第14讲 复合场中的摆线问题（配速法和正则动量）讲义（知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理磁场专题（全国通用）

第14讲 复合场中的摆线问题—配速法 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 15 题型归纳 16 题型01：共线的配速 16 题型02：不共线的配速 28 题型03：配速法与摆线 57 题型04：正则动量（积分动量）的应用 69 1. 考位定位：属于带电粒子在重力、电场、磁场叠加场的压轴难点，不属于必考题型，但属于高分段区分题，多出现在全国卷、新高考卷的计算题最后一问，模拟卷、强基、校考高频。 2. 命题特点 ①背景：匀强磁场+匀强电场/重力场，粒子受恒力+洛伦兹力，做摆线（旋轮线）类复杂曲线运动； ②常规方法（牛顿运动定律、圆周运动公式）无法直接分析，必须配速分解； ③设问方向：求最大/最小速度、最大高度、周期、单周期位移、边界临界、某位置速度； ④常和动能定理结合考查：洛伦兹力不做功，重力、电场力做功改变速率。 3. 难度与分值：一般压轴小问，4～7分，属于尖子生突破点，基础卷很少出现。 4. 命题陷阱 ①分不清恒力合力方向，补偿速度方向配反； ②混淆漂移速度 和圆周速度； ③误以为周期会随初速度变化（周期只由 m、q、B 决定）。 一：基础目标 1. 记住配速法适用条件：粒子同时受恒定合力（重力、电场力）+匀强磁场的洛伦兹力，合力不为零； 2. 理解核心思想：把初速度矢量分解，运动等效为匀速直线运动 + 匀速圆周运动； 3. 会计算补偿速度 =，圆周半径、周期； 4. 能处理最经典模型：由静止释放（初速度为0） 的摆线运动，熟记速度、高度极值。 二：提升目标 1. 会处理有初速度（初速度和补偿速度同向、反向、斜向）的配速问题； 2. 能结合动能定理联立求解极值； 3. 会分析一个周期内的位移、空间位置，识别临界穿出磁场边界问题。 三：拔高目标 1. 矢量方向判断不依赖死记，会用左手定则判定补偿速度方向； 2. 能区分配速法、洛伦兹力冲量法、微元法各自适用场景，灵活选择方法 知识点一：配速法 （一）摆线 摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 考察这些点的运动时，我们可以将各个点的运动看成由两个运动组成：一个是随圆轮圆心水平方向的匀速直线运动；另一个是绕圆心的匀速圆周运动。这样的曲线轨迹一般称为摆线。 （二）配速法 1.配速法的定义 若带电粒子在磁场中所受合力不为零，粒子可能做复杂的曲线运动，速度大小和方向时刻改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，运动轨迹不再是简单的直线、抛物线、圆（圆弧）和等径螺旋线。对于这类运动，高中阶段用常规方法几乎无法求解。这时，我们可以借助等效原理，或运动的合成与分解原理，将带电粒子的复杂运动看成由两个简单运动组成，最终达到容易分析求解的目的。 此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 （一般将运动分解为一个匀速直线运动和匀速圆周运动或匀变速直线运动。） 2.配速法的本质要点——配速配力配运动 （1）配速法的本质：就是运动的分解，就是将一个复杂的运动分解为两个我们熟悉的简单的运动 具体来说，就是将初速度分解为两个分速度，两个分速度各自引起一个运动（一般为一个匀速直线运动，一个匀速圆周运动），两个运动相互独立互不影响 （2）配速法的适用情况：除了洛伦兹力以外还受到别的力，而且别的力为恒力（如重力、电场力），洛伦兹力大小和方向都时刻改变 3.配速法的两种操作方法（添速法与分解法） （1）添速法：给带电粒子配上一对大小相等、方向相反的速度（可以认为这一对速度是凭空添上去的）（其实合速度等于零），其中一个速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力平衡，粒子在该速度方向上做匀速直线运动；另一个速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动 （2）分解法：将带电粒子的速度分解，其中一个分速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力（如重力、电场力）平衡，粒子在该分速度方向上做匀速直线运动；另一个分速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动。 也就是说，配速法一般就是将带电粒子的复杂运动，分解为一个匀速直线运动和一个匀速圆周运动。 4.配速法的分析思路 （1）以初速度为零的带电粒子在磁场与重力叠加场中的摆线运动为例（添速法）阐述配速法的分析思路。 首先，要平衡带正电荷的粒子重力先添加一水平向右的速度v，对应速度产生的洛伦兹力来平衡重力，其次，需要再加一水平向左的速度来抵消所加的向右的速度，其效果与没加速度相同，如图2所示，最后会出现图3所示的带电粒子所做的两个运动：①水平向右速度为v的匀速直线运动； ②初速度为v水平向左的匀速圆周运动； v v O mg qvB v v qvB × × × × × × × × × × × × B +q m （图1） （图2） （图3） 根据洛伦兹力与重力平衡 得： 洛伦兹力充当向心力，可知： 利用上面的规律就可以确定带电粒子运动在某一时刻的速度的大小和方向，如图5、6所示， 两个分速度的合成；并且还可以求出任一时刻的水平位移和竖直位移（两个分运动的位移矢量和）x y O P（x,y） vP vt ωt vP v v ωt （图4） （图5） （图6） 由图可知：带电粒子任意时刻的运动的速度： 带电粒子任意时刻的水平方向的位移： ① ② 带电粒子任意时刻的竖直方向的位移： ①当 ωt=π时 ； ②当ωt=2π时 还可以采用动能定理及动量定理进行分析（积分动量） 应用动能定理及动量定理的缺陷： ①只能验证特殊状态下的速度及所在位置的纵坐标； ②产生原因是竖直方向的冲量所用时间必须用“配速法”才能确定。 （2）以初速度不为零的带电粒子在磁场与重力叠加场中的摆线运动为例（分解法）阐述配速法的分析思路。 先配运动；再配力；最后配速度，配速法的目的，就是要将一个复杂的运动变为两个简单的运动。所以，首先应该考虑将带电粒子的复杂运动配成什么形式什么方向的两个简单运动。以受洛伦兹力和重力为例 ①运动1：匀速直线运动。速度大小满足，这个速度是为了和重力平衡“配”出来的，所以叫做“配速法”。 ②运动2：匀速圆周运动。速度大小，要保证两个分运动的初速度合成后还是原来的初速度，然后这里不用考虑重力了，因为重力已经给了运动1，这里就只受到洛伦兹力做匀速圆周运动了。然后，按照两个分运动各自独立运动来理解即可。 当然通过合成我们也可以得到其实际的运动轨迹、合速度、合位移，等等。我们先将合运动的轨迹画出来，就是在同一平面内一个匀速直线运动加一个匀速圆周运动的轨迹，也就是摆线。 5.配速法的应用步骤 （1）确定需要平衡的恒力，一般为重力、电场力或重力及电场力的合力； （2）给带电粒子配上一个速度，让这个速度引起的洛伦兹力与上述力平衡，并得出相应的速度大小及方向； （3）一般再配一个与上述速度等大、反向的速度（添速法）；或应用速度分解法配速（分解法）。 6.常见问题 （1）求粒子的最大速度 当v2与v1同向时速度最大vmax=v1+v2。 （2）求粒子经过坐标轴的坐标 根据圆周运动规律，求出粒子一个周期内经过坐标轴所用时间，考虑周期性，写出经过坐标轴的所有时间通式，计算出圆周运动的位移和匀速直线运动的位移的矢量和。 配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 知识点二：摆线运动规律 将初速度分解为：v1（匀速直线运动）和v2（匀速圆周运动）我们以v1＜v2为例，结合轨迹图研究这个摆线运动中的一些规律。 1.最大速度与最小速度 ①最大速度（最低点）：vmax＝v1+v2，水平 ②最小速度（最高点）：vmin＝v2−v1，水平，与最低点反向 只有重力做功，所以最高点和最低点速度有极值运动过程中，v1大小方向都不变，v2大小不变方向变，所 以合速度大小方向时刻改变。 2.最高点与最低点的高度差 匀速直线运动不会产生竖直方向的位移，所以最高点和最低点的高度差完全由匀速圆周运动决定，也就是直径大小 3.受力与运动特点 ①最高点： （向心力） （A处的曲率半径） ②最低点： （向心力） （B处的曲率半径） 规律总结： ①经所有位置的合力大小都是，即合力大小不变（等于开始运动时的合力大小），方向时刻改变（因为重力已经被平衡掉了，合力就等于匀速圆周运动的向心力） ②经最高处时曲率半径小，轨迹更弯曲；经最低处时曲率半径大，轨迹更平坦 4.同一高度的速度特点 ①速度大小相等（图中vC＝vD） ②速度方向与水平方向夹角相等 5．交点条件及回归时间 v1 v2 vE θ α 如图中，从交点E斜向上运动再回到E点，求时间的基本思路： 分运动1（匀速直线运动）向右的位移，等于分运动2（匀速圆周运动）向左运动的弦长： 又因，是水平的 则（竖直分量相等） 所以（这就是回归交点的角度条件） 由上述角度条件，即可求得回归时间（具体的回归时间看配速之后v1、v2的大小关系） 6．摆线运动另外两种轨迹 ①配速后v1＞v2的轨迹如下 ②配速后v1＝v2的轨迹如下 v1 v2 v1＝v2 vA=0 vB=2v1=2v2 v1 v2 vA v1 v2 vB 7.摆线运动的临界问题： 已知带电粒子初速度沿x轴正方向，匀强磁场垂直纸面向里，在磁场和重力叠加场中带电粒子的运动轨迹临界问题的讨论： (1) 当0<v0<mg/qB：v0-v v O (2) mg/qB<v0<2mg/qB：v v O (3) v0=2mg/qB：v-v0 v O (4)2mg/qB<v0：v0-v v O 规律总结： ①v0=mg/qB是x轴上下的临界点； ②v0=2mg/qB是速度是否出现反向的临界点。 知识点三：配速法常见的几种运动分析 （一）无初速度边界型（重力+洛伦兹力） 空间存在水平边界的匀强磁场，磁感强度为B，边界下方磁场区域足够大，一个质量为m的带电量+q的小球从边界上的P点无初速度释放。分析小球的运动情况 ① 垂直重力方向（水平）建立x轴，在x轴方向配置一个水平向右速度V1，使该速度产生的洛伦兹力刚好与重力等大反向，满足BqV1=mg，即，使粒子的圆周在X轴上以 的速度向右匀速平动。 ② 粒子开始的初速度为零，因为给配置了一个分速度V1，由矢量运算法则计算出另一个分速度V2，其方向与V1反向且大小相等V1=V2，粒子以 为半径做逆时针的匀速圆周运动。轨迹如图 ③ 粒子做匀速圆周运动的周期 ，画出 等各个时刻小球的位置，并进行分析： (1 ) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O2, O1O2距离S12= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到A.所以A点坐标： ，在A点V1水平方向，V2竖直方向，合速度，方向右偏下 (2) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O3, O1O3距离S13= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到B.所以B点坐标： ，粒子运动到B点，重力做功最多，所以速度最大，在B点，V1、V2方向均水平向右，所以合速度最大，B点是轨迹的最低点，VB=Vmax=V1+V2 ， (3) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O4, O1O4距离S14= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到C.所以C点坐标： ，在C点V1水平方向，V2竖直向上，合速度，方向右偏上 (4) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O5, O1O5距离S15= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度2 ，实际轨迹由P到D.所以D点坐标： ，粒子运动到D点重力不做功，所以速度最小，在B点，V1V2方向相反，所以合速度最小，B点是轨迹的最高点，VB=Vmin=V1-V2 ， （5）从D点之后，开始新的周期运动 （二）有初速度边界型（重力+洛伦兹力+初速度与重力同向） 空间存在水平边界的匀强磁场，磁感强度为B，边界下方磁场区域足够大，一个质量为m的带电量+q的小球从边界上的P以竖直向下的初速度 进入磁场。分析小球的运动情况 ① 垂直重力方向（水平）建立x轴，在x轴方向配置一个水平向右的速度V1，使该速度产生的洛伦兹力刚好与重力等大反向，满足 BqV1=mg 即 ，粒子的匀速圆周运动的圆心在X轴上以 的速度向右匀速平动。 ② 粒子开始的初速度为竖直向下的V0，因为给配置了一个水平分速度V1，由矢量运算法则计算出另一个分速度V2，，粒子以 为半径做逆时针的匀速圆周运动。V2与竖直方向的夹角θ，tanθ= 得 ，粒子再次到达x轴时，速度竖直向上，大小等于V0，在x轴上方做上抛运动。轨迹如图 ③ 粒子做匀速圆周运动的周期 ，画出 等各个时刻小球的位置，并进行分析： (1 ) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O2, O1O2距离S12= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到A.所以A点坐标： ，在A点V1水平方向，V2竖直方向，合速度，方向向右偏下，合速度与竖直方向夹角为β，有sinβ= (2) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O3, O1O3距离S13= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到B。所以B点坐标： ，粒子运动到B点，重力做功最多，所以速度最大，在B点，V1、V2方向均水平向右，所以合速度最大，B点是轨迹的最低点，VB=Vmax=V1+V2 ， (3) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O4, O1O4距离S14= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到C.所以C点坐标： ，在C点，方向竖直上 （在C点有水平向右的分速度V1和偏左向右45度的速度V2，合速度为） (4) 粒子到达c点之后，离开磁场，在重力作用下做上抛运动，再次返回到c点用时间 上升最大高度 （5）返回c点之后，开始新的周期运动，粒子运动的周期T= （三）有初速度无边界型（重力+洛伦兹力+初速度与重力同向） 空间存在足够大的匀强磁场，磁感强度为B，一个质量为m的带电量+q的小球从P点以竖直向下的初速度 进入磁场。分析小球的运动情况 ① 垂直重力方向（水平）建立x轴，在x轴方向配置一个水平向右的速度V1，使该速度产生的洛伦兹力刚好与重力等大反向，满足BqV1=mg即 ，粒子的匀速圆周运动的圆心在X轴上以速度向右匀速平动。 ② 粒子开始的初速度为竖直向下的V0，因为给配置了一个水平分速度V1，由矢量运算法则计算出另一个分速度V2，，粒子以 为半径做匀速圆周运动。V2与竖直方向的夹角θ，tanθ= 得 ，粒子再次到达x轴时，速度竖直向上，大小等于V0。到达x 轴上方继续轮旋运动，轨迹如图 ③ 粒子做匀速圆周运动的周期 ，画出 等各个时刻小球的位置，并进行分析： (1 ) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O2, O1O2距离S12= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到A.所以A点坐标： ，在A点V1水平方向，V2竖直方向，合速度，合速度与竖直方向夹角为β，方向右偏下，sinβ= (2) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O3, O1O3距离S13= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到B。所以B点坐标： ，粒子运动到B点，重力做功最多，所以速度最大，在B点，V1V2方向均水平向右，所以合速度最大，B点是轨迹的最低点，VB=Vmax=V1+V2 ， (3) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O4, O1O4距离S14= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到C.所以C点坐标： ，粒子运动到C点，重力做负功最多，所以速度最小，在B点，V1方向水平向右，V2方向水平向左，所以合速度最小，c点是轨迹的最高点，VB=Vmin=V2-V1 （4） 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O5, O1O5距离S15= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度2 ，实际轨迹由P到D.所以D点坐标： ， 知识点四：用动量定(积分动量)理解决带电粒子在磁场中的运动问题——正则动量 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为＋q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系，利用动量定理即洛伦兹力的冲量等于速度的动量变化，把粒子某一方向的位移和垂直该方向的速度变化联系起来。具体用法如下： 沿两轴方向的洛伦兹力分力 Fx＝qvyB Fy＝qvxB 两个方向分别列动量定理： －qvyBΔt＝mΔvx qvxBΔt＝mΔvy 即－qBΔy＝mΔvx qBΔx＝mΔvy 两边累加得即①Ix=m(vx'-vx)=mΔvx=-∑qBvyΔt=-qBΔy或-qBΔy=mΔvx ②Iy=m(vy'-vy)=mΔvy=∑qvxBΔt=qBΔx 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 一：基本解题步骤 步骤1：受力分析，求恒力合力 步骤2：配补偿速度 步骤3：求圆周分速度 步骤4：合成两个分运动，分析设问 粒子实际运动 = 以 的匀速漂移 + 以的匀速圆周旋转 1.速度极值：两速度同向叠加最大，反向抵消最小 2.静止释放专属结论：=2,=2R 3.一个周期漂移位移：x=T 4.求高度、位置：分析圆周运动最高点、最低点，叠加漂移位移； 5.求速率：优先动能定理验证（洛伦兹力永不做功） 二：快速判断口诀 恒力加磁场，曲线不好算； 速度拆两份，一份抵恒力； 一份做圆周，漂移加旋转； 同向速度大，反向速度减； 周期看Bqm，和初速无关。 题型01：共线的配速 【典型例题1】带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上的两个大小相等、方向相反的速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为+q，磁感应强度为B（磁场范围无限 大），重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是（ ） A．M、N两点间的距离为 B．小球在运动过程中机械能不守恒 C．小球下降的最大高度为 D．小球的加速度大小恒为g ( M N v v ) 【答案】CD 【解析】 A：给小球初始时刻配上向右、向左的两个水平速度v 且让小球因为向右的速度v而受到的竖直向上的洛伦兹力与向下的重力平衡： ( M N v v qvB mg ) 因为向左的速度v而使小球在竖直面内做匀速圆周运动 轨道半径，周期 则M、N两点间距离，故A错； B：小球在运动过程中只有重力做功，洛伦兹力不做功，小球的机械能守恒，故B错； C：小球下落的最大高度，故C对； D：小球因向右的分速度做匀速直线运动，无加速度； 因向左的分速度做匀速圆周运动，加速度大小恒为 则小球总的加速度大小恒为g，故D对。 【典型例题2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有沿x轴正方向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，匀强电场的电场强度大小为E，匀强磁场的磁感应强度大小为B。从O点发射比荷为的带正电粒子，该粒子恰能在xOy坐标平面内做直线运动。已知y轴正方向竖直向上，不计粒子受到的重力。 (1)求粒子发射时的速度大小和方向； (2)若将电场强度方向调整为竖直向上，该粒子以（1）中的速度从O点射出后，求粒子在运动过程中的最大速度； (3)若将电场强度方向调整为竖直向下，该粒子改为从O点由静止释放，求粒子运动的轨迹上的点到x轴的最大距离。 【答案】(1)，竖直向下 (2) (3) 【解析】（1）由题意知，粒子做匀速直线运动，粒子带正电，由物体平衡条件可知，粒子受到的电场力方向向右，洛伦兹力方向向左，由左手定则可知，粒子在O点的速度方向沿y轴负方向，即竖直向下。由 解得 （2）若将电场强度方向调整为竖直向上，则粒子受到竖直向上的电场力和水平向左的洛伦兹力，用配速法配一个与电场力等大反向（竖直向下）的洛伦兹力，由左手定则可知，产生此洛伦兹力的速度水平向右，而此速度本来是没有的，所以给这个速度配个等大反向（水平向左）的速度，至此，由原来的一个竖直向下的速度变为三个等大的速度，水平向右的速度做匀速直线运动，竖直向下和水平向左的速度合成为斜向左下方且与x轴成45°角的速度，粒子之后做匀速圆周运动。当粒子做匀速圆周运动的速度方向水平向右时，有最大速度 （3）将由静止释放的粒子看成同时具有大小相等、方向分别水平向左和水平向右的初速度v1、v2，向左的速度v1产生的洛伦兹力与电场力大小相等，有 解得 向左的分速度使粒子水平向左做匀速直线运动，向右的分速度使粒子在洛伦兹力下做匀速圆周运动，即 解得 粒子运动的轨迹到x轴的最大距离 【典型例题3】利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面左侧存在沿y轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从点以初速度、沿着x轴正方向射入电场，恰好从O点进入磁场，再次从点通过x轴，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)从O点进入磁场运动时间为时，求粒子的位置坐标； (3)如图2所示，若在平面左侧再加垂直平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从点以初速度、沿着x轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x轴负半轴相切。求所加匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有， 解得 粒子从O点进入磁场时水平方向的分速度为，竖直方向的分速度为 结合上述解得 粒子接入右侧磁场后做螺旋运动，水平向右速度为的匀速直线运动，平面方向速度为的匀速圆周运动，则有 ，，解得， （2）粒子在磁场中水平向右速度为的匀速直线运动，结合上述可知由于 表明平面方向速度为的匀速圆周运动对应圆心角为，根据几何关系有 ， 解得，即粒子的位置坐标为。 （3）将速度分解为水平向右的和水平向左的，且有， 此时将粒子的运动分解为水平向右的速度为的匀速直线运动与速度为的匀速圆周运动，则有 由于粒子轨迹恰好与x轴负半轴相切，则有 结合上述解得 【变式训练1-1】（多选）如图所示，在坐标平面的第一、第四象限内存在足够宽的垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，同时放置有两个关于轴对称且板间距离为的平行金属板、，两金属板间存在沿轴负方向的匀强电场（图中未画出）。现有一质量为、电荷量为的可视为质点的带正电金属小球，以速度从坐标原点沿轴正方向做匀速直线运动后从两极板右端离开极板区域。不考虑电场在两极板之外的效应，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．小球离开两极板区域后可以运动到轴的下方 B．两极板间的电场强度大小等于 C．小球在运动过程中的最大速度等于 D．小球在运动过程中偏离轴的最大距离等于 【答案】BD 【解析】AB．小球在两极板间匀速运动时应有 得 小球离开两极区域，不再受电场力，将在磁场力和重力作用下运动到轴上方，故A错误，B正确； CD．小球离开两极间的运动可分解为沿水平方向和 满足 根据洛伦兹力提供向心力可得 可得其圆周运动的半径为 运动偏离轴的最大距离等于 小球运动过程中最大的速度为，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练1-2】（多选）如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为+q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法正确的是（ ） A．粒子偏离入射方向的最大距离为 B．粒子在轨迹最低点的曲率半径为 C．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为 D．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的 【答案】BCD 【解析】 A：用“配速法”，将粒子的初速度等效为一个水平向左的速度2v和一个水平向右的v 向右的速度v会产生一个竖直向上的洛伦兹力与电场力平衡，则可认为粒子水平向右匀速运动 另一个分运动是水平向左沿逆时针方向的匀速圆周运动，轨道半径 则粒子偏离入射方向的最大距离，A错误； B：粒子运动到最低点时两个分速度方向均向右，速度大小为3v，设曲率半径设为r，则 ，B正确； C：从抛出到最低点，电场力做正功，电势能减小，变化量，C正确； D：粒子在复合场中运动过程中只有电场力做功，所以粒子的动能和电势能的总和是守恒的，D正确。 【变式训练1-3】如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在电场中运动，不计粒子所受重力。若该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。 提示：为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。 答案　　 解析　方法一　“配速法” 这个运动之所以复杂是因为洛伦兹力改变了运动的方向，带电粒子在磁场中做的最简单的运动就是匀速圆周运动，我们就可以设法将其分解为匀速圆周运动。粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v，其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力与静电力平衡：Bqv＝Eq；因此，粒子的运动是水平向右速度为v的匀速直线运动和初速度水平向左、大小为v的逆时针匀速圆周运动的合运动，圆周运动的轨迹半径r＝，所以ym＝2r＝，vm＝2v＝。 方法二　动能定理＋动量定理 带电粒子在运动中，只有静电力做功，当其运动至最远时，静电力做功最多，此时速度最大，根据动能定理有 qEym＝m ① 粒子沿竖直方向上的速度产生水平方向的洛伦兹力， 即F洛x＝qBvy 取沿水平方向运动一小段时间Δt，根据动量定理有 F洛xΔt＝qBvyΔt＝mΔvx， 式中vyΔt表示粒子沿竖直方向运动的距离。 因此，等式两边对粒子从离开M点到第一次最远的过程求和有 qBym＝mvm ② 联立①②两式，解得vm＝，ym＝。 【变式训练1-4】在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求： ( x O P ( x ， y ) y B ) （1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v； （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym； （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（＞）的匀强电场时， 小球从O点由静止释放后获得的最大速率vm。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）洛仑兹力不做功，由动能定理得 （2）设在最大距离ym处的速率为vm，则 由 又由题意知 解得 （3）小球运动如图所示，由动能定理得 圆周运动向心力 由上两式及解得 【变式训练1-5】质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。 （2）求O点到P点的距离。 （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2（E2略大于E1），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O′点上。求粒子打在O′点的速度大小。 【答案】（1）正电，比荷为；（2）；（3） 【解析】 （1）由于粒子向上偏转，根据左手定则可知粒子带正电； 设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入速度选择器时的速度为v0 在速度选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件得 在加速电场中，由动能定理得 联立解得，粒子的比荷 （2）由洛伦兹力提供向心力，则，可得O点到P点的距离 （3）粒子进入Ⅱ瞬间，受到向上的洛伦兹力 向下的电场力 由于E2＞E1，且 用配速法，使得，如图所示 则粒子在速度选择器中水平向右以速度v0＋v1做匀速运动的同时 竖直方向以v1做匀速圆周运动 当速度转向到水平向右时，满足垂直O′点的要求，故此时粒子打在O′点的速度大小为 【变式训练1-6】现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，水平边界a、b间有方向竖直向下的匀强电场。I，电场强度大小为E，在水平边界b下方有垂直于纸面向外的水平匀强磁场，在水平边界c的下方还有斜向右下、与水平方向成的匀强电场Ⅱ，a、b、c三边界相邻间距均为d，调节电场和磁场大小，可控制飞出的带电粒子的速度大小及方向，现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子经电场Ⅰ加速、磁场偏转，从边界c上的Q点（图中未标出）以垂直电场Ⅱ的方向进入边界c下方区域，粒子在该区域中恰好做直线运动，不计粒子重力，求： (1)粒子经电场Ⅰ加速后经过边界b时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小，匀强电场Ⅱ的电场强度大小； (3)若将电场Ⅰ的电场强度减半，同时改变磁场的磁感应强度大小，使粒子从P点由静止释放后仍从Q点进入边界c下方区域，粒子在c下方区域运动，当粒子速度大小再次等于粒子在Q点的速度大小时，粒子离Q点的距离为多少。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设粒子经电场加速后的速度大小为，根据动能定理有，解得 （2）根据题意可知，粒子经过边界时的速度与边界的夹角为，粒子在磁场中做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律有，解得，粒子在边界以下区域做直线运动，设电场的电场强度为，则有，解得 （3）将电场的电场强度减半，结合上述可知，粒子到达点的速度大小为，匀强磁场的磁感应强度大小变为，根据配速法，给粒子在点各配一个与速度同向和反向、速度大小为的速度， 且有，解得，因此在边界下方区域的运动可以分解为以速度的匀速直线运动，和以的匀速圆周运动，匀速圆周运动的周期 当粒子速度大小再次等于粒子在点的速度大小时，粒子离点的距离为 【变式训练1-7】电容为C的平行板电容器两极板间距为d，极板水平且足够长，下极板接地，将电容器与开关S、电阻R1和R2连接成如图所示电路，a、b是两个输出端，S断开，极板间充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。由质量为m、电荷量为q(q > 0)的带电粒子组成的粒子束以水平速度v0沿下极板边缘进入极板间区域，单位时间进入的粒子数为n。带电粒子不计重力且不与下极板接触，忽略极板边缘效应和带电粒子间相互作用。 (1)为使带电粒子能落在电容器上极板，求极板间距的最大值dm； (2)满足(1)的前提下，求电容器所带电荷量的最大值Qm； (3)已知R1＝2R，R2＝R，闭合S，电容器重新达到稳定状态后，为使a、b端接入任意负载时进入极板间的带电粒子全部落在上极板，求R应满足的条件和此时a、b间输出功率的最大值。 【答案】　(1)　(2)CBd(v0－) (3)R≤(v0－)　 【解析】　(1)由题意可知带电粒子在两极板间做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有 qv0B＝m 为使带电粒子能落在电容器上极板，则有r≥ 联立可得d≤ 即最大值为dm＝ (2)当电容器所带电荷量最大时，板间电势差最大，粒子束恰好不能到达上极板，将粒子入射速度分解为向右的两个速度，一个速度产生的洛伦兹力与电场力平衡，做匀速直线运动；另一个速度提供洛伦兹力，做匀速圆周运动；即v0＝v1＋v2 其中qE＝qv1B 粒子以v2做匀速圆周运动，有qv2B＝m 粒子恰好不到达上极板，则有d＝2r' 联立各式可得E＝B(v0－) 此时两极板所带电荷量最大为Qm＝CUm＝CEd＝CBd(v0－) (3)根据题意可知当R1和R2两端的总电压不大于Um时带电粒子才能全部落在上极板，闭合S，电容器重新达到稳定状态后，电流恒定，有I＝nq，根据欧姆定律有I(R1＋R2)≤Um＝Ed 其中R1＝2R，R2＝R 联立解得R≤(v0－) 当a、b间接入负载时，设a、b间的电流为Iab，由于总电流恒定，则R1的电流为I1＝I－Iab a、b间的功率为 Pab＝UabIab＝(I－Iab)R1·Iab＝2R(nqIab－) 所以当Iab＝nq时，Pab最大，最大值为Pab＝。 【变式训练1-8】真空中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为，方向竖直向上，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外在此空间中建立竖直面内的直角坐标系有一个质量为、电量大小为电子重力不计，从坐标原点由静止开始运动，如图甲所示，其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为，与轴的第一个交点为该运动可分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动，如图乙所示。求： 摆线的最低点到轴的距离； 电子在摆线最低点的速度大小； 每一段摆线的宽度大小。 【答案】(1)(2)(3) 【解析】令电子在原点处具有沿轴正方向的分速度和沿轴负方向的分速度，且两者合速度为零。令分速度对应的竖直向上的洛伦兹力等于电场力，即，这样电子沿轴正方向以分速度做匀速直线运动，而分速度在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则电子的运动分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动。其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为。 设分运动匀速圆周运动的轨迹半径为，则有：，又有：  解得： ；最低点到轴的距离等于分运动匀速圆周运动的直径，即：； 在最低点两分运动的速度方向相同均沿轴正方向，则电子的速度大小为：； 电子的分运动匀速圆周运动完成一次完整的圆周运动，对应一段摆线的轨迹，则摆线的宽度大小等于分运动匀速直线运动在匀速圆周运动一个周期内的位移大小。 分运动匀速圆周运动的周期： ；所以每一段摆线的宽度大小为：。 【变式训练1-9】如图甲所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O作速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v作匀速运动形成的，该轨迹称为圆滚线。如图乙所示，空间存在竖直向下的大小为E匀强电场和水平方向（垂直纸面向里）大小为B的匀强磁场，已知一质量为m电量大小为q的正离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动（该曲线属于圆滚线），到达B点时速度为零，C点为运动的最低点。不计重力，试求： （1）若要求粒子从A点以最短路径到达B点，在A点给粒子的速度v大小和方向； （2）粒子从A点静止释放运动到B点的时间t及A、B两点间的距离L； （3）粒子从A点静止释放运动到C点的速度大小vC及C点离A点的竖直高度h。 【答案】（1)方向由A指向B(2)A、B两点间的距离为(3)C点离A点的竖直高度为。 【解析】（1）A、B两点在同一水平面上，沿AB连线运动路径最短。所以使粒子沿AB连线匀速运动，满足，可得，故在A点给粒子的速度大小为方向由A指向B。 （2）粒子由静止开始的曲线运动可以看成是水平向右的匀速运动和纸面内的匀速圆周运动的合运动，水平方向有，则圆周运动线速度大小也为，根据，，可得 所以，，故粒子从A点静止释放运动到B点的时间为，A、B两点间的距离为。 （3）C点的速度等于水平向右的匀速运动速度与圆周运动在C点水平向右速度的合速度，有 粒子由C点到A点应用动能定理有，解得 故粒子从A点静止释放运动到C点的速度大小为，C点离A点的竖直高度为。 题型02：不共线的配速 【典型例题1】如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则(　　) A.t＝时刻，质子的速度沿z轴的负方向 B.t＝时刻，质子的坐标为(，0，) C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9… D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆 【答案】　C 【解析】　沿x轴方向，在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始时刻沿z轴负方向，可判断质子在yOz平面做匀速圆周运动，所以质子运动轨迹在yOz平面内的投影是经过O点的圆，且做圆周运动的周期T＝，当t＝T时刻，在yOz平面质子分速度方向沿y轴负方向，沿x轴方向分速度沿x轴正方向，所以质子的合速度方向不沿z轴的负方向，故A、D错误；当t＝T时刻，沿x轴方向Ee＝ma，x＝at2＝··()2＝，在yOz平面内，正好经过半个周期，则y＝0，z＝－2r＝－，所以质子的坐标为(，0，－)，故B错误；质子每经过一个周期可经过一次x轴，沿x轴方向在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据比例关系可知依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9…，故C正确。 【典型例题2】如图所示，在竖直空间中建立直角坐标系，整个空间中存在竖直向上的匀强电场和垂直于平面向里的匀强磁场。质量为、电荷量为的带正电小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，小球恰能沿轴运动，不计空气阻力，且小球所受的电场力大小等于其重力大小的一半。若该小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，在小球之后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球运动至最高点时的速度大小为 B．小球第一次运动至最低点时的位置坐标为 C．小球运动至最低点时的加速度大小为 D．相邻两次通过轴时的距离可能为 【答案】BC 【解析】A．当小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，小球恰能沿轴运动，且小球所受的电场力大小等于其重力大小的一半，该过程中小球一定沿轴做匀速直线运动，则有， 解得 若该小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，可以将分解为沿轴正方向的和轴负方向成角的，则沿轴正方向的所受的洛伦兹力恰好与电场力、重力平衡，该方向做匀速直线运动，与轴负方向成角的对应的洛伦兹力给小球提供向心力，使其绕逆时针方向做匀速圆周运动，则有， 小球运动到最高点时的速度为，故A错误； B．小球第一次运动至最低点时，运动时间 则有，，故B正确； C．结合上述，小球运动至最低点时的加速度大小为，故C正确； D．一个周期内，小球在轴上方运动时间为， 小球在轴下方运动时间为 则有，故D错误。 故选BC。 【典型例题3】如图所示，自左向右的三个区域依次为竖直向下场强为E的匀强电场、场强为B的垂直纸面向里的匀强磁场以及由这两种场叠加形成的复合场。电场和磁场区域宽度相同均为d，复合场区域的宽度足够大。带电粒子在运动过程中不会离开复合场区。一带正电的粒子向右以一定的初速度由A处进入电场，经电场和磁场的偏转后再水平向右进入复合场区域。不计粒子重力。求： （1）粒子刚进入A处的初速度的大小； （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，请计算粒子刚进入复合场时，相对于A处在竖直方向偏移的距离以及该电荷的比荷； （3）若取粒子刚进入复合场区域时为零时刻，其速度是刚进入A处初速度的两倍，计算该粒子在该场区运动时速度的最小值以及对应的时刻t。 【答案】（1）；（2），；（3）， 【解析】 （1）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子离开电场时的速度大小为，速度方向相对入射方向偏转的角度为，速度的竖直分量为，在电场中的运动时间为，则有 ，，， 由几何关系可得，粒子在磁场中的转动半径为 根据洛伦兹力提供向心力解得 联立上述方程可以得到 （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，则有 解得 则粒子在电场中位移与水平方向夹角的正切值为 由几何关系有解得 由几何关系可知，粒子在磁场中竖直方向的偏移 所以相对于A处在竖直方向偏移的距离为 粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向上有 又有联立解得 （3）由于则有 若粒子刚进入复合场区域时速度是刚进入A处初速度的两倍，利用配速法把其速度分为 可知，粒子在复合场中水平方向以做匀速运动，同时以做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示 由 可得，其对应的旋轮半径为 在最高点速度最小为 对应的时间是摆线的半周期的奇数倍，即 【典型例题4】如图甲，在xOy平面内存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小为B。让质量为m，电荷量为q的带正电小球从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度入射，均能在复合场中做匀速圆周运动。已知重力加速度大小为g，忽略带电小球之间的影响。 （1）带电小球从O点以初速度v沿y轴正方向入射，恰好能经过x轴上的P（2a，0）点，求电场强度大小和v的大小； （2）保持匀强电场的方向不变，大小变为原来的两倍，带电小球从O点沿y轴正方向入射，速度大小为，小球运动轨迹如图乙所示。研究表明：小球在xOy平面内做周期性运动，利用运动的合成分解规律，可将带电小球的初速度分出一个速度v1，并且qv1B与电场力、重力三力平衡，得到小球的一个分运动为v1的匀速直线运动；然后利用矢量运算，将初速度减去v1得到速度v2，得到另一个分运动为v2的匀速圆周运动，再由这两个分运动得到合运动的运动规律（题中v1和v2均为未知量）。 ①求该带电小球运动过程中的最大速度值； ②写出该带电小球的函数表达式（小球从O点发射时为）。 【答案】（1），；（2）①；②或 【解析】（1）带电小球在复合场中做匀速圆周运动，则解得 当小球沿y轴正向入射，转过半个圆周至P点，半径 带电小球由洛伦兹力提供向心力解得 （2）电场强度变为两倍，小球的运动为复杂的曲线运动，其两个分运动为：一个的匀速直线运动 解得方向水平向右； 一个速度的匀速圆周运动，设其初速度为，轨道半径为，则 方向与y轴正方向夹角为45°，带电小球由洛伦兹力提供向心力 得 ①带电小球运动过程中速度最大时，与同向，则 ②带电小球y方向的位移只与匀速圆周运动有关，圆周运动的轨迹如下 小球圆周运动周期为 则带电小球，的函数表达式为 解得 或利用正弦计算得到 【变式训练2-1】中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则（   ） A．电场力的瞬时功率为 B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 【答案】D 【解析】A．根据功率的计算公式可知P = Fvcosθ，则电场力的瞬时功率为P = Eqv1，A错误； B．由于v1与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F洛 = qv2B，B错误； C．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误； D．离子受到的洛伦兹力大小不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。 故选D。 【变式训练2-2】如图所示，在xOy直角坐标系中，在x轴负半轴区域内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E1（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方向开始运动，粒子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ=30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，不计空气阻力。 (1)求A点到y轴的距离x和E1的大小； (2)求B的大小； (3)若，，求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置坐标。 【答案】(1)， (2)（n=1，2，3…） (3)[，]（k=0，1，2，3…） 【解析】（1）粒子在第二象限做类平抛运动，水平方向上有 竖直方向上有， 解得， （2）带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域，作出最简单的运动轨迹，如图所示 由于粒子可以多次经过x轴最后恰好从交点P进入MN右侧区域，根据几何关系有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得（n=1，2，3…） （3）当时，结合上述，粒子在中间磁场中运动轨迹如图所示 进入右边复合场中的速度大小仍为v0，方向如图所示与x轴正方向的夹角也为θ。将粒子在右边复合场的速度沿x轴方向和垂直于x轴方向正交分解，x轴方向有 x轴垂直方向有 分速度v2使粒子受到的洛伦兹力 方向沿x轴负方向。粒子受到的电场力 方向沿x轴正方向，F洛2与F电平衡，则粒子沿v2方向做匀速直线运动。分速度v1使粒子做匀速圆周运动，轨道半径设为r1，则有， 解得， 粒子在MN右侧运动过程中，每一次离y轴最远时，x坐标为 y坐标分MN左右两边来分析，作出粒子运动轨迹如图所示 粒子在MN右边离y轴最远时，由于存在分速度v1，每一次都做匀速圆周运动，轨道半径均为 又由于存在分速度v2，沿NM方向做匀速直线运动，每转圈的时间内，y方向位移 在MN左边运动过程中，粒子从右向左穿过MN时速度大小仍为v0，方向与x轴负方向所成夹角仍为θ=30° 在MN左边磁场中运动的轨道半径 r2在MN上的分量 综合上述可知，粒子在MN右侧离y轴最远时的y坐标（k=0，1，2，3…） 解得 即在MN右侧粒子离y轴最远时坐标为[，]（k=0，1，2，3…） 【变式训练2-3】如图所示，在xoy平面内，区间存在平行于y轴的匀强电场，方向沿轴。区间存在垂直xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子从坐标原点与x轴正方向成角射入，在坐标为（4d，3d）P点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，并从（4d，0）射出磁场，粒子重力不计。求： （1）带电粒子的电性及比荷； （2）电场强度E的大小及x0的值； （3）若粒子进入磁场后受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点Q（4d，y0）（未画出）。求粒子由O点运动到Q点的时间t以及Q点的纵坐标y0的值。 【答案】（1）正电，；（2），；（3）， 【解析】（1）粒子在磁场中向下偏转，根据左手定则可知粒子带正电，在磁场区域，由几何关系知 根据洛伦兹力提供向心力联立解得 （2）根据逆向思维，在电场区域，x方向有 y方向有联立解得 根据几何关系有 联立解得 （3）粒子从O到P，x轴方向做匀速直线运动 粒子从P到Q，轨迹呈螺旋状，洛伦兹力提供向心力 粒子的角速度为 粒子从P到Q所用的时间为 粒子由O点运动到Q点的时间 粒子从P到Q的某一时刻，如图，在x轴方向 其中，，解得 Q点的纵坐标y0的值为 【变式训练2-4】如图，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从O以初速度v0沿y轴正向发射。不计重力和粒子间的影响，求该粒子运动过程中的最大速度值vm。 y E B v0 x 【答案】 【解析】如图所示，将v0分解为v1和v2，且使v1满足 即v1引起的洛伦兹力与电场力平衡，v1使得粒子x轴正方向匀速运动x y v0 v1 v2 而v2使得粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，其圆半径 当粒子圆周运动的速度也沿x轴正方向时，粒子的合速度最大，为 【变式训练2-5】如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心O1，O2连线与x轴平行，半圆与圆相切于Q点，QF垂直于x轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、B/2的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到v0。改变发射器的位置，使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响） （1）求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R； （2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t； （3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小E＝Bv0，方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y轴的距离（，）。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 （1）根据动能定理得 粒子进入区域I做匀速圆周运动，根据题意某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ 故可知此时粒子的运动轨迹半径与区域Ⅰ的半径R相等，粒子在磁场中运动洛伦兹力提供向心力 （2）带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ 由（1）可得，粒子的在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径均为R 因在区域Ⅰ中的磁场半径和轨迹半径相等，粒子射入点、区域Ⅰ圆心O1、轨迹圆心O′、粒子出射点四点构成菱形 由几何关系可得，区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点连线平行于粒子射入点与轨迹圆心O′连线 则区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点水平，根据磁聚焦原理可知粒子都从Q点射出 粒子射入区域II，仍做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则 要使粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，轨迹所对应的圆心角应最小 可知在区域Ⅱ中运动的圆弧所对的弦长最短 即此时最短弦长为区域Ⅱ的磁场圆半径2R 此时在区域Ⅱ和区域Ⅰ中运动轨迹所对应的圆心角都为60° 粒子在两区域磁场中运动周期分别为 ， 故可得该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间 （3）如图所示，将速度v0分解为沿y轴正方向的速度v0及速度v′ 因E＝Bv0，可得qE＝qv0B 即沿y轴正方向的速度v0产生的洛伦兹力与电场力平衡 粒子同时受到另一方向的洛伦兹力qv′B 故粒子沿y轴正方向做旋进运动 根据几何关系可得v′＝2v0sin53°＝1.6v0 当v′方向竖直向上时粒子速度最大，最大速度 vm＝v0＋1.6v0＝2.6v0 根据几何关系可知此时所在的位置到y轴的距离 【变式训练2-6】如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求： (1)电场强度的大小和P点距y轴的距离； (2)小球第一次到达最低点时速度的大小； (3)小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。 【答案】　(1)　 (2)(1＋)v0　(3) 【解析】　(1)依题意，小球从P点运动到坐标原点O，速率没有改变，即动能变化量为零，由动能定理可知合力做功为零，电场力与重力等大反向，可知qE＝mg，解得E＝ 可知小球由P点到O点在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图甲所示 根据qv0B＝m，解得r＝ 由几何关系，可得xP＝r＋rcos 30° 联立解得xP＝ (2)把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x轴负方向成45°的v0，如图乙所示 qv0B＝mg，知其中沿x轴正方向的v0对应的洛伦兹力恰好与小球重力平衡，沿x轴正方向小球做匀速直线运动 与x轴负方向成45°的v0对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运动的向心力，可知小球第一次到达最低点时速度的大小为v＝v0＋v0＝(1＋)v0 (3)由第(2)问分析可知小球在撤去电场后做匀速圆周运动的分运动轨迹如图丙所示 根据qv0B＝m，又T＝ 由几何关系，可得小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°，则所用时间为t＝T 联立解得t＝。 【变式训练2-7】如图1所示，坐标平面内，以点为圆心，为半径的圆形区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，两平行金属板、长为，轴为两金属板的中轴线，间加如图2所示的交变电压，图中未知，已知，周期为。大量带正电的粒子以速度沿轴持续射入电场，恰好所有粒子均能离开电场且平行于轴射入磁场，已知从点入射的粒子恰能从点出射。粒子比荷均为，不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略极板的边缘效应，。 (1)求圆形区域磁场的磁感应强度大小； (2)求及金属板、间的距离； (3)若在的右侧空间存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场和沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，求从圆周上的点沿轴正方向射入圆形磁场区域的粒子，进入复合场后，运动的最大速度和离轴的最远距离。 【答案】(1) (2)， (3)， 【解析】（1）由题意，从点入射的粒子射入磁场时的速度为，在磁场中运动的半径为，则 ，解得 （2）粒子通过两板时间，从时刻开始，粒子在两板间运动时每个电压变化周期的前三分之二时间内的加速度大小，方向垂直极板向左，在每个电压变化周期的后三分之一时间内加速度大小 ，方向垂直极板向右。所有粒子均以速度沿平行于极板的方向射出电场，即所有粒子在出电场时垂直极板方向的速度，不同时刻进入电场的粒子在电场方向的速度随时间变化的关系如图1所示 ，解得，由，解得 （3）由题意，所有粒子都会经过点，画出所研究的粒子在圆形区域磁场中运动的轨迹如图2所示，设粒子从点出射时与轴正方向夹角为，则 粒子在右侧复合场中做摆线运动，将速度分解为和，如图3所示 解得，其中，则粒子运动的最大速度 根据动能定理有，解得 【变式训练2-8】如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域I和区域II，区域I存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域II存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域I，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域I后由分界线上的点（图中未画出）垂直分界线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)点的位置坐标； (2)带电粒子从点运动到点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，第次和第次（）经过轴的位置之间的距离。 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）粒子经过点时的速度  ，经过N点时的x轴分速度 = 由类平抛规律有，，联立解得 （2）粒子从点到点，由动能定理得，解得，粒子从点到点，由运动学公式有 ，联立解得 ，粒子从点到A点，其运动轨迹如图1所示 由几何关系可得，粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动的半径，可知运动时间 则带电粒子从点运动到点的时间 （3）粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，解得，在A点将速度v分解为沿x轴分速度v1和沿y轴负向分速度，如图1所示，设对应的洛伦兹力与静电力平衡，这样粒子进入区域Ⅱ中的运动分解为以的匀速直线运动和以的匀速圆周运动，静电力等于洛伦兹力有 联立解得，则，设对应的匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力有，联立解得，其运动轨迹如图2所示 粒子从第1次到第2n+1次经过轴，共运动了n个周期，时间，距离，解得 【变式训练2-9】如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有 竖直方向做匀变速直线运动， 由闭合回路欧姆定律可得 联立可得 （2）根据题意，设粒子进入磁场与竖直方向的夹角为，则有， 粒子在磁场中做匀速圆周运动有 由几何关系易得 联立可得 （3）取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有 解得 粒子以速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为 此时合速度与竖直方向的夹角为 合速度为 粒子做圆周运动的半径 最远距离为 【变式训练2-10】类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值） （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析 【解析】（1）根据牛顿第二定律 不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，d的最小值为 （2）设水平方向为方向，竖直方向为方向，方向速度不变，方向速度变小，假设折射角为，根据动能定理 解得 根据速度关系 解得 （3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候方向速度为零，即 可得 即应满足 （4）临界情况有两个：1、全部都能打到，2、全部都打不到的情况，根据几何关系可得 所以如果的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下： ①当时 又 解得 全部都打不到板的情况 ②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为时，粒子刚好打到D点，水平方向速度为 所以 又 解得 即当时 ③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（），此时仅有O点右侧的一束粒子能打到板上，因此 又 解得 【变式训练2-11】如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ，其他区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ的磁感应强度大小是磁场II的2倍，在轴正半轴上与点距离为的点有一粒子源，不断地沿轴正向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子的速度大小均为，粒子射出后刚好从点第二次返回轴；再在的区域内加上沿轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从点射出后恰好做直线运动，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (2)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子第一次经过轴的位置离O点的距离； (3)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子在磁场Ⅱ中运动的最大速度的大小；运动过程中离轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）粒子射出后刚好从点第二次返回轴，如图所示 设匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小为，匀强磁场II的磁感应强度大小为，由洛伦兹力提供向心力可得， 可得 根据几何关系可得 联立解得 （2）在的区域内加上沿轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从点射出后恰好做直线运动，则有 若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子在第一象限内做类平抛运动，则有， 解得 则粒子第一次经过轴的位置离O点的距离为 （3）粒子第一次经过轴进入磁场Ⅱ中时，竖直分速度为 则此时粒子速度大小为 粒子速度与轴的夹角满足 将粒子的速度进行如图分解 其中， 则有 可知粒子在磁场Ⅱ中运动可分解为：沿轴方向以速度做匀速直线分运动，另一分运动以速度大小做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得 如图所示 可知当方向沿轴正方向时，粒子的速度最大，为 此时粒子离轴距离最大，为 【变式训练2-12】如图所示，在平面直角坐标系xOy的区域内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场，在区域内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。带正电的粒子从A点以沿x轴正方向、大小为的初速度射入电场，恰好经过坐标原点O进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子第二次经过y轴时的位置到坐标原点O的距离； (3)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度大小及从A点到第一次获得最大速度时经历的时间。 【答案】(1) (2)16l (3)， 【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向，则有 沿y轴方向，则有 根据牛顿第二定律 得 联立解得 （2）粒子在O点的速度大小为 其中 速度方向与x轴正方向的夹角正切值 解得， 粒子在第四象限运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 第二次经过y轴时的位置到坐标原点O的距离 解得 （3）粒子以速度v射入第三象限，根据对称性可知射入第三象限时速度方向与方向的夹角也为，粒子在叠加场中做曲线运动，轨迹为旋轮线。将进入第三象限的初速度v分解为和，粒子以做匀速直线运动，以做匀速圆周运动，如图所示 应用配速法洛伦兹力与电场力平衡，则有 解得 由几何关系可知 方向与方向夹角也为 当两个分运动的速度方向相同时，粒子的合速度最大，则有 粒子在磁场中做圆周运动的周期 解得 说明周期与速度大小无关，粒子在第四象限运动的时间 粒子从进入第三象限到第一次速度最大经历的时间 粒子从A点到第一次获得最大速度时经历的时间 联立解得 【变式训练2-13】如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。 (2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴夹角为θ。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。 (3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴方向成θ角。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子离x轴的最大距离； ③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。 【答案】　见解析 【解析】　(1)粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，距x轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径， 由qv0B＝m，D1＝2R1，得D1＝； (2)①粒子速度沿x轴方向的分量v0x＝v0cos θ， 在垂直于x轴方向的分量v0y＝v0sin θ， 在垂直于x轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x轴方向做匀速直线运动，即做等距螺旋线运动。 ②由qv0yB＝m，得D2＝2R2＝。 粒子做匀速圆周运动的周期T＝ 轨迹与x轴相邻交点之间的距离 Δx＝v0cos θ·T＝； (3)①将粒子的初速度分解为沿x轴方向的分速度v0x和垂直x轴方向的分速度v0y，v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 洛伦兹力方向与x轴垂直，粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行x轴方向由静电力作用下做匀加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的“旋进”运动。 ②由qv0yB＝m，得粒子做圆周运动的半径 R3＝R2＝， 粒子离x轴的最大距离D3＝2R3＝。 ③在x轴方向，qE＝ma，第三次与x轴相交时的位置坐标x＝v0xt＋at2， 从射出至第三次到x轴时间t＝3T＝， 故x＝(v0cos θ＋)。 拓展　若电、磁场方向均沿x轴正方向，粒子射入磁场的方向与x轴垂直，如图所示，粒子与x轴的交点坐标x1、x2、x3…满足什么关系？ 答案　见解析 解析　粒子做“旋进”运动，且到达x轴的时间间隔相等，在x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，故x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…。 【变式训练2-14】如图所示，在xOy直角坐标系中，在x轴负半轴区域内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E1（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方向开始运动，粒子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ＝30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，不计空气阻力。 ( A E 1 O θ v 0 B B P M N y x B E 2 ) （1）求A点到y轴的距离x和E1的大小； （2）求B的大小； （3）若，，求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置坐标。 【答案】（1），；（2）（n＝1、2、3、…）； （3）（，）（k＝0、1、2、3、…） 【解析】 （1）根据动能表达式及勾股定理可知，在y方向上可独立应用动能定理： y方向做匀加速运动，可得从A到O的运动时间 则 （2）粒子经中间的磁场刚能经过P点，分析知粒子在该磁场中做圆弧运动的轨道半径 则（n＝1、2、3、…） ( A E 1 O θ v 0 B B P M N y x B E 2 v 0 v 1 v 2 θ ) （3）时，粒子在中间磁场中运动轨迹如图 所示，进入右边复合场中的速度大小仍为v0，方向 如图所示与x轴正方向的夹角也为θ。 将粒子在右边复合场的速度沿x轴方向和垂直于x 轴方向正交分解： x轴方向：, x轴垂直方向： ( v 1 O θ v 0 B B P M N y x E 2 B v 1 v 1 2 r 1 2 r 1 2 r 1 ) 因v2使粒子受到的洛伦兹力，方向沿x轴负方向 粒子受到的电场力，方向沿x轴正方向 F洛2与F电平衡，粒子沿v2方向做匀速直线运动 因v1使粒子做匀速圆周运动，轨道半径设为r1，则 粒子在MN右侧运动过程中，每一次离y轴最远时，x坐标为 y坐标我们分MN左右两边来分析： 在MN右边时用配速法分析： 因存在分速度v1，每一次都做匀速圆周运动，轨道半径均为 而因存在分速度v2，沿NM方向做匀速运动，每转1/4圈的时间内y方向位移 在MN左边看实际运动。从右向左穿过MN时速度大小仍为v0方向与x轴负方向所成夹角仍为θ＝30° 在MN左边磁场中运动的轨道半径，r2在MN上的分量 则上可得，离y轴最远时y坐标 （k＝0、1、2、3、…） 即在MN右侧离y轴最远时坐标为（，）（k＝0、1、2、3、…） 【变式训练2-15】如图所示，在Oxy坐标系x＞0，y＞0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN＝60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。 （1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0； （2）调整加速电压，当粒子以最小速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向； （3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。 【答案】（1）；（2），方向沿x轴正方向； （3） 【解析】 （1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K的运动轨迹如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径 在△OMN区域由洛伦兹力提供向心力，有 在匀强加速电场中由动能定理有 联立解得 （2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K射出的运动轨迹如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在△OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有 粒子从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K后受到的洛伦兹力沿x轴负方向 则粒子经过小孔K后受到的电场力沿x轴正方向 又粒子带正电，则△OMN之外第一象限区域电场强度的方向沿x轴正方向，大小满足 联立可得 （3）在匀强加速电场中由动能定理有 可得 在△OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有 可得粒子在△OMN区域运动的轨迹半径 作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图所示 粒子从K射出时，越偏向y轴，离y轴越近 由几何关系有 由配速法将运动分解为y轴方向的匀速直线运动和沿x方向的匀速圆周运动，其中 ， 匀速圆周运动的半径为 故最小距离为 题型03：配速法与摆线 【典型例题1】空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一： AC．在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电粒子在电场力作用下会向y轴正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x轴负方向偏转。AC错误； BD．运动的过程中在电场力对带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直。由于匀强电场方向是沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次运动到x轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x轴时的速度为0，随后受电场力作用再次进入第二象限重复向左偏转，故B正确，D错误。 故选B。 解法二： 粒子在O点静止，对速度进行分解，分解为向x轴正方向的速度v，向x轴负方向的速度v’，两个速度大小相等，方向相反。使得其中一个洛伦兹力平衡电场力，即 则粒子的在电场、磁场中的运动，可视为，向x轴负方向以速度做匀速直线运动，同时在x轴上方做匀速圆周运动。 故选B。 【典型例题2】如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线。关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向 C．小球在整个运动过程中机械能先变大再变小 D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等 【答案】B 【解析】小球释放后，除了受到重力外，开始阶段还受到向右侧的洛伦兹力的作用，只有重力做功机械能守恒。可以假定小球带正电，且磁场方向垂直纸面向里。小球初速度为0，可以将这个初速度分解为向右的速度v1和向左的速度v2 则两者大小关系为v1= v2 且使满足qv1B = mg 则根据前述分析可知，小球的运动可看作是v1引起的向右的匀速直线运动和v2引起的一开始向左的逆时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动。很显然，小球的轨迹不是半圆，而是摆线，如图所示 且小球运动至最低点A时速度为向右的v2和v1的矢量和，即2v1，洛伦兹力大小为2mg。其他位置v2和v1的矢量和都小于2v1，故选B。 【典型例题3】在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电荷量为q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。则小球在运动过程中第一次下降的最大距离为（ ） A． B． C． D． B 【答案】B 【解析】设在最大距离ym处的速率为vm 洛伦兹力不做功，只有重力做功，由动能定理有 根据圆周运动规律有 由题目给定条件有 解得，故B正确。 【典型例题4】（多选）在地面上方空间存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的水平方向匀强磁场，与竖直方向的匀强电场(图中未画出)，一电荷量为＋q、质量m的带电粒子(重力不计)，以水平初速度v0水平向右射出，运动轨迹如图。已知电场强度大小为E＝，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.电场方向竖直向上 B.带电粒子运动到轨迹的最低点时的速度大小为2v0 C.带电粒子水平射出时的加速度大小为 D.带电粒子在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差为 【答案】BD 【解析】由运动轨迹可知，带电粒子只有受竖直向下的静电力，最低点线速度最大，偏转半径最大，则电场方向竖直向下，故A错误；将带电粒子的速度分解为一个水平向左、大小v1＝的分速度，和一个水平向右、大小v2＝v0的分速度，由于F1＝qv0B＝Eq(与静电力平衡)，则带电粒子的运动可以看成是以速率v1向左的匀速直线运动和以速率v2的匀速圆周运动的合运动，故小球在运动轨迹的最低点时的速度大小v＝v1＋v2＝2v0，故B正确；由牛顿第二定律可得带电粒子水平射出时的加速度大小为a＝，故C错误；由于洛伦兹力不做功，带电粒子从运动轨迹的最高点运动到最低点的过程有m＋Eqh＝mv2，又有v＝2v0，解得h＝，故D正确。 【典型例题5】（多选）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电量为的电子从O点沿x轴正方向水平入射，入射速度为时，电子沿x轴做直线运动；入射速度为（）时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用，下列说法正确的是（    ） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增大 C．电子运动到最高点时速度为 D．电子运动到最高点时速度为 【答案】BC 【解析】A．当入射速度为时，电子沿x轴做直线运动，则有 可得电场强度大小为，故A错误； B．入射速度为（）时，则，且电子向上偏转，则受到向上的电场力做正功，洛伦兹力不做功，故电子向上运动的过程中动能逐渐增大，故B正确； CD．入射速度为（）时，可将电子的入射速度分解为水平向右的速度和水平向左的速度，电子运动可看成速度大小为的水平向右匀速直线运动和速度大小为的顺时针的匀速圆周运动，电子运动到最高点的速度大小为，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练3-1】速度选择器是质谱仪的重要组成部分，用于剔除速度不同的粒子，从而提高检测精度。如图所示，两极板间有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两板的长度和间距均足够大，虚线是电磁场的中心轴线。现有一束带负电的离子（不计重力）以的速度沿着虚线从左侧进入电磁场区域，其轨迹可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】离子受到的电场力，洛伦兹力，得， 得，带负电的离子，电场向下，负电荷受力向上，电场力方向向上，洛伦兹力方向用左手定则判断，四指指向离子运动的反方向，磁感线穿手心，大拇指指向向下，即洛伦兹力方向向下。由于，离子会向下偏转，且在偏转过程中，速度方向改变，洛伦兹力方向也会改变，最终轨迹会呈现向下弯曲且有周期性的曲线。 【变式训练3-2】如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。将一质量为、电荷量为的带正电小球从点由静止释放，小球在重力和洛伦兹力的作用下，部分运动轨迹如图中实线所示，到达右侧点时速度为，取，下列说法正确的是（　　） A．点位置比点高 B．小球可能沿轨迹返回点 C．小球运动的最大速度为 D．小球下降的最大高度为 【答案】C 【解析】A．根据题意，由动能定理可知，由于小球从点静止释放，到达右侧点时速度为，则重力做功为0，点位置与点等高，故A错误； B．根据题意由左手定则可知，小球从点向下运动，受向右的洛伦兹力，小球向右偏转，不可能沿轨迹返回点，故B错误； CD．根据题意，利用配速法，把静止释放的小球看成具有一个向左的和向右的，且有 则小球的两个分运动为，向右的匀速直线运动和匀速圆周运动，当运动到最低点时，小球的速度最大，最大速度为 设小球下降的最大高度为，由动能定理有 解得 故D错误，C正确。 故选C。 【变式训练3-3】如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面沿水平方向。一电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（ ） A．磁感应强度方向垂直纸面水平向外 B．电子的初速度v0小于 C．由O点至P点的运动过程中，电子的速度增大 D．将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动 【答案】D 【解析】 A：电子受电场力向上，但开始的轨迹向下弯曲，说明洛伦兹力向下，据左手定则得磁感应强度垂直向里，故A错误； B：电子从O运动到P，合外力指向轨迹凹侧，有qv0B＞qE。则＞，故B错误； C：由O点至P点的运动过程中，电场力做负功，洛伦兹力不做功，电子的速度逐渐减小，故C错误； D：当qv0B＝qE，即＝，电子受力平衡，可以做直线运动，故D正确。 【变式训练3-4】我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的电子从点沿轴正方向水平入射，入射速度为时，电子沿轴做直线运动；入射速度为（）时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用，下列说法错误的是（　　） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加 C．电子运动到最高点的速度大小为 D．电子运动到最高点的速度大小为 【答案】C 【解析】A．电子入射速度为时，电子沿轴做直线运动，电子受到的电场力向上，由左手定则可知，洛伦兹力向下，有 解得，故A正确，不符合题意； B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中运动，由于洛伦兹力不做功，向上运动到最高点， 电场力做正功，由动能定理可知，电子的动能增加，故B正确，不符合题意； C．因为入射速度为时，电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，结合B项分析可知，电子在向上运动过程中动能增加速度增大，洛伦兹力增大，所以电子在最低点的合力向上，在最高点的合力向下，设电子在最高点的速度大小为，有 解得电子运动到最高点的速度大小为，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意。 故选C。 【变式训练3-5】如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为。一束质量均为、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．两板间电场强度的大小为 B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中所用时间为 C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 D．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 【答案】C 【解析】A．速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动，则 解得两板间电场强度的大小为，不符合题意，故A错误； B．带电粒子在磁场中做圆周运动，周期，与速度无关，由题意可知，乙粒子从进入板间运动至A位置运动了半个周期，故所用时间为，不符合题意，故B错误； C．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有 整理得到，符合题意，故C正确； D．由题意，乙粒子的运动轨迹在A处时为粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达最大，为，洛伦兹力与电场力的合力提供向心力 所以对应圆周的半径为，不符合题意，故D错误。 故选C。 【变式训练3-6】如图所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v做匀速运动形成的，该轨迹称为滚轮线（也称为摆线）。如图乙所示，空间存在水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为+q的小球以竖直向上的初速度v0进入磁场，小球的轨迹就是滚轮线。设重力加速度为g，则小球运动过程中的最大速度大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据配速法，把初速度v0分解为向右的速度v1和斜向左上方的速度v2，且有 ， 则小球运动过程中的最大速度为，故B正确。 【变式训练3-7】（多选）在空间中存在垂直于纸面向外的匀强磁场和沿着纸面竖直方向的匀强电场（图中均未画出），有一带负电的粒子（不考虑重力）从O点由静止释放后，其运动轨迹如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．电场方向竖直向下 B．该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上 C．该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，电势能减小 D．该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，做速率不变的曲线运动 【答案】BC 【解析】 该带负电的粒子由静止释放后，在洛伦兹力和静电力的共同作用下向右下方运动，由配速法可知，粒子做向右的匀速直线运动和匀速圆周运动，由左手定则可知向右的匀速直线运动对应的洛伦兹力向上，说明静电力向下，因而电场方向竖直向上，选项A错误； 在曲线运动中，合力方向指向轨迹凹侧，所以该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上，选项B正确； 该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，静电力做正功，所以电势能减小，选项C正确； 该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，静电力先做正功后做负功，洛伦兹力不做功，因此粒子的速率先增大后减小，选项D错误。 【变式训练3-8】（多选）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有（　　） A．电子从N到P，电场力做正功 B．N点的电势高于P点的电势 C．电子从M到N，洛伦兹力不做功 D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 【答案】BC 【解析】A．由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误； B．根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点，故B正确； C．由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M到N洛伦兹力都不做功；故C正确； D．由于M点和P点在同一等势面上，故从M到P电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点电场力相等，即合力相等，故D错误； 故选BC。 【变式训练3-9】（多选）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y轴正方向，电场强度大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为＋q的粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，释放后，粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P的纵坐标为h，曲线在P点附近的一小部分，可以看作是半径为2h的圆周上的一小段圆弧。则（　　） A．粒子在y轴方向做匀加速运动 B．粒子在最高点P的速度大小为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子经过时间运动到最高点 【答案】BC 【解析】A．粒子受到电场力和洛伦兹力作用，粒子所受合力发生变化，粒子不可能做匀加速运动，故A错误； B．粒子从O运动到P的过程，只有电场力做功，根据动能定理有 解得，故B正确； C．粒子经过P点时，由电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，则有 结合上述解得，故C正确； D．粒子从坐标原点O由静止释放，初速度为0，可将粒子速度分解为沿x轴正方向与沿x轴负方向，令分速度大小均为v0，且有 解得 则粒子的分运动为沿x轴正方向，速度大小为v0的匀速直线运动，与初速度沿x轴负方向，大小也为v0的，沿逆时针方向的匀速圆周运动，根据， 解得 粒子从O到P的过程经历时间 结合上述解得，故D错误。 故选BC。 【变式训练3-10】（多选）带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上有两个大小相等、方向相反速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为，磁感应强度为B（范围无限大），重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是（　　） A．两点间的距离为 B．小球在运动过程中机械能不守恒 C．小球下降的最大高度为 D．小球的加速度大小恒为g 【答案】CD 【解析】A．在水平方向上带电小球受力平衡，则有 求得水平速度为 竖直面内匀速圆周运动半径为 周期为 两点间距离为 故A错误； B．小球在运动过程中只有重力做功，洛伦兹力不做功，则小球的机械能守恒，故B错误； C．小球下落的最大高度为 故C正确； D．小球在水平面内是匀速直线运动，竖直面内是匀速圆周运动，小球的加速度大小恒为 故D正确。 故选CD。 【变式训练3-11】（多选）如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。一电子从M点由静止释放，沿图中轨迹依次经过N、P两点，且N点离水平虚线最远。已知磁感应强度为B，电场强度为E，电子质量为m、电荷量为e，电子重力不计，则（　　） A．电子在N点的速率为 B．N点离虚线的距离为 C．电子从M到N点的时间为 D．M、P两点的距离为 【答案】BD 【解析】AB．根据“配速法”，电子在M点由静止释放，可看做是电子分别以的速度向左运动和以速度向右运动，由于 可看做向左的匀速直线运动和向下的匀速圆周运动的合运动，其中圆周运动满足 可得 因N点离虚线最远，则两个方向的分速度均向左，则电子在N点的合速度 N点离虚线的距离为，A错误，B正确； C．电子从M到N点的时间为，C错误；     D．M、P两点的距离为，D正确。 故选BD。 【变式训练3-12】霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为v0/4，求运动到速度为v0/2时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标 位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 【答案】（1）；（2）；（3）90% 【解析】 （1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动则有 （2）入射速度为v0/4小于v0，电子沿虚线向上偏转，电场力做正功，根据动能定理有 （3）若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则 在最高点时合力，在最低点v时合力 联立有， 要让电子达纵坐标位置，即 解得≤ 则能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的90%。 题型04：正则动量（积分动量）的应用 【典型例题1】如图所示，平面直角坐标系xOy 中，在MN 的左侧存在沿y轴正方向的匀强电场，在MN 与y轴之间半径为R 的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场边界分别与y轴和MN 相切，MN 与y轴平行，在x>0区域存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，该磁场内各点的磁感应强度大小与横坐标x 满足 （k 为大于0的常量）。一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从纵坐标 的A 点沿x 轴正方向以初速度射出，恰好从MN与x轴的交点P 射入磁场Ⅰ，此时速度方向与x轴正方向的夹角θ=60°，一段时间后，粒子以垂直于y轴的方向进入磁场Ⅱ，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在电场中的运动时间为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．磁场Ⅰ的磁感应强度大小为 D．带电粒子在磁场Ⅱ中运动时，离y轴的最大距离为 【答案】D 【解析】A．根据，解得，带电粒子在y方向做匀加速运动，在电场中运动的时间为；B．根据，可得；C．刚进入磁场Ⅰ时，粒子的速度，进入磁场Ⅰ后做匀速圆周运动，轨迹如图，根据几何关系可得带电粒子在磁场中圆周运动的半径，由洛伦兹力提供向心力可知，解得； D．带电粒子进入磁场Ⅱ时的速度大小为2v0，方向垂直于y轴，带电粒子离y轴最远时，速度沿y轴正方向，大小为2v0，在y方向列动量定理，即，解得。 【典型例题2】（多选）如图所示，一束质量均为m、电荷量均为q的带电粒子，从A点以不同速率沿水平方向进入磁感应强度大小为、电场强度大小为E的正交的复合场中。其中一粒子从O点以水平速度离开复合场区域后进入一云室，云室内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，此后粒子一直在云室内运动，并始终受到与速度方向相反的阻力作用，直至速度减为0。以O点为原点建立xOy直角坐标系，不计粒子重力，且电荷量保持不变，则（　　） A．该粒子一定带正电 B．可能大于 C．若，则该粒子在云室内的总路程为 D．若，则该粒子在云室内的位移为 【答案】BD 【解析】AB．一粒子从O点以水平速度离开复合场区域后进入一云室，对粒子电性没有要求，若粒子做匀速直线运动，有 可知 无论粒子带正电还是负电，都可以匀速穿过。当然可能大于，此时有 粒子做一般曲线运动，但是速度方向有可能水平穿过复合场区域，故A错误，B正确； C．若，根据动能定理有 可得该粒子在云室内的总路程为，故C错误； D．若，设运动中速度的水平分量为，速度的竖直分量为，水平方向有 可得 竖直方向有 可得 可得该粒子在云室内的位移为，故D正确。 故选BD。 【典型例题3】如图所示，平面直角坐标系xOy内，过原点的直线l与+x轴的夹角为φ（），将y轴右侧分成上下两个区域Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ区（含+y轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。Ⅱ区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为m、电量为+q的带电粒子P从O点沿+y方向以初速度v0射出，带电粒子重力不计。 (1)若使P不能到达x轴，求Ⅱ区磁场的磁感应强度应满足的条件； (2)将Ⅱ区磁场调成与Ⅰ区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P仍从O点沿+y方向以初速度v0射出，运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数k，未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P速度第一次沿－y方向的位置在直线l上。求比例系数k的大小及粒子最终停止的位置坐标。 【答案】(1)若Ⅱ区磁场垂直纸面向外，，若Ⅱ区磁场垂直纸面向里， (2)，（，） 【详解】（1）若Ⅱ区磁场垂直纸面向外，则，当粒子恰到达x轴，如图所示 根据几何关系可得，解得， 所以，若Ⅱ区磁场垂直纸面向里，则，当粒子恰到达x轴，轨迹如图所示 根据几何关系可得，解得，所以 综合以上分析可知，若Ⅱ区磁场垂直纸面向外，则，若Ⅱ区磁场垂直纸面向里，则； （2）设某时刻粒子沿两轴的速度分量分别为vx和vy，如图所示 由牛顿第二定律，， 取极短时间∆t，则， 可得，，第一次x方向速度为零时位于（x0，y0）， 则，又，所以，最后停于（x1，y1），则， ，又，可得， 所以粒子最终停止的位置坐标为（，）。 【典型例题4】如图所示，坐标系xOy平面在纸面内，在x≥0的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，0≤x<d的区域Ⅰ和x≥d的区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小分别为B1和B2。大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，同时从原点O射入磁场，粒子射入的速度大小相等，在坐标平面内与x正方向成θ(－90°≤θ≤90°)角。沿y轴正方向射入的粒子在P(d，d)点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子从原点O射入磁场时的速度大小； (2)求不能进入区域Ⅱ内的粒子，在区域Ⅰ内运动的最长时间； (3)若粒子在区域Ⅱ中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k，观察发现沿y轴正方向射入的粒子，射入区域Ⅱ后粒子轨迹呈螺旋状并与两磁场的边界相切于Q点(未画出)，求： ①该粒子由P点运动到Q点的时间； ②该粒子在区域Ⅱ中运动轨迹的长度。 答案　(1)　(2)　(3)①　② 解析　(1)由题意知，粒子做圆周运动的半径r＝d 由qvB1＝m 解得v＝ (2)由旋转圆模型知，对于不能进入区域Ⅱ内的粒子，当粒子沿x轴正向进入Ⅰ区域时，运动时间最长，即 tmax＝× (3)①该粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力qvB2＝mωv 可得ω＝ 即角速度为一定值，又可知粒子与边界相切时转过的弧度θ＝π， 时间t＝ 解得t＝ ②粒子在区域Ⅱ中做螺旋线运动，由于阻力最后停下来，在切线方向上，由动量定理有 －kvtΔt＝mΔvt 求和则有－k∑(vtΔt)＝m∑Δvt 有kl＝mv 解得l＝ 【典型例题5】如图所示的xOy平面直角坐标系中，极板A、B板间电压为U。比荷为k的正离子从A板由静止释放，加速后垂直进入圆心角为120°的扇形辐向电场并做匀速圆周运动，恰能垂直另一侧边界在y=3L的位置射出电场并进入第一象限。第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行于x轴的区域I和II，其中区域I存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域II存在磁感应强度大小为的磁场，方向均垂直纸面向里，区域II的下边界与x轴重合。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。辐向电场右边界与x轴正方向成30°角。 （1）求辐向电场的电场强度E的大小； （2）若正离子恰好不离开磁场I，求B1的大小； （3）若正离子恰好不进入第四象限，与应满足什么关系？ 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）离子在加速电场中被加速，根据动能定理有 解得 离子在辐向电场中做匀速圆周运动，根据电场力提供向心力有 由几何关系可知 联立解得 （2）若正离子恰好不离开磁场Ⅰ，则其运动轨迹与磁场Ⅰ和磁场Ⅱ的边界相切，如图所示 由几何关系得 解得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）离子在区域Ⅰ中运动和在区域Ⅱ中运动刚好到达x轴的过程，由动量定理分别有 两边相加可得 解得 【变式训练4-1】如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L的匀强电场和匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a点由静止释放，运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边界c点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d（图中位置仅为示意），下列说法正确的是（   ） A．a、b两点之间的距离为 B．匀强电场的场强大小为 C．粒子在d点的速度大小为 D．粒子从c点到d点的竖直位移为 【答案】C 【解析】A．由几何关系可得 粒子从a到b的位移为 故A错误； B．设粒子在磁场中速率为v，半径为R 由动能定理可得 由洛伦兹力充当向心力可得 由题意结合几何关系可得 联立解得 故B错误； CD．把粒子从c到d的过程中的平均速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，设两个平均分速度分别为、，把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解 根据左手定则，两个洛伦兹力的分力分别为， 设粒子在最低点d的速度为v 水平方向由动量定理可得 由动能定理可得 结合， 联立解得， 故C正确，D错误； 故选C。 【变式训练4-2】（多选）在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放，已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平，如图所示。小球从静止开始下落的过程中，以下说法正确的是（　　） A．小球运动到最低点时，洛伦兹力的瞬时功率为 B．小球从出发第一次到达最高点时的位移为 C．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，水平位移与竖直位移大小之比为 D．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，洛伦兹力的冲量大小为 【答案】BC 【解析】A．小球带正电，由静止释放，在竖直向下的重力与垂直纸面向里的匀强磁场中做摆线运动。其运动可分解为：水平、竖直方向均以做匀速圆周运动，圆周运动周期 第一次运动到最低点时，竖直分速度抵消为0，水平分速度合为；洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功。洛伦兹力始终与速度方向垂直，由功率公式 可知洛伦兹力瞬时功率恒为0，与速度大小无关，故A错误； B．小球第一次到达最高点的时间为一个周期 水平位移 竖直方向圆周运动一个周期回到初始高度，竖直位移为0，故合位移等于水平位移，故 B正确； C．小球第一次到达最低点的时间为半周期 水平位移 竖直位移为圆周运动半周期的直径 位移比值，故C正确； D．由动量定理矢量分解，最低点水平动量变化 竖直方向 重力冲量 洛伦兹力冲量，故D错误。 选BC。 【变式训练4-3】如图所示，在竖直面内建立坐标系，水平轴下方存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的带电小球在点静止释放，小球的运动曲线如图所示。 (1)若曲线在最低点的曲率半径为该点到轴距离的2倍，重力加速度为。求： 小球运动到任意位置处的速率及小球在运动过程中第一次下降的最大距离。 (2)若磁场为非匀强磁场，方向水平向里，磁感应强度大小随方向均匀增大，关系为。（和已知）求小球在运动过程中第一次下降的最大速度。 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）洛伦兹力不做功，由动能定理得，解得，设在最大距离处的速度为，根据圆周运动有，根据几何关系可知，结合（1），解得 （2）能量守恒，洛伦兹力在水平方向的冲量 由动量定理，得，联立解得最大速度 【变式训练4-4】在如图所示的平面内，轴和区间有垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为、电荷量为的质子从坐标原点沿轴射入磁场。入射速度为时，质子恰好不从磁场上边界射出。 (1)求磁感应强度大小； (2)若入射的质子数按速度大小均匀分布在范围，求能到达磁场中横坐标位置（图中虚线）的质子数占总质子数的百分比； (3)若磁场区域存在沿-方向的非匀强电场，电场强度随方向均匀增大，关系式为，要使入射速度为的质子不从磁场上边界射出，求满足的条件。 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）根据洛伦兹力提供向心力得，如图1所示当质子恰好不从磁场上边界射出 ，解得 （2）如图2所示，当粒子刚好到达处时，由洛伦兹力提供向心力有，解得 由（1）可知恰能到达的质子速度为，综上，到达的质子入射速度在范围内，占总质子数的百分比 （3）设入射速度为的质子刚好经过边界，此时速度方向沿轴正向，速度大小为。 根据动能定理可得，电场力做功 水平方向应用动量定理，即，由 可得，解得，，所以 【变式训练4-5】如图所示，在水平虚线下方有正交的匀强磁场和匀强电场，其中磁场方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。在距离水平虚线高处的点以某一初速度水平向右抛出一个质量为、带电荷量为的小球，小球通过水平虚线上的点进入电场、磁场区域且在点的速度方向与水平方向的夹角为，一段时间后，小球又从水平虚线上的点与水平方向成角斜向右上方射出电场、磁场区域，已知匀强电场的电场强度大小（为重力加速度大小），两点间的距离为，，求： (1)小球经过点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)小球从点运动到点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）小球从点到点做平抛运动，设小球做平抛运动的时间为，则有 小球经过��点时的速度大小 解得 （2）设带电小球从点运动到点的时间为，小球经过点时的速度大小为，根据动能定理有 解得 小球经过点时，水平方向的速度 竖直方向的速度 在竖直方向，根据动量定理有 在水平方向，根据动量定理有 根据题意有， 解得 （3）带电小球从点运动到点的时间 其中， 解得 【变式训练4-6】如图所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内，区域I（x<-L）内有方向垂直xOy平面向外的匀强磁场；区域II（-L<x<0）内有一平行纸面且大小、方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从点a（-2L，-2L）沿y轴正方向、以大小为v0的初速度开始运动，从点b（-L，-L）沿x轴正方向进入区域II，粒子在电场中运动时间后，从坐标原点进入第一象限，第一象限内存在垂直xOy平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小B2与横坐标x满足B2=kx（k为大于0的常量）。不计粒子重力，求： (1)区域I内匀强磁场磁感应强度B1的大小； (2)区域II内匀强电场场强E的大小； (3)该粒子在第一象限内运动过程中与y轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得粒子在区域I中运动的轨迹半径为 由牛顿第二定律得 ，解得 （2）设匀强电场的水平分量为，竖直分量为，由牛顿第二定律得、 粒子沿x轴、y轴的分运动均为匀变速直线运动，沿x轴方向有，沿y轴方向有 解得， ，区域II内匀强电场场强E的大小为 （3）原点O瞬间，沿x轴方向的分速度大小为，沿y轴方向的分速度大小为 粒子经过O点速度大小为 ，粒子在第一象限内运动过程中，当粒子与y轴距离最大时，粒子沿x轴方向的分速度为0，沿y轴方向的分速度大小为， 在y轴方向由动量定理得，而，解得 【变式训练4-7】利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在坐标系的轴左侧存在沿轴负方向的匀强电场，轴右侧存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。现有一质量为，电荷量为的带正电粒子，从P点以大小为的初速度沿轴正方向发射，恰好经过坐标原点O进入右侧磁场，再经过M点（未画出）返回轴左侧，粒子经过M点时在轴左侧增加与右侧相同的磁场（图中未画出），粒子从M点到达N点（未画出）时速度方向第一次与轴平行。不计带电粒子的重力，已知，。求： (1)匀强电场的电场强度的大小； (2)粒子从点运动到点的时间； (3)粒子在点时的速度大小 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）粒子在间做类平抛运动，平行于轴方向有，解得 平行于轴方向有，根据牛顿第二定律得，解得 （2）设粒子经过点时与轴正方向间的夹角为，则沿轴方向的分速度，又 解得，粒子在磁场中运动的速度，如图1所示 ，粒子在轴右侧做圆周运动的时间，，代入，可得，从点运动到点的总时间 （3）粒子离开点回到轴左侧后，对粒子受力分析，如图2所示 粒子从点到点，在轴方向上， 由动量定理得，其中，设，则，解得 从点到点，洛伦兹力不做功，由动能定理得，解得 【变式训练4-8】现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动，如图所示，真空中存在着多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sin θn。 【答案】　B 【解析】　 设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn， 在电场中，根据动能定理有 nqEd＝m 解得vn＝ 在磁场中由动量定理有qvxBΔt＝mΔvy 即qΔxB＝mΔvy 两边累加得qxB＝mvy，其中x为在磁场中的水平位移，x＝nd 联立得vy＝，sin θn＝ 得：sin θn＝B。 【变式训练4-9】如图所示，在平面直角坐标系中，有沿轴正方向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。从点发射一比荷为的带正电微粒，该微粒恰能在坐标平面内做直线运动。已知轴正方向竖直向上，重力加速度为。 (1)求微粒从点发射时的速度大小和方向； (2)若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从点射出后，求微粒在第三象限运动过程中距轴的最远距离； (3)若仅撤去电场，微粒改为从点由静止释放，求微粒运动过程中的最大动能。 【答案】(1)，与轴负方向成角指向第三象限 (2) (3) 【解析】（1）由题意知，微粒做匀速直线运动，受力分析如图甲，则 解得 微粒受洛伦兹力方向指向第二象限，则由左手定则判断其速度指向第三象限，设微粒发射的速度方向与轴负方向夹角为 ，则 解得 ，即微粒速度方向与轴负方向成 角指向第三象限 （2）撤去磁场后，微粒做类平抛运动，如图乙，将速度分解可得 微粒在轴方向的加速度大小 微粒在第三象限距离轴最远时 得 （3）由于洛伦兹力不做功，所以当微粒运动的轨迹与轴的距离最大时，重力做功最大，微粒动能最大，此时速度为，方向与轴平行，设最大距离为，在轴方向上，由动量定理得 即 由动能定理得 解得 【变式训练4-10】为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： (1)该未知粒子的比荷； (2)匀强电场电场强度E的大小及右边界的值； (3)如右图所示，若偏转磁场中磁感应强度由边界至由左向右在间距均为（很小）中，第一个区域磁感应强度为B，下面各区域磁感应强度依次为、、……，当粒子能达到磁场右侧边界（达到边界就被吸收），求应当满足的条件。[当时，取] 【答案】(1) (2)， (3) 【解析】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有 由题意和几何关系可知解得粒子的比荷为 （2）粒子运动轨迹如图所示 粒子在电场中可逆向看成类平抛运动，则有 联立解得 由几何关系可得 解得故有 （3）设竖直方向的速度为，水平方向的速度为，极短时间，则有 结合题意可得 故有即 解得 即 【变式训练4-11】如图，水平面上固定有足够长的平行导轨P、Q，导轨间存在方向竖直向下，大小为B（大小未知）的匀强磁场，且导轨间距足够大。有一质量为M的圆筒垂直导轨放置，长度略小于导轨内侧间距（可认为相等），a端封闭，b端开口，能沿导轨自由滑动。另有一质量为m，带电量为q（q>0）的小球（直径大小可忽略不计）能沿圆筒自由移动。圆筒不会屏蔽磁场，小球不发生电荷转移，忽略一切摩擦及空气阻力。 (1)先撤去圆筒，将小球紧贴导轨Q并给其与导轨Q夹角为37°的初速度，如图甲，若小球没有离开磁场，且与导轨Q最大距离为1.8L，求磁感应强度B的大小； (2)若B为（1）中所求，现装上圆筒，若M=m，将小球放入筒中靠近b端处，给圆筒中心施加大小为1.5mg，方向平行于导轨向右的恒力F，如图乙，求F作用距离为L时小球速度大小； (3)若，装上圆筒，将小球放入圆筒中且与导轨P的距离为L，现给小球与圆筒一个平行于导轨向右的相同初速度，如图丙。当小球与导轨a端发生碰撞时，平行于导轨方向的速度不变，垂直于导轨的速度反向且大小变为碰前的e倍（0<e<1），请计算： ①在与a端发生第n次碰撞到第n+1次碰撞期间，小球与P导轨的最大距离。 ②从小球开始运动到①中与P导轨的最大距离时，小球在平行导轨方向所经过的位移大小。 【答案】(1) (2) (3)①，② 【解析】（1）根据几何关系有R=L 小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）在很小的每一段时间Δt内，小球与圆筒x方向速度vx′视为不变，则y方向受到洛伦兹力为 小球在y方向上由动量定理有 累积后有 解得 对小球与圆筒进行分析，根据动能定理有 解得 解得 （3）从初始到第一次碰前有 根据能量守恒定律有 解得第一次碰前瞬间， 则第一次碰后瞬间有， 从第一次碰后至第二次碰前，根据动量定理有 由于 解得 则第二次碰前x方向上，小球与圆筒速度大小为，由能量守恒定律克知小球y方向上的速度大小为，则第二次碰后瞬间有， 以此类推，第n次碰后瞬间有， 从第n次碰后至小球离P导轨最远，则有 由洛伦兹力提供向心力，则有 其中xn表示第n次碰后至第n+1次碰前小球在x方向上的位移，由于 解得， 又从开始运动到第一次碰前有 解得 则有 【变式训练4-12】如图所示，xOy平面直角坐标系中，在第二象限内存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，O1为圆心，半径为R，磁场边界与两坐标轴相切；y≤0区域内交替分布宽度均为d的匀强电场和匀强磁场，其边界均与x轴平行，匀强电场的电场强度大小为E0，方向沿y轴负方向，匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向里。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从圆形边界上的P点以初速度v0射入磁场，PO1与x轴平行，v0与PO1夹角α=60°。粒子射出圆形磁场瞬间，在y>0区域内加上沿y轴正方向的匀强电场(图中未画出)。已知圆形磁场的磁感应强度大小为，y>0区域内匀强电场的电场强度大小为，不计粒子重力。 (1)求粒子在圆形磁场区域做圆周运动的半径； (2)求粒子离开圆形磁场区域后，到达x轴的速度大小； (3)求粒子穿出y≤0区域内第二个电场时速度方向与竖直方向夹角的正弦值； (4)若粒子到达y≤0区域内某个磁场下边界时，速度方向恰好沿x轴正方向，求此时速度大小。 【答案】(1)R　(2)0　(3)　 (4) 【解析】(1)粒子在第二象限圆形磁场中， 有qv0B1=m 其中B1= 解得r=R (2)如图甲所示 由几何关系得粒子射出圆形磁场时距离x轴d1=R(1-cos α) 粒子从射出圆形磁场到x轴，由动能定理得-qE1d1=mv2-m 解得v=0 (3)粒子在y≤0区域第一个电场中加速，由动能定理得qE0d=m 粒子在y≤0区域第一个磁场中，有qv1B0=m 如图乙所示 由几何关系得r1sin θ1=d 粒子在y≤0区域经历两个电场加速，有2qE0d=m，v1sin θ1=v2sin θ2 解得sin θ2= (4)设粒子在第n个磁场下边界的速度为vn，粒子在y≤0区域整个向下运动过程中，由动能定理得nqE0d=m 水平方向由动量定理得qB0t=mvn 其中t=nd 解得vn= 【变式训练4-13】利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长边界均平行轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为的磁场，方向垂直纸面向外，区域Ⅱ的下边界与轴重合。位于处的离子源能释放出电荷量，质量、速度方向与轴夹角为的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)若，初速度 ①离子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中的运动半径分别为多少？ ②求离子离开磁场区域Ⅰ的横坐标； ③若在磁场区域Ⅱ中存在一个与运动方向始终相同的推力，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，求离子离开磁场区域Ⅱ的坐标； (2)若，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，请问离子的初速度是多少？（类比正弦式交流电） 【答案】(1)①2m，1m；②；③ (2) 【解析】（1）①离子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 解得 所以离子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中的运动半径分别为 ②如图所示，根据几何关系有 解得， 离子在区域Ⅰ中沿x轴正方向的位移大小为 所以离子离开磁场区域Ⅰ的横坐标为 ③对于离子在区域Ⅱ中的运动，在x轴方向上根据动量定理有 由题意可知上式中 根据运动学公式可知离子在区域Ⅱ中沿x、y方向的位移大小为分别为 解得 所以离子离开磁场区域Ⅱ的横坐标为 即坐标为 （2）对离子从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的运动过程，在x方向上根据动量定理有 由题意整理得 类比正弦式交流电平均值和峰值的关系式可知 解得 【变式训练4-14】利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    【答案】（1）；（2）（3）60% 【解析】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系 解得r1=2L 根据解得 在磁场中运动的周期 运动时间    （2）若B2=2B1，根据可知 粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系 解得r2=2L 根据 解得 （3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理 即 求和可得 粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中 解得 则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为η=60% 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 复合场中的摆线问题—配速法 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 15 题型归纳 16 题型01：共线的配速 16 题型02：不共线的配速 21 题型03：配速法与摆线 30 题型04：正则动量（积分动量）的应用 36 1. 考位定位：属于带电粒子在重力、电场、磁场叠加场的压轴难点，不属于必考题型，但属于高分段区分题，多出现在全国卷、新高考卷的计算题最后一问，模拟卷、强基、校考高频。 2. 命题特点 ①背景：匀强磁场+匀强电场/重力场，粒子受恒力+洛伦兹力，做摆线（旋轮线）类复杂曲线运动； ②常规方法（牛顿运动定律、圆周运动公式）无法直接分析，必须配速分解； ③设问方向：求最大/最小速度、最大高度、周期、单周期位移、边界临界、某位置速度； ④常和动能定理结合考查：洛伦兹力不做功，重力、电场力做功改变速率。 3. 难度与分值：一般压轴小问，4～7分，属于尖子生突破点，基础卷很少出现。 4. 命题陷阱 ①分不清恒力合力方向，补偿速度方向配反； ②混淆漂移速度 和圆周速度； ③误以为周期会随初速度变化（周期只由 m、q、B 决定）。 一：基础目标 1. 记住配速法适用条件：粒子同时受恒定合力（重力、电场力）+匀强磁场的洛伦兹力，合力不为零； 2. 理解核心思想：把初速度矢量分解，运动等效为匀速直线运动 + 匀速圆周运动； 3. 会计算补偿速度 =，圆周半径、周期； 4. 能处理最经典模型：由静止释放（初速度为0） 的摆线运动，熟记速度、高度极值。 二：提升目标 1. 会处理有初速度（初速度和补偿速度同向、反向、斜向）的配速问题； 2. 能结合动能定理联立求解极值； 3. 会分析一个周期内的位移、空间位置，识别临界穿出磁场边界问题。 三：拔高目标 1. 矢量方向判断不依赖死记，会用左手定则判定补偿速度方向； 2. 能区分配速法、洛伦兹力冲量法、微元法各自适用场景，灵活选择方法 知识点一：配速法 （一）摆线 摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 考察这些点的运动时，我们可以将各个点的运动看成由两个运动组成：一个是随圆轮圆心水平方向的匀速直线运动；另一个是绕圆心的匀速圆周运动。这样的曲线轨迹一般称为摆线。 （二）配速法 1.配速法的定义 若带电粒子在磁场中所受合力不为零，粒子可能做复杂的曲线运动，速度大小和方向时刻改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，运动轨迹不再是简单的直线、抛物线、圆（圆弧）和等径螺旋线。对于这类运动，高中阶段用常规方法几乎无法求解。这时，我们可以借助等效原理，或运动的合成与分解原理，将带电粒子的复杂运动看成由两个简单运动组成，最终达到容易分析求解的目的。 此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 （一般将运动分解为一个匀速直线运动和匀速圆周运动或匀变速直线运动。） 2.配速法的本质要点——配速配力配运动 （1）配速法的本质：就是运动的分解，就是将一个复杂的运动分解为两个我们熟悉的简单的运动 具体来说，就是将初速度分解为两个分速度，两个分速度各自引起一个运动（一般为一个匀速直线运动，一个匀速圆周运动），两个运动相互独立互不影响 （2）配速法的适用情况：除了洛伦兹力以外还受到别的力，而且别的力为恒力（如重力、电场力），洛伦兹力大小和方向都时刻改变 3.配速法的两种操作方法（添速法与分解法） （1）添速法：给带电粒子配上一对大小相等、方向相反的速度（可以认为这一对速度是凭空添上去的）（其实合速度等于零），其中一个速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力平衡，粒子在该速度方向上做匀速直线运动；另一个速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动 （2）分解法：将带电粒子的速度分解，其中一个分速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力（如重力、电场力）平衡，粒子在该分速度方向上做匀速直线运动；另一个分速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动。 也就是说，配速法一般就是将带电粒子的复杂运动，分解为一个匀速直线运动和一个匀速圆周运动。 4.配速法的分析思路 （1）以初速度为零的带电粒子在磁场与重力叠加场中的摆线运动为例（添速法）阐述配速法的分析思路。 首先，要平衡带正电荷的粒子重力先添加一水平向右的速度v，对应速度产生的洛伦兹力来平衡重力，其次，需要再加一水平向左的速度来抵消所加的向右的速度，其效果与没加速度相同，如图2所示，最后会出现图3所示的带电粒子所做的两个运动：①水平向右速度为v的匀速直线运动； ②初速度为v水平向左的匀速圆周运动； v v O mg qvB v v qvB × × × × × × × × × × × × B +q m （图1） （图2） （图3） 根据洛伦兹力与重力平衡 得： 洛伦兹力充当向心力，可知： 利用上面的规律就可以确定带电粒子运动在某一时刻的速度的大小和方向，如图5、6所示， 两个分速度的合成；并且还可以求出任一时刻的水平位移和竖直位移（两个分运动的位移矢量和）x y O P（x,y） vP vt ωt vP v v ωt （图4） （图5） （图6） 由图可知：带电粒子任意时刻的运动的速度： 带电粒子任意时刻的水平方向的位移： ① ② 带电粒子任意时刻的竖直方向的位移： ①当 ωt=π时 ； ②当ωt=2π时 还可以采用动能定理及动量定理进行分析（积分动量） 应用动能定理及动量定理的缺陷： ①只能验证特殊状态下的速度及所在位置的纵坐标； ②产生原因是竖直方向的冲量所用时间必须用“配速法”才能确定。 （2）以初速度不为零的带电粒子在磁场与重力叠加场中的摆线运动为例（分解法）阐述配速法的分析思路。 先配运动；再配力；最后配速度，配速法的目的，就是要将一个复杂的运动变为两个简单的运动。所以，首先应该考虑将带电粒子的复杂运动配成什么形式什么方向的两个简单运动。以受洛伦兹力和重力为例 ①运动1：匀速直线运动。速度大小满足，这个速度是为了和重力平衡“配”出来的，所以叫做“配速法”。 ②运动2：匀速圆周运动。速度大小，要保证两个分运动的初速度合成后还是原来的初速度，然后这里不用考虑重力了，因为重力已经给了运动1，这里就只受到洛伦兹力做匀速圆周运动了。然后，按照两个分运动各自独立运动来理解即可。 当然通过合成我们也可以得到其实际的运动轨迹、合速度、合位移，等等。我们先将合运动的轨迹画出来，就是在同一平面内一个匀速直线运动加一个匀速圆周运动的轨迹，也就是摆线。 5.配速法的应用步骤 （1）确定需要平衡的恒力，一般为重力、电场力或重力及电场力的合力； （2）给带电粒子配上一个速度，让这个速度引起的洛伦兹力与上述力平衡，并得出相应的速度大小及方向； （3）一般再配一个与上述速度等大、反向的速度（添速法）；或应用速度分解法配速（分解法）。 6.常见问题 （1）求粒子的最大速度 当v2与v1同向时速度最大vmax=v1+v2。 （2）求粒子经过坐标轴的坐标 根据圆周运动规律，求出粒子一个周期内经过坐标轴所用时间，考虑周期性，写出经过坐标轴的所有时间通式，计算出圆周运动的位移和匀速直线运动的位移的矢量和。 配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 知识点二：摆线运动规律 将初速度分解为：v1（匀速直线运动）和v2（匀速圆周运动）我们以v1＜v2为例，结合轨迹图研究这个摆线运动中的一些规律。 1.最大速度与最小速度 ①最大速度（最低点）：vmax＝v1+v2，水平 ②最小速度（最高点）：vmin＝v2−v1，水平，与最低点反向 只有重力做功，所以最高点和最低点速度有极值运动过程中，v1大小方向都不变，v2大小不变方向变，所 以合速度大小方向时刻改变。 2.最高点与最低点的高度差 匀速直线运动不会产生竖直方向的位移，所以最高点和最低点的高度差完全由匀速圆周运动决定，也就是直径大小 3.受力与运动特点 ①最高点： （向心力） （A处的曲率半径） ②最低点： （向心力） （B处的曲率半径） 规律总结： ①经所有位置的合力大小都是，即合力大小不变（等于开始运动时的合力大小），方向时刻改变（因为重力已经被平衡掉了，合力就等于匀速圆周运动的向心力） ②经最高处时曲率半径小，轨迹更弯曲；经最低处时曲率半径大，轨迹更平坦 4.同一高度的速度特点 ①速度大小相等（图中vC＝vD） ②速度方向与水平方向夹角相等 5．交点条件及回归时间 v1 v2 vE θ α 如图中，从交点E斜向上运动再回到E点，求时间的基本思路： 分运动1（匀速直线运动）向右的位移，等于分运动2（匀速圆周运动）向左运动的弦长： 又因，是水平的 则（竖直分量相等） 所以（这就是回归交点的角度条件） 由上述角度条件，即可求得回归时间（具体的回归时间看配速之后v1、v2的大小关系） 6．摆线运动另外两种轨迹 ①配速后v1＞v2的轨迹如下 ②配速后v1＝v2的轨迹如下 v1 v2 v1＝v2 vA=0 vB=2v1=2v2 v1 v2 vA v1 v2 vB 7.摆线运动的临界问题： 已知带电粒子初速度沿x轴正方向，匀强磁场垂直纸面向里，在磁场和重力叠加场中带电粒子的运动轨迹临界问题的讨论： (1) 当0<v0<mg/qB：v0-v v O (2) mg/qB<v0<2mg/qB：v v O (3) v0=2mg/qB：v-v0 v O (4)2mg/qB<v0：v0-v v O 规律总结： ①v0=mg/qB是x轴上下的临界点； ②v0=2mg/qB是速度是否出现反向的临界点。 知识点三：配速法常见的几种运动分析 （一）无初速度边界型（重力+洛伦兹力） 空间存在水平边界的匀强磁场，磁感强度为B，边界下方磁场区域足够大，一个质量为m的带电量+q的小球从边界上的P点无初速度释放。分析小球的运动情况 ① 垂直重力方向（水平）建立x轴，在x轴方向配置一个水平向右速度V1，使该速度产生的洛伦兹力刚好与重力等大反向，满足BqV1=mg，即，使粒子的圆周在X轴上以 的速度向右匀速平动。 ② 粒子开始的初速度为零，因为给配置了一个分速度V1，由矢量运算法则计算出另一个分速度V2，其方向与V1反向且大小相等V1=V2，粒子以 为半径做逆时针的匀速圆周运动。轨迹如图 ③ 粒子做匀速圆周运动的周期 ，画出 等各个时刻小球的位置，并进行分析： (1 ) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O2, O1O2距离S12= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到A.所以A点坐标： ，在A点V1水平方向，V2竖直方向，合速度，方向右偏下 (2) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O3, O1O3距离S13= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到B.所以B点坐标： ，粒子运动到B点，重力做功最多，所以速度最大，在B点，V1、V2方向均水平向右，所以合速度最大，B点是轨迹的最低点，VB=Vmax=V1+V2 ， (3) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O4, O1O4距离S14= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到C.所以C点坐标： ，在C点V1水平方向，V2竖直向上，合速度，方向右偏上 (4) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O5, O1O5距离S15= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度2 ，实际轨迹由P到D.所以D点坐标： ，粒子运动到D点重力不做功，所以速度最小，在B点，V1V2方向相反，所以合速度最小，B点是轨迹的最高点，VB=Vmin=V1-V2 ， （5）从D点之后，开始新的周期运动 （二）有初速度边界型（重力+洛伦兹力+初速度与重力同向） 空间存在水平边界的匀强磁场，磁感强度为B，边界下方磁场区域足够大，一个质量为m的带电量+q的小球从边界上的P以竖直向下的初速度 进入磁场。分析小球的运动情况 ① 垂直重力方向（水平）建立x轴，在x轴方向配置一个水平向右的速度V1，使该速度产生的洛伦兹力刚好与重力等大反向，满足 BqV1=mg 即 ，粒子的匀速圆周运动的圆心在X轴上以 的速度向右匀速平动。 ② 粒子开始的初速度为竖直向下的V0，因为给配置了一个水平分速度V1，由矢量运算法则计算出另一个分速度V2，，粒子以 为半径做逆时针的匀速圆周运动。V2与竖直方向的夹角θ，tanθ= 得 ，粒子再次到达x轴时，速度竖直向上，大小等于V0，在x轴上方做上抛运动。轨迹如图 ③ 粒子做匀速圆周运动的周期 ，画出 等各个时刻小球的位置，并进行分析： (1 ) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O2, O1O2距离S12= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到A.所以A点坐标： ，在A点V1水平方向，V2竖直方向，合速度，方向向右偏下，合速度与竖直方向夹角为β，有sinβ= (2) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O3, O1O3距离S13= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到B。所以B点坐标： ，粒子运动到B点，重力做功最多，所以速度最大，在B点，V1、V2方向均水平向右，所以合速度最大，B点是轨迹的最低点，VB=Vmax=V1+V2 ， (3) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O4, O1O4距离S14= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到C.所以C点坐标： ，在C点，方向竖直上 （在C点有水平向右的分速度V1和偏左向右45度的速度V2，合速度为） (4) 粒子到达c点之后，离开磁场，在重力作用下做上抛运动，再次返回到c点用时间 上升最大高度 （5）返回c点之后，开始新的周期运动，粒子运动的周期T= （三）有初速度无边界型（重力+洛伦兹力+初速度与重力同向） 空间存在足够大的匀强磁场，磁感强度为B，一个质量为m的带电量+q的小球从P点以竖直向下的初速度 进入磁场。分析小球的运动情况 ① 垂直重力方向（水平）建立x轴，在x轴方向配置一个水平向右的速度V1，使该速度产生的洛伦兹力刚好与重力等大反向，满足BqV1=mg即 ，粒子的匀速圆周运动的圆心在X轴上以速度向右匀速平动。 ② 粒子开始的初速度为竖直向下的V0，因为给配置了一个水平分速度V1，由矢量运算法则计算出另一个分速度V2，，粒子以 为半径做匀速圆周运动。V2与竖直方向的夹角θ，tanθ= 得 ，粒子再次到达x轴时，速度竖直向上，大小等于V0。到达x 轴上方继续轮旋运动，轨迹如图 ③ 粒子做匀速圆周运动的周期 ，画出 等各个时刻小球的位置，并进行分析： (1 ) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O2, O1O2距离S12= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到A.所以A点坐标： ，在A点V1水平方向，V2竖直方向，合速度，合速度与竖直方向夹角为β，方向右偏下，sinβ= (2) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O3, O1O3距离S13= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到B。所以B点坐标： ，粒子运动到B点，重力做功最多，所以速度最大，在B点，V1V2方向均水平向右，所以合速度最大，B点是轨迹的最低点，VB=Vmax=V1+V2 ， (3) 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O4, O1O4距离S14= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度 ，实际轨迹由P到C.所以C点坐标： ，粒子运动到C点，重力做负功最多，所以速度最小，在B点，V1方向水平向右，V2方向水平向左，所以合速度最小，c点是轨迹的最高点，VB=Vmin=V2-V1 （4） 时刻 x轴方向分运动V1：圆周圆心从O1平移匀速运动到到O5, O1O5距离S15= ，粒子的分运动V2逆时针旋转角度2 ，实际轨迹由P到D.所以D点坐标： ， 知识点四：用动量定(积分动量)理解决带电粒子在磁场中的运动问题——正则动量 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为＋q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系，利用动量定理即洛伦兹力的冲量等于速度的动量变化，把粒子某一方向的位移和垂直该方向的速度变化联系起来。具体用法如下： 沿两轴方向的洛伦兹力分力 Fx＝qvyB Fy＝qvxB 两个方向分别列动量定理： －qvyBΔt＝mΔvx qvxBΔt＝mΔvy 即－qBΔy＝mΔvx qBΔx＝mΔvy 两边累加得即①Ix=m(vx'-vx)=mΔvx=-∑qBvyΔt=-qBΔy或-qBΔy=mΔvx ②Iy=m(vy'-vy)=mΔvy=∑qvxBΔt=qBΔx 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 一：基本解题步骤 步骤1：受力分析，求恒力合力 步骤2：配补偿速度 步骤3：求圆周分速度 步骤4：合成两个分运动，分析设问 粒子实际运动 = 以 的匀速漂移 + 以的匀速圆周旋转 1.速度极值：两速度同向叠加最大，反向抵消最小 2.静止释放专属结论：=2,=2R 3.一个周期漂移位移：x=T 4.求高度、位置：分析圆周运动最高点、最低点，叠加漂移位移； 5.求速率：优先动能定理验证（洛伦兹力永不做功） 二：快速判断口诀 恒力加磁场，曲线不好算； 速度拆两份，一份抵恒力； 一份做圆周，漂移加旋转； 同向速度大，反向速度减； 周期看Bqm，和初速无关。 题型01：共线的配速 【典型例题1】带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上的两个大小相等、方向相反的速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为+q，磁感应强度为B（磁场范围无限 大），重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是（ ） A．M、N两点间的距离为 B．小球在运动过程中机械能不守恒 C．小球下降的最大高度为 D．小球的加速度大小恒为g ( M N v v ) 【典型例题2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有沿x轴正方向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，匀强电场的电场强度大小为E，匀强磁场的磁感应强度大小为B。从O点发射比荷为的带正电粒子，该粒子恰能在xOy坐标平面内做直线运动。已知y轴正方向竖直向上，不计粒子受到的重力。 (1)求粒子发射时的速度大小和方向； (2)若将电场强度方向调整为竖直向上，该粒子以（1）中的速度从O点射出后，求粒子在运动过程中的最大速度； (3)若将电场强度方向调整为竖直向下，该粒子改为从O点由静止释放，求粒子运动的轨迹上的点到x轴的最大距离。 【典型例题3】利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面左侧存在沿y轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从点以初速度、沿着x轴正方向射入电场，恰好从O点进入磁场，再次从点通过x轴，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)从O点进入磁场运动时间为时，求粒子的位置坐标； (3)如图2所示，若在平面左侧再加垂直平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从点以初速度、沿着x轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x轴负半轴相切。求所加匀强磁场的磁感应强度大小。 【变式训练1-1】（多选）如图所示，在坐标平面的第一、第四象限内存在足够宽的垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，同时放置有两个关于轴对称且板间距离为的平行金属板、，两金属板间存在沿轴负方向的匀强电场（图中未画出）。现有一质量为、电荷量为的可视为质点的带正电金属小球，以速度从坐标原点沿轴正方向做匀速直线运动后从两极板右端离开极板区域。不考虑电场在两极板之外的效应，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．小球离开两极板区域后可以运动到轴的下方 B．两极板间的电场强度大小等于 C．小球在运动过程中的最大速度等于 D．小球在运动过程中偏离轴的最大距离等于 【变式训练1-2】（多选）如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为+q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法正确的是（ ） A．粒子偏离入射方向的最大距离为 B．粒子在轨迹最低点的曲率半径为 C．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为 D．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的 【变式训练1-3】如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在电场中运动，不计粒子所受重力。若该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。 提示：为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。 【变式训练1-4】在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求： ( x O P ( x ， y ) y B ) （1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v； （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym； （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（＞）的匀强电场时， 小球从O点由静止释放后获得的最大速率vm。 【变式训练1-5】质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。 （2）求O点到P点的距离。 （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2（E2略大于E1），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O′点上。求粒子打在O′点的速度大小。 【变式训练1-6】现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，水平边界a、b间有方向竖直向下的匀强电场。I，电场强度大小为E，在水平边界b下方有垂直于纸面向外的水平匀强磁场，在水平边界c的下方还有斜向右下、与水平方向成的匀强电场Ⅱ，a、b、c三边界相邻间距均为d，调节电场和磁场大小，可控制飞出的带电粒子的速度大小及方向，现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子经电场Ⅰ加速、磁场偏转，从边界c上的Q点（图中未标出）以垂直电场Ⅱ的方向进入边界c下方区域，粒子在该区域中恰好做直线运动，不计粒子重力，求： (1)粒子经电场Ⅰ加速后经过边界b时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小，匀强电场Ⅱ的电场强度大小； (3)若将电场Ⅰ的电场强度减半，同时改变磁场的磁感应强度大小，使粒子从P点由静止释放后仍从Q点进入边界c下方区域，粒子在c下方区域运动，当粒子速度大小再次等于粒子在Q点的速度大小时，粒子离Q点的距离为多少。 【变式训练1-7】电容为C的平行板电容器两极板间距为d，极板水平且足够长，下极板接地，将电容器与开关S、电阻R1和R2连接成如图所示电路，a、b是两个输出端，S断开，极板间充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。由质量为m、电荷量为q(q > 0)的带电粒子组成的粒子束以水平速度v0沿下极板边缘进入极板间区域，单位时间进入的粒子数为n。带电粒子不计重力且不与下极板接触，忽略极板边缘效应和带电粒子间相互作用。 (1)为使带电粒子能落在电容器上极板，求极板间距的最大值dm； (2)满足(1)的前提下，求电容器所带电荷量的最大值Qm； (3)已知R1＝2R，R2＝R，闭合S，电容器重新达到稳定状态后，为使a、b端接入任意负载时进入极板间的带电粒子全部落在上极板，求R应满足的条件和此时a、b间输出功率的最大值。 【变式训练1-8】真空中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为，方向竖直向上，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外在此空间中建立竖直面内的直角坐标系有一个质量为、电量大小为电子重力不计，从坐标原点由静止开始运动，如图甲所示，其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为，与轴的第一个交点为该运动可分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动，如图乙所示。求： 摆线的最低点到轴的距离； 电子在摆线最低点的速度大小； 每一段摆线的宽度大小。 【变式训练1-9】如图甲所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O作速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v作匀速运动形成的，该轨迹称为圆滚线。如图乙所示，空间存在竖直向下的大小为E匀强电场和水平方向（垂直纸面向里）大小为B的匀强磁场，已知一质量为m电量大小为q的正离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动（该曲线属于圆滚线），到达B点时速度为零，C点为运动的最低点。不计重力，试求： （1）若要求粒子从A点以最短路径到达B点，在A点给粒子的速度v大小和方向； （2）粒子从A点静止释放运动到B点的时间t及A、B两点间的距离L； （3）粒子从A点静止释放运动到C点的速度大小vC及C点离A点的竖直高度h。 题型02：不共线的配速 【典型例题1】如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则(　　) A.t＝时刻，质子的速度沿z轴的负方向 B.t＝时刻，质子的坐标为(，0，) C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9… D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆 【典型例题2】如图所示，在竖直空间中建立直角坐标系，整个空间中存在竖直向上的匀强电场和垂直于平面向里的匀强磁场。质量为、电荷量为的带正电小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，小球恰能沿轴运动，不计空气阻力，且小球所受的电场力大小等于其重力大小的一半。若该小球从点沿轴正方向以大小为的速度射出，在小球之后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球运动至最高点时的速度大小为 B．小球第一次运动至最低点时的位置坐标为 C．小球运动至最低点时的加速度大小为 D．相邻两次通过轴时的距离可能为 【典型例题3】如图所示，自左向右的三个区域依次为竖直向下场强为E的匀强电场、场强为B的垂直纸面向里的匀强磁场以及由这两种场叠加形成的复合场。电场和磁场区域宽度相同均为d，复合场区域的宽度足够大。带电粒子在运动过程中不会离开复合场区。一带正电的粒子向右以一定的初速度由A处进入电场，经电场和磁场的偏转后再水平向右进入复合场区域。不计粒子重力。求： （1）粒子刚进入A处的初速度的大小； （2）若粒子刚进入复合场区域时的速度是刚进入A处初速度的两倍，请计算粒子刚进入复合场时，相对于A处在竖直方向偏移的距离以及该电荷的比荷； （3）若取粒子刚进入复合场区域时为零时刻，其速度是刚进入A处初速度的两倍，计算该粒子在该场区运动时速度的最小值以及对应的时刻t。 【典型例题4】如图甲，在xOy平面内存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小为B。让质量为m，电荷量为q的带正电小球从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度入射，均能在复合场中做匀速圆周运动。已知重力加速度大小为g，忽略带电小球之间的影响。 （1）带电小球从O点以初速度v沿y轴正方向入射，恰好能经过x轴上的P（2a，0）点，求电场强度大小和v的大小； （2）保持匀强电场的方向不变，大小变为原来的两倍，带电小球从O点沿y轴正方向入射，速度大小为，小球运动轨迹如图乙所示。研究表明：小球在xOy平面内做周期性运动，利用运动的合成分解规律，可将带电小球的初速度分出一个速度v1，并且qv1B与电场力、重力三力平衡，得到小球的一个分运动为v1的匀速直线运动；然后利用矢量运算，将初速度减去v1得到速度v2，得到另一个分运动为v2的匀速圆周运动，再由这两个分运动得到合运动的运动规律（题中v1和v2均为未知量）。 ①求该带电小球运动过程中的最大速度值； ②写出该带电小球的函数表达式（小球从O点发射时为）。 【变式训练2-1】中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则（   ） A．电场力的瞬时功率为 B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 【变式训练2-2】如图所示，在xOy直角坐标系中，在x轴负半轴区域内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E1（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方向开始运动，粒子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ=30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，不计空气阻力。 (1)求A点到y轴的距离x和E1的大小； (2)求B的大小； (3)若，，求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置坐标。 【变式训练2-3】如图所示，在xoy平面内，区间存在平行于y轴的匀强电场，方向沿轴。区间存在垂直xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子从坐标原点与x轴正方向成角射入，在坐标为（4d，3d）P点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，并从（4d，0）射出磁场，粒子重力不计。求： （1）带电粒子的电性及比荷； （2）电场强度E的大小及x0的值； （3）若粒子进入磁场后受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点Q（4d，y0）（未画出）。求粒子由O点运动到Q点的时间t以及Q点的纵坐标y0的值。 【变式训练2-4】如图，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从O以初速度v0沿y轴正向发射。不计重力和粒子间的影响，求该粒子运动过程中的最大速度值vm。 y E B v0 x 【变式训练2-5】如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心O1，O2连线与x轴平行，半圆与圆相切于Q点，QF垂直于x轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、B/2的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到v0。改变发射器的位置，使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响） （1）求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R； （2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t； （3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小E＝Bv0，方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y轴的距离（，）。 【变式训练2-6】如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求： (1)电场强度的大小和P点距y轴的距离； (2)小球第一次到达最低点时速度的大小； (3)小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。 【变式训练2-7】如图1所示，坐标平面内，以点为圆心，为半径的圆形区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，两平行金属板、长为，轴为两金属板的中轴线，间加如图2所示的交变电压，图中未知，已知，周期为。大量带正电的粒子以速度沿轴持续射入电场，恰好所有粒子均能离开电场且平行于轴射入磁场，已知从点入射的粒子恰能从点出射。粒子比荷均为，不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略极板的边缘效应，。 (1)求圆形区域磁场的磁感应强度大小； (2)求及金属板、间的距离； (3)若在的右侧空间存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场和沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，求从圆周上的点沿轴正方向射入圆形磁场区域的粒子，进入复合场后，运动的最大速度和离轴的最远距离。 【变式训练2-8】如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域I和区域II，区域I存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域II存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域I，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域I后由分界线上的点（图中未画出）垂直分界线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)点的位置坐标； (2)带电粒子从点运动到点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，第次和第次（）经过轴的位置之间的距离。 【变式训练2-9】如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【变式训练2-10】类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值） （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 【变式训练2-11】如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ，其他区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ的磁感应强度大小是磁场II的2倍，在轴正半轴上与点距离为的点有一粒子源，不断地沿轴正向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子的速度大小均为，粒子射出后刚好从点第二次返回轴；再在的区域内加上沿轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从点射出后恰好做直线运动，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (2)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子第一次经过轴的位置离O点的距离； (3)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子在磁场Ⅱ中运动的最大速度的大小；运动过程中离轴的最大距离。 【变式训练2-12】如图所示，在平面直角坐标系xOy的区域内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场，在区域内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。带正电的粒子从A点以沿x轴正方向、大小为的初速度射入电场，恰好经过坐标原点O进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子第二次经过y轴时的位置到坐标原点O的距离； (3)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度大小及从A点到第一次获得最大速度时经历的时间。 【变式训练2-13】如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。 (2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴夹角为θ。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。 (3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴方向成θ角。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子离x轴的最大距离； ③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。 【变式训练2-14】如图所示，在xOy直角坐标系中，在x轴负半轴区域内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E1（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方向开始运动，粒子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ＝30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，不计空气阻力。 ( A E 1 O θ v 0 B B P M N y x B E 2 ) （1）求A点到y轴的距离x和E1的大小； （2）求B的大小； （3）若，，求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置坐标。 【变式训练2-15】如图所示，在Oxy坐标系x＞0，y＞0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN＝60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。 （1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0； （2）调整加速电压，当粒子以最小速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向； （3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。 题型03：配速法与摆线 【典型例题1】空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线。关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向 C．小球在整个运动过程中机械能先变大再变小 D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等 【典型例题3】在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电荷量为q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。则小球在运动过程中第一次下降的最大距离为（ ） A． B． C． D． B 【典型例题4】（多选）在地面上方空间存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的水平方向匀强磁场，与竖直方向的匀强电场(图中未画出)，一电荷量为＋q、质量m的带电粒子(重力不计)，以水平初速度v0水平向右射出，运动轨迹如图。已知电场强度大小为E＝，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.电场方向竖直向上 B.带电粒子运动到轨迹的最低点时的速度大小为2v0 C.带电粒子水平射出时的加速度大小为 D.带电粒子在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差为 【典型例题5】（多选）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电量为的电子从O点沿x轴正方向水平入射，入射速度为时，电子沿x轴做直线运动；入射速度为（）时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用，下列说法正确的是（    ） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增大 C．电子运动到最高点时速度为 D．电子运动到最高点时速度为 【变式训练3-1】速度选择器是质谱仪的重要组成部分，用于剔除速度不同的粒子，从而提高检测精度。如图所示，两极板间有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两板的长度和间距均足够大，虚线是电磁场的中心轴线。现有一束带负电的离子（不计重力）以的速度沿着虚线从左侧进入电磁场区域，其轨迹可能是（　　） A．B．C．D． 【变式训练3-2】如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。将一质量为、电荷量为的带正电小球从点由静止释放，小球在重力和洛伦兹力的作用下，部分运动轨迹如图中实线所示，到达右侧点时速度为，取，下列说法正确的是（　　） A．点位置比点高 B．小球可能沿轨迹返回点 C．小球运动的最大速度为 D．小球下降的最大高度为 【变式训练3-3】如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面沿水平方向。一电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（ ） A．磁感应强度方向垂直纸面水平向外 B．电子的初速度v0小于 C．由O点至P点的运动过程中，电子的速度增大 D．将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动 【变式训练3-4】我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的电子从点沿轴正方向水平入射，入射速度为时，电子沿轴做直线运动；入射速度为（）时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用，下列说法错误的是（　　） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加 C．电子运动到最高点的速度大小为 D．电子运动到最高点的速度大小为 【变式训练3-5】如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为。一束质量均为、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．两板间电场强度的大小为 B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中所用时间为 C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 D．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 【变式训练3-6】如图所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v做匀速运动形成的，该轨迹称为滚轮线（也称为摆线）。如图乙所示，空间存在水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为+q的小球以竖直向上的初速度v0进入磁场，小球的轨迹就是滚轮线。设重力加速度为g，则小球运动过程中的最大速度大小为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】（多选）在空间中存在垂直于纸面向外的匀强磁场和沿着纸面竖直方向的匀强电场（图中均未画出），有一带负电的粒子（不考虑重力）从O点由静止释放后，其运动轨迹如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．电场方向竖直向下 B．该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上 C．该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，电势能减小 D．该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，做速率不变的曲线运动 【变式训练3-8】（多选）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有（　　） A．电子从N到P，电场力做正功 B．N点的电势高于P点的电势 C．电子从M到N，洛伦兹力不做功 D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 【变式训练3-9】（多选）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y轴正方向，电场强度大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为＋q的粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，释放后，粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P的纵坐标为h，曲线在P点附近的一小部分，可以看作是半径为2h的圆周上的一小段圆弧。则（　　） A．粒子在y轴方向做匀加速运动 B．粒子在最高点P的速度大小为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子经过时间运动到最高点 【变式训练3-10】（多选）带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上有两个大小相等、方向相反速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为，磁感应强度为B（范围无限大），重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是（　　） A．两点间的距离为 B．小球在运动过程中机械能不守恒 C．小球下降的最大高度为 D．小球的加速度大小恒为g 【变式训练3-11】（多选）如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。一电子从M点由静止释放，沿图中轨迹依次经过N、P两点，且N点离水平虚线最远。已知磁感应强度为B，电场强度为E，电子质量为m、电荷量为e，电子重力不计，则（　　） A．电子在N点的速率为 B．N点离虚线的距离为 C．电子从M到N点的时间为 D．M、P两点的距离为 【变式训练3-12】霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为v0/4，求运动到速度为v0/2时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标 位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 题型04：正则动量（积分动量）的应用 【典型例题1】如图所示，平面直角坐标系xOy 中，在MN 的左侧存在沿y轴正方向的匀强电场，在MN 与y轴之间半径为R 的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场边界分别与y轴和MN 相切，MN 与y轴平行，在x>0区域存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，该磁场内各点的磁感应强度大小与横坐标x 满足 （k 为大于0的常量）。一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从纵坐标 的A 点沿x 轴正方向以初速度射出，恰好从MN与x轴的交点P 射入磁场Ⅰ，此时速度方向与x轴正方向的夹角θ=60°，一段时间后，粒子以垂直于y轴的方向进入磁场Ⅱ，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在电场中的运动时间为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．磁场Ⅰ的磁感应强度大小为 D．带电粒子在磁场Ⅱ中运动时，离y轴的最大距离为 【典型例题2】（多选）如图所示，一束质量均为m、电荷量均为q的带电粒子，从A点以不同速率沿水平方向进入磁感应强度大小为、电场强度大小为E的正交的复合场中。其中一粒子从O点以水平速度离开复合场区域后进入一云室，云室内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，此后粒子一直在云室内运动，并始终受到与速度方向相反的阻力作用，直至速度减为0。以O点为原点建立xOy直角坐标系，不计粒子重力，且电荷量保持不变，则（　　） A．该粒子一定带正电 B．可能大于 C．若，则该粒子在云室内的总路程为 D．若，则该粒子在云室内的位移为 【典型例题3】如图所示，平面直角坐标系xOy内，过原点的直线l与+x轴的夹角为φ（），将y轴右侧分成上下两个区域Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ区（含+y轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。Ⅱ区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为m、电量为+q的带电粒子P从O点沿+y方向以初速度v0射出，带电粒子重力不计。 (1)若使P不能到达x轴，求Ⅱ区磁场的磁感应强度应满足的条件； (2)将Ⅱ区磁场调成与Ⅰ区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P仍从O点沿+y方向以初速度v0射出，运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数k，未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P速度第一次沿－y方向的位置在直线l上。求比例系数k的大小及粒子最终停止的位置坐标。 【典型例题4】如图所示，坐标系xOy平面在纸面内，在x≥0的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，0≤x<d的区域Ⅰ和x≥d的区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小分别为B1和B2。大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，同时从原点O射入磁场，粒子射入的速度大小相等，在坐标平面内与x正方向成θ(－90°≤θ≤90°)角。沿y轴正方向射入的粒子在P(d，d)点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子从原点O射入磁场时的速度大小； (2)求不能进入区域Ⅱ内的粒子，在区域Ⅰ内运动的最长时间； (3)若粒子在区域Ⅱ中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k，观察发现沿y轴正方向射入的粒子，射入区域Ⅱ后粒子轨迹呈螺旋状并与两磁场的边界相切于Q点(未画出)，求： ①该粒子由P点运动到Q点的时间； ②该粒子在区域Ⅱ中运动轨迹的长度。 【典型例题5】如图所示的xOy平面直角坐标系中，极板A、B板间电压为U。比荷为k的正离子从A板由静止释放，加速后垂直进入圆心角为120°的扇形辐向电场并做匀速圆周运动，恰能垂直另一侧边界在y=3L的位置射出电场并进入第一象限。第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行于x轴的区域I和II，其中区域I存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域II存在磁感应强度大小为的磁场，方向均垂直纸面向里，区域II的下边界与x轴重合。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。辐向电场右边界与x轴正方向成30°角。 （1）求辐向电场的电场强度E的大小； （2）若正离子恰好不离开磁场I，求B1的大小； （3）若正离子恰好不进入第四象限，与应满足什么关系？ 【变式训练4-1】如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L的匀强电场和匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a点由静止释放，运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边界c点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d（图中位置仅为示意），下列说法正确的是（   ） A．a、b两点之间的距离为 B．匀强电场的场强大小为 C．粒子在d点的速度大小为 D．粒子从c点到d点的竖直位移为 【变式训练4-2】（多选）在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放，已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平，如图所示。小球从静止开始下落的过程中，以下说法正确的是（　　） A．小球运动到最低点时，洛伦兹力的瞬时功率为 B．小球从出发第一次到达最高点时的位移为 C．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，水平位移与竖直位移大小之比为 D．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，洛伦兹力的冲量大小为 【变式训练4-3】如图所示，在竖直面内建立坐标系，水平轴下方存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的带电小球在点静止释放，小球的运动曲线如图所示。 (1)若曲线在最低点的曲率半径为该点到轴距离的2倍，重力加速度为。求： 小球运动到任意位置处的速率及小球在运动过程中第一次下降的最大距离。 (2)若磁场为非匀强磁场，方向水平向里，磁感应强度大小随方向均匀增大，关系为。（和已知）求小球在运动过程中第一次下降的最大速度。 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）洛伦兹力不做功，由动能定理得，解得，设在最大距离处的速度为，根据圆周运动有，根据几何关系可知，结合（1），解得 （2）能量守恒，洛伦兹力在水平方向的冲量 由动量定理，得，联立解得最大速度 【变式训练4-4】在如图所示的平面内，轴和区间有垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为、电荷量为的质子从坐标原点沿轴射入磁场。入射速度为时，质子恰好不从磁场上边界射出。 (1)求磁感应强度大小； (2)若入射的质子数按速度大小均匀分布在范围，求能到达磁场中横坐标位置（图中虚线）的质子数占总质子数的百分比； (3)若磁场区域存在沿-方向的非匀强电场，电场强度随方向均匀增大，关系式为，要使入射速度为的质子不从磁场上边界射出，求满足的条件。 【变式训练4-5】如图所示，在水平虚线下方有正交的匀强磁场和匀强电场，其中磁场方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。在距离水平虚线高处的点以某一初速度水平向右抛出一个质量为、带电荷量为的小球，小球通过水平虚线上的点进入电场、磁场区域且在点的速度方向与水平方向的夹角为，一段时间后，小球又从水平虚线上的点与水平方向成角斜向右上方射出电场、磁场区域，已知匀强电场的电场强度大小（为重力加速度大小），两点间的距离为，，求： (1)小球经过点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)小球从点运动到点的时间。 【变式训练4-6】如图所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内，区域I（x<-L）内有方向垂直xOy平面向外的匀强磁场；区域II（-L<x<0）内有一平行纸面且大小、方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从点a（-2L，-2L）沿y轴正方向、以大小为v0的初速度开始运动，从点b（-L，-L）沿x轴正方向进入区域II，粒子在电场中运动时间后，从坐标原点进入第一象限，第一象限内存在垂直xOy平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小B2与横坐标x满足B2=kx（k为大于0的常量）。不计粒子重力，求： (1)区域I内匀强磁场磁感应强度B1的大小； (2)区域II内匀强电场场强E的大小； (3)该粒子在第一象限内运动过程中与y轴的最大距离。 【变式训练4-7】利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在坐标系的轴左侧存在沿轴负方向的匀强电场，轴右侧存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。现有一质量为，电荷量为的带正电粒子，从P点以大小为的初速度沿轴正方向发射，恰好经过坐标原点O进入右侧磁场，再经过M点（未画出）返回轴左侧，粒子经过M点时在轴左侧增加与右侧相同的磁场（图中未画出），粒子从M点到达N点（未画出）时速度方向第一次与轴平行。不计带电粒子的重力，已知，。求： (1)匀强电场的电场强度的大小； (2)粒子从点运动到点的时间； (3)粒子在点时的速度大小 【变式训练4-8】现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动，如图所示，真空中存在着多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sin θn。 【变式训练4-9】如图所示，在平面直角坐标系中，有沿轴正方向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。从点发射一比荷为的带正电微粒，该微粒恰能在坐标平面内做直线运动。已知轴正方向竖直向上，重力加速度为。 (1)求微粒从点发射时的速度大小和方向； (2)若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从点射出后，求微粒在第三象限运动过程中距轴的最远距离； (3)若仅撤去电场，微粒改为从点由静止释放，求微粒运动过程中的最大动能。 【变式训练4-10】为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： (1)该未知粒子的比荷； (2)匀强电场电场强度E的大小及右边界的值； (3)如右图所示，若偏转磁场中磁感应强度由边界至由左向右在间距均为（很小）中，第一个区域磁感应强度为B，下面各区域磁感应强度依次为、、……，当粒子能达到磁场右侧边界（达到边界就被吸收），求应当满足的条件。[当时，取] 【变式训练4-11】如图，水平面上固定有足够长的平行导轨P、Q，导轨间存在方向竖直向下，大小为B（大小未知）的匀强磁场，且导轨间距足够大。有一质量为M的圆筒垂直导轨放置，长度略小于导轨内侧间距（可认为相等），a端封闭，b端开口，能沿导轨自由滑动。另有一质量为m，带电量为q（q>0）的小球（直径大小可忽略不计）能沿圆筒自由移动。圆筒不会屏蔽磁场，小球不发生电荷转移，忽略一切摩擦及空气阻力。 (1)先撤去圆筒，将小球紧贴导轨Q并给其与导轨Q夹角为37°的初速度，如图甲，若小球没有离开磁场，且与导轨Q最大距离为1.8L，求磁感应强度B的大小； (2)若B为（1）中所求，现装上圆筒，若M=m，将小球放入筒中靠近b端处，给圆筒中心施加大小为1.5mg，方向平行于导轨向右的恒力F，如图乙，求F作用距离为L时小球速度大小； (3)若，装上圆筒，将小球放入圆筒中且与导轨P的距离为L，现给小球与圆筒一个平行于导轨向右的相同初速度，如图丙。当小球与导轨a端发生碰撞时，平行于导轨方向的速度不变，垂直于导轨的速度反向且大小变为碰前的e倍（0<e<1），请计算： ①在与a端发生第n次碰撞到第n+1次碰撞期间，小球与P导轨的最大距离。 ②从小球开始运动到①中与P导轨的最大距离时，小球在平行导轨方向所经过的位移大小。 【变式训练4-12】如图所示，xOy平面直角坐标系中，在第二象限内存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，O1为圆心，半径为R，磁场边界与两坐标轴相切；y≤0区域内交替分布宽度均为d的匀强电场和匀强磁场，其边界均与x轴平行，匀强电场的电场强度大小为E0，方向沿y轴负方向，匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向里。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从圆形边界上的P点以初速度v0射入磁场，PO1与x轴平行，v0与PO1夹角α=60°。粒子射出圆形磁场瞬间，在y>0区域内加上沿y轴正方向的匀强电场(图中未画出)。已知圆形磁场的磁感应强度大小为，y>0区域内匀强电场的电场强度大小为，不计粒子重力。 (1)求粒子在圆形磁场区域做圆周运动的半径； (2)求粒子离开圆形磁场区域后，到达x轴的速度大小； (3)求粒子穿出y≤0区域内第二个电场时速度方向与竖直方向夹角的正弦值； (4)若粒子到达y≤0区域内某个磁场下边界时，速度方向恰好沿x轴正方向，求此时速度大小。 【变式训练4-13】利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长边界均平行轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为的磁场，方向垂直纸面向外，区域Ⅱ的下边界与轴重合。位于处的离子源能释放出电荷量，质量、速度方向与轴夹角为的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)若，初速度 ①离子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中的运动半径分别为多少？ ②求离子离开磁场区域Ⅰ的横坐标； ③若在磁场区域Ⅱ中存在一个与运动方向始终相同的推力，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，求离子离开磁场区域Ⅱ的坐标； (2)若，离子恰能沿方向离开磁场，并进入第四象限，请问离子的初速度是多少？（类比正弦式交流电） 【变式训练4-14】利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    1 学科网（北京）股份有限公司 $