专题11 圆的有关性质（3大知识点8大题型、单元复习、期中复习讲义）20226-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题11 圆的有关性质 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、垂径定理 2 知识点二、圆周角定理 3 知识点三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 垂径定理及推论计算（平行弦、同心圆）】 4 【题型2 垂径定理的实际应用】 6 【题型3 弧、弦、圆心角的关系计算与证明】 9 【题型4 圆周角定理基础计算】 11 【题型5 同弧等弧圆周角转化、角度推导】 14 【题型6 直径所对圆周角为直角综合计算】 16 【题型7 圆内接四边形角度计算】 19 【题型8 圆中角度、线段综合证明与计算】 22 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 24 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 41 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・垂径定理及其推论，构造直角三角形结合勾股计算弦长、弦心距 ・弧、弦、圆心角三者之间的等量关系 ・圆周角定理，同弧、等弧圆周角性质 ・直径与 90° 圆周角互推 ・圆内接四边形对角互补、外角性质 ・垂径定理实际模型应用 ・圆中角度转化、线段证明综合 ・垂径定理、圆周角定理是圆板块核心考点 ・小题常单独考角度、弦长计算，解答题常融合证明 ・直径构造直角、圆内接四边形是角度转化常用模型 ・注重识图，在复杂图形中识别基础圆模型 考情解码： ・易错集中在：垂径定理漏用平分弧、平分弦的条件限制 ・平行弦问题忽略双解，没有分类讨论 ・分不清圆周角、圆心角对应的弧 ・圆内接四边形外角性质容易和其他角度定理混淆 ・是圆计算与证明的基础，大量综合题以此为底层模型 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、垂径定理 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 知识点二、圆周角定理 定理 示例 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即． 知识点三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 垂径定理及推论计算（平行弦、同心圆）】 【例1】如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，且， ， 由垂径定理可得，且， 在中，由勾股定理可得． 【变式1-1】如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 【变式1-2】两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OC、OA，构造出Rt△AOC，求出OA2-OC2的值，再乘以π即为环形的面积． 【详解】解：连接OC、OA，则OC⊥AB， 在Rt△AOC中， OA2-OC2=AC2=（AB）2=9， 所以环形的面积为OA2π-OC2π=9π， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理以及圆面积的计算公式． 【变式1-3】下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①直径是过圆心的弦，正确； ②当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ③④等弧的定义、优弧与劣弧的大小比较均需以同圆或等圆为前提，仅长度相等的弧不一定是等弧，优弧也不一定大于劣弧，均错误； ⑤圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，正确. 综上，正确的说法共2个. 【题型2 垂径定理的实际应用】 【例2】一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵此管件的直径为， ∴， ∵水的深度为， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 【答案】C 【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米． 【变式2-2】如图①是古典园林中的门洞，它的示意图近似为一个圆形拱门，如图②所示，若点O为圆心，测得的半径为，圆形拱门的最高点到最低点的距离为，则底端的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 答：底端的长为． 【变式2-3】如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 【题型3 弧、弦、圆心角的关系计算与证明】 【例3】如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（   ） ①相等的弦所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④在同一个圆中，弧是弧的2倍，则弦是弦的2倍； ⑤直角三角形的斜边就是它外接圆的直径． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：①原命题：相等的弦所对的弧相等．错误，未限定同圆或等圆，且一条弦对应两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等． 故①不符合要求． ②原命题：平分弦的直径垂直于弦．错误，若被平分的弦为直径，结论不成立． 故②不符合要求． ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．正确． 逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心．正确． 故③符合要求． ④原命题：在同一个圆中，弧是弧的倍，则弦是弦的倍．错误，弦长与弧的长度不成正比，例如弧对应的弦长小于弧弦长的倍． 故④不符合要求． ⑤原命题：直角三角形的斜边就是它外接圆的直径．正确． 逆命题：若三角形的一边是它外接圆的直径，则这个三角形是直角三角形．正确． 故⑤符合要求． 综上，符合条件的命题共个． 【变式3-2】如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．连接，和，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 由，得出的度数，又因为，互相垂直，计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故的度数为， 故选：D． 【题型4 圆周角定理基础计算】 【例4】如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接计算的度数． 【详解】解：， ． 【变式4-1】如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【分析】利用垂径定理得出弧相等，结合圆周角定理求出圆心角度数． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 【变式4-2】如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点O作于点F，过点D作于点E，由垂径定理可得，由圆周角定理和角平分线的定义推出，则可证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点F，过点D作于点E， ∴，， ∵半圆O的直径， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，，，三点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）即可求解． 【详解】解：，分别是的圆周角和圆心角， ． 【题型5 同弧等弧圆周角转化、角度推导】 【例5】下列命题是真命题的是（     ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半径相等的半圆是等弧 【答案】D 【分析】结合圆相关概念的适用前提，逐一判断各命题的真假． 【详解】解：A、 圆周角需两边都与圆相交，该命题缺少此条件，是假命题． B、 共线的三点无法确定圆，是假命题． C、缺少同圆或等圆的前提，相等圆心角所对的弧不一定相等，是假命题． D、半径相等的半圆能够完全重合，是等弧，是真命题． 【变式5-1】如图，中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，且，故得． 【详解】 解：， ， ∵， ∴， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【变式5-2】在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 【变式5-3】如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型6 直径所对圆周角为直角综合计算】 【例6】如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式6-1】已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式6-2】如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明是的直径，由得到，根据圆周角定理和余弦的定义求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴是的直径， ∵点，在上， ∴ ∴， ∴． 【变式6-3】如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可知点在以点为圆心的圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型7 圆内接四边形角度计算】 【例7】如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 【变式7-1】在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆内接四边形对角互补． 解：圆内接四边形， ， ， ， ． 【变式7-2】如图，为半圆O的直径，A，D为半圆O上两点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接与，由直径得；在中求出，再由得到为等边三角形，进而推得，可知，从而得到；四边形是圆内接四边形，与是一组对角，对角互补，计算． 【详解】解：连接、， 为半圆O的直径， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ． 四边形是圆内接四边形， ， ． 【变式7-3】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 【题型8 圆中角度、线段综合证明与计算】 【例8】如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于，由圆内接四边形的性质求出的度数，由圆周角定理求出的度数，由锐角的正弦求出的长．关键是求出的度数，圆的半径长，并掌握弧长公式． 【详解】解：如图，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于， ， ， ， ，， ， ， 的半径为4． 故选：A． 【变式8-1】如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【变式8-2】如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，则有，然后根据圆周角的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【分析】错误选项均缺少对应结论成立的限定条件，可据此判断正误． 【详解】解：A、若被平分的弦是直径，平分该弦的直径不一定与它垂直，错误； B、同一平面内，若三点共线，则无法确定一个圆，错误； C、若不在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧不相等，错误； D、三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，故任何三角形有且只有一个外接圆，正确． 2．下列说法正确的是（     ） A．弧是半圆 B．三点可以确定一个圆 C．直径是弦 D．相等的圆周角所对的弦相等 【答案】C 【分析】根据圆的相关定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、 半圆是特殊的弧，但弧不一定是半圆，故A错误； B、不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故B错误； C、直径是经过圆心的弦，故C正确； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，故D错误． 3．如图，是的直径，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可推出，结合平角的定义和角度的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴． 4．如图，已知中，若，则度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 5．如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 6．下列说法：①三点确定一个圆，②三角形的外心到三个顶点的距离相等，③相等的圆心角所对的弦相等，④长度相等的两条弧是等弧，⑤圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据三角形外心的性质即可判断，③根据圆心角、弧、弦的关系定理即可判断，④根据等弧的定义判断，⑤根据圆的对称性质进行判断． 【详解】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆； ②三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确， ③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中； ④长度相等的两条弧是等弧，错误，条件是在同圆或等圆中； ⑤圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确． ∴正确的有②⑤，共2个． 7．如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明，得，证明，得，，求出，，由勾股定理求出和即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半径为的的直径， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 8．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得的长，再根据已知平分得，解直角三角形求解．求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵直径，， ， ． 平分， ． ， ， ． 在中，． 的半径为． 在中， ， ． ． ， ，， ， ． 9．如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 【答案】 【分析】先连接，根据圆内接四边形的性质得到，再结合已知条件得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点，，，，在上， ∴四边形是圆内接四边形， ，即． ， ， 即所对的圆周角度数为． 10．已知，，、的长分别是一元二次方程的两根，则外接圆的半径为__________． 【答案】 【分析】先解一元二次方程得到两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长，根据直角三角形外接圆直径等于斜边长求半径． 【详解】解：∵和的长分别是一元二次方程的两根， 对方程因式分解得， 解得或， 不妨设，， ∵ 中，， ∴ 由勾股定理得， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴ 外接圆的半径为． 11．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 【答案】18 【分析】由垂径定理和弧的中点性质推出，利用轴对称的性质将的最小值转化为两点间的距离，计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点， ∴，， ∵C为劣弧的中点， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，延长交于点，连接， ∴，， ∴点与点关于对称， ∴， ∴， ∴点、、三点共线， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴、、三点共线时，有最小值，的最小值为点与点重合时，即最小值为， 即为的中点，时，的最小值为． 12．如图，为的一条弦，为等边三角形，圆心O在内部，的延长线交于点D，连接，过点O作的垂线分别交，于点E，F．若，，则的长为_____． 【答案】7 【分析】由题意易得，则有，，然后可得，过点A作，进而根据等边三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵，点O在线段上， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 过点A作，如图所示： ∴ ∴，， ∴． 13．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 14．如图，在正方形网格中，有一圆弧经过三个点． (1)请在图中标出圆心的位置； (2)若，请判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在的内部． 理由如下： 解：由题可知，圆的半径为：， ∵， ∴， ∴点在的内部． 【分析】（1）建立平面直角坐标系，圆心为中垂线的交点即可； （2）根据勾股定理判断半径与的大小即可． 【详解】（1）略； （2）解：由题可知点， 则可知圆心在的直线上， 连接， 设点， 则， 即 解得：， 点， 可知圆的半径为：， ∵， ∴， ∴点在的内部． 15．如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵交于点， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证； （2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ， 即． 16．如图，已知是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ，， ∴． (2) 【分析】（1）根据相等的弧所对的圆心角相等得到，再有，，即可证明． （2）先根据为等腰三角形求出的值，再根据也是等腰三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）略． （2）解：， ， ， ， ， ． 17．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解； （2）过点作于点，根据垂径定理得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，然后由勾股定理求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵，圆的半径为6，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．如图，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点、点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为，则面积的最大值是_________． 【答案】(1)证明：如图，连接，， 劣弧的度数为， ， ， 是的垂直平分线， ， 是等边三角形． (2)能为等腰三角形，的度数为或或 (3)面积的最大值为 【分析】（1）由垂直平分线得，利用弧的度数求出圆周角，证出有一个角的等腰三角形是等边三角形； （2）分、、三种情况讨论，结合等边三角形性质、角度推理，舍去不存在的情况，求出对应； （3）先由证出，将求面积的最大值转化为求面积的最大值，确定动点轨迹为以点为圆心，长为半径的圆，找到到的最大值，代入三角形面积公式求最大值． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，如图， 是的半径， 此时也是的半径， 点在上，易知点与点重合， 由（1）可知是等边三角形， ， ； ②当时，有两种情况： 当点靠近点时，如图， 是的垂直平分线， 点在直线上，即，，三点共线， 据（1）可知是等边三角形， ， ． ， ； 当点靠近点时，如图， ， ， ， ； ③当时， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ． ， ， 即此时点在的延长线上，易知此时点与点重合， 以，，为顶点不构成三角形， 故此情况不存在， 综上所述，能为等腰三角形，的度数为或或． （3）解：如图，取的中点， 连接，，，，，， 是的垂直平分线， 点在直线上，， 在和中， ， 由为等边三角形，可得， 在圆内接四边形中，， 据（1）可知是等边三角形， ， 点，，在以点为圆心，长为半径的上， ， 和中， ， ， 又， 为等边三角形， ， 点在上， 过点作于点， 当点，，三次共线时，的长最大，最大，即最大， 此时，， ， ， ， 面积的最大值为． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 43 页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题11 圆的有关性质 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、垂径定理 2 知识点二、圆周角定理 3 知识点三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 垂径定理及推论计算（平行弦、同心圆）】 4 【题型2 垂径定理的实际应用】 5 【题型3 弧、弦、圆心角的关系计算与证明】 6 【题型4 圆周角定理基础计算】 7 【题型5 同弧等弧圆周角转化、角度推导】 8 【题型6 直径所对圆周角为直角综合计算】 9 【题型7 圆内接四边形角度计算】 10 【题型8 圆中角度、线段综合证明与计算】 11 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 12 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 17 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・垂径定理及其推论，构造直角三角形结合勾股计算弦长、弦心距 ・弧、弦、圆心角三者之间的等量关系 ・圆周角定理，同弧、等弧圆周角性质 ・直径与 90° 圆周角互推 ・圆内接四边形对角互补、外角性质 ・垂径定理实际模型应用 ・圆中角度转化、线段证明综合 ・垂径定理、圆周角定理是圆板块核心考点 ・小题常单独考角度、弦长计算，解答题常融合证明 ・直径构造直角、圆内接四边形是角度转化常用模型 ・注重识图，在复杂图形中识别基础圆模型 考情解码： ・易错集中在：垂径定理漏用平分弧、平分弦的条件限制 ・平行弦问题忽略双解，没有分类讨论 ・分不清圆周角、圆心角对应的弧 ・圆内接四边形外角性质容易和其他角度定理混淆 ・是圆计算与证明的基础，大量综合题以此为底层模型 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、垂径定理 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 知识点二、圆周角定理 定理 示例 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即． 知识点三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 垂径定理及推论计算（平行弦、同心圆）】 【例1】如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1-1】如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式1-2】两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 垂径定理的实际应用】 【例2】一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 【变式2-2】如图①是古典园林中的门洞，它的示意图近似为一个圆形拱门，如图②所示，若点O为圆心，测得的半径为，圆形拱门的最高点到最低点的距离为，则底端的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【题型3 弧、弦、圆心角的关系计算与证明】 【例3】如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（   ） ①相等的弦所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④在同一个圆中，弧是弧的2倍，则弦是弦的2倍； ⑤直角三角形的斜边就是它外接圆的直径． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3-2】如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-3】如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．连接，和，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型4 圆周角定理基础计算】 【例4】如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 【变式4-2】如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 【变式4-3】如图，，，三点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型5 同弧等弧圆周角转化、角度推导】 【例5】下列命题是真命题的是（     ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半径相等的半圆是等弧 【变式5-1】如图，中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【题型6 直径所对圆周角为直角综合计算】 【例6】如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型7 圆内接四边形角度计算】 【例7】如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，为半圆O的直径，A，D为半圆O上两点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【题型8 圆中角度、线段综合证明与计算】 【例8】如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 【变式8-1】如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-2】如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个外接圆 2．下列说法正确的是（     ） A．弧是半圆 B．三点可以确定一个圆 C．直径是弦 D．相等的圆周角所对的弦相等 3．如图，是的直径，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知中，若，则度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 6．下列说法：①三点确定一个圆，②三角形的外心到三个顶点的距离相等，③相等的圆心角所对的弦相等，④长度相等的两条弧是等弧，⑤圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 10．已知，，、的长分别是一元二次方程的两根，则外接圆的半径为__________． 11．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 12．如图，为的一条弦，为等边三角形，圆心O在内部，的延长线交于点D，连接，过点O作的垂线分别交，于点E，F．若，，则的长为_____． 13．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 14．如图，在正方形网格中，有一圆弧经过三个点． (1)请在图中标出圆心的位置； (2)若，请判断点与的位置关系，并说明理由． 15．如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 16．如图，已知是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 17．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 18．如图，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点、点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为，则面积的最大值是_________． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 43 页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $