广西壮族自治区来宾市第一中学2026-2027学年高二上学期10月自主检测数学试题

来宾一中2028届高二（上)数学10月自主检测 一、单选题 1.已知集合A={x-1<x<1),B={x|0≤x≤2}，则AUB=() A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x≤2} C.{x|0≤x<1 D.{x|0≤x≤2} 2.已知=a则《) A.5 B.5 C.5 D.3 3 3.已知向量a=(0,-2,0),b=(1,0,1),若(ka+b)1(a-b),则k=( A月 B.月 C.-2 D.2 4.已知cosa= ,则co2a=() a号 B.号 c.- 2 D. 2 5.若圆的一条直径的端点是A(-1,0),B(5,0),则此圆的方程是() A.(x-2)2+y2=3 B.(x-3)2+y2=9 C.(x-2)2+y2=9 D.(x-3)2+y2=3 6.己知椭圆C: 父+上=1经过点(2，)，则C的离心率为（） 2 A. 2 B. 2 c.6 4 D. 7.若点P在椭圆父+ -=1上，耳，耳分别是椭圆的两焦点，且∠P乃=45°，则△耳PE面积是() 42 A.4-√2 B.2√2-2 C.2W2+2 D.4+V2 8.已知圆C:(x+3)+y2=64,A(3,0),P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线1和半径CP相交于 点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为() A.+上=1 B. 二1 169 6436 C.xy x2.y2 16+7 =1 D. 64281 二、多选题 9.下列结论正确的是() A.零向量是任意直线的方向向量 B.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 试卷第1页（共4页） C.空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D.任意两个非零空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 10.已知椭圆B:亡+”=1的上顶点为M左、右焦点分别为R,乃，则() 十 43 A.长轴长为4 B.M=2 C.离心率为 D.△MF的周长为6 2 11.已知函数f(x)=sin2x-√3cos2x,下列说法正确的是() A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的一个对称中心为 c.f)在区间0,3 内单调递增 D.将函数y=2sim2x的图象上所有点向右平移匹个单位长度，可得到函数y=f)的图象 6 三、填空题 12.计算：lg2+lg5= 13.若方程 ,y2 =1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是 6-m'm-4 14.已知椭圆+ 京+万1(a>b>0)的左、右焦点分别是R、乃，过的直线与椭圆交于P、Q两点.若 |P=2P引=3Q,则该椭圆的离心率为一 四、解答题 15.已知斜率为1，经过点Q(2,1)的直线1，交圆C:x2+y2=4于A,B两点. (1)求直线1的方程： (2)求AB的长度. 16.某市为了改善交通状况，实行小红帽志愿者服务，协助交警参与交通疏导.现对某单位参与志愿服 务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加小红帽'志愿者服务的次数.根据 所得数据，按[0,5)，[5,10)，[10,15)，15,20)，[20,25)，[25,30]分成六组，得到如图所示的频率分布直方图. 试卷第2页（共4页） 个频率/组距 0.08 0.05 0.03 00 04 51015202530次数/次 (1)求图中a的值： (2)若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数： (3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知ac0sC+ccosA=2 b cos B. (1)求角B的大小： (2)若b=4,△ABC的面积为4√3，求△ABC的周长. 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC 的中点. D B (1)证明：PA∥平面EDB; 试卷第3页（共4页） (2)求平面EDB与平面PAD夹角的正弦值： B)在棱PB上是否存在一点F,使直线BP与平面EDB所成角的正弦值为6，若存在，求出线段BP的长： 3 若不存在，说明理由. 19. 已知瓶圈8：苦若1a办>0过点同.废心率为 (1)求椭圆E的方程： (2)过点M(V2,1)的直线1与椭圆交于A,B两点，若点M为线段AB的中点，求直线I的方程： (3)过点N(2,0)的直线1与椭圆交于C,D两点，若原点O总在以CD为直径的圆内，求直线l斜率的取值 范围。 试卷第4页（共4页） 《来宾一中2028届高二（上)数学10月自主检测》参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B B B B C A B C BD ABD 题号 11 答案 ACD 1.B 【分析】由并集的运算即可得到结果. 【详解】因为A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2}，则AUB={x-1<x≤2} 2.B 1 【详解】对z分母实数化：z= 1+2i-1+2i_1+2 1-2i(1-2i)1+2i1)555 +ⅰ，再根据复数模的公式得 -传+百= 3.B 【详解】由题知ka+b=k(0,-2,0)+(1,0,1)=(1,-2k,1),ā-b=(0,-2,0)-(1,0,1)=（-1,-2,-1), 由(a+b)1(a-b),可得(ka+b)(a-b)=0, 符到0-2(12-)=-14-10，解行= 4.B 【分析】直接利用余弦二倍角公式，代入已知的cos的值计算即可求解 3 【详解】因为cosa= 所以cos 因此cos2a=2x3-1=3-1=1 2 21 4 42 2 5.C 【详解】由已知，圆心为直径端点A(-1,O),B(5,0)的中点， 圆心坐标： -1+50+0) 22 =(2,0), 1 半径r=AB=2×刘5-（-)3， 2 圆的标准方程为(x-2)2+y2=32, 即(x-2)2+y2=9 6.A 【详解】己知椭圆C:￥+父=1经过点(2,1， 则4+=1，解得m=8, 2 答案第1页（共9页） a=22,c=V8-2=√6， e=2=v6-v3 a2√22 7.B 【分析】先根据椭圆定义和余弦定理求出PPF,再根据面积公式求出答案。 【详解1因为椭圆方程为+父-1，a=2,b=V5,:c=-万=4-2=5 42 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点P有： |P+P=2a=4,|FEl=2c=2W2 因为∠P=45,在△耳PF中使用余弦定理有：FF=|P+PE-2 PEPE cos∠EPE. ∴EE=（P+PED2-2 PEPE-2PPF引cos∠EPE, 即8=16-2PPE引-V2PllP引，PRIIPE=8-4W2 85-PP明m5-4W-25-2 故选：B 8.C 【分析】直接由题意可得：OC+OA=OC+OP=CP=8>CA=6,符合椭圆定义，且得到长半轴和半 焦距，再由b2=a2-c2求得b2,则点9的轨迹方程可求 【详解】圆C:(x+3)+y2=4的圆心坐标为C(-3,0),半径为8. 依题意知：lOc+lgA=|gC+gP=cp=8>CA=6, ∴点Q的轨迹是以A,C为焦点的椭圆， 且a=4,c=3,B=a2-c2=7,∴所求点2的轨迹方程为 ,y2 671. 9.BD 【分析】本题考查空间向量的基础概念，结合直线方向向量、相等向量、空间向量基底、空间向量共面的 答案第2页（共9页） 定义逐一判断各选项即可. 【详解】选项A:直线的方向向量定义为与直线平行的非零向量，零向量不能作为直线的方向向量，A错 误； 选项B:相等向量的定义就是方向相同且模相等的向量，与向量起点位置无关，B正确； 选项C:空间中只有三个不共面的向量才能构成空间的一个基底，共面的三个向量无法作为基底，C错误： 选项D:任意两个空间向量都可以通过平移使起点重合，两个共起点的向量可确定唯一平面，因此可转化 为同一平面内的向量，非零向量也满足该性质，D正确， 10.ABD 【详解】椭圆+父=1中，G=4b=3,c2=口-6=4-3=1， 43 则a=2,b=√5，c=1,焦点(-1,0)，E(1,0),上顶点M0,3), 选项A:长轴长2a=4,故A正确： 选项B:M匹=VV3)+P=2,故B正确： 选项C:离心率e=C-1≠ ,故C错误； a22 选项D:△瓜乃的周长为M+M+=2a+2c=4+2=6,故D正确. 11.ACD 【分析】辅助角公式化简函数，根据三角函数的基本性质即可求解， 【详解】因为)=m2x-5cos2x=2sin(2x-孕 A选项，(x)的最小正周期为兀，故A选项正确： B选项， 5π 6 2sin2x5π） 63 2m行5，故B选项错误： C选项，因为x∈ 所以函数了y)在区间0写)内单调递增，故C选项正确， D选项，将函数y=2sm2x的图象上所有点向右平移个单位长度得， 6 y22】2m2x2m2x到的图家，故D连项正： 故选：ACD 12.1 【分析】运用对数的运算公式进行求解即可 【详解】lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=1. 答案第3页（共9页） 故答案为：1 13.(4,5) [6->0 【详解】因为方程+少 =1表示焦点在x轴上的椭圆，所以-4>0， 6-mm-4 6-m>m-4 解得4<<5. 14.3 3 【分析】根据椭圆定义，|P耳l,|P耳|，|QI,QF|都用a表示，由cos∠QF=-cos∠P乃，构造齐次式 即可求解 【详解】 P F2 依题得Pr|+|PE=2a,|r+r=2a,又PE=2P=3FQ, 则P明aPs台1 0卡ga, 则cos∠QrF=-cos∠P耳F, 则 2.2c.4 22c3 a 9 则1c=14d,则e2= 27 3 即es 3 15.(1)x-y-1=0: (2)14, 【详解】(1)由题可设直线1的点斜式y-1=x-2,整理得直线1：x-y-1=0. (2)由题可知，圆C的圆心C(0,0),半径r=2, 答案第4页（共9页） 又因为圆心C0,0到直线AB的距离d:山=2 1P+12, 所以弦长AB=24-( 5y=4 16.(1)a=0.015 (2)105 (3)15.3125 【分析】(1)根据频率分布直方图中频率之和为1可求得α的值 (2)首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数 (3)根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数 【详解】(1)由频率分布直方图可知(0.01+0.03+0.05+0.08+2a×5=1,解得a=0.015. (2)由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为(0.08+0.015+0.01)×5=0.525， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为200×0.525=105. (3)因为(0.015+0.03+0.05)×5=0.475(0.5,0.475+0.08×5=0.875)0.5， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在[15,20)内. 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则(-15)×0.08+0.475=0.5， 解得m=15.3125,即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125. 17.号 (2)12 【详解】(1)由题意得acosC+ccosA=2 bcosB, 由正弦定理得sin AcosC+sin CcosA=2 sin B cos B, 由两角和的正弦公式得sin(A+C)=2 sin B cos B, 可得sin(π-B)=2 sin Bcos B,即sinB=2 sin B cos B, 在△ABC中，可得sinB≠0，得到cosB=号， 又因为8∈(0，m,所以B= 3 13 （2)由三角形面积公式得Sc2×ac=4W5, 解得ac=16,由余弦定理得b2=ad2+c2-2 ac cos B=a2+c2-16=16, 化简得d+c2=32,而(a+c)}=d2+c2+2ac=64,a+c=8, 答案第5页（共9页） 故△ABC的周长为a+b+c=12. 18.(1)证明：连接AC,交BD于点O,连接OE,点E是PC的中点，点O是AC的中点， 所以PA/IOE,OEC平面EDB,PA在平面EDB,所以PA∥平面EDB. D (2)30 6 )存在，B即的长为或 4 【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明即可. (2)建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角 (3)假设在棱PB上存在一点F使得BF=BP,且EF=EB+BF,即可求出EF,利用向量的夹角公式 列出关于1的方程求解即可. 【详解】(1)略 (2)以D为坐标原点，以DA,DC,DP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1),所以DB=(1,2,0),DE=(0,1,1) 设平面EDB的法向量m=(x,y,z), mDB=x+2v=0 则 m:Di=y+2=0’令y=-1,则x=2,2=1, 所以平面EDB的法向量m=(2,-1,1), 平面PAD的一个法向量为i=(0,1,0), 设平面EDB与平面PAD夹角为B, 答案第6页（共9页） 则eos6=kos(m m列1V6 m园661 所以sim0=-cos=30, 6 即平面BDB与平面PAD夹角的正弦值为V 6 (3)由题D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1),P(0,0,2), 则EB=(1,1-1),BP=(-1,-2,2), 假设存在这样的点F,设BF=1BP=(-元，-22,2)(0≤元≤1)， 则EF=EB+BF=(1-2,1-22,-1+22), 由(2)知平面EDB的法向量m=(2,-1,1), 设直线EF与平面EDB的夹角为a, 2(1-2)-(1-2)+(-1+22) 则sina=cosEF,= 12 6 1-2)}°+(1-22}+(-1+22×6V92-10+3×63 整理得8-102+3=0.所以(21-1(4-3)=0，解得=号或- 1 当A时，5F:当子时，B即 4 故存在一方尸满起条件，线反歌的长为或号 190+若1 (2)x+√2y-2W2=0 (3)(←1,10 【分析】(1)根据题目所给信息以及，b,c之间的关系，列出等式求解即可： (2)设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出斜率的值，进而可解： (3)先考虑斜率不存在的情况，不符合条件；进而设直线I的方程为y=k(x-2),C(x,3),D(x4,y4),联 立方程，结合韦达定理，OC.OD<0求解即可 【详解】(1)因为椭圆B过点(Q,V),离心率为5 21 所以 c=2 ,解得a2=6,b2=3, a=b2+c2 答案第7页（共9页） 所以，椭圆B的方程为上+”-1： 63 (2)易知直线1的斜率存在， 设直线1的方程为y-1=k(x-V②)， y=k(x-V2)+1 联立 ,消去y并整理得 (22+1)x2+4k1-√2k)x+2(W2k-1-6=0, 由韦达定理得x4十X。= 4k(2k-1 2(N2k-1-6 2K2+148 2k2+1 若点M为线段4的中点，此时(5)-25，解得k=-写 2k2+1 将k=-5代入判别式A-1621--4(2+2k-八-68×4-4x2×2-=16>0,清是题意： 2 所以，直线1的方程为=-+1，即+-2W5=0: (3)斜率不存在的情况：直线x=2,代入椭圆得交点(2,1)，(2，-1)， 此时CD=2,原点O在以CD为直径的圆外，不符合条件： 所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-2),C(x3,y3),D(x4,y4), [y=k(x-2) 联立方程{x2,y ,整理得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-6=0. =1 063 △=(-8k2)2-40+2k2)(82-6=64k4-416k4-42-)=16k2+24>0 8k2 8k2-6 所以，为+：1+2=1+2 因为原点O在以CD为直径的圆内，所以OC.OD<0, 0C.0D=xx4+yy4=x3x4+k2(s-2(x4-2)=0+k2)x4-2k2(3+x4)+4k2<0 整理得：(1+k2)(8k2-)-16k4+4k21+2k2)<0 进一步整理得：6k2-6<0,解得-1<k<1. 答案第8页（共9页） 综上，直线1斜率的取值范围为(-1,1). W C N浴 答案第9页（共9页）