精品解析：河南省周口市沈丘县两校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应位置． 3．所有答案均需写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（） A B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A B. C. D. 5. 如图， 是 的外接圆，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. C. D. 当时，y随x 的增大而增大 10. 如图， 在中， 弦，半径 于点 D，若，则的长为（ ） A 5 B. 6 C. 8 D. 1 二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分， 共18分) 11. 一元二次方程的根是______． 12. 二次函数的最大值是_____________． 13. 如图，，切⊙于两点，若，则_____． 14. 若点都在抛物线 上， 则的大小关系是_______． 15. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为__________． 16. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，则可列方程为____________． 三、解答题 (本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）画出该函数的大致图象（要求标注顶点和与坐标轴的交点）． 19. 如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 21. 已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围； （2）若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 22. 如图，抛物线 经过，，三点． （1）求抛物线解析式； （2）若点P是抛物线上的一点，且的面积是 ，求点P的坐标． 23. 如图， 是的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接． （1）求证： （2）若 求的半径． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象与x 轴交于，两点， 与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点． （1）求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （2）连接，，求 的面积 （3）点P 是抛物线在第二象限图象上的一动点，连接，， 当的面积最大时，求点 P 的坐标及最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应位置． 3．所有答案均需写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，且必须是整式，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数需满足整式且最高次项为2次，且， 选项A：，最高次为1次，故不符合题意； 选项B：，含有分式，不是整式，故不符合题意； 选项C：，是整式且最高次项为2次，故符合题意； 选项D：，含有分式，不是整式，故不符合题意， 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线的顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选D． 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”直接计算． 【详解】解：∵将抛物线向左平移2个单位，得， ∴再向下平移3个单位，得， ∴得到的抛物线解析式为． 故选：A． 5. 如图， 是 的外接圆，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握知识点是解题的关键． 根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：是的外接圆，， ． 故选：A． 6. 已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，通过解方程组求解参数是解题的关键． 将三个点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，解方程组求a． 【详解】解：二次函数 的图象经过点，，， 则 解得 因此a的值为， 故选：A． 7. 若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，圆锥的侧面积可通过扇形面积公式计算，即底面周长母线长． 【详解】解：∵底面半径 ，母线长， ∴侧面积． 故选：A． 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的根，，一元二次方程没有根，，一元二次方程有两个相等的根， 9. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. C. D. 当时，y随x 的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线与x轴交点和，可设抛物线解析式为，从而得出对称轴及的值，再判断各选项． 【详解】解：∵抛物线与x轴交点和， ∴设， ∴对称轴， 故A正确，不符合题意； 当时，， 故B正确，不符合题意； ， ∵， ∴， 故C正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向下， ∴时y随x增大而减小， 故D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图， 在中， 弦，半径 于点 D，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、垂径定理等知识，掌握知识点是解题的关键． 连接，有，求出，由勾股定理，得到，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图， 有， ∵，半径 于点 D，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分， 共18分) 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 12. 二次函数的最大值是_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先将二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质即可得其最大值． 【详解】解：， ∴当时，二次函数有最大值，最大值是3． 故答案为：3． 13. 如图，，切⊙于两点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，进而得出，根据题意计算，得到答案． 本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵，切⊙于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若点都在抛物线 上， 则大小关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数函数值变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对函数值的影响是解题的关键．根据开口向上，且对称轴为直线，判断出点A，点B，点C离对称轴的远近可得结论． 【详解】解：∵的开口向上，且对称轴为直线， 又∵点A离对称轴最近，点B、C离对称轴距离相等， ∴． 故答案为：． 15. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式S=，可得． 【详解】S= 故答案为： 【点睛】考核知识点：扇形面积．熟记扇形面积公式是关键． 16. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，则可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 该商品第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，据此列出方程即可． 【详解】解：某商品原价为200元，第一次降价后的价格为， 第二次降价后的价格为， 则列方程为， 故答案为：． 三、解答题 (本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法，公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 解：， 方程有两个不相等的实数根， 即 ． 18. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）画出该函数的大致图象（要求标注顶点和与坐标轴的交点）． 【答案】（1）该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）见解析． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可； （）利用画函数图象的步骤即可求解． 【小问1详解】 解：由可得， ∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：列表： 描点， 连线， 如图， 19. 如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据垂径定理得出，根据圆周角定理，即可得出答案； （2）设半径为r， 则，根据垂径定理得，即，然后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵，是直径， ， ∴； 【小问2详解】 解：设半径为r， 则， ∵，是直径， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即半径为5． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【答案】（1）每件衬衫应降价20元 （2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． （1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解． （2）列出商场平均每天赢利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意得， 整理得， 解得，． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元． 【小问2详解】 解：设商场平均每天赢利y元，则 ； ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元． 21. 已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围； （2）若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 【小问1详解】 解：判别式且， 解得且； 【小问2详解】 解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 22. 如图，抛物线 经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上的一点，且的面积是 ，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积公式，解一元二次方程． （1）已知抛物线经过，两点，可设抛物线的交点式为．再将点的坐标代入该式，即可求出a的值，从而确定抛物线的解析式； （2）已知，， 则线段长度为两点横坐标之差的绝对值．设点P的坐标为，根据三角形面积公式 底高，的底为，高为点P的纵坐标的绝对值，根据题意的面积是，可以列出关于的等式，解出y的值．然后将y的值代入第一问求出的抛物线解析式，解出对应的x值，即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将代入， 得： ， 解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设点P坐标为，根据三角形面积公式，得： ， ， ， 所以或， 当时，代入 得： 解得 ， 此时点P的坐标为或， 当时，代入 得∶ ， 整理得：， 判别式，此方程无实数解． 综上， 点P的坐标为或． 23. 如图， 是的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接． （1）求证： （2）若 求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）半径为 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角，三角形的外角，勾股定理，三角函数，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）连接 推导出，得到 继而推导出则，即可解答． （2）设，，由得到由勾股定理，得，即求出r的值即可． 【小问1详解】 证明：连接如图， ∵点C在上， 为的切线， ∴， 即 ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【小问2详解】 设，， ∵， ∴ 由勾股定理，得 ， 即 ， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：的半径为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于，两点， 与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点． （1）求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （2）连接，，求 的面积 （3）点P 是抛物线在第二象限图象上的一动点，连接，， 当的面积最大时，求点 P 的坐标及最大面积． 【答案】（1）； （2）3 （3）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、三角形面积，熟练掌握二次函数的图像，运用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）令抛物线对称轴与交于点，求得点，进而求出直线的解析式，得到点的坐标，进而得到的长，利用求解即可； （3）过点向轴作垂线，与直线交于点，易得直线的解析式，设，则，进而得到当时，的面积最大，据此求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入得 解得 则二次函数解析式为， 对称轴为， 将代入得：， 则顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令抛物线对称轴与交于点， 令得， 则点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， 解得 则直线的解析式为， 将代入得， 则点的坐标为， ， 因此； 【小问3详解】 解：过点向轴作垂线，与直线交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， 解得 则直线的解析式为， 设，则， 则， 即， 则当时，的面积最大为， 将代入函数得， 因此，当的面积最大时，点P的坐标为，最大面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $