河南鹤壁市兰苑中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级上学期数学同步练习 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A．（为常数） B． C． D． 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知代数式的取值如下所示，由表中数据可得，关于的一元二次方程的解是(     ) A．， B．， C．， D．， 4．已知是方程的根，则代数式的值为（     ） A．7 B． C．5 D． 5．若一个关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 6．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，学校计划在一张的矩形展板上设计一幅活动宣传海报，需在展板内部划分出4个宣传文字区域（图中的阴影部分）．要求文字区域与展板左、右、下边缘的间隔以及4个文字区域之间的间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是．若要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，则根据题意可列出的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且，则m的值是（     ） A． B．14 C．或14 D．2或 8．关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（    ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 9．在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3，若，则阴影面积为（     ） A．8 B．9 C．11 D．10 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若是方程的根，则； ②若，则； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11．化简：（其中，）______ 12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 14．若两个不相等的实数p，q满足，，则的值为________． 15．已知等腰三角形的一条边长为，另两条边长是关于的一元二次方程的两个根，则______． 三、解答题（共有8个小题，共75分） 16．（本题6分）计算： (1) (2) 17．（本题6分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（本题9分）在数学课外学习活动中，小王遇到一道题：已知，求的值． 他是这样解答的： ， ，，即． ， ． 请你根据小王的解题过程，解决如下问题： (1)试化简________； (2)化简； (3)若，求的值． 19．（本题10分）新定义：若关于的一元二次方程，其中，，满足，我们就称这个一元二次方程为“美妙方程”． (1)判断方程是否为“美妙方程”，并说明理由； (2)已知关于的“美妙方程”的一个根是，求这个“美妙方程”． 20．（本题10分）某商城在年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元． (1)商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； (2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 21．（本题11分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当一矩形的对角线，且矩形两条边和的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 22．（本题11分）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，令，则原方程可化为．① 解方程①可得：， ∴当时，即，则，故 当时，即，则，故 ∴原方程的解为，，， 【解决问题】 (1)通过阅读材料，由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到________的目的．（填“降次”或“消元”） (2)请仿照材料中的方法并结合现有知识，解下列方程： ① ② 23．（本题12分）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 九年级上学期数学同步练习参考答案 一、单选题 1．D 2．D 3．C 4．D 5．B 6．C 7．A 8．B 9．B 10．C 二、填空题 11． 12．且 13． 14． 15．或或 3、 解答题 16．（1）解： ； （2）解： ． 17．（1）解：， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 18．（1）； （2）解： ； （3）解：， ， ，即， ， ． 19．(1)是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 20．（1） 解：设每次降价的百分率为， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：每次降价的百分率为； （2） 解：设每台冰箱的售价应定为元， 由题意，得：， 解得：, 答：每台冰箱的售价应定为元． 21．(1) 证明：由题意得 ； ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2）解：设，； ∵，是方程的两个根， ∴，； ∵ 矩形对角线，， ∴； ∵， ∴， 整理得， 解得，； ∵矩形边长为正数， ∴，， 即且，得， ∴舍去，取； ∴， ∴ 矩形周长为. 答：矩形的周长为14. 22．(1)降次 （2）解：①设，则原方程可化为， ∴， 解得或（舍去）， 当时，则， 解得或； ②设，则原方程可化为， ∴， 解得或， 当时，则， ∴， 解得或； 当时，则， ∴， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或或． 23．(1) （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $