专题 3.5 整式的加减——整式的加减运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题 3.5 整式的加减——整式的加减运算（知识梳理+ 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 学习目标 1 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】整式加减运算法则 2 【知识点二】分数型整式化简规则 2 【知识点三】整式加减常见应用场景 2 【知识点四】高频易错点总结 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】整式的加减运算 3 【题型2】整式化简求值 4 【题型3】整式加减应用 6 四.题型精析（综合提升） 8 【题型4】整式加减中无关型问题 8 【题型5】多层括号整式化简 10 【题型6】数轴上绝对值化简问题 12 【题型7】图形数列规律归纳问题 14 五.同步检测 17 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 21 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 24 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 知识目标：熟练掌握整式加减的运算法则，明确整式加减的本质是去括号与合并同类项；掌握两个多项式和、差的列式与运算方法，学会分式型整式的化简方法；掌握整式加减在几何图形、数字规律、代数式求值、逆向运算中的基本应用。 2. 能力目标：能规范完成单层、多层括号的整式化简运算，能准确处理含分数的整式加减；掌握“先化简、后代入”的求值方法；能利用整式加减解决图形面积周长计算、数字探究、规律归纳、逆向求多项式等综合问题，提升代数运算与逻辑推理能力。 3. 素养目标：建立符号意识，体会从具体数字到字母代数的数学思想；通过整式的化简与应用，培养严谨规范的运算习惯和举一反三的解题思维，感受代数运算的实用性。 重难点 重点：同类项的识别与判定；合并同类项运算；正负号去括号法则；整式加减化简；整式重点：整式加减的基本运算；多项式求和、求差的规范列式与化简；整式化简求值；整式在几何图形中的基础应用。 难点：多项式作差时整体加括号、去括号变号问题；多层括号、分数型整式的化简运算；整式加减的逆向运算问题；利用整式运算探究数字与图形规律。 二.知识梳理与解读 【知识点一】整式加减运算法则 整式的加减运算，实质是去括号和合并同类项。几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项。 运算步骤： 1. 列式：求多项式的和与差时，每个多项式必须整体加括号； 2. 去括号：遵循去括号法则，括号前为负号，括号内各项全部变号；括号前有数字因数，利用乘法分配律乘遍括号内每一项，杜绝漏乘； 3. 合并同类项：同类项系数相加减，字母和字母指数保持不变； 4. 整理结果：化为最简整式。 【知识点二】分数型整式化简规则 对于含分母的整式加减式子，不可直接拆分化简，需先找最简公分母统一通分，将式子转化为同分母整式运算，合并分子后再化简，最终化为最简分式或整式。 【知识点三】整式加减常见应用场景 1. 代数运算：多项式和差计算、多层括号化简、化简求值； 2. 逆向运算：已知运算结果和其中一个整式，求未知整式； 3. 几何应用：利用整式表示图形周长、面积，通过加减运算求解剩余图形面积、周长； 4. 数字规律：用字母表示两位数、连续数，通过整式加减探究数字整除规律； 5. 规律探究：通过列举归纳，用整式表示通用变化规律。 【知识点四】高频易错点总结 1. 多项式相减时，减式未加括号，导致符号错误； 2. 去括号时，负号漏变部分项的符号，数字因数漏乘括号内项； 3. 分数型整式化简，随意拆分分子、漏乘公分母； 4. 代入负数、分数求值时，未添加括号导致运算失误。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】整式的加减运算 【例题1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）小心哟！准确的化简吧： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）原式先去括号，合并同类项进行化简． （2）原式先去括号，合并同类项进行化简． （1）解： （2）解： 【变式1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由题意得 ， ∴这个多项式为． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查整式加减运算的化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则即可求解，先化简代数式，再整体代入已知条件求值． 解： ∵， ∴原式． 【变式3】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）化简 （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： （2）解： 【题型2】整式化简求值 【例题2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）先化简，再求值： （1），其中； （2）．其中． 【答案】（1）；；（2）； 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． （1）解：原式， ； 当时，原式； （2）解：原式 ； 当时，原式． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 通过整体代入法求解，观察所求式子与已知等式的关系，将所求式子变形为含已知等式的形式，再代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【答案】16 【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将整体代入计算即可． 解：∵， ∴ ． 【变式3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知多项式，． （1）求； （2）如果，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代入求值，准确地进行运算是解题的关键． （1）根据题意表达，然后去括号化简即可； （2）根据（1）中的结果，代入求值即可． （1）解： ． （2）解：∵，， ∴ ． 【题型3】整式加减应用 【例题3】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有x人，第二组人数比第一组人数的少5人，第三组人数比第一、二组人数的和少15人，第四组人数与第一组人数的2倍的和是34人． （1）用含x的代数式分别表示第二组、第三组、第四组的人数； （2）求七年级一班的总人数． 【答案】（1）第二组人数：（人）．第三组人数：（人）．第四组人数：（人）；（2）人 【分析】（1）分别用代数式表示出各组的人数即可； （2）将各组的人数相加，再合并同类项可得总人数． （1）解：第二组人数：（人）． 第三组人数：（人）．                  第四组人数：（人）； （2）解： （人）， 故七年级一班的总人数是人． 【变式1】（2026·陕西·中考真题）在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意表示出小乐采摘西红柿的个数，再将两人采摘个数相加，化简后得到结果即可． 解：∵小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的个数比小欢少个， ∴小乐采摘西红柿的个数为个， ∵， ∴两人一共采摘的个数为个． 【变式2】（25-26七年级上·福建福州·期末）某校原来有学生x人，本学期开学时，转入学生人，转出学生人，则该校现有学生________人． 【答案】 【分析】根据原有学生人数+转入学生人数-转出学生人数列出代数式，再去括号、合并同类项即可得到结果． 解：根据题意得： ． 即该校现有学生人． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时（其中）． （1）两船相距多远?（结果化为最简） （2）后甲船比乙船多航行多少千米?（结果化为最简） 【答案】（1）200千米；（2）千米 【分析】本题考查了整式的加减的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先表示出顺水航速和逆水航速，再列式计算即可得解； （2）根据题意列式计算即可得解． （1）解：顺水航速船速水速， 逆水航速船速水速． 由．可知，后两船相距． （2）解：由．可知，后甲船比乙船多航行． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】整式加减中无关型问题 【例题4】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）已知代数式． （1）化简：； （2）若，求的值； （3）若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． （1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 【变式1】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【分析】先计算，然后根据关于x，y的多项式与的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算即可． 解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，， 解得，， ， 故答案为： 【变式3】（24-25七年级上·湖南·期中）已知， （1）化简： （2）在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解； （2）先对整式进行化简运算，然后再进行求解即可． （1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 【题型5】多层括号整式化简 【例题5】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： 【答案】 解： ． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）[教材练习2变式]下列去括号或添括号中： ①； ②； ③； ④． 正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查整式加减中去括号和添括号，熟练掌握去括号和添括号法则是解题的关键； 去括号时要注意括号的前的符号，注意是否要变号；添括号时要注意括号内式子符号的变化． 解：，故①正确； ，故②错误； ，故③错误； ，故④正确； 故正确的有①④； 故选：C 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 解： ． 【变式3】（25-26七年级上·重庆江北·周测）化简 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，得到最简整式； （2）先利用乘法分配律去中括号，再去小括号，最后合并同类项． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型6】数轴上绝对值化简问题 【例题6】（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． （2）化简：． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据两点之间的距离得出答案； （2）先根据数轴可得，再去掉绝对值即可． （1）解：A和B之间的距离是，点C和1之间的距离是，将点A向右移动5个单位长度为，或向左移动5个单位长度为； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·贵州黔南·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，结合绝对值的性质化简，整式的加减运算法则计算即可． 解：根据数轴得到，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁丹东·开学考试）有理数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，化简：______． 【答案】/ 【分析】由图可得，，，，然后根据绝对值的性质进行化简即可求解． 解：由图可得，，，， ∴原式 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“”或“”填空： a 0，b 0，c 0， 0． （2）化简：． 【答案】（1），，，；（2） 【分析】（1）由数轴得出，进一步得出； （2）根据绝对值的性质结合（1）中的结论解答即可． （1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：由（1）知，； ∴， ∴ ． 【题型7】图形数列规律归纳问题 【例题7】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， （1）按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； （2）按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； （3）设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【答案】（1），；（2），；（3）①，② 【分析】本题主要考查图形的变化类，解答本题的关键是发现题目中“△”和“★”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）①令解得，再代入即可得的值； ②用消去n，即可得与之间的数量关系． （1）解：按上图所示规律得： 图4中“△”的个数为，“★”的个数为； 图5中“△”的个数为，“★”的个数为； 图6中“△”的个数为，“★”的个数为； 故答案为：16，33； （2）解：按上图所示规律，图中“△”的个数为，“★”的个数为， 故答案为：，； （3）解：①当时，， 解得，， 此时，， ②∵，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·重庆·二模）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（     ） A．56 B．57 C．63 D．64 【答案】B 【分析】通过观察图形，分析出火柴棒根数的变化规律是解题的关键． 解： ∵图案①需根火柴棒， 图案②需根火柴棒，， 图案③需根火柴棒，， 每增加一个图案，火柴棒根数增加根， 第个图案需火柴棒根数为， 当时，（根）． 【变式2】（2026·山东聊城·模拟预测）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼成若干图案：则第n个图案中正四边形的个数比正三角形的个数多________​个（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】由题意可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此规律得出答案即可． 解：第一个图案正三角形个数为（个），正四边形的个数为（个）； 第二个图案正三角形个数为（个），正四边形的个数为（个）； 第三个图案正三角形个数为（个），正四边形的个数为（个）； …； 第n个图案正三角形个数为（个），正四边形的个数为（个）， 第n个图案中正四边形的个数比正三角形的个数多个． 【变式3】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． （1）计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． （2）验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． （3）规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 【答案】（1）11，99，9；（2）16，144，是；（3）解：以上这个结论对于任何一个月的月历都成立，猜想：设9个数字的和为， 则 证明：中心数为 其余8个数分别为：，，，，，，，． ． 【分析】此题考查了列代数式、有理数的运算、整式的加减，解决本题的关键是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． （1）根据图1中数字可求解； （2）根据图2中数字可求解； （3）设中心数为n，根据日历中数字特点，用n表示出其它8个数，利用整式的加法运算可得结论． （1）解：由图1知，方框的中心数为11， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：11，99，9； （2）解：由图2知，方框的中心数为16， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：16，144，是； （3）略 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵， ∴． 2．（24-25七年级上·山西临汾·期末）晋晋把错算成，结果比原来（ ） A．大 B．小 C．大 D．小 【答案】A 【分析】根据题意可得，然后进行计算即可解答． 解： ， ∴结果比原来大． 3．（24-25七年级上·北京·期中）如图，a，b是有理数，则式子化简的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由数轴得到且，然后去绝对值后合并即可． 解：由数轴可知，且， ∴， ∴ ． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 解：， ∴ ． 5．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简求值，关键是通过去括号、合并同类项将代数式转化为含已知条件的形式，再利用整体代入法计算． 解： ； 已知，将其代入，原式=． 故选：A． 6．（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）若代数式中不含项，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】代数式不含某一项时，该项合并后的系数为0，据此计算a的值． 解：， ∵代数式中不含项， ∴项的系数等于0，即， ∴． 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ）. A．24 B．43 C．57 D．69 【答案】B 解：分别求出圈出的是一横行、圈出的是一竖行三个数的和，进而判断即可． 【解答】解：若圈出的是一横行，则相邻的数相差1，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为； 若圈出的是一竖行，则相邻的数相差7，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为； 由此可知三个数的和为3的倍数， 答案中只有43不是3的倍数． 8．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】设两堆煤原来的质量，根据运出比例表示出剩余质量，计算剩余质量差即可得到结果． 解：设甲堆原有吨，甲比乙多20吨，则乙堆原有吨， ∵各运出， ∴甲堆剩余质量为吨，乙堆剩余质量为吨， 两堆相差：（吨）． 9．（2026·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得，移项得，将化简为，再将代入计算，即得答案． 解：是方程 的解， ， ， ． 故选B． 10．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，由题意得，整理得，即，然后将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 解：由题意得， 整理得， 则， ， 故选：A． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）化简的结果是________． 【答案】 解：原式． 12．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若代数式的值为10，则代数式的值为___________． 【答案】 解：∵， ∴， ∴ 13．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）若关于的代数式的值与的值无关，则___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，把所给代数式先去括号，然后合并同类项，根据代数式的值与x的值无关，可得含x的项系数为零，据此求解即可． 解： ， ∵关于的代数式的值与的的值无关， ∴， 解得， 故答案为：6． 14．（24-25·江苏泰州·模拟预测）若与互为相反数，则a与b的关系为_____． 【答案】 解：∵与互为相反数， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）一个两位数的个位数字为，十位数字比个位数字的两倍多3，则这个两位数为______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意先求出十位上的数字，再根据两位数的表示方法列出代数式，化简即可得到结果； 解：根据题意可知，个位数字为，十位上的数字为， 则这个两位数为； 16．（25-26六年级上·山东威海·期末）已知，，则的值为______． 【答案】8 【分析】把所求的代数式去括号，合并同类项化简为最简形式，再把给出的代数式代入求值计算即可． 解： ， ∵，， ∴原式． 17．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 18．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 【答案】 解：第个图案中，黑色六边形的数量为个； 白色六边形：第1个有个， 第2个有个， 第3个有个， 可得第个图案中白色六边形数量为个； ∴白色六边形比黑色六边形多：个． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）化简 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接合并同类项得到化简结果； （2）先去括号，再合并同类项得到化简结果． （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ． （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则即可求解，先对原式去括号，合并同类项得到最简结果，再代入、的值计算即可求解． 解： ． 当，时 原式． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． （1）若的结果中不含项和x项，求a、b的值； （2）若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】（1），；（2），， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． （1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． （1）请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） （2）小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】（1）；（2）9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． （1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式加减的化简求值； （1）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可； （2）先计算出，再根据为五次六项式，求m的值即可． （1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵为五次六项式， ∴和中一个是五次单项式， 当是五次单项式时，，，此时是五次六项式； 当是五次单项式时，，，此时是五次五项式，不合题意； ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.5 整式的加减——整式的加减运算（知识梳理+题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 学习目标 1 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】整式加减运算法则 2 【知识点二】分数型整式化简规则 2 【知识点三】整式加减常见应用场景 2 【知识点四】高频易错点总结 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】整式的加减运算 3 【题型2】整式化简求值 3 【题型3】整式加减应用 4 四.题型精析（综合提升） 4 【题型4】整式加减中无关型问题 4 【题型5】多层括号整式化简 5 【题型6】数轴上绝对值化简问题 5 【题型7】图形数列规律归纳问题 6 五.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 知识目标：熟练掌握整式加减的运算法则，明确整式加减的本质是去括号与合并同类项；掌握两个多项式和、差的列式与运算方法，学会分式型整式的化简方法；掌握整式加减在几何图形、数字规律、代数式求值、逆向运算中的基本应用。 2. 能力目标：能规范完成单层、多层括号的整式化简运算，能准确处理含分数的整式加减；掌握“先化简、后代入”的求值方法；能利用整式加减解决图形面积周长计算、数字探究、规律归纳、逆向求多项式等综合问题，提升代数运算与逻辑推理能力。 3. 素养目标：建立符号意识，体会从具体数字到字母代数的数学思想；通过整式的化简与应用，培养严谨规范的运算习惯和举一反三的解题思维，感受代数运算的实用性。 重难点 重点：同类项的识别与判定；合并同类项运算；正负号去括号法则；整式加减化简；整式重点：整式加减的基本运算；多项式求和、求差的规范列式与化简；整式化简求值；整式在几何图形中的基础应用。 难点：多项式作差时整体加括号、去括号变号问题；多层括号、分数型整式的化简运算；整式加减的逆向运算问题；利用整式运算探究数字与图形规律。 二.知识梳理与解读 【知识点一】整式加减运算法则 整式的加减运算，实质是去括号和合并同类项。几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项。 运算步骤： 1. 列式：求多项式的和与差时，每个多项式必须整体加括号； 2. 去括号：遵循去括号法则，括号前为负号，括号内各项全部变号；括号前有数字因数，利用乘法分配律乘遍括号内每一项，杜绝漏乘； 3. 合并同类项：同类项系数相加减，字母和字母指数保持不变； 4. 整理结果：化为最简整式。 【知识点二】分数型整式化简规则 对于含分母的整式加减式子，不可直接拆分化简，需先找最简公分母统一通分，将式子转化为同分母整式运算，合并分子后再化简，最终化为最简分式或整式。 【知识点三】整式加减常见应用场景 1. 代数运算：多项式和差计算、多层括号化简、化简求值； 2. 逆向运算：已知运算结果和其中一个整式，求未知整式； 3. 几何应用：利用整式表示图形周长、面积，通过加减运算求解剩余图形面积、周长； 4. 数字规律：用字母表示两位数、连续数，通过整式加减探究数字整除规律； 5. 规律探究：通过列举归纳，用整式表示通用变化规律。 【知识点四】高频易错点总结 1. 多项式相减时，减式未加括号，导致符号错误； 2. 去括号时，负号漏变部分项的符号，数字因数漏乘括号内项； 3. 分数型整式化简，随意拆分分子、漏乘公分母； 4. 代入负数、分数求值时，未添加括号导致运算失误。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】整式的加减运算 【例题1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）小心哟！准确的化简吧： （1） （2） 【变式1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）已知，则的值为_______． 【变式3】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）化简 （1） （2） 【题型2】整式化简求值 【例题2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）先化简，再求值： （1），其中； （2）．其中． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【变式3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知多项式，． （1）求； （2）如果，，求的值． 【题型3】整式加减应用 【例题3】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有x人，第二组人数比第一组人数的少5人，第三组人数比第一、二组人数的和少15人，第四组人数与第一组人数的2倍的和是34人． （1）用含x的代数式分别表示第二组、第三组、第四组的人数； （2）求七年级一班的总人数． 【变式1】（2026·陕西·中考真题）在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·福建福州·期末）某校原来有学生x人，本学期开学时，转入学生人，转出学生人，则该校现有学生________人． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时（其中）． （1）两船相距多远?（结果化为最简） （2）后甲船比乙船多航行多少千米?（结果化为最简） 四.题型精析（综合提升） 【题型4】整式加减中无关型问题 【例题4】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）已知代数式． （1）化简：； （2）若，求的值； （3）若的值与y的取值无关，求x的值． 【变式1】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【变式3】（24-25七年级上·湖南·期中）已知， （1）化简： （2）在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【题型5】多层括号整式化简 【例题5】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）[教材练习2变式]下列去括号或添括号中： ①； ②； ③； ④． 正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 【变式3】（25-26七年级上·重庆江北·周测）化简 （1）； （2）． 【题型6】数轴上绝对值化简问题 【例题6】（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． （2）化简：． 【变式1】（25-26七年级下·贵州黔南·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁丹东·开学考试）有理数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，化简：______． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“”或“”填空： a 0，b 0，c 0， 0． （2）化简：． 【题型7】图形数列规律归纳问题 【例题7】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， （1）按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； （2）按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； （3）设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【变式1】（2026·重庆·二模）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（     ） A．56 B．57 C．63 D．64 【变式2】（2026·山东聊城·模拟预测）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼成若干图案：则第n个图案中正四边形的个数比正三角形的个数多________​个（用含n的代数式表示）． 【变式3】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． （1）计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． （2）验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． （3）规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山西临汾·期末）晋晋把错算成，结果比原来（ ） A．大 B．小 C．大 D．小 3．（24-25七年级上·北京·期中）如图，a，b是有理数，则式子化简的结果为（　　） A．0 B． C． D． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 5．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 6．（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）若代数式中不含项，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D． 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ）. A．24 B．43 C．57 D．69 8．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 9．（2026·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 10．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）化简的结果是________． 12．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若代数式的值为10，则代数式的值为___________． 13．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）若关于的代数式的值与的值无关，则___________． 14．（24-25·江苏泰州·模拟预测）若与互为相反数，则a与b的关系为_____． 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）一个两位数的个位数字为，十位数字比个位数字的两倍多3，则这个两位数为______（用含的代数式表示）． 16．（25-26六年级上·山东威海·期末）已知，，则的值为______． 17．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 18．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）化简 （1） （2） 20．（本小题满分8分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． （1）若的结果中不含项和x项，求a、b的值； （2）若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． （1）请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） （2）小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $