精品解析：江西省多校联考2026-2027学年高三上学期10月限时训练数学试题

高三数学限时训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 若是偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 23 D. 3. “”是“函数存在极值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若为第二象限角，且角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，底面，，，，为平面内一点，且，则直线与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若动点在抛物线上，抛物线的焦点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上的最小值为 C. 的图象关于点对称 D. 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，且为的虚轴的一个端点，则（ ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 为定值 D. 当的离心率大于3时， 11. 设是定义在上的可导函数，其导函数为，且对任意，恒成立，则（ ） A. B. 可能是常数函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数满足，则____________． 13. 已知集合，，则的元素的个数为____________． 14. 在中，，，，为所在平面内的一点，延长至点，使得，，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若（，），为非零常数，讨论的最值； （2）若，，求的最大值． 16. 已知函数与的部分图象如图所示，其中，，且． （1）求，，的值； （2）设函数，求的单调递减区间及图象的对称轴方程． 17. 小陈进行射击练习，他射击次，每次射击的命中率均为，且每次射击命中与否相互独立． （1）设，，求小陈命中次数的数学期望与方差． （2）设，当在上变化时，小陈恰好命中2次的概率记为． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）比较与的大小． 18. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若，当时，，求． （2）若在上是增函数，，且，证明：． （3）当时，，当时，，当时，．设为坐标原点，点，当直线的斜率取得最大值时，求． 19. 已知函数． （1）求函数的值域． （2）证明：曲线在点处的切线除切点外恒在曲线的上方． （3）给定，设是项数为的数列，且，当时，求数列的前项和的最大值（结果用含，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学限时训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据全称量词命题的否定规则，更换量词类型同时否定结论即可得到结果. 【详解】原命题的否定为. 2. 若是偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 23 D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据偶函数的定义可知， 又当时，，将代入解析式得， 因此. 3. “”是“函数存在极值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据可导函数存在极值的充要条件：导函数存在两个不相等的实零点，求解函数存在极值时的取值范围，再结合充分必要条件的定义判断即可． 【详解】，， 必要性判断：∵函数存在极值， 有两个不相等的实数根，， 解得，可推出，必要性成立； 充分性判断：当时，恒成立， 则在上单调递增，不存在极值，充分性不成立． 因此“”是“函数存在极值”的必要不充分条件． 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数运算性质统一对数底数比较与的大小，再结合对数、指数函数的单调性判断、与1的大小关系，最终得出三者排序. 【详解】由题设有. 又，对数函数在上单调递增，且， 因此，即.  由对数函数单调性得； 指数函数在上单调递增， 因此，即. 综上可得. 5. 若为第二象限角，且角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义，求得，再结合三角恒等变换化简目标式，代入求值即可. 【详解】因为角的终边经过点，所以，解得， 又角为第二象限角，所以，所以， 则， 因为角为第二象限角，所以， 所以， 又，所以. 6. 在三棱锥中，底面，，，，为平面内一点，且，则直线与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定为的外心，利用正弦定理求得外接圆半径即的长度，再结合线面角的定义计算所求角的正弦值． 【详解】已知为平面内一点，且， 所以为的外心， 设的外接圆半径为， 根据正弦定理，在中，， 因为，， 所以，即． 因为底面，底面， 故，且在底面内的投影为， 因此直线与底面所成的角为． 在中，，， 故． 则直线与底面所成角的正弦值为． 7. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知函数在内单调递增，值域为，分类讨论函数在内的零点个数，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】因为函数在内单调递增， 则函数在内的值域为. 若函数在内无零点，则或，可得或， 可知函数在内有2个零点， 则，解得，所以或； 若函数在内有且仅有1个零点，则，可得， 可知函数在内有且仅有1个零点， 则或，解得或，所以无解； 综上所述：的取值范围是. 8. 若动点在抛物线上，抛物线的焦点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点距离公式，结合导数判断函数单调性，即可求解最值 【详解】设，则， 由于,则， 设 设则，故单调递增， 由于，故当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，故的最小值为， 因此的最小值为8，故的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上的最小值为 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据图象的平移变换，得到的解析式，可得选项A错误；再根据正弦函数的图象性质，可知选项B、C正确；根据函数的周期性，先求得、，进而可判断选项D正确. 【详解】对于A选项，函数的图象向左平移个单位长度，可得，故A错误； 对于B选项，当时，可得， 可知当时，取得最小值，即，因此在上的最小值为，故B正确； 对于C选项，因为，令（），解得（）， 取时，可得，因此点是的对称中心，故C正确； 对于D选项，由，可得，则，， 所以，所以，故D正确. 综上所述，选项BCD正确. 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，且为的虚轴的一个端点，则（ ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 为定值 D. 当的离心率大于3时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距定义、渐近线方程，结合平面向量数量积的坐标表示、离心率公式逐一判断即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，因此，， 根据双曲线的对称性，不妨设. A：因为，所以双曲线的焦距为，因此本选项说法正确； B：因为，所以双曲线的渐近线方程为，因此本选项说法不正确； C：因为， 所以，因此本选项说法正确； D：当的离心率大于3时，则有， 所以，因此本选项说法正确. 11. 设是定义在上的可导函数，其导函数为，且对任意，恒成立，则（ ） A. B. 可能是常数函数 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过已知条件，构造函数，并通过求导确定在上单调递减.对于A选项，通过单调性可得：，进而代入即可判断选项正误；对于B选项，若为常数函数，则对任意，，然后取特值，即可判断选项正误；对于C选项，通过单调性可得：，进而代入即可判断选项正误；对于D选项，通过单调性可得：，进而代入可得：，再通过构造函数，利用的单调性可得：，即，从而判断选项正误. 【详解】已知对任意，，则有. 则设，求导：， 因为，，所以. 故在上单调递减. 对于A选项，由于，则，即，整理得：，故A选项正确； 对于B选项，若为常数函数，则对任意，，当时，，故不成立，因此B选项错误； 对于C选项，由于，则，即，整理得：，故C选项正确； 对于D选项，由于，则，即，整理得：. 又令，求导， 当时，，故在单调递增. 由此可得：，即，可得：， 综上可得：，故D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数满足，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法，结合幂函数的定义进行求解即可. 【详解】. 因为是幂函数， 所以. 13. 已知集合，，则的元素的个数为____________． 【答案】2 【解析】 【详解】由可得， 由于，，， ， 因此,故中有两个元素. 14. 在中，，，，为所在平面内的一点，延长至点，使得，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用余弦定理求出，再按在左、右两侧分类讨论，右侧情形推出矛盾被排除，故在左侧且交于，由得算出，再由得算出，最后求出. 再通过角的关系和正弦定理求出的值，进而求出. 【详解】已知在中，，，， 根据余弦定理可得：， ， 因为，所以，如图1所示，当点在点的右侧时，延长交直线于点， 则，设，则，， 因为，，所以， 则，即，解得，所以点不在点的右侧， 当点在点的左侧时，连接，设， 若与线段交于，如下图： 由三角形外角等于不相邻两个内角和可知：， 在中，，则，则， 与条件， 故不可能交线段， 从而与线段相交，如图： 由，， 则，则， 所以，， 又，得， 所以， 所以， 则，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若（，），为非零常数，讨论的最值； （2）若，，求的最大值． 【答案】（1）当时，有最小值，无最大值； 当时，有最大值，无最小值； （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）用乘1法结合基本不等式求出的最小值，再根据参数a的正负分类讨论分式的最值； （2）先化简求出对数底数m，再用对数运算性质合并表达式，结合基本不等式与对数单调性求出最大值． 【详解】（1）已知， ， 当且仅当，结合可得时取等号，故的最小值为9， 当时，无最大值， 若时，，即存在最小值，无最大值； 若时，，即存在最大值，无最小值； （2），， 故在上单调递减， ， ，当且仅当时取等号，最小值为， 对数函数单调递减，故真数最小时，对数取得最大值： ，故最大值为． 16. 已知函数与的部分图象如图所示，其中，，且． （1）求，，的值； （2）设函数，求的单调递减区间及图象的对称轴方程． 【答案】（1），， （2）单调递减区间为，；对称轴方程为， 【解析】 【分析】（1）根据函数周期性可得，再分别代入点和求，的值； （2）利用三角恒等变换可得，结合正弦函数的单调性和对称性运算求解. 【小问1详解】 设函数、的最小正周期分别为、， 且，则，，即， 由图可知：，即， 则，解得，，， 因为函数的图象过点，则， 且，则， 可得，解得，， 因为函数的图象过点，则， 且，则， 可得，解得，， 综上所述：，，. 【小问2详解】 由题意可知： ， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，； 令，，解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 17. 小陈进行射击练习，他射击次，每次射击的命中率均为，且每次射击命中与否相互独立． （1）设，，求小陈命中次数的数学期望与方差． （2）设，当在上变化时，小陈恰好命中2次的概率记为． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）比较与的大小． 【答案】（1）数学期望为，方差为； （2）（ⅰ），； （ⅱ），当且仅当时取等号 【解析】 【分析】（1）识别命中次数服从二项分布，直接代入二项分布的期望、方差公式计算； （2）（ⅰ）用二项分布概率公式写出恰好命中2次的概率表达式； （ⅱ）对概率函数求导找到最大值点，计算最大值后与给定值比较． 【小问1详解】 设射击命中次数为随机变量，由题意知服从参数为的二项分布，即， 已知，，， ． 【小问2详解】 （ⅰ）时，恰好命中2次的概率由二项分布概率公式得： ； （ⅱ）对求导得， 令，解得或或， 又，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故时，取得最大值：， 故，当且仅当时等号成立． 18. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若，当时，，求． （2）若在上是增函数，，且，证明：． （3）当时，，当时，，当时，．设为坐标原点，点，当直线的斜率取得最大值时，求． 【答案】（1） （2）因为在上是增函数，所以在上单调递增，则. 要证，只需证. 由在上是增函数，得， 因为，所以. 因为，所以， 则，所以，故； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，然后在上分段求解不等式即可； （2）由题意，先得到的取值范围，利用条件将原不等式转化为证明即可； （3）由题意，作出时的大致图象，分析出直线与圆的下半部分相切时，斜率最大，并求出值，从而得到，再分段求解即可. 【小问1详解】 若，则， 则. 当时，因为且，所以，解得； 当时，由，解得. 综上，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，得， 此时，的图象是以为圆心，以1为半径的圆的下半部分. 当时，作出的大致图象，如下图所示： 由图可知，当直线与这个圆的下半部分相切时，斜率最大. 当直线与这个圆的下半部分相切时，设直线的方程为， 则点到直线的距离，解得， 由图可知，应取. 若，. 由，解得； ，解得. 当时，， 所以. 19. 已知函数． （1）求函数的值域． （2）证明：曲线在点处的切线除切点外恒在曲线的上方． （3）给定，设是项数为的数列，且，当时，求数列的前项和的最大值（结果用含，的式子表示）． 【答案】（1） （2）曲线在点处的切线方程为，即. 设函数，则，且. ， 设，则， 因为，所以，所以，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 故曲线在点处的切线除切点外恒在曲线的上方． （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数先求出内层函数的值域，再求出外层函数的值域即可； （2）利用曲线在点处的切线方程，构造函数，利用导数求出函数的二阶导数，即函数上凸，从而得到，即可得证； （3）通过变形构造函数，将原式转化为的和，发现，通过分析得到，即是等比数列时，数列的前项和最大，并利用第二问的结论求出最大值即可. 【小问1详解】 设，则其定义域为，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增, 所以，即， 所以， 则， 所以在上单调递增，则， 当时，， 所以函数的值域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，当时，， 且，又，所以. 由（2）知，， 于是， 而，则， 当且仅当对一切恒成立， 即，即时，等号成立. 故所求最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $