精品解析：广东江门市华侨中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年度上学期第一次阶段限时练习 九上数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 2. 方程的二次项系数、一次项系数，常数项分别为（ ） A. 3，5，7 B. 3，， C. 3，，7 D. 3，5， 3. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 7. 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且），小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中结论正确的为（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ③④⑤ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 方程的解是_____； 12. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 13. 若抛物线经过和两点，则______． 14. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 15. 如图，是抛物线在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为______. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分．） 16. 解方程：． 17. 已知抛物线经过点． （1）求m的值； （2）求抛物线的顶点坐标． 18. 反比例函数与一次函数的图像都过． （1）求A点坐标； （2）求反比例函数解析式． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 20. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米． （1）求出抛物线的解析式． （2）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分．） 22. 阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： （1）； （2）； （3）已知实数a满足，则______． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求线段的最大值，并求此时n的值； （3）在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期第一次阶段限时练习 九上数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将已知点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可求出的值． 【详解】解：已知点在反比例函数的图象上，将点坐标代入函数解析式： 当时，，代入得， 两边同时乘以，得， 因此，的值为， 故选A． 2. 方程的二次项系数、一次项系数，常数项分别为（ ） A. 3，5，7 B. 3，， C. 3，，7 D. 3，5， 【答案】B 【解析】 【分析】先化成一般形式，即可得出答案． 【详解】解：方程3x2=5x+7转化为一般形式为3x2-5x-7=0， 其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-5，-7， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号． 3. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是将一般式化为顶点式求解． 将一般式化为顶点式即可求出顶点坐标． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：A． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 7. 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题． 【详解】∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位， ∴所得的抛物线的解析式为， 即 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线平移，熟练掌握函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键． 8. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 9. 反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据当和时，和图象的位置逐项判断即可． 【详解】解：∵当时，过一、二、三象限，经过点，过一、三象限； 当时，过一、二、四象限，过二、四象限． ∴选项A：由图象可知，且经过点，但的，不符合条件； 选项B：由的图象可知，不经过点，不符合条件； 选项C：由的图象可知，经过点，的，符合条件； 选项D：由的图象可知，不经过点，不符合条件． 10. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且），小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中结论正确的为（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定，这是解题的关键所在． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，故③错误； ④由图象可得，当时，， ∴， ∴，故④正确； ⑤当时，为最小值， 当（m为任意实数）时，， ∴ 整理得：，故⑤正确． 综上，正确的有②④⑤， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 方程的解是_____； 【答案】 ， 【解析】 【分析】将方程移项后提取公因式因式分解，转化为一元一次方程求解． 【详解】解：移项得 ， 提取公因式得 ， 可得 或 ， 解得 ，． 12. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 【答案】0或2 【解析】 【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可． 本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：0或2． 13. 若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题意，易知对称轴是直线，抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点， ，解得． 故答案为： ． 14. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数法可求解反比例函数解析式，再令，可求得的值，结合图象即可得解． 【详解】解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系， ∴设， ∵点在此函数的图象上， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是． 15. 如图，是抛物线在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为______. 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．依据题意，设根据矩形的周长公式得到，从而根据二次函数的性质来求最值即可． 【详解】解：设， 四边形周长． 当时，四边形周长有最大值，最大值为16． 故答案为16． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分．） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 因式分解得， 即或， ，． 17. 已知抛物线经过点． （1）求m的值； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质与解析式，顶点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1)把代入，得出，即可解答； (2)将代入抛物线解析式，得到，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：， 答：m的值为4； 【小问2详解】 将代入，得 ， ∴抛物线的顶点坐标为． 18. 反比例函数与一次函数的图像都过． （1）求A点坐标； （2）求反比例函数解析式． 【答案】（1）点A的坐标为（4，4） （2）y＝ 【解析】 【分析】（1）把点A（n，4）代入一次函数y=2x-4求出n的值即可得出A点的坐标； （2）再把点A的坐标代入反比例函数求出k的值即可． 【小问1详解】 解：将点A（n，4）代入y＝2x﹣4得：2n﹣4＝4，解得：n＝4， ∴点A的坐标为（4，4）． 【小问2详解】 解：将点A（4，4）代入得：k＝16， ∴反比例函数解析式为y＝． 【点睛】本题主要考查的是一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，掌握函数图像的交点坐标即为函数解析式组成的方程组的解是解答本题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】（1）这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【小问1详解】 解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 20. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式，求解一元一次不等式即可； （2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得，． ， ， ． 21. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米． （1）求出抛物线的解析式． （2）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】（1） （2）这辆货运卡车能通过该隧道 【解析】 【分析】（1）抛物线的解析式为，把代入计算即可； （2）把时代入（1）的解析式，求出x的值即可求出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 设抛物线的解析式为， 把代入 得： 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下： 在中，令得： ， 解得：， ， ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分．） 22. 阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： （1）； （2）； （3）已知实数a满足，则______． 【答案】（1）， （2），， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用换元法解方程，一元二次方程根的判别式，熟练运用换元法解方程是解题的关键． （1）设，把方程化为，求出，再代入，求出的值； （2）设，把方程转为，求出，再代入，求出的值； （3），将原方程化为关于的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 设，则方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，此方程无实数根， 原方程的解是：，； 【小问2详解】 解： 整理得， 设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：， ∴原方程的解为：，，． 【小问3详解】 解：， 令， 则， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，此时，舍， 故答案为：． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求线段的最大值，并求此时n的值； （3）在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，线段有最大值，最大值为； （3）存在．点M的坐标为、、． 【解析】 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $