．（要求：用到合并同类项解方程） 【变式1】（25-26七年级上·广东佛山·期末）某快递站的包裹准备分配给若干快递员派送，如果每位快递员派送35件包裹，则会有20件包裹无人派送．如果每位快递员派送40件包裹，则差15件包裹才够分配．若设快递员有人，包裹件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）爱心企业发放一批慰问品，若每户分份，还多份；今年慰问品发放的对象增加到原来的倍少户，若按每户分份发放，还缺份．这批慰问品共有____________份． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）在手工制作课上，老师组织初一（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．初一（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个． （1）初一（2）班有男生、女生各多少人？ （2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【题型 2】配套与比例问题 解题要点：根据配套比例，列部件数量等式。 【例题2】（26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． （1）1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ （2）该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【变式3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： （1）原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ （2）若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【题型 3】工程问题 解题要点：总工作量视为 1；合作：各工作量相加等于总工作量。 【例题3】（26-27七年级上·全国·课后作业）某地为打造绿地公园，现有一段河道整治任务由，两个工程队完成．工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入一起完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？ （1）根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下： 小明：； 小红：． 请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容． 小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ． （2）A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程） 【变式1】（26-27六年级上·上海·开学考试）一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 【变式2】（25-26六年级下·山东泰安·期中）为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需小时，乙组单独布置需小时，如果甲、乙两组合作了小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为______________________． 【变式3】（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． （1）甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ （2）已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【题型 4】基础行程问题 解题要点：分清相遇、追及，借助线段图理清路程。 【例题4】（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发，抵达乙景点之后立即返回，共用3小时，已知第三小时比第一小时少行12千米，那么这条河的水流速度为每小时________千米． 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）周末，小明和爸爸骑车去郊外游玩，他们同时从家出发，沿相同的路线分别以10千米/时和12千米/时的速度一直骑行，爸爸骑行了11千米后发现小明没跟上，立刻回头去找小明，往回骑行的速度还是12千米/时，不一会儿，就遇到了小明，此时小明骑行了多长时间？ 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】销售利润（打折盈亏）问题 易错：区分进价、标价、售价；利润率以进价为基数。 【例题5】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． （1）求购进A，B两种玩偶各多少个？ （2）A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）被誉为“世界第八大奇迹”的兵马俑吸引了众多游客前来参观．该景区某文创店计划打折销售一款跪射俑摆件，如果按标价的五折出售，每个跪射俑摆件亏损10元；如果按标价的八折出售，每个跪射俑摆件盈利14元，这款跪射俑摆件每个的标价为______元． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． （1）若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ （2）若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【题型 6】数字与日历问题（间接设元） 解题要点：两位数；日历上下行相差 7。 【例题6】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图是有关的代数式的方阵，若第6行第2项的值为327，则此时的值为（     ） A．1 B．2 C．5 D．10 【变式2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图1是2025年元月的日历，用图2中的“工”字型图案盖住图1中的7个数，若“工”字型图案盖住的7个数的和为154，则“工”字图中最大的数为______． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图是2023年一月份的日历： （1）若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； （2）请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； （3）用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【题型 7】分段计费问题（高频难点） 关键点：找到分界点，不同区间单价不同。 【例题7】（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； （1）表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； （2）若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 【变式2】（2026·福建泉州·二模）节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 （1）李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ （2）赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【题型 8】方案选择与综合调配问题 思路：先用方程求出费用相等临界点，再对比不同方案结果。 【例题8】（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． （1）小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【变式1】（25-26七年级上·全国·周测）某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿，每人竿，多竿；每人竿，恰好分完．”则牧童有________人． 【变式3】（2026七年级上·全国·专题练习）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． （1）七年级（2）班有男生、女生各多少人？ （2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·山西吕梁·一模）某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（2026七年级上·全国·专题练习）某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们．若每人送3本，则还剩余8本；若每人送5本，则还缺少2本，求该校的获奖人数．小兰在解此题时，设该校的获奖人数为，列出方程为．小兰列此方程的等量关系的依据是（     ） A．获奖的学生人数不变 B．课外读物的总本数不变 C．每个人得到的课外读物的本数不变 D．剩余的课外读物的本数不变 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）下图是某月的月历表，从表的竖列任取三个数相加，不可能得到的是（     ） A．30 B．42 C．36 D．20 8．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）小美决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（     ） A．0 B．1 C．4 D．5 9．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有（    ） A．20位 B．25位 C．30位 D．35位 10．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如图，魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用红筹代表正数，用黑筹代表负数．在由红、黑筹组成的筹算盘中，规定一根红筹记为，一根黑筹记为，筹算盘所表示的数为其所有筹对应数值之和，称为“筹值”．定义一种“赤黑正负术”运算，具体步骤为：第一步，观察当前筹算盘的筹值，若筹值为正，则将盘中所有红筹的数量变为原来的两倍；若筹值为负，则将盘中所有黑筹的数量变为原来的两倍；若筹值为零，则所有筹的数量都变为原来的两倍．第二步：将盘中所有的红筹变为黑筹，所有的黑筹变为红筹．现有一个筹算盘，初始筹值的绝对值为，小张对其连续进行两次“赤黑正负术”运算后，筹算盘上的筹总数为根．若最终筹算盘的筹值为正数，则初始筹算盘中红筹的数量为（） A．根 B．根 C．根 D．或根 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿，按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成．小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成？若设还需x小时完成，由题意，可列方程为：________________． 12．（2026·陕西渭南·一模）第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 13．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）将化成最简分数是______． 14．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M从点A出发，沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度，运动时间为秒．当线段的长为4个单位长度时，的值为_____． 15．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 16．（24-25七年级上·河南安阳·期末）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得______枚银牌． 17．（26-27七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得94钱，则出租的田有________亩． 18．（26-27七年级上·山西晋城·阶段检测）如图1，有四个钩码，钩码的实际质量与标准质量存在差值（超出标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数），将四个钩码平均分为两组，将两组钩码分别放入图2天平的两侧，天平保持平衡，则钩码①应与钩码___________（填序号）分为一组． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27八年级上·全国·阶段检测）工程应用题： 某工程队承接一项修路工程，实际每天修路的长度是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．已知原计划每天修路100米，求这项工程的总修路长度． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东烟台·期末）烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 （1）求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ （2）销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 22．（本小题满分10分）（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）为改善生态环境，植树节五、六年级的同学参加植树活动，学校买回的树苗按下列方法分配到各班，第一个班取走了100棵，又取走余下的，第二个班取走200棵，又取走余下的，第三个班取走300棵，又取走余下的，……，如此下去，最后全部的树苗被各班取完，而且各班所得到的树苗棵数相等，那么有多少树苗？有几个班参加植树活动？ 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读并解决相应问题： 【问题发现】 在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于s，则称点P为点A、B的“s和点”，如图1，若点P表示的数为，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5和点” （1）填空：如图2，若点P表示的数为1，则s的值为 ． 【类比探究】类比探究 （2）若点Q为数轴上点A、B的“7和点”，求点Q对应的数； 【拓展延伸】 （3）若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点A的距离等于点P到点B的距离的，且此时点P为点A、B的“s的和点”，求点P表示的数及s的值． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． （1）若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ （2）若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ （3）在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.3 用一元一次方程解决问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 2 【知识点二】几类基础问题核心公式 2 【知识点三】设元方法与解题技巧 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】和差倍分与分配问题 3 【题型 2】配套与比例问题 6 【题型 3】工程问题 8 【题型 4】基础行程问题 11 四.题型精析（综合提升） 13 【题型 5】销售利润（打折盈亏）问题 13 【题型 6】数字与日历问题（间接设元） 15 【题型 7】分段计费问题（高频难点） 18 【题型 8】方案选择与综合调配问题 21 五.同步检测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 34 19．（本小题满分8分） 34 20．（本小题满分8分） 34 21．（本小题满分10分） 35 22．（本小题满分10分） 36 23．（本小题满分10分） 37 24．（本小题满分12分） 39 一.学习目标 1. 掌握列一元一次方程解决实际问题的完整步骤：审、找、设、列、解、验、答，理解每一步的要求。 2. 会区分直接设元、间接设元，能用代数式表达题目中的各类数量。 3. 熟练掌握常见应用模型：和差倍分、配套、工程、行程、销售利润、数字与比例问题。 4. 学会用线段示意图、列表法梳理复杂数量关系；懂得双重检验：检验方程解，同时检验结果是否符合现实实际意义，舍去不合理的解。 5. 能够处理分段计费、简单方案选择综合题型，提升数学建模能力。 二.知识梳理与解读 【知识点一】用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 步骤 操作要点 易错提醒 审 读懂题意，分清已知量、未知量，划出关键语句，找出等量关系 不要读完题直接套数，等量关系是解题核心 设 设未知数，可以直接设（求什么设什么），也可以间接设；带上单位 设未知数时写清单位；代数式单位要统一 列 用含未知数的代数式表示相关量，依据等量关系列出一元一次方程 方程两边量要同类，单位保持一致 解 解一元一次方程，求出未知数的值 计算细心，注意去分母、去括号符号问题 验 双重检验：①代入方程检验是否为方程的解；②检验解是否符合生活实际，不符合则舍去 人数、物品件数不能为负数、小数 答 写出完整答句，带上单位 答要和问题保持对应，不要漏写单位 关键：找等量关系。常用手段：抓关键词（共、比… 多、比… 少、等于）；借助公式；画线段图；列表整理信息。 【知识点二】几类基础问题核心公式 1. 和差倍分问题 增长量=原有量 × 增长率；现有量=原有量±增长量；关键词：倍数、多、少、总和。 2. 配套问题：抓住配套比例，两种部件数量满足固定倍数关系。 3. 工程问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间；没有给出总工作量时，通常把总工作量看作； 等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量。 3. 行程问题 路程 = 速度 × 时间； 相遇问题：两者路程之和=总路程；追及问题：快者路程−慢者 路程 = 路程差；航行：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=水速度−水流速度。 5. 销售利润问题 利润 = 售价 − 进价； 利润率； 售价 = 标价； 售价 = 进价利润率。 【知识点三】设元方法与解题技巧 1. 直接设元：题目问什么，就设什么为，大部分基础题使用。 2. 间接设元：直接设元列式复杂，设中间量为未知数，求出后再计算最终结果（常见数字问题、比例问题）。 3. 复杂题目优先用列表法、线段示意图梳理数量，降低理解难度。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】和差倍分与分配问题 解题要点：抓住 “总和、比… 多、比… 少” 找等量关系。 【例题1】（26-27七年级上·全国·课后作业）一天，东东去问爸爸的年龄，爸爸说：“我的年龄是你年龄的3.5倍，咱们俩的年龄和是54岁！” （1）东东和爸爸各多少岁？ （2）东东又去询问了妈妈和奶奶的年龄，请你仿照上述例题，编写一道与妈妈和奶奶年龄有关的试题，并解答．（要求：用到合并同类项解方程） 【答案】（1）东东12岁，爸爸42岁；（2）示例：奶奶说：“我比你妈妈大27岁．”妈妈说：“我与奶奶的年龄和再加上我与你的年龄和刚好是你与爸爸年龄和的3倍！”问：妈妈和奶奶各多少岁？ 妈妈的年龄为41岁，奶奶的年龄为68岁 【分析】（1）根据题意列出一元一次方程，即可解答； （2）先写出示例，然后根据示例，列出一元一次方程，即可解答． （1）解：设东东的年龄是岁，则爸爸的年龄是岁， 由题意得，， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴， 答：东东12岁，爸爸42岁； （2）解：示例：奶奶说：“我比你妈妈大27岁．”妈妈说：“我与奶奶的年龄和再加上我与你的年龄和刚好是你与爸爸年龄和的3倍！”问：妈妈和奶奶各多少岁？ 由（1）可得，东东的年龄为12岁，爸爸的年龄为42岁， 设妈妈的年龄为岁，则奶奶的年龄为岁， 根据题意，得， 合并同类项，得， 解得， ∴， 答：妈妈的年龄为41岁，奶奶的年龄为68岁． 【变式1】（25-26七年级上·广东佛山·期末）某快递站的包裹准备分配给若干快递员派送，如果每位快递员派送35件包裹，则会有20件包裹无人派送．如果每位快递员派送40件包裹，则差15件包裹才够分配．若设快递员有人，包裹件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系：快递员数量不变是解决问题的关键．根据题意，包裹总数y与快递员人数x的关系为：第一种情况，第二种情况，由于x相同，联立方程可得关于y的方程． 解： ∵ 每位快递员派送35件包裹，有20件无人派送， ∴，即， ∵ 每位快递员派送40件包裹，差15件才够分配， ∴，即， ∴ ． 故选：C． 【变式2】（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）爱心企业发放一批慰问品，若每户分份，还多份；今年慰问品发放的对象增加到原来的倍少户，若按每户分份发放，还缺份．这批慰问品共有____________份． 【答案】 【分析】设原来发放对象的户数为未知数，利用慰问品总数不变建立等量关系，列一元一次方程求解． 解：设原来发放对象共有户， 每户分份还多份， 这批慰问品总数为份， 今年发放对象为原来的倍少户，即户数为户，按每户分份发放还缺份， 慰问品总数可表示为份， 根据慰问品总数相等列方程得：， 展开整理得：， 解得 ， 将代入， 得， 即这批慰问品共有份． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）在手工制作课上，老师组织初一（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．初一（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个． （1）初一（2）班有男生、女生各多少人？ （2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】（1）初一（2）班有男生人、女生人；（2）应该分配剪筒身的学生为人，分配剪筒底的为人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）设初一（2）班有女生人，则利用男生的人数比女生人数的倍少人，得出等式方程求出即可； （2）利用每名学生每小时剪筒身个或剪筒底个以及筒身配两个筒底，得出等式方程求出即可． （1）解：设初一（2）班有女生人， 依据题意得出：， 解得：，则， 答：初一（2）班有男生人、女生人； （2）解：设分配剪筒身的学生为人， 依据题意得出：， 解得：，则． 答：应该分配剪筒身的学生为人，分配剪筒底的为人． 【题型 2】配套与比例问题 解题要点：根据配套比例，列部件数量等式。 【例题2】（26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． （1）1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ （2）该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 【答案】（1）用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套；（2）B小组还需要8天才能完成全部订单 【分析】（1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列方程求解即可； （2）设B小组还需要天才能完成全部订单，根据题意列方程求解即可． （1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意得， 解得， ∴做盒底的铁皮为（张）． 答：用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； （2）解：设B小组还需要天才能完成全部订单． 根据题意得， 解得， 答：B小组还需要8天才能完成全部订单． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，每天生产螺栓个，生产螺母个， 根据1个螺栓配2个螺母，恰好配套可得方程． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【答案】20 【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数． 解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余； 则猴老二取走较多部分，猴老三得到； 由题意得，， ， ， 解得， 所以猴老二取走个桃子， 故答案为20． 【变式3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： （1）原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ （2）若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【答案】（1）原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人；（2）租用7辆70座客车合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． （1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 【题型 3】工程问题 解题要点：总工作量视为 1；合作：各工作量相加等于总工作量。 【例题3】（26-27七年级上·全国·课后作业）某地为打造绿地公园，现有一段河道整治任务由，两个工程队完成．工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入一起完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？ （1）根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下： 小明：； 小红：． 请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容． 小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ． （2）A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程） 【答案】（1）1，；（2）A工程队一共做了12天 【分析】（1）根据总量为单位“1”和B工程队的工作时间即可求解； （2）设A工程队一共做了天，根据题意列方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：设A工程队一共做了天， 根据题意，得， 解得． 答：A工程队一共做了12天． 【变式1】（26-27六年级上·上海·开学考试）一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 【答案】A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 【变式2】（25-26六年级下·山东泰安·期中）为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需小时，乙组单独布置需小时，如果甲、乙两组合作了小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为______________________． 【答案】 【分析】把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲、乙两组合作了2小时后，剩下的任务由乙组单独完成，”列出方程即可． 解：设乙单独完成剩下的任务还需要x小时， 由题意得∶ ． 【变式3】（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． （1）甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ （2）已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】（1）甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作；（2）甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． （1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 【题型 4】基础行程问题 解题要点：分清相遇、追及，借助线段图理清路程。 【例题4】（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 【答案】（1）小华用能追上小明；（2）小华起跑后两人首次相遇 【分析】（1）设小华用能追上小明，根据题意列一元一次方程求解； （2）设小华起跑后两人首次相遇，根据题意列一元一次方程求解． （1）解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明； （2）解：设小华起跑后两人首次相遇， 根据题意得， 解得 答：小华起跑后两人首次相遇． 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】火车匀速行驶，通过隧道的总路程为隧道长度加火车自身长度，根据路程速度时间的关系，可先求出火车速度，再计算火车长度． 解：设火车速度为米/秒，火车长度为米， ∵火车从车头进入入口到车尾离开出口行驶的总路程为隧道长加火车自身长度， ∴根据题意可得：， 两式相减得：，解得：米/秒， 将代入，得：． ∴火车长度为． 【变式2】（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发，抵达乙景点之后立即返回，共用3小时，已知第三小时比第一小时少行12千米，那么这条河的水流速度为每小时________千米． 【答案】 【分析】根据题意，第三小时比第一小时少行12千米，所以第一小时先顺水后逆水，第三小时是逆水；其次，如果第一小时的路程小于15千米，那么第三小时的路程小于3千米，后面两小时返程的总路程不可能达到15千米，无法回到甲地．所以，第一小时的路程大于15千米，后面两小时都是逆水航行．假设后面两小时的路程都是x千米，有，解得，即逆水速度是6千米/小时，那么第一小时里逆水航行的时间为：（小时），顺水航行的时间为：（小时），所以顺水速度为：（千米/时），那么这条河的水流速度为：（千米/小时）． 解：设后面两小时的路程都是x千米，则， ， ， （小时）， （小时）， （千米/小时）， （千米/小时）， 答：这条河的水流速度为每小时12千米． 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）周末，小明和爸爸骑车去郊外游玩，他们同时从家出发，沿相同的路线分别以10千米/时和12千米/时的速度一直骑行，爸爸骑行了11千米后发现小明没跟上，立刻回头去找小明，往回骑行的速度还是12千米/时，不一会儿，就遇到了小明，此时小明骑行了多长时间？ 【答案】小明骑行了1小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先设会合时他们骑行了小时，利用路程等于速度乘以时间，结合两人的路程之和为，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：设小明骑行了小时，根据题意，得 解这个方程，得 答：小明骑行了1小时． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】销售利润（打折盈亏）问题 易错：区分进价、标价、售价；利润率以进价为基数。 【例题5】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． （1）求购进A，B两种玩偶各多少个？ （2）A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】（1）购进A种玩偶个，B种玩偶个；（2）B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． （1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由进价表示出标价与实际售价，再根据利润售价进价的等量关系列方程． 解：设这种商品每件的进价是元， ∵ 按进价提高后标价， ∴ 标价为元， ∵ 以九折优惠卖出， ∴ 实际售价为元， ∵ 每件获利元， ∴ ． 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）被誉为“世界第八大奇迹”的兵马俑吸引了众多游客前来参观．该景区某文创店计划打折销售一款跪射俑摆件，如果按标价的五折出售，每个跪射俑摆件亏损10元；如果按标价的八折出售，每个跪射俑摆件盈利14元，这款跪射俑摆件每个的标价为______元． 【答案】80 【分析】设出摆件标价，根据进价不变建立等量关系，列出一元一次方程求解即可． 解：设这款跪射俑摆件每个的标价为元，该摆件进价固定不变． 根据题意列方程： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． （1）若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ （2）若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【答案】（1）购进、两种电视机各台；（2）应选择购进种电视机台，种电视机台 【分析】（1）设购进A种电视机台，则B种为台，列方程求解即可； （2）求出两种方案的利润，再比较即可． （1）解：设购进种电视机 台，则购进种电视机台， 由题意得，， 解得， 所以， 答：购进、两种电视机各台； （2）解：若购进、两种电视机各台，可获利（元） 若购进种电视机台，种电视机台，可获利（元） 因为， 所以为了获利最多，应选择方购进种电视机台，种电视机台． 【题型 6】数字与日历问题（间接设元） 解题要点：两位数；日历上下行相差 7。 【例题6】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为：20、31、42、53、64、75、86、97 【分析】先设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为，再根据题意列出方程，最后结合数位特征，进行解答即可． 解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为， 由题意得，， 化简得，，等式恒成立， 结合数位特征：个位数字x的取值范围是， 原来的两位数为∶ 20、31、42、53、64、75、86、97． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图是有关的代数式的方阵，若第6行第2项的值为327，则此时的值为（     ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】由方阵可以看出第行第2项的第一个数为，第二个数是，由题意列出方程，求得的数值即可． 解：第行第2项为，则第一个数为，第二个数是， 第行第2项为，则第一个数为，第二个数是， 第行第2项为，则第一个数为，第二个数是， 第行第2项为，则第一个数为，第二个数是， …… 第行第2项的第一个数为，第二个数是，则第行第2项为， ∵第6行第2项的值为327， ∴，即， 解得． 【变式2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图1是2025年元月的日历，用图2中的“工”字型图案盖住图1中的7个数，若“工”字型图案盖住的7个数的和为154，则“工”字图中最大的数为______． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设“工”字图中最大的数为x，根据日历的特点用含x的式子表示出其它6个数，再根据这7个数的和为154建立方程求解即可． 解：设“工”字图中最大的数为x，则其它6个数分别为， 由题意得，， 解得， ∴“工”字图中最大的数为30， 故答案为：30． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图是2023年一月份的日历： （1）若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； （2）请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； （3）用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【答案】（1）；（2） “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是， 根据题意得：， 解得， 此时最大的数是， 而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）140 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示其它六个数． （1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，，相加即可得到答案； （2）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，得：，解得，最大的数是，而日历中没有32，故“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为． （1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）略 （3）解：年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， 当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为， 故答案为：140． 【题型 7】分段计费问题（高频难点） 关键点：找到分界点，不同区间单价不同。 【例题7】（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； （1）表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； （2）若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】（1）；；（2）老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； （1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 【答案】B 【分析】设小明家六月用水吨. 根据题意列出方程求解即可． 解：设小明家六月用水吨， ∵， ∴ 由题意得 去括号得， 移项合并得 解得 应缴水费为元． 【变式2】（2026·福建泉州·二模）节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 【答案】 【分析】先根据题目条件判断小明家水费符合第一、第二档的分段计价规则，再根据“总水费第一档水费第二档水费”的等量关系列出关于的一元一次方程，最后解方程得到的值． 解：∵小明家上月用水未超过， ∴水费仅涉及第一档和第二档计价： 第一档用水量为， 第二档用水量为， 结合总水费列一元一次方程：， 整理得：， 解得． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 （1）李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ （2）赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】（1）1133.20元；（2）500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 【题型 8】方案选择与综合调配问题 思路：先用方程求出费用相等临界点，再对比不同方案结果。 【例题8】（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． （1）小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】（1）一共去了成人8人，学生12人；（2）购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． （1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 【变式1】（25-26七年级上·全国·周测）某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 【答案】A 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，正确计算出降价最多的方案是解题的关键． 根据题意分别表示出降价后的售价，再用原售价-降价后的售价，再比较大小即可得到降价最多的方案，再根据降价最多的方案降了37元，列出方程求解即可． 解：方案一：， 方案二：， 方案三：， ∵， ∴， ∴方案一降价最多． 由题意得：， 解得：． 故选：A． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿，每人竿，多竿；每人竿，恰好分完．”则牧童有________人． 【答案】 【分析】设牧童人数为，根据竹竿总数不变建立等量关系，列一元一次方程求解即可． 解：设有牧童人， 根据题意可得， 整理得， 解得， 故牧童共有人． 【变式3】（2026七年级上·全国·专题练习）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． （1）七年级（2）班有男生、女生各多少人？ （2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】（1）男生24人，女生26人；（2）不配套；从男生中抽调4人去支援女生 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设七年级2班有女生人，根据七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，列出方程进行求解即可； （2）设从男生中调y人去支援女生，根据一个筒身配两个筒底，列出方程进行求解即可． 解：（1）解∶ 设七年级2班有女生人，则有男生人． 由题意，得 解得： ∴， 答：七年级（2）班有男生24人，女生26人． （2）男生每小时剪出筒底数为：（个） 女生每小时剪出筒身数为 （个） 因为，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套． 设从男生中调y人去支援女生，根据题意： 得， 解得∶ 答：应从男生中抽调4人去支援女生，才能使剪出的筒身筒底刚好配套． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设B种型号的笔记本有本，则C种型号的有本，根据单价数量费用列方程，将看作已知数求解即可． 解：设B种型号的笔记本有本，则C种型号的有本， 根据题意得，， 去括号得，， 合并同类项得，， 移项得，， 系数化为1得，． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将配套关系转化为螺母总数量是螺钉总数量2倍的等量关系，据此列方程． 解：∵生产螺钉的工人数为人， ∴生产螺母的工人数为人， ∴每天生产螺钉总数为个，生产螺母总数为个． ∵1个螺钉配2个螺母，即螺母总数量是螺钉总数量的2倍， ∴． 3．（2026·山西吕梁·一模）某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 4．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，根据图形构造方程即可求解． 解：设正方形的边长为， 则第一个长条的长为，第二个长条的长为， 根据题意得：， 解得， ∴长条的面积为：． 5．（2026七年级上·全国·专题练习）某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们．若每人送3本，则还剩余8本；若每人送5本，则还缺少2本，求该校的获奖人数．小兰在解此题时，设该校的获奖人数为，列出方程为．小兰列此方程的等量关系的依据是（     ） A．获奖的学生人数不变 B．课外读物的总本数不变 C．每个人得到的课外读物的本数不变 D．剩余的课外读物的本数不变 【答案】B 【分析】从方程两边代数式的实际意义入手，寻找不变量． 解：设获奖人数为， 方程中，表示每人送3本时课外读物的总本数，表示每人送5本时课外读物的总本数， 二者相等的依据是课外读物的总本数不变． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，将总路程设为单位1，得到甲乙的速度，理清两人行走时间，根据相遇时路程和等于总路程即可列方程． 解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需日，乙走完全程需日， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∵设乙出发日后甲乙相逢， ∴乙行走时间为日，甲行走时间为日， 相遇时两人路程和等于总路程， 故可列方程：． 7．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）下图是某月的月历表，从表的竖列任取三个数相加，不可能得到的是（     ） A．30 B．42 C．36 D．20 【答案】D 【分析】设取的最小数为x，则其他两个数分别为，令这三个数的和分别为对应选项中的数，建立方程求解即可． 解：设取的最小数为x，则其他两个数分别为， ∴这三个数的和为， 当时，解得，符合月历表，故A不符合题意； 当时，解得，符合月历表，故B不符合题意； 当时，解得，符合月历表，故C不符合题意； 当时，解得，不符合月历表，故D符合题意； 8．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）小美决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（     ） A．0 B．1 C．4 D．5 【答案】B 【分析】用分别表示方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为，根据题意列出相应的式子即可求解． 解：如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， ∵四个可能的正方形内的各数的总和相同， ∴， 即， ∴， 同理，， 即， ∴， ∴第四个角落的单元格里的数为1． 9．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有（    ） A．20位 B．25位 C．30位 D．35位 【答案】A 【分析】本题考查容斥原理的应用，通过分析各球类会的人数与总人数的重复计算部分，求解仅会两种球类的老师人数，理解题意是解题关键 解：设会且仅会两种球类的老师有x位 ∵会乒乓球、羽毛球、篮球的老师人数总和为位，至少会一种球类的老师有80位，三种球都会的老师在统计中被重复计算2次，仅会两种球类的老师被重复计算1次 ∴即 解得：， 故选：A 10．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如图，魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用红筹代表正数，用黑筹代表负数．在由红、黑筹组成的筹算盘中，规定一根红筹记为，一根黑筹记为，筹算盘所表示的数为其所有筹对应数值之和，称为“筹值”．定义一种“赤黑正负术”运算，具体步骤为：第一步，观察当前筹算盘的筹值，若筹值为正，则将盘中所有红筹的数量变为原来的两倍；若筹值为负，则将盘中所有黑筹的数量变为原来的两倍；若筹值为零，则所有筹的数量都变为原来的两倍．第二步：将盘中所有的红筹变为黑筹，所有的黑筹变为红筹．现有一个筹算盘，初始筹值的绝对值为，小张对其连续进行两次“赤黑正负术”运算后，筹算盘上的筹总数为根．若最终筹算盘的筹值为正数，则初始筹算盘中红筹的数量为（） A．根 B．根 C．根 D．或根 【答案】C 【分析】设初始红筹数量为，然后分初始筹值为正和初始筹值为负两种情况讨论求解即可． 解：设初始红筹数量为， 我们分两种初始情况讨论： 情况1：初始筹值为正，则黑筹数量为 第一次运算第一步：筹值为正，红筹数翻倍，变为，黑筹数仍为； 第一次运算第二步：红黑互换，新红筹数为，新黑筹数为， 此时第一次运算后的筹值为； 第二次运算第一步：筹值为负，黑筹数翻倍，此时红筹数为，黑筹数变为； 第二次运算第二步：红黑互换，最终红筹数为，黑筹数为， 则． 解得， ∴， 最终筹值为，符合要求． 情况2：初始筹值为负，则黑筹数量为， 第一次运算第一步：筹值为负，黑筹数翻倍，红筹数仍为，黑筹数变为； 第一次运算第二步：红黑互换，新红筹数为，新黑筹数为， 此时第一次运算后的筹值为，筹值为； 第二次运算第一步：筹值为正，红筹数翻倍，此时红筹数变为，黑筹数为x； 第二次运算第二步：红黑互换，最终红筹数为，黑筹数为， 总筹数为． 则， 解得， 最终筹值为，不符合“最终筹值为正数”的要求，舍去该情况． 因此初始红筹数量为11根． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿，按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成．小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成？若设还需x小时完成，由题意，可列方程为：________________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的工程问题应用，解题思路为将总工作量看作单位1，先求出两人的工作效率，再根据总工作量等于各部分工作量之和列方程． 解：将总工作量看作单位， ∴老师的工作效率为，小亮的工作效率为， ∴小亮先录入，完成的工作量为， ∴两人共同录入小时，完成的工作量为， ∴列方程得：． 12．（2026·陕西渭南·一模）第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 【答案】42 【分析】设安安答错了道题，则答对了道题，根据总题数为50道建立等量关系，列方程求解即可． 解：设安安答错了道题，则答对了道题， 根据题意，得， 解得， 则答对题数为（题）． 13．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）将化成最简分数是______． 【答案】 【分析】设未知数表示该循环小数，利用循环节长度构造等式消去循环部分，再约分得到最简分数． 解：设， ∵循环节为2位，将等式两边同乘得 ， ∴两式相减得， 整理得， 解得， 即化成最简分数为． 14．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M从点A出发，沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度，运动时间为秒．当线段的长为4个单位长度时，的值为_____． 【答案】6或10 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值方程的应用．根据题意可知当运动时间为t秒时，点M表示的数为，列出绝对值方程求解即可． 解：∵点M从点A出发沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度， ∴当运动时间为t秒时，点M表示的数为， ∵， 则， 即或， 解得：或，即t的值为6或10． 故答案为：6或10． 15．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设实际用水量为x吨，根据收费标准列出方程求解． 解：∵， ∴该居民这个月实际用水超过15吨， 设实际用水量为x吨， 依题意，得， 即， 整理得， 解得， 因此． 故答案为：22． 16．（24-25七年级上·河南安阳·期末）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得______枚银牌． 【答案】27 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌，然后根据三种奖牌的总和为91枚列方程求解即可． 解：设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌， 由题意可得：，解得：． 所以中国体育代表团在本届奥运会获得27枚银牌． 故答案为：27． 17．（26-27七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得94钱，则出租的田有________亩． 【答案】120 【分析】设出租田的亩数为未知数，根据三年总钱数的等量关系列一元一次方程求解即可． 解：设出租的田有亩， 由题意得，， 方程两边同乘去分母得：， 合并同类项得：， 解得， ∴出租的田有120亩． 18．（26-27七年级上·山西晋城·阶段检测）如图1，有四个钩码，钩码的实际质量与标准质量存在差值（超出标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数），将四个钩码平均分为两组，将两组钩码分别放入图2天平的两侧，天平保持平衡，则钩码①应与钩码___________（填序号）分为一组． 【答案】③ 【分析】天平平衡说明两侧钩码的实际总质量相等，即两侧钩码与标准质量的差值之和相等．先求出四个钩码差值的总和，再除以得到每一组差值的和，最后根据钩码①的差值求出与之配对的钩码差值即可． 解：四个钩码与标准质量差值的总和为， 天平保持平衡，且四个钩码平均分为两组， 每一组两个钩码与标准质量差值的和应为， 设与钩码①分为一组的钩码与标准质量的差值为， 钩码①与标准质量的差值为， ， 解得， 钩码③与标准质量的差值为， 钩码①应与钩码③分为一组． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27八年级上·全国·阶段检测）工程应用题： 某工程队承接一项修路工程，实际每天修路的长度是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．已知原计划每天修路100米，求这项工程的总修路长度． 【答案】这项工程总修路长度为3000米 【分析】设原计划完成任务需要天，则实际用时天，实际每天修路：（米），再根据工作总量不变建立方程求解． 解：设原计划完成任务需要天，则实际用时天． 实际每天修路：（米） 由题意得： 解得 总长度：（米） 答：这项工程总修路长度为3000米． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 【答案】千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（行程问题），关键是根据轿车与货车行驶同样距离的时间差建立等量关系列方程求解． 解：设常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 根据题意，轿车比货车少用分钟，可列方程：， 方程两边同时乘以得：， 合并同类项得：； 答：常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东烟台·期末）烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 （1）求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ （2）销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【答案】（1）购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克；（2）乙品种大樱桃按预售价售出了50千克 【分析】（1）设购进甲品种大樱桃千克，根据总重量得到乙品种的购进重量，结合总进价列出一元一次方程，求解得到两种樱桃的购进重量； （2）设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，分别计算甲和乙两部分的利润，根据总获利列出一元一次方程求解即可． （1）解：设购进甲品种大樱桃千克，则购进乙品种大樱桃千克． 解得， ∴购进乙品种大樱桃（千克）， 答：购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； （2）解：设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，则按八折售出了千克， 由题意得，甲品种总利润为（元），乙品种打折后的售价为（元/千克） ∵总获利为1360元， ∴ 解得， 答：乙品种大樱桃按预售价售出了50千克． 22．（本小题满分10分）（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）为改善生态环境，植树节五、六年级的同学参加植树活动，学校买回的树苗按下列方法分配到各班，第一个班取走了100棵，又取走余下的，第二个班取走200棵，又取走余下的，第三个班取走300棵，又取走余下的，……，如此下去，最后全部的树苗被各班取完，而且各班所得到的树苗棵数相等，那么有多少树苗？有几个班参加植树活动？ 【答案】有8100棵树苗，有9个班参加植树活动 【分析】设有x棵树苗，第一个班取走了100棵，剩余棵，再取走余下的，由此列出第一个班取走树苗的算式并化简；从树苗总数中减掉第一个班取走的量，得到第二个班取走之前剩下的树苗，第二个班取走200棵，又取走余下的，据此列出第二个班取走树苗的算式并化简；题目已知各班分得树苗数量相等，因此将两个班级的分得算式左右相等，列出方程并解方程即可解答． 解：设有x棵树苗， 则第一个班取走树苗数量为（棵）， 取走后余下树苗数量为（棵）， 第二个班取走树苗数量为（棵）， 根据题意，得， ， ， 第一个班级取走树苗数量为（棵）， 即每个班取走树苗900棵， 班级数为（个）， 答：有8100棵树苗，有9个班参加植树活动． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读并解决相应问题： 【问题发现】 在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于s，则称点P为点A、B的“s和点”，如图1，若点P表示的数为，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5和点” （1）填空：如图2，若点P表示的数为1，则s的值为 ． 【类比探究】类比探究 （2）若点Q为数轴上点A、B的“7和点”，求点Q对应的数； 【拓展延伸】 （3）若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点A的距离等于点P到点B的距离的，且此时点P为点A、B的“s的和点”，求点P表示的数及s的值． 【答案】（1）5；（2）或4；（3）点P表示的数是时，；点P表示的数是0时， 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式，得到点P到点A的距离与点P到点B的距离，再求和即可求解； （2）根据题意可得，由得到点Q不在线段上，分点Q在线段左侧或右侧，设点Q表示的数为q，列方程求解即可； （3）设点表示的数为p，分三种情况讨论：①当点P在点A左侧时，②当点P在上时，③当点P在点右侧时，根据点P到点的距离等于点P到点的距离的，求出p的值，进而得到s的值即可． 解：（1）∵，， ∴； 故答案为5； （2）∵点Q为数轴上点A、B的“7和点”， ∴， ∵， ∴点Q不在线段上，故分两种情况： ①Q在线段左侧，设点Q表示的数为q，则，， ∴， 解得； ②Q在线段右侧，设点Q表示的数为q，则，， ∴， 解得； 综上，点Q对应的数为或 （3）设点P表示的数为p， ①当点P在点A左侧时，，， ∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的， ∴， 解得：， ∴； ②当点P在上时，，， ∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的， ∴， 解得：， ∴； ③当点P在线段右侧，设点P表示的数为p，则，， ∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上，点P表示的数是时，；点P表示的数是0时，． 【点睛】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． （1）若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ （2）若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ （3）在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）单独租用甲客车需要4辆，单独租用乙客车需要5辆；（2）租用甲客车2辆，乙客车2辆；（3）（2）条件下总租车费用为1080元，不存在更省钱的租车方案 【分析】本题是一元一次方程的实际应用，属于方案选择问题； （1）利用总人数除以单车载客量，结合车辆数为正整数的要求取整得到结果； （2）设未知数，根据总载客量等于总人数列一元一次方程求解； （3）先计算给定方案的总费用，再枚举所有满足载客要求的方案，比较费用判断是否存在更省钱的方案． （1）解：∵，车辆数为正整数， ∴单独租用甲客车需要辆； ∵，车辆数为正整数， ∴单独租用乙客车需要辆； （2）解：设租用甲客车辆，则租用乙客车辆， 根据恰好坐满140人，列方程得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 则， 即租用甲客车2辆，乙客车2辆； （3）解：在（2）的条件下，即租用甲客车2辆，乙客车2辆的总费用：（元）； 方案1：租0辆甲，5辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案2：租1辆甲，4辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案3：租3辆甲，1辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案4：租4辆甲，0辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 对比所有方案可知，1080元为最低费用，因此不存在更省钱的租车方案． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $