第4章 一元一次方程章节复习（12题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

该初中数学一元一次方程章节复习讲义通过表格梳理教学目标与重难点，分知识点系统呈现方程概念、等式性质、解法及应用，用细节剖析明确关键（如一元一次方程判断条件、解方程步骤），构建“概念-性质-解法-应用”的逻辑知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，如“错解复原”题型引导学生分析去分母漏乘等错误，培养运算能力与推理意识，“应用题型”结合生产配套问题抽象等量关系，发展模型意识。基础题与变式题兼顾不同学生，教师可据此实施精准教学，助力学生系统复习提升。

第4章 一元一次方程章节复习 教学目标 1. 理解方程、一元一次方程、方程的解等概念，能识别一元一次方程。 2. 掌握等式的基本性质，熟练运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1解一元一次方程。 3. 能分析实际问题中的数量关系，找等量关系列方程，体会方程是刻画现实世界的有效模型。 教学重难点 教学重点 1. 一元一次方程的概念与判断方法，等式基本性质的掌握与应用。 2. 解一元一次方程的五步流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1）。 教学难点 1. 解方程时去分母不漏乘不含分母项、去括号与移项时的符号处理。 2. 从实际问题中准确抽象等量关系列方程，实现从算术思维到代数思维的过渡。 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各式中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程需要满足：①只含有一个未知数，②未知数的最高次数为1，③两边都为整式的等式，据此逐一判定选项即可． 【详解】解：选项A：是不等式，不是等式，不是一元一次方程； 选项B：含有两个未知数，不是一元一次方程； 选项C：是代数式，不是等式，不是一元一次方程； 选项D：满足一元一次方程的所有定义，是一元一次方程． 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 细节剖析： 等式的传递性 【即学即练】 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质逐一判断每位同学的变形，即可得到正确结果． 【详解】解：小明：∵， ∴，故小明变形错误； 佳佳：∵， ∴，故佳佳变形错误； 小红：∵， ∴，故小红变形错误； 丽丽：∵， ∴，故丽丽变形正确． 知识点03 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【即学即练】 1．（25-26六年级下·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握移项、去括号、去分母、系数化为1等步骤． （1）移项、合并同类项、系数化为1； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （4）先化小数系数为整数系数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （4）解： 整理，得， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 知识点04 一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【即学即练】 1．（24-25七年级下·重庆万州·阶段检测）某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 【答案】(1)安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人； (2)这一天有名工人加工甲种零件． 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程． （1）根据题意可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题； （2）等量关系为：加工甲种零件的总利润加工乙种零件的总利润，把相关数值代入求解即可； 【详解】（1）解：设生产甲种零件的工人有人， 根据题意得：， 解得， ， 答：安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人； （2）解：设这一天有名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有个，乙种零件有个， 根据题意，得， 解得． 答：这一天有名工人加工甲种零件． 知识点05 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【即学即练】 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）茶具，在中国源远流长的茶文化中是点睛之品，在爱茶之友眼中更是一种艺术，某种型号的茶具深受爱茶之友的喜爱，且这套茶具均在甲乙两个茶店出售． (1)已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成，若某工厂现有120名员工，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶．该工厂该如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ (2)在元旦节期间两个茶店推出促销活动，甲店：全场茶叶和茶具均按八八折优惠；乙店：无论茶叶、茶具，购物总金额不超过200元，不给予优惠，超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠，超过500元的部分打八折；已知甲乙两家茶店相同商品的标价都一样． ①当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家茶店实付款分别是多少？ ②若某顾客购物总额相同，其乙店实付款482元，问其在甲店需实付款多少元？ 【答案】(1)安排80人生产茶杯，40人生产茶壶 (2)①在甲店购买实付款为352元，在乙店购买实付款为360元，②其在甲店需实付款元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）设安排x名工人生产茶杯，根据每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成，若某工厂现有120名员工，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，列出一元一次方程，解方程得答案； （2）①根据优惠方案列式计算即可；②设打折前顾客购物总额为y元，根据其乙店实付款482元，列方程，解方程，再由在甲店全场茶叶和茶具均按八八折优惠列式计算． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产茶杯，则生产茶壶的工人有人， 由题意可得， 解得， 所以生产茶壶的工人为（人）， 答：安排80人生产茶杯，40人生产茶壶； （2）解：①在甲店购买实付款为（元）， 在乙店购买实付款为（元）． 答：在甲店购买实付款为352元，在乙店购买实付款为360元． ②设该顾客购物总额为y元， ∵， ∴购物总额超过500元， 依题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：其在甲店需实付款元． 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）我县某学校需要为实验室增添部分酒精灯和漏斗，根据图中信息，解决下列问题． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)学校计划购买若干个酒精灯和80个漏斗，甲商家表示可以全部打八折出售，乙商家表示酒精灯买一赠一，漏斗原价出售，若学校只能选择其中一家购买，请帮学校设计最省钱的购买方案． 【答案】(1)酒精灯的单价为8元，漏斗的单价为12元 (2)当学校计划买80个酒精灯时甲乙商家花费一样多；当学校计划的酒精灯不足80个时，选择甲商家更省钱；当学校计划的酒精灯超过80个时，选择乙商家更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到等量关系列出方程． （1）设酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元，根据“一个酒精灯与3个漏斗共计44元”列方程求解即可； （2）设学校计划购买个酒精灯，则可列出在甲商家的花费为元，在乙商家的花费：元，然后求出两家费用一样多时对应a的值，即可求解． 【详解】（1）解：设酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元， 根据题意得：， 解得， ， 答：酒精灯的单价为8元，漏斗的单价为12元； （2）解：设学校计划购买个酒精灯， 在甲商家的花费：（元） 在乙商家的花费：（元） 当时，解得． ∴当学校计划买80个酒精灯时甲乙商家花费一样多； 当学校计划的酒精灯不足80个时，选择甲商家更省钱； 当学校计划的酒精灯超过80个时，选择乙商家更省钱． 题型01 一元一次方程的定义 【典例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为1，方程两边都是整式，逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，方程的未知数的次数为，不符合一元一次方程的定义； 选项B中，方程含有和两个未知数，不符合一元一次方程的定义； 选项C中，方程只含有个未知数，未知数次数为，且两边都是整式，符合一元一次方程的定义； 选项D中，方程的分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义． 【变式1】（22-23七年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中，属于一元一次方程的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，逐一判断选项． 【详解】解：A、未知数在分母上，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有和两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、未明确参数不为0，不一定是一元一次方程，不符合题意； D、，，，是一元一次方程，符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期中）下列式子中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义：一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，解答即可． 【详解】解：A选项：含有和两个未知数，不属于一元一次方程，不符合题意； B选项：中未知数的最高次数为2，不属于一元一次方程，不符合题意； C选项：整理得，属于一元一次方程，符合题意； D选项：中不是整式，不是整式方程，不属于一元一次方程，不符合题意． 【变式3】（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列等式中是一元一次方程的有（     ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：①方程是一元一次方程； ②方程中含有两个未知数，不是一元一次方程； ③方程中未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程； ④方程是一元一次方程； 故选：B． 题型02 利用一元一次方程的定义求参数 【典例2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知是关于的一元一次方程，则_______． 【答案】 【分析】依据一元一次方程的定义，确定二次项系数为0且一次项系数不为0，进而求出的值即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，因此可得：且． 由，得，解得或． 由，得，解得． 因为和均不等于，都符合条件， 所以． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据定义列出方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数为1且系数不为零即可求解． 【详解】解：由题意得， ，且， 解得或，且， ∴． 故答案为：2． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的概念，掌握好一元一次方程的定义是关键． 根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得． 当时，，满足条件． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江西吉安·期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为且系数不为，由此列出条件求解． 【详解】解：方程为一元一次方程，则的指数， 解得，即或； 同时的系数，即， 因此． 故答案为：． 题型03 已知方程的解求字母或代数式的值 【典例3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）关于x的方程的解为，则a的值为________． 【答案】 【分析】将已知的方程解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：将代入方程 得 整理得 移项合并同类项得 解得． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为__________． 【答案】5 【分析】根据方程解的定义，将代入原一元一次方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可求出的值． 【详解】解：将代入得： ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 【变式2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程的解，利用一元一次方程解的定义，将代入方程，即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】2030 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，把代入，得到，再利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：把代入，得， ∴； ∴； 故答案为：2030 题型04 等式的基本性质 【典例4】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列变形正确的是 （   ） A．由， 得 B．由， 得 C．由， 得 D．由 得 【答案】B 【分析】根据等式性质对各选项变形逐一判断即可． 【详解】根据等式的基本性质逐一判断： A、∵ ，等式两边同时减，可得， ∴A变形错误． B、∵ ，等式两边同时除以，可得， ∴B变形正确． C、∵ ，等式两边同时除以，可得， ∴C变形错误． D、∵ ，等式两边同时乘，可得， ∴D变形错误． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）下列方程变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题依据等式的基本性质判断各选项方程变形，找出错误的选项． 【详解】解：对于A选项，∵ ，等式两边同时除以，得，∴ 变形正确，不符合题意； 对于B选项，∵ ，移项合并同类项得，∴ 变形正确，不符合题意； 对于C选项，∵ ，等式两边同时乘以，得，∴ 变形正确，不符合题意； 对于D选项，∵ ，等式两边同时除以，得，∴ 变形错误，符合题意． 【变式2】（2026·河北·模拟预测）老师在黑板上写出“若，则_________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：若，则，故A选项符合题意； 若，则，故B选项不符合题意； 若，则，故C选项不符合题意； 若，则，故D选项不符合题意． 【变式3】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）下列变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：，等式两边同时减，得，故A选项变形错误； ，等式两边同时减3，再同时乘，得，故B选项变形正确； ，等式两边同时除以，得，故C选项变形错误； ，等式两边同时乘，得，故D选项变形错误． 题型05 解一元一次方程 【典例5】（25-26七年级上·重庆·期末）解出下列方程（组） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题关键是掌握解一元一次方程的一般步骤求解． （1）根据去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （3）先将小数化为整数，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期末）解方程； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得 【变式3】（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】本题考查一元一次方程的解法，核心步骤为去括号（或去分母）、移项、合并同类项、系数化为，每个小题根据方程形式选择合适的步骤． （1）先去括号，再移项合并求解； （2）先去分母，再去括号、移项合并求解； （3）先去分母，再去括号、移项合并求解； （4）先利用分数的基本性质，将分母化为整数，再去分母、去括号、移项合并求解． 【详解】（1）解： 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得； （2）解： 两边同乘去分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得； （3）解： 两边同乘6去分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得； （4）解： 将分母化为整数，得 两边同乘去分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得． 题型06 解一元一次方程错解复原 【典例6】（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）下列是小明和小华同学关于一元一次方程的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请你从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． 小明同学： 解方程．解：．·······第①步 ·······第②步 ·······第③步 ·······第④步 ·······第⑤步 ·······第⑥步 小华同学： 解方程．解：·······第①步 ·······第②步 ·······第③步 ·······第④步 ·······第⑤步 ·······第⑥步 (1)选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）； (2)该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明或小华 (2)③，去括号时没有变号或①，利用等式的基本性质2时，等式右边漏乘8； (3)答案不唯一，具体见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤，尤其注意去括号时的符号变化”是解题的关键． （1）选择一名同学，分析其解题过程的错误； （2）找出该同学解题中出错的步骤，说明错误原因； （3）按照一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）正确求解． 【详解】（1）解：选择小明或小华； 故答案为：小明或小华 （2）解：若选择小明，从第③步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有变号； 若选择小华，从第①步开始出现错误，错误的原因是利用等式的基本性质2时，等式右边漏乘8； 故答案为：③，去括号时没有变号；或①，利用等式的基本性质2时，等式右边漏乘8； （3）解：若选择小明，方程两边同时乘以8，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 若选择小华，方程两边同时乘以8，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·阶段检测）下面是小军同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 任务： (1)上述解题过程中出现了错误，最开始出现错误的是第___________步，错误的原因是___________． (2)请帮小军写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；去分母时，方程等号右边的没有乘12 (2)见解析 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母时，不要漏乘． （1）根据等式的基本性质，进行作答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤正确的进行求解即可． 【详解】（1）解：最开始出现错误的是第一步，错误的原因是去分母时，方程等号右边的没有乘12； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）（学习情境·过程纠错）解答下列各题． (1)下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：_____，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 方程两边同除以2，得．…第五步 填空： ①以上求解步骤中，第一步进行的是_____，这一步的依据是_____； ②以上求解步骤中，第_____步开始出现错误，错误的原因是_____； ③该方程正确的解为_____； ④除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． (2)解方程：． 【答案】(1)①去分母，等式的基本性质2；②三，移项时没有变号；③；④去分母时不要漏乘不含分母的项．（建议不唯一） (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干的上下已有的过程，逐个解答即可． （2）先整理原式为，再去分母，去括号，然后移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，结合题干已有的过程， ①以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2； 故答案为：去分母，等式的基本性质2； ②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，错误的原因是移项时没有变号； 故答案为：三，移项时没有变号， ③该方程正确的解为； 故答案为： ④提一条建议：去分母时不要漏乘不含分母的项．（建议不唯一）； （2）解：依题意，整理方程，得， 去分母，得3， 去括号，得3， 移项、合并同类项，得， 方程两边同除以5，得． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得， 第一步 去括号，得， 第二步 移项，得， 第三步 合并同类项，得， 第四步 系数化为，得． 第五步 (1)任务一：解答过程中，第一步变形的依据是 ，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 ． (2)任务二：请求出方程正确的解． 【答案】(1)等式的性质；二；括号前的系数为负数，去括号时括号内第二项未改变符号 (2) 【分析】（）根据等式的性质及去括号法则解答即可； （）按照解一元一次方程的步骤解答即可求解； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：解答过程中，第一步变形的依据是等式的性质，第二步开始出现了错误，产生错误的原因是括号前的系数为负数，去括号时括号内第二项未改变符号， 故答案为：等式的性质；二；括号前的系数为负数，去括号时括号内第二项未改变符号； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得 题型07 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 【典例7】（25-26七年级上·广东广州·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程．解方程得到，根据为正整数，确定整数的值． 【详解】解：解方程， 合并同类项，得， 显然， 解得， ∵为整数，关于的方程的解为正整数， ∴， 解得， 故答案为：0． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期末）若关于的方程：的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之积是__________ 【答案】 【分析】本题考查由含参数方程解的情况求参数，熟记一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键． 先解关于的方程，得到，再由方程的解为正整数，分类讨论求出满足题意的，最后求所有满足条件的整数的积即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 化简得， 移项得， 即， 关于的方程：的解为正整数，即方程有解， ，且为正整数， 则是的正因数， 或， 解得或， 所有满足条件的整数的值之积是， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为______． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，先解方程得到，根据原方程的解为正整数可推出是正整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则，故这种情况不存在， 当时，则， ∵关于的方程有正整数解， ∴是正整数， 又∵k为整数， ∴或， 解得或， 故答案为：0或2． 【变式3】（25-26七年级上·重庆开州·阶段检测）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有符合条件的整数a的和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的正整数解， 先解方程得到，由解是正整数可知是6的正因数，从而求出所有符合条件的整数，再求它们的和． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并得， 解得， ∵方程的解是正整数， ∴是正整数， ∴是6的正因数，即， 对应， 所有符合条件的整数为， 它们的和为， 故答案为：． 题型08 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 【典例8】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为___． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键． 比较两个方程的形式，可知第二个方程中的相当于第一个方程中的，根据第一个方程的解，直接得到，从而求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程为满足， 解得． 故答案为：0． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，设，则方程可变形为，进而根据题意得到是关于的一元一次方程的解，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可变形为， ∵是关于的一元一次方程的解， ∴是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴，即关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 _____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了 一元一次方程的解．设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：方程可变形为， 设，则关于y的方程化为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 【答案】2027 【分析】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键．首先得到，然后根题意得到求解即可． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴； ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：2027． 题型09 一元一次方程的应用 【典例9】（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产6个支架或15套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？配成多少套？ (2)若每套太空漫步器的成本为200元，每套按成本加价销售，现打算将当天的配套产品全部销售，售出一部分后，出现滞销，工厂决定打八折出售剩余的太空漫步器，全部售出后共获利9200元，有多少套太空漫步器打八折出售？ 【答案】(1)人生产支架，人生产脚踏板恰好配套，配成套； (2)有套太空漫步器打八折出售． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设安排人生产支架，则人生产脚踏板，由题意得，求解即可得出答案； （2）根据题意求出每套太空漫步器的售价和打八折后每套太空漫步器的售价，设有套太空漫步器打八折出售，依题意可得，求解即可． 【详解】（1）解：设安排人生产支架，则人生产脚踏板，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∴（人）， （套）， ∴人生产支架，人生产脚踏板恰好配套，配成套； （2）解：每套太空漫步器的售价为：（元）， 打八折后每套太空漫步器的售价为：（元）， 设有套太空漫步器打八折出售，依题意可得： ， 整理得：， 解得：， 答：有套太空漫步器打八折出售． 【变式1】（25-26七年级上·四川巴中·期末）学校举行羽毛球比赛，需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个）．某商店羽毛球拍200元/副，羽毛球10元/个．该商店有两种购买方案： 方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． (1)若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ (2)若方案一和方案二既可以单独使用，也可以组合使用．若学校此次需要购进300个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】(1)学校购进了200个羽毛球 (2)先用方案一买20副羽毛球拍送60个羽毛球，再用方案二买240个羽毛球最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设学校购进了个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用总价单价数量，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设学校购进了x个羽毛球，由题意得：， 解得：， 答：学校购进了200个羽毛球； （2）解：方案一：（元） 方案二：（元） 先用方案一买羽毛球拍，再用方案二买羽毛球，费用为：（元） ∵， ∴先用方案一买20副羽毛球拍送60个羽毛球，再用方案二买240个羽毛球最省钱． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 【变式3】（25-26七年级上·湖北十堰·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)20元 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），先确定用水量属于第二档，再求出水费即可； 对于（2），先确定该用户属于超过用水量，再根据水费相等列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（元）， 所以某户居民1月份用水，应缴水费20元； （2）解：第一档最高水费为（元）； 第二档最高水费为（元）； 可知， 所以该用户用水量超过10，设用水量为x，根据题意，得 ， 解得（）． 所以该用户2月份的用水量为11.5． 题型10 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 【典例10】（25-26七年级下·福建漳州·期中）我们定义了一种新运算：．例如：．请根据这个新定义的运算，回答以下问题： (1)计算： ． (2)若，求x的值． 【答案】(1)23 (2)x的值为3 【分析】（1）根据新定义运算法则求解； （2）根据新定义运算法则列方程求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴ 解得． 【变式1】（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知为不相等的两个有理数，且均不等于0． 现定义有序有理数对的“真诚值”为：，如数对“真诚值”为：，数对的“真诚值”为： (1)根据上述的定义填空：___________，___________； (2)若数对的“真诚值”，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了代数式求值，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义． （1）根据“真诚值”的定义求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，；； （2）解：当时， 解得； 当时， 解得（不合题意，舍去） 综上所述，当时，． 【变式2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有．例如：． (1)求的值； (2)若，求有理数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，核心是理解新运算的规则，将新运算转化为常规的代数运算． （1）明确新运算中，将、的值代入公式求值即可； （2）这是新定义运算与一元一次方程的结合问题，先把新运算转化为代数式，再通过解方程求出未知数． 【详解】（1）解：根据新运算“※”的定义， 将，代入得： ； （2）解：根据新运算定义，将，代入得：， ∴， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级上·云南文山·期末）定义一种新运算“”：，该运算符合四则运算规律，例如： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据，且结合进行计算，即可作答． （2）先算出，又因为，得，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：依题意，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 解得． 题型11 解一元一次方程中的新定义型拓展问题 【典例11】（25-26七年级上·贵州黔西南·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”． (1)若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值； (2)若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值； (3)若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)的值为2或4或6 (3) 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据解是正整数，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求解． 【详解】（1）解：（1）解方程，得， 解方程，得． 因为方程与方程互为“唯美方程”， 所以，解得． （2）解：解方程，得． 因为两个一元一次方程互为“唯美方程”， 所以关于的一元一次方程的解为． 因为一元一次方程的解是正整数，也是正整数， 所以是正整数， 所以或或，即或或， 所以正整数的值为2或4或6． （3）解：解方程，得， 所以关于的一元一次方程的解是． 将整理，得， 所以，解得． 【变式1】（24-25七年级上·广西贺州·期中）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)方程________（填“是”或“不是”）方程的“后移方程”，并说明理由？ (2)若关于x的方程是方程的“后移方程”，试求m的值． 【答案】(1) 方程是方程的“后移方程”，理由如下： 解方程得，解方程得， ∵， ∴方程是方程的“后移方程”； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义： （1）分别解两个方程求出对应方程的解，再根据“后移方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到，则根据“后移方程”的定义得到方程的解为，把代入方程中求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得， ∵关于x的方程是方程的“后移方程”， ∴关于x的方程的解为， ∴， 解得． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“1方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，另一个解为， ∵“1方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“1方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 即的解为， ∴关于的方程的解为 解得： 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程是“成双方程”．例如：方程和是“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否是“成双方程”； (2)若关于的方程与方程是“成双方程”，求的值． 【答案】(1)不是“成双方程” (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：不是“成双方程”；理由如下： 解得：， 解得：， ， 方程与方程不是“成双方程”． （2）解：由得：， 由得． 关于的方程与方程是“成双方程”， ， 解得：． 题型12 一元一次方程的应用之数轴上的行程问题 【典例12】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）学校、书店、公交站三点在同一条直线上．已知学校和公交站相距，以书店为原点画出数轴，如图所示．公交站在数轴上用数字900表示，一辆公交车匀速往返于学校和公交站之间（停车时间忽略不计），设公交车的速度为． (1)学校在数轴上用数字________表示； (2)小红从学校出发去书店时，正好有一辆公交车从公交站出发开往学校．已知小红步行的速度是． ①小红步行去书店，出发时，与这辆公交车首次相遇，求公交车的速度． ②若小红在第二次与这辆公交车相遇时坐上车去书店，结果比步行少用到达书店，求公交车的速度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，用数轴上点表示有理数，解题的关键是找到正确的数量关系． （1）由两点间距离可求得结果即可； （2）①由小红走的路程公交车走的路程，列方程可得； ②由公交车行走的路程，列方程可得． 【详解】（1）解：∵学校和公交站相距，公交站在数轴上用数字900表示， ∴学校在数轴上用表示， 故答案为：； （2）解：①由已知得， 解得：， 答：公交车的速度是； ②由已知得x， 解得： 答：公交车速度为． 【变式1】（24-25七年级上·陕西延安·期中）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒）． (1)时点表示的有理数为________； (2)若点到点、点的距离相等，求的值； (3)写出点到点的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)或秒 (3)或 【分析】本题考查了数轴，涉及数轴上的动点问题，利用速度与时间的关系，分类讨论是解题关键． （1）在数轴上点表示的有理数为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，根据点的速度，有理数的加法求解即可得到答案； （2）根据题意得到，由两点间的距离公式，列方程求解即可得时间； （3）由（2）知点表示的有理数为，结合数轴上两点之间距离公式，分类求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的有理数为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动， 点表示的有理数为， 故答案为：； （2）解：若点到点、点的距离相等，则， 由（1）知点表示的有理数为， ，解得； 当点P返回过程中经过AB中点时，时间为， 故答案为或秒 （3）解：由（2）知点表示的有理数为， ， 点从点出发到达点时，时间为秒， 点从点出发到达点时，时间为秒， 当点由到方向运动，即时，； 当点由到方向运动，即时，． 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·期中）已知数轴上，两点表示的数分别为，．如图，若点和点分别从点，同时出发，都沿数轴的负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度，设运动的时间为秒． (1)运动2秒时，两点对应的数分别为_____，_____； (2)运动秒时，两点对应的数分别为_____，_____；（用含的代数式表示） (3)当，两点相遇时，求点在数轴上对应的数； (4)当，两点之间的距离为6时，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)点表示的数是 (4)的值为6或12 【分析】本题主要考查了数轴上动点的运动，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，熟练掌握数轴上两点之间的距离计算是解题关键． （1）运动2秒时，求得、，再根据，两点表示的数分别为，，即可求解； （2）运动秒时，求得、，再根据，两点表示的数分别为，，即可求解； （3）由（2）得点、对应的数，求得、两点之间的距离为，根据当、两点相遇时距离为时即可求解； （4）根据题意得，计算即可求解． 【详解】（1）解：运动2秒时，，， ，， 点对应的数为，点对应的数为． 故答案为：，． （2）解：点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度， ，， 点对应的数为，点对应的数为． 故答案为：，． （3）解：由（2）得：点对应的数为，点对应的数为， 、两点之间的距离为， 当、两点相遇时，， 解得：， 点在数轴上对应的数为． （4）解：由（3）得：、两点之间的距离为，且，两点之间的距离为6， ， 当时，解得：； 当时，解得：． 综上所述，当，两点之间的距离为6时，的值为或． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，点是数轴的原点，点分别是数轴上的点，且点表示的数是单项式的次数，点在原点的左侧，且． (1)点表示的数是______，点表示的数是______； (2)若点在原点的左侧，且点到点，点的距离满足，求点在数轴上表示的数； (3)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．设运动的时间为秒，当为何值时，？ 【答案】(1)， (2)或 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离的计算，一元一次方程与行程问题，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据单项式的次数可得点表示的数是，根据可得，由此即可求解； （2）点的位置有两种情况：当点在点的左边，，则；当点C在点的右边，，则；由此即可求解； （3）分两种情况讨论：当点相遇前，；当点相遇后，；根据行程问题列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是单项式的次数， ∴点表示的数是， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 答案为：，6； （2）解：点的位置有两种情况： 当点在点的左边，， ∵，， ∴， ∴， ∴点在数轴上表示的数是； 当点C在点的右边，， ∵，， ∴， ∴， ∴点在数轴上表示的数是； 综上可知，点C在数轴上表示的数是或； （3）解：分两种情况讨论： 当点相遇前，，如图1所示， 则有：，即， 解得（秒）； 当点相遇后，，如图2所示， 则有：，即， 解得（秒）， 综上可知，当为秒或秒时，． 一、单选题 1.（25-26七年级下·山西长治·期末）下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一元一次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且为整式方程； 选项A：，满足上述所有条件，符合一元一次方程的定义； 选项B：，未知数的最高次数为2，不符合定义； 选项C：，分母含有未知数，不是整式方程，不符合定义； 选项D：，不含未知数，不是方程，不符合定义. 2（25-26七年级下·甘肃天水·期末）方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 3.（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，去括号法则和移项法则，逐一判断各选项的变形是否正确． 【详解】解：∵ 对于选项A，由，移项得，与选项中结果不一致，∴A错误； ∵ 对于选项B，由，根据去括号法则得，与选项中结果不一致，∴B错误； ∵ 对于选项C，由，根据移项法则，将含的项移到左侧，常数项移到右侧，得，变形符合法则，∴C正确； ∵ 对于选项D，由，系数化为1得，与选项中结果不一致，∴D错误； 故选C． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据同解方程的定义，先求出第一个方程的解，再将解代入第二个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵ 方程与的解相同， ∴把代入，得， 解得． 二、填空题 5．（25-26六年级下·山东烟台·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 【答案】7 【分析】设共有x人，根据“若每人出8钱，则多3钱”得到物价为钱，根据“每人出7钱，则还差4钱”得到物价为钱，根据物价相同即可列出方程并求解． 【详解】解：设共有x人，根据题意，得 ， 解得． 6.（2026·湖南长沙·二模）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】通过对比两个方程的结构，将看作一个整体，结合已知方程的解即可得到结果． 【详解】解：设，则关于的一元一次方程可化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴，解得， ∴关于的一元一次方程的解为． 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 【答案】33 【详解】解：设连续三个奇数按从小到大顺序为, 则由题意得， 解得， 故最大奇数为． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________． 【答案】元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设垂直于墙的一边长为x米，则另一条边长为米，根据竹篱笆的总长为35米，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一条边长为米，根据题意得： ， 解得：， （米）， ∵， ∴此时长方形符合题意， （元）， 答：王大爷每月能领取养殖补助金为1430元． 故答案为：1430元． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1； （2）分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； （2）解：， 分母化为整数得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 10.（23-24七年级上·四川绵阳·期中）某工厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，请问制作大小两种月饼各用了多少面粉？ (2)在（1）的条件下，已知制作一个精美月饼包装盒的成本为5元，面粉的进价为25元/千克，在不计其它成本的情况下，工厂想达到的利润率，则应如何制定每盒月饼的出厂价？ 【答案】(1)制作大月饼用了面粉，制作小月饼用了面粉 (2)每盒月饼的出厂价应定为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设用面粉制作大月饼，则用面粉制作小月饼，根据“每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉”列方程求出x即可； （2）设每盒月饼的出厂价为元，根据工厂想达到的利润率列方程求解即可． 【详解】（1）解：设用面粉制作大月饼，则用面粉制作小月饼， 由题意得：， 解得：， 则， 答：制作大月饼用了面粉，制作小月饼用了面粉； （2）解：设每盒月饼的出厂价为元， 由（1）可知，共制作出月饼（盒）， 由题意得：， 解得：， 答：每盒月饼的出厂价应定为元． 11．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投． (1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分； (2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数． 【答案】(1)第一局得分为6分 (2)第二局投中A区3次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意列式计算即可求解； （2）设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：分， 答：小星第一局的得分为6分； （2）解：设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意得： ， 解得：， 答：第二局投中A区3次． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）新“龟兔赛跑”故事：兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点． (1)设乌龟的奔跑时间为，则由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 ． (2)求（）中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是列代数式、一元一次方程的应用，解题关键是正确理解题意． （1）由兔子和乌龟同时出发、同时到达即可得解； （2）设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则兔子的速度是，根据兔子和乌龟奔跑的路程相等，列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：兔子和乌龟从同一起点同时出发，且恰好和乌龟同时到达终点，乌龟的奔跑时间为， 兔子奔跑的时间为， 故答案为：； （2）解：设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则兔子的速度是， 根据题意得：， 即， 解得． 答：的值为． 一、单选题 1.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A：含有、两个未知数，属于二元方程，不满足“一元”的要求，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 选项B：只含个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，是一元一次方程，该选项符合题意； 选项C：未知数的最高次数为，属于一元二次方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 选项D：分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 3.（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解． 【详解】解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 4．（25-26七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）某足球联赛一个赛季共进行26轮比赛（即每队均需赛26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数依次是（） A．7，13，6 B．6，13，7 C．9，12，5 D．5，12，9 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设负场数为，则平局场数为，胜场数为，根据总场数和总得分列方程组求解． 【详解】解：设负场数为，则平局场数为．胜场数为 根据题意得 解得： ∴负场数为，平局场数为，胜场数为 故胜、平、负场数依次为、、． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入方程，化简后得到关于k的方程，由“无论k为何值，总是它的解”，可得k的系数和常数项均为零，从而求出a和b，进而可求的值． 【详解】解：∵关于x的方程，无论k为何值，总是它的解， ∴， ， ， ， ∵无论k为何值，总是它的解， ∴，此时， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】把方程变形为，根据方程的解为，可得即可求解. 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∴一元一次方程的解为． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题，大意为：甲从长安出发，日到齐国，乙从齐国出发，日到长安，现乙先出发日，甲才从长安出发．则甲与乙相遇时，甲所走的天数为_________日． 【答案】 【分析】设甲与乙相遇时，甲所走的天数为日，则乙所走的天数为日，将总路程看作单位1，得到甲，乙的日行进速度，再列出方程并求解即可． 【详解】解：设甲与乙相遇时，甲所走的天数为日，则乙所走的天数为日， 根据题意可列方程：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， ∴甲与乙相遇时，甲所走的天数为日． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）设一列数、、、…、中任意三个相邻数之和都是，已知，，，求的值．在这个问题中可列关于的方程为________． 【答案】 【分析】根据任意三个相邻数的和为，推导得出数列每个数一循环，和都等于，因此两者相等，即可列出方程． 【详解】解：∵任意三个相邻数之和都是， ∴，， ∴， 同理可得，，即数列每个数为一个循环，满足， ∵，， ∴，， ∴， 代入，，得关于的方程． 10．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的，是小贺卡面积的，若大贺卡不重叠部分比小贺卡不重叠部分面积多8平方厘米，则重叠部分的面积是_______平方厘米． 【答案】30 【分析】设重叠部分的面积为a平方厘米，则大贺卡的面积为平方厘米，小贺卡的面积为平方厘米，再根据大贺卡不重叠部分比小贺卡不重叠部分面积多8平方厘米建立方程求解即可． 【详解】解：设重叠部分的面积为a平方厘米，则大贺卡的面积为平方厘米，小贺卡的面积为平方厘米， 由题意得，， 解得， 所以重叠部分的面积是30平方厘米． 三、解答题 11．（25-26七年级上·天津红桥·期末）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可得解； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解； （4）先把各系数化为整数，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （4）解：， 整理得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 12．（23-24七年级上·山东日照·期末）某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 【答案】(1)工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； (2)工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，调配问题，本题的关键是理清配套问题的数量关系列方程，此外挖掘题目条件，分清调动后生产两种零件的工人的数量，从而列方程解决问题． （1）设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“1个A零件和2个B零件配成一套”，列方程求解即可得到结果； （2）先求出调动前每天总获利，设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，可得调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元”，列方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 得（名）， 答：工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； （2）调动前每天总获利为：（元）， 设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件， 则调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 答：工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人．现根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ (2)加工某种零件，师傅平均每小时做5个，徒弟平均每小时做4个，加工一盒零件，师傅比徒弟少用．问：一盒零件有多少个？ 【答案】(1)设应从第一组调人到第二组去，所列方程为 (2)设一盒零件有个，所列方程为 【分析】（1）设所求未知量为未知数，再根据调整后第一组人数是第二组的一半，列出一元一次方程即可； （2）设所求未知量为未知数，再根据师傅加工总时间比徒弟少，列出一元一次方程即可； 【详解】（1）解：设应从第一组调x人到第二组去，调动后第一组人数为，第二组人数为，根据题意第一组人数为第二组的一半得 ． （2）设一盒零件有个，徒弟加工完一盒零件的时间为，师傅加工完一盒零件的时间为，根据师傅比徒弟少用，得 ． 14．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程：． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤ (1)从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)三，移项时没有正确改变符号 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）错误出现在第三步，移项时没有正确改变符号； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：错误出现在第三步，移项时没有正确改变符号； 故答案为：三，移项时没有正确改变符号； （2）解： 去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 15．（25-26七年级上·山东临沂·期末）项目式学习 进一步了解百分数在生活中的运用，提高利用百分数解决问题的能力． 素材1 实验学校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共80个．每个篮球售价为150元，比足球单价多25%． 素材2 采购时恰逢年中促销．商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上打七五折，又打了八折，按这个价格销售商城还有的利润． 素材3 采购时足球仍按照原价销售，每个足球的进价比篮球进价高，经采购人员预算发现：商家销售完这批篮球和足球可共获利1500元． 问题解决 任务1 确定足球的售价 每个足球的售价是多少元钱？ 任务2 确定篮球的进价 每个篮球的进价是多少元钱？ 任务3 问题解决的策略 为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动．商家继续给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：经过优惠后的购物总费用再打九折； 方案二：每买5个足球免费赠送2个篮球，不足5个不赠送； 方案三：购物超过3000元的部分每满200元，返现金30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 【答案】【任务1】每个足球的售价是元钱； 【任务2】每个篮球的进价是元； 【任务3】学校应该选择方案二购买 【分析】本题整体考查一元一次方程的实际应用(含折扣、利润问题)及方案选择问题，关键是结合百分数的数量关系和利润公式列出一元一次方程，依次求出足球售价、篮球进价和篮球足球的采购数量，再分别计算三种优惠方案的实际费用，通过比较费用大小确定最优方案． 任务1：设每个足球的售价为未知数，根据“”这一数量关系列出一元一次方程，利用百分数的除法运算求解方程，即可得到足球的售价． 任务2：先根据篮球原售价依次乘七五折、八折的折扣率，计算出篮球的促销售价，再设每个篮球的进价为未知数，结合“”的利润关系列出一元一次方程，求解方程得到篮球的进价． 任务3：首先根据篮球进价和足球进价比篮球进价高，算出足球进价，再分别求出篮球、足球的单个利润，设购买篮球的数量为未知数，结合“”的总利润关系列出一元一次方程，求解得出篮球和足球的具体采购数量；接着分别计算三种方案的实际费用，最后比较三种方案的实际费用，费用最低的即为最优方案． 【详解】任务1： 解：设每个足球的售价为元， 根据题意，得， 则； 答：每个足球的售价是元； 任务2： 解：设每个篮球的进价为元， 根据题意，得， 解得； 答：每个篮球的进价是元； 任务3： 解：设购买篮球个，则购买足球个， 由任务2知篮球进价为元， ∴足球进价为(元)， 篮球每个利润为元，足球每个利润为元， 根据题意，得，解得， 则足球数量为个． （1）方案一： 先计算无额外优惠的总费用：(元)， 再打九折后的费用为(元)； （2）方案二： 每买5个足球免费赠送2个篮球，，可赠送篮球个， 需购买篮球的数量为(个)， 总费用为(元)； （3）方案三： 总费用为元，超过元的部分为(元)， ，即超过部分满个元，可返现元， 实际费用为(元)； ∵， ∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买． 答：学校应该选择方案二购买． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 一元一次方程章节复习 教学目标 1. 理解方程、一元一次方程、方程的解等概念，能识别一元一次方程。 2. 掌握等式的基本性质，熟练运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1解一元一次方程。 3. 能分析实际问题中的数量关系，找等量关系列方程，体会方程是刻画现实世界的有效模型。 教学重难点 教学重点 1. 一元一次方程的概念与判断方法，等式基本性质的掌握与应用。 2. 解一元一次方程的五步流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1）。 教学难点 1. 解方程时去分母不漏乘不含分母项、去括号与移项时的符号处理。 2. 从实际问题中准确抽象等量关系列方程，实现从算术思维到代数思维的过渡。 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各式中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 细节剖析： 等式的传递性 【即学即练】 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 知识点03 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【即学即练】 1．（25-26六年级下·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点04 一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【即学即练】 1．（24-25七年级下·重庆万州·阶段检测）某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 知识点05 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【即学即练】 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）茶具，在中国源远流长的茶文化中是点睛之品，在爱茶之友眼中更是一种艺术，某种型号的茶具深受爱茶之友的喜爱，且这套茶具均在甲乙两个茶店出售． (1)已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成，若某工厂现有120名员工，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶．该工厂该如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ (2)在元旦节期间两个茶店推出促销活动，甲店：全场茶叶和茶具均按八八折优惠；乙店：无论茶叶、茶具，购物总金额不超过200元，不给予优惠，超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠，超过500元的部分打八折；已知甲乙两家茶店相同商品的标价都一样． ①当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家茶店实付款分别是多少？ ②若某顾客购物总额相同，其乙店实付款482元，问其在甲店需实付款多少元？ 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）我县某学校需要为实验室增添部分酒精灯和漏斗，根据图中信息，解决下列问题． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)学校计划购买若干个酒精灯和80个漏斗，甲商家表示可以全部打八折出售，乙商家表示酒精灯买一赠一，漏斗原价出售，若学校只能选择其中一家购买，请帮学校设计最省钱的购买方案． 题型01 一元一次方程的定义 【典例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中，属于一元一次方程的是 （     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期中）下列式子中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列等式中是一元一次方程的有（     ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 利用一元一次方程的定义求参数 【典例2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知是关于的一元一次方程，则_______． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为_____． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为___________． 【变式3】（25-26七年级上·江西吉安·期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为_____________． 题型03 已知方程的解求字母或代数式的值 【典例3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）关于x的方程的解为，则a的值为________． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为__________． 【变式2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 题型04 等式的基本性质 【典例4】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列变形正确的是 （   ） A．由， 得 B．由， 得 C．由， 得 D．由 得 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）下列方程变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北·模拟预测）老师在黑板上写出“若，则_________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）下列变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型05 解一元一次方程 【典例5】（25-26七年级上·重庆·期末）解出下列方程（组） (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）解方程 (1) (2) 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期末）解方程； (1) (2) 【变式3】（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型06 解一元一次方程错解复原 【典例6】（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）下列是小明和小华同学关于一元一次方程的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请你从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． 小明同学： 解方程．解：．·······第①步 ·······第②步 ·······第③步 ·······第④步 ·······第⑤步 ·······第⑥步 小华同学： 解方程．解：·······第①步 ·······第②步 ·······第③步 ·······第④步 ·······第⑤步 ·······第⑥步 (1)选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）； (2)该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______； (3)请写出正确的解答过程． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·阶段检测）下面是小军同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 任务： (1)上述解题过程中出现了错误，最开始出现错误的是第___________步，错误的原因是___________． (2)请帮小军写出正确的解题过程． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）（学习情境·过程纠错）解答下列各题． (1)下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：_____，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 方程两边同除以2，得．…第五步 填空： ①以上求解步骤中，第一步进行的是_____，这一步的依据是_____； ②以上求解步骤中，第_____步开始出现错误，错误的原因是_____； ③该方程正确的解为_____； ④除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． (2)解方程：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得， 第一步 去括号，得， 第二步 移项，得， 第三步 合并同类项，得， 第四步 系数化为，得． 第五步 (1)任务一：解答过程中，第一步变形的依据是 ，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 ． (2)任务二：请求出方程正确的解． 题型07 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 【典例7】（25-26七年级上·广东广州·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的值为______． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期末）若关于的方程：的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之积是__________ 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·重庆开州·阶段检测）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有符合条件的整数a的和为______． 题型08 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 【典例8】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为___． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则关于的一元一次方程的解为______． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 _____ ． 【变式3】（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 题型09 一元一次方程的应用 【典例9】（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产6个支架或15套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？配成多少套？ (2)若每套太空漫步器的成本为200元，每套按成本加价销售，现打算将当天的配套产品全部销售，售出一部分后，出现滞销，工厂决定打八折出售剩余的太空漫步器，全部售出后共获利9200元，有多少套太空漫步器打八折出售？ 【变式1】（25-26七年级上·四川巴中·期末）学校举行羽毛球比赛，需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个）．某商店羽毛球拍200元/副，羽毛球10元/个．该商店有两种购买方案： 方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． (1)若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ (2)若方案一和方案二既可以单独使用，也可以组合使用．若学校此次需要购进300个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【变式3】（25-26七年级上·湖北十堰·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 题型10 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 【典例10】（25-26七年级下·福建漳州·期中）我们定义了一种新运算：．例如：．请根据这个新定义的运算，回答以下问题： (1)计算： ． (2)若，求x的值． 【变式1】（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知为不相等的两个有理数，且均不等于0． 现定义有序有理数对的“真诚值”为：，如数对“真诚值”为：，数对的“真诚值”为： (1)根据上述的定义填空：___________，___________； (2)若数对的“真诚值”，求的值． 【变式2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有．例如：． (1)求的值； (2)若，求有理数的值． 【变式3】（25-26七年级上·云南文山·期末）定义一种新运算“”：，该运算符合四则运算规律，例如： (1)求的值； (2)若，求的值． 题型11 解一元一次方程中的新定义型拓展问题 【典例11】（25-26七年级上·贵州黔西南·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”． (1)若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值； (2)若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值； (3)若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解． 【变式1】（24-25七年级上·广西贺州·期中）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)方程________（填“是”或“不是”）方程的“后移方程”，并说明理由？ (2)若关于x的方程是方程的“后移方程”，试求m的值． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程是“成双方程”．例如：方程和是“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否是“成双方程”； (2)若关于的方程与方程是“成双方程”，求的值． 题型12 一元一次方程的应用之数轴上的行程问题 【典例12】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）学校、书店、公交站三点在同一条直线上．已知学校和公交站相距，以书店为原点画出数轴，如图所示．公交站在数轴上用数字900表示，一辆公交车匀速往返于学校和公交站之间（停车时间忽略不计），设公交车的速度为． (1)学校在数轴上用数字________表示； (2)小红从学校出发去书店时，正好有一辆公交车从公交站出发开往学校．已知小红步行的速度是． ①小红步行去书店，出发时，与这辆公交车首次相遇，求公交车的速度． ②若小红在第二次与这辆公交车相遇时坐上车去书店，结果比步行少用到达书店，求公交车的速度． 【变式1】（24-25七年级上·陕西延安·期中）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒）． (1)时点表示的有理数为________； (2)若点到点、点的距离相等，求的值； (3)写出点到点的距离（用含的代数式表示）． 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·期中）已知数轴上，两点表示的数分别为，．如图，若点和点分别从点，同时出发，都沿数轴的负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度，设运动的时间为秒． (1)运动2秒时，两点对应的数分别为_____，_____； (2)运动秒时，两点对应的数分别为_____，_____；（用含的代数式表示） (3)当，两点相遇时，求点在数轴上对应的数； (4)当，两点之间的距离为6时，求的值． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，点是数轴的原点，点分别是数轴上的点，且点表示的数是单项式的次数，点在原点的左侧，且． (1)点表示的数是______，点表示的数是______； (2)若点在原点的左侧，且点到点，点的距离满足，求点在数轴上表示的数； (3)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．设运动的时间为秒，当为何值时，？ 一、单选题 1.（25-26七年级下·山西长治·期末）下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2（25-26七年级下·甘肃天水·期末）方程的解为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 二、填空题 5．（25-26六年级下·山东烟台·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 6.（2026·湖南长沙·二模）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 10.（23-24七年级上·四川绵阳·期中）某工厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，请问制作大小两种月饼各用了多少面粉？ (2)在（1）的条件下，已知制作一个精美月饼包装盒的成本为5元，面粉的进价为25元/千克，在不计其它成本的情况下，工厂想达到的利润率，则应如何制定每盒月饼的出厂价？ 11．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投． (1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分； (2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）新“龟兔赛跑”故事：兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点． (1)设乌龟的奔跑时间为，则由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 ． (2)求（）中的值． 一、单选题 1.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 3.（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 5．（2025七年级上·全国·专题练习）某足球联赛一个赛季共进行26轮比赛（即每队均需赛26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数依次是（） A．7，13，6 B．6，13，7 C．9，12，5 D．5，12，9 二、填空题 6．（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______． 7．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题，大意为：甲从长安出发，日到齐国，乙从齐国出发，日到长安，现乙先出发日，甲才从长安出发．则甲与乙相遇时，甲所走的天数为_________日． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）设一列数、、、…、中任意三个相邻数之和都是，已知，，，求的值．在这个问题中可列关于的方程为________． 10．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的，是小贺卡面积的，若大贺卡不重叠部分比小贺卡不重叠部分面积多8平方厘米，则重叠部分的面积是_______平方厘米． 三、解答题 11．（25-26七年级上·天津红桥·期末）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24七年级上·山东日照·期末）某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人．现根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ (2)加工某种零件，师傅平均每小时做5个，徒弟平均每小时做4个，加工一盒零件，师傅比徒弟少用．问：一盒零件有多少个？ 14．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程：． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤ (1)从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． (2)请写出正确的解题过程． 15．（25-26七年级上·山东临沂·期末）项目式学习 进一步了解百分数在生活中的运用，提高利用百分数解决问题的能力． 素材1 实验学校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共80个．每个篮球售价为150元，比足球单价多25%． 素材2 采购时恰逢年中促销．商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上打七五折，又打了八折，按这个价格销售商城还有的利润． 素材3 采购时足球仍按照原价销售，每个足球的进价比篮球进价高，经采购人员预算发现：商家销售完这批篮球和足球可共获利1500元． 问题解决 任务1 确定足球的售价 每个足球的售价是多少元钱？ 任务2 确定篮球的进价 每个篮球的进价是多少元钱？ 任务3 问题解决的策略 为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动．商家继续给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：经过优惠后的购物总费用再打九折； 方案二：每买5个足球免费赠送2个篮球，不足5个不赠送； 方案三：购物超过3000元的部分每满200元，返现金30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $