第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习卷（基础）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 4．已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．25 C．36 D．48 5．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 6．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．若关于的方程有一个正根和一个负根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，且，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 11．已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的取值范围为_____. 13．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________. 14．若正实数满足 ，则的最小值为_____． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 16．已知，，完成下列问题： (1)若，求取得最小值时、的值； (2)若，求的最小值． 17．当时，求关于的不等式的解集. 18．（1）已知，，关于x的不等式的解集为，求m，n的关系式； （2）若a，b都是正数，且，求的最小值； （3）若，求的最大值． 19．已知函数，． (1)若，求关于的方程的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】，， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为4. 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】通过举反例验证假命题来判断A B D，通过不等式证明真命题来判断C. 【详解】对于A：取，此时，故A错误 ； 对于B：取，此时，故B错误； 对于C：，则，故C正确； 对于D：，取，则，故D错误. 3．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 4．已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．25 C．36 D．48 【答案】C 【分析】利用“1”的妙用，将原式转化为，再利用基本不等式求最小值即可 . 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立． 5．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 6．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 7．若关于的方程有一个正根和一个负根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用一元二次方程的根与系数的关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程有一个正根和一个负根， 设方程的两根分别为，其中， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 8．已知，，且，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将题中条件化为，再根据“1”的妙用即可求出取得最小值时和的值，进而即可求出． 【详解】由，，且，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以取得最小值时，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，取，，，则，A错误； B选项，因为，所以，，所以，B正确； C选项，因为，，所以，又，则，所以，C正确； D选项，因为， 又，所以，，所以，所以，D正确. 10．下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 【答案】BCD 【分析】利用均值不等式依次计算每个选项的最小值，A选项的最小值为3不满足，其余均满足即可得到答案. 【详解】对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 11．已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【详解】由题意可知函数的图像开口向上，与轴交点为，所以选项A正确； 当时，可知，所以B错误； 设二次函数，化简得， 即，所以等价于，解得，所以C正确； 不等式等价于，即， 因为，解得或，所以D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，将目标式表示为，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】依题意，，由，得， 由，得，两式相加得：， 所以的取值范围为. 故答案为： 13．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】因为不等式对任意恒成立， 所以即， 解得， 所以实数的取值范围是. 14．若正实数满足 ，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】先因式分解对已知等式变形，换元令，利用基本不等式把放缩为含的表达式，解一元二次不等式求出范围，最后验证等号可取． 【详解】由，得， 由，得， 两边同除以，得， 设， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 代入得，即，解得，或（舍去）， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上，的最小值为． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：且，即，故， 所以. 【详解】（1）， 故； （2）略 16．已知，，完成下列问题： (1)若，求取得最小值时、的值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用均值不等式放缩得到关于的不等式，求解得出的范围，由等号条件确定，的值. （2）将变形，用均值不等式结合已知条件求最小值，由等号条件确定，. 【详解】（1）依题意，，故，解得， 当且仅当时，即当，时等号成立； 故当取得最小值时，. （2）依题意，， 而， 当且仅当，即当，时等号成立， 故的最小值为． 17．当时，求关于的不等式的解集. 【答案】当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】先分析不等式是否为一元二次不等式，即分和，当时，再按两根与的大小进行讨论，从而得到不等式的解集. 【详解】当时，原不等式可化为，即， 此时，原不等式的解集为； 当时，不等式， 因式分解可得：，， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18．（1）已知，，关于x的不等式的解集为，求m，n的关系式； （2）若a，b都是正数，且，求的最小值； （3）若，求的最大值． 【答案】（1）；（2）9；（3） 【分析】(1）利用根与系数的关系即可求解；（2）结合基本不等式和一元二次不等式的解法可求解；（3）设，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】(1)由根与系数的关系可得：，解得， 所以. （2）因为a，b都是正数，则，即， 解得，则. 所以的最小值为9. (3)设，则 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 19．已知函数，． (1)若，求关于的方程的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； (3) 【分析】（1）代入，将方程化为二次方程，通过因式分解求解；（2）因式分解不等式，根据二次函数开口方向，分讨论根的大小，确定解集；（3）联立方程整理为二次方程，利用韦达定理表示；结合判别式和确定的范围，进而求出的取值范围． 【详解】（1）当时，方程化为，即， 解得或，解集为． （2）原不等式为，因式分解得， 方程的根为或， 当时，不等式的解为； 当时，不等式为，无实数解； 当时，不等式的解为； 综上所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为． （3）联立方程， 整理得，设方程的两根为，由韦达定理得 ，由于，所以， 又因为方程有两个不相等的实根，所以， 化简得，因为，所以， ， 当时，， 所以的取值范围为． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $