精品解析：广东省江门市培英初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

25-26学年上学期九年级10月素养练习数学试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下软件的是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形．将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它是中心对称图形； C、它不是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：B． 2. 下列成语中描述的事件必然发生的是（　　） A. 水中捞月 B. 日出东方 C. 守株待兔 D. 拔苗助长 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件； B、日出东方，是必然事件； C、守株待兔，是随机事件； D、拔苗助长，是不可能事件； 故选B． 【点睛】本题主要考查随机事件和必然事件的概念,解决本题的关键是要熟练掌握随机事件和必然事件的概念. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征，根据关于原点对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故选：D． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 5. 如图，是的直径，点、在上，点B是的中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据点B是的中点，得到，根据圆周角定理得到，从而得到的度数． 【详解】解：点B是的中点， ， ， ， 故选：A． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，先判断的正负，再利用在各自的象限内随着的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：C． 7. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则∠ABC'的度数是（　　） A. 45° B. 30° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【分析】连接BB′，延长BC′交AB′于点M；证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠MBB′=∠MBA=30°． 【详解】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M； 由题意得：∠BAB′＝60°，BA＝B′A， ∴△ABB′为等边三角形， ∴∠ABB′＝60°，AB＝B′B； 在△ABC′与△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠MBB′＝∠MBA＝30°， 即∠ABC'＝30°； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 8. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 9. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2 .正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像与b2－4ac的关系、对称轴公式、点的坐标及增减性逐一判断即可. 【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 ∴b2－4ac＞0 ∴4ac－b2＜0，故①正确； ②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1 ∴ 解得： ∴2a－b＝0，故②正确； ③∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间， ∴此抛物线与x轴的另一个交点在(0，0)和(1，0)之间 ∵在对称轴的右侧，函数y随x增大而减小 ∴当x=1时，y＜0， ∴将x=1代入解析式中，得：y＝a＋b＋c＜0 故③正确； ④若点(x1，y1)，(x2，y2)在对称轴右侧时， 函数y随x增大而减小 即若x1＜x2，则y1＞y2 故④错误； 故选C. 【点睛】此题考查的是二次函数图像及性质，掌握二次函数图像及性质和各系数之间的关系是解决此题的关键. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得到的抛物线解析式是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与平移，熟练掌握二次函数图形平移规律是解题的关键． 根据二次函数图形平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位，得；再向左平移3个单位，得， 故答案为：． 12. 已知是一元二次方程 的一个根，则m的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得：， 故答案为：2． 13. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有5种等可能性，其中从东面出口出来的可能性有3种， 故从东面出口出来的概率为． 故答案为：． 14. 点和点均在反比例函数（k为常数，）的图象上，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】由得k=xy，把A、B两点的坐标分别代入既得关于a的方程，解方程即可． 【详解】由得k=xy，把A、B两点的坐标分别代入k＝xy中，得k=2(a+1)=3(a-1) 解得：a=5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了反比例函数图象点的特征，掌握此特征是解题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图1，连接AG，先证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°；再根据圆周角定理可可得点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O、G、C三点共线时，CG的值最小；连接OG，由圆的性质可得OD=OG=2,再用勾股定理求得OC的长，即可求得CG的长． 【详解】解：如图1，连接AG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3， ∵F是AE的中点， ∴BF=AE=AF=EF， ∵BF=FG， ∴AF=FG=EF， ∴∠AGE=∠AGD=90°， ∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O， 如图2：当O，G，C三点共线时，CG的值最小，连接OG， ∴OD=OG=2， ∴OC= ， ∴CG的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造动点G的轨迹成为解答本题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 16. 解一元二次方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用十字相乘法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．根据当时，方程有两个相等的实数根求得m值，进而解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，则， ∴，即， 解得． 18. 在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片张，黄色卡片张，蓝色卡片张． （1）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再抽取一张，请用树状图或列表法，求两次抽到的都是红色卡片的概率； （2）若在箱子中增加张蓝色卡片，使从中任意抽取一张红色卡片的概率为，则的值为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列举法求概率．熟悉画树状图法的方法，并求出事件的概率是解题的关键． （1）先画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中两次抽到的都是红色卡片的次数，根据概率的概念得到答案； （2）根据概率公式列出关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片的有种结果， ∴两次抽到的都是红色卡片的概率为； 【小问2详解】 根据题意，知， 解得， 经检验是分式方程的解， 故答案为：4． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位长度，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称的图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的； （3）求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用关于原点对称作图，旋转变换作图和利用弧长公式计算弧长，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，准确运用弧长公式是解题的关键． （1）根据“关于原点对称的点的横坐标和纵坐标互为相反数”找到对应的点，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出三角形三个顶点以点为旋转中心顺时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：∵， ∴点旋转到点的过程中所经过的路径长． 20. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集为_______． 【答案】（1）， （2）8 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意将点的坐标代入函数关系式即可求出参数的值，利用待定系数法求解； （2）设交轴于点C，分别求出和的面积相加即可求解； （3）根据图像直接求解即可． 【小问1详解】 ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 即点，把的坐标代入， 则， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 如图， 设直线交轴于，则， ∴． 【小问3详解】 观察函数图象知，不等式的解集为或． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，考察了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，求直线与轴交点，利用图像求不等式的解集等知识． 21. 综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）①定价为每束30元②售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每天的总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数表示式，令，解方程解决问题①；二次函数求最值，解决问题②即可． 【小问1详解】 解：设日销售量y关于售价x的函数关系式为， 由题意，把代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 设每天的总利润为，则：， ①当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元； ②由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2） 证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 23. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求大孔抛物线的解析式； （2）现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由． （3）当水位上涨时，求小孔的水面宽度． 【答案】（1） （2） 解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下： 在中，当时，解得， ∵， ∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设大孔抛物线的解析式为，把代入解析式中求解即可； （2）在中，求出当时y的值即可得到结论； （3）先求出小孔抛物线的解析式，进而求出当时，x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解；设大孔抛物线的解析式为， 由题意得，， 把代入中得：， 解得， ∴大孔抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设右边小孔抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入中得， 解得， ∴右边小孔抛物线解析式为， 在中，当时， 解得或， ∴， ∴小孔的水面宽度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年上学期九年级10月素养练习数学试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下软件的是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语中描述的事件必然发生的是（　　） A. 水中捞月 B. 日出东方 C. 守株待兔 D. 拔苗助长 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点、在上，点B是的中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则∠ABC'的度数是（　　） A. 45° B. 30° C. 20° D. 15° 8. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2 .正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得到的抛物线解析式是________ 12. 已知是一元二次方程 的一个根，则m的值为____________． 13. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为_____． 14. 点和点均在反比例函数（k为常数，）的图象上，则________． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 16. 解一元二次方程： 17. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 18. 在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片张，黄色卡片张，蓝色卡片张． （1）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再抽取一张，请用树状图或列表法，求两次抽到的都是红色卡片的概率； （2）若在箱子中增加张蓝色卡片，使从中任意抽取一张红色卡片的概率为，则的值为________． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位长度，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称的图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的； （3）求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 20. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集为_______． 21. 综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 23. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求大孔抛物线的解析式； （2）现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由． （3）当水位上涨时，求小孔的水面宽度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $