精品解析：广西壮族自治区来宾市来宾高级中学2026-2027学年高二上学期9月自主检测数学试题

2028届高二（上）数学自主检测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则在复平面内对应的点在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A. B. C. D. 4. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的零点为3 C. 在上为增函数 D. 的定义域为 7. 已知一个圆锥的底面半径，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线斜率为，则它的倾斜角为 B. 若，，则直线的倾斜角为 C. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D. 若直线的斜率为，则这条直线必过与两点 10. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 11. 如图，在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与所成的角为 D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 13. 已知向量，，，若，则______. 14. 函数在区间上的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 18. 在中，角所对的边分别是，且． （1）求边长的值； （2）求的面积． 19. 在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点． （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二（上）数学自主检测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得， 所以. 2. 设，则在复平面内对应的点在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 则对应于复平面的点为，在第一象限. 3. 经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 4. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出基本事件的总数以及所取两数均为偶数包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【详解】从中抽取两个数基本事件有： 共种， 所取的两个数均为偶数的有，共种， 所以所取两数均为偶数的概率为， 故选：A. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 6. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的零点为3 C. 在上为增函数 D. 的定义域为 【答案】C 【解析】 【分析】由函数性质依次判断各选项可得出结果. 【详解】,可知函数的零点为3，可知A,B正确； 中，由，解得：， 故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确. 故选：C 7. 已知一个圆锥的底面半径，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆锥底面圆面积，侧面积（其中为底面圆半径，为母线长）， 已知，即. 圆锥高，所以圆锥的体积. 8. 如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明是异面直线CD与所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角． 【详解】∵， ∴是异面直线CD与所成的角或其补角， 在直角中，， ，所以， 所以异面直线CD与所成的角是， 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线斜率为，则它的倾斜角为 B. 若，，则直线的倾斜角为 C. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D. 若直线的斜率为，则这条直线必过与两点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D. 【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确； 对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即， 易知，故直线必过，故C正确； 对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误． 故选：ABC. 10. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 11. 如图，在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与所成的角为 D. 平面平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：设该正方体的棱长为， . A：设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 因为， 所以不互相垂直，因此平面不成立，故本选项结论不正确； B：设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 因为， 所以， 所以平面，故本选项结论正确； C：因为， 所以， 因此与所成的角为，所以本选项结论正确； D：设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 因为， 所以，因此平面平面，所以本选项结论正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据斜率相等计算. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 13. 已知向量，，，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案. 【详解】由题意，，因为，所以. 故答案为：2. 14. 函数在区间上的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，结合最大值的定义进行求解即可. 【详解】，该二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以该二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为， 所以， 因此该二次函数在区间上的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】（1）直线AB的斜率为，直线AC的斜率为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式运算求解； （2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解. 【小问1详解】 由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. 【小问2详解】 如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点F，连接，， 因为E是的中点，所以且，因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过中点来证明四边形是平行四边形，然后根据线面平行的判定定理证明即可. （2）先通过线面垂直的判定定理证明平面，，然后建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过向量法求得面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，的延长线交于一点， 平面，平面，所以平面， 又因为，所以，，两两垂直， 所以以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量，则， 即，取，得， 设平面与平面的夹角为，则. 17. 国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 【答案】（1） （2）众数为 ，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）利用频率分布表估计众数和平均数. （3）先确定满意度评分值在内男性与女性的人数，再结合古典概型求概率. 【小问1详解】 由. 【小问2详解】 估计众数为， 估计平均数为：. 【小问3详解】 由题意，满意度评分值为的人有人， 其中男性人，记为，，； 女性有人，记为，. 从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：，，，， ，，，，，，共10个. 记“恰有1名女性”为事件，则事件包含：，，，，，6个样本点. 所以. 18. 在中，角所对的边分别是，且． （1）求边长的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理易得； （2）由三角形内角和求得角，再由和角公式求出的值，最后由三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则； 【小问2详解】 由（1）得， 由可得 ， 则， 故． 19. 在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点． （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明: 、分别为、的中点， ． ∵在直三棱柱中， ，． 平面，平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需要通过证明线线平行进而得出线面平行，即证明． （2）先证明平面，然后求出的面积，进而根据三棱锥的体积公式求出结果即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ，，， 、平面，平面， 平面． ，平面，平面． ，，，，． ， ． 平面，．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $