精品解析：广西壮族自治区柳州市柳江中学2026-2027学年高二上学期10月自主练习数学试题

2028届高二（上）10月自主练习数学卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 下列说法正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 过点且与直线垂直的直线方程是 5. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、多选题多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，则（ ） A. 若曲线C表示圆，则 B. 若曲线C表示椭圆，则 C. 若曲线C表示双曲线，则或 D. 曲线C不可能表示等轴双曲线 10. 函数的部分图象如图所示，下列正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数为偶函数 D. 若，则 11. 已知圆，动圆的半径为1，其圆心在直线上，则（ ） A. 若圆与圆相切，则 B. 若圆与圆相交，则 C. 若圆与圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为1 D. 过圆的圆心作圆的切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是______. 13. 已知实数满足，则的最小值为__________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，直线与椭圆C交于另一点Q，，，则椭圆C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求经过点且与圆相切的直线方程. 16. 甲乙丙三名同学独立破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，丙能破译的概率为. （1）求三人都破译出密码的概率； （2）求密码被破译（至少一人破译出）的概率； （3）比赛规则：若至少两人破译出密码，则该团队获一等奖，求团队获一等奖的概率 17. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 18. 如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知P（3，）是椭圆C：1上的点，Q是P关于x轴的对称点，椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点. ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值. ②当A、B在运动过程中满足∠APQ=∠BPQ时，问直线AB的斜率是否为定值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二（上）10月自主练习数学卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意以及一元二次不等式化简集合，进而可求交集． 【详解】因为集合， 且集合， 所以 2. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 则， 所以. 3. 已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由给定倾斜角求出即可. 【详解】依题意，双曲线的渐近线的倾斜角为， 则，由题意，则，半焦距， 所以该双曲线的焦距. 4. 下列说法正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 过点且与直线垂直的直线方程是 【答案】D 【解析】 【分析】求出纵截距判断A；由直线过原点判断B；求出平行线间距离判断C；由垂直关系求出直线方程判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，A错误； 对于B，过点且在轴截距互为相反数的直线可以过原点，其方程为，B错误； 对于C，直线，即，则所求距离为，C错误； 对于D，设过点且与直线垂直的直线方程为， 则，解得，因此所求方程为，D正确. 5. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知条件得：，∴， ∵，∴， 设的外接圆的半径为，则， ∴， ∴外接球的半径为， ∴球的表面积等于. 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角. 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C 7. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 【详解】设，则， 因为，所以，所以. 故选：A. 8. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解. 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数的取值范围为. 二、多选题多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，则（ ） A. 若曲线C表示圆，则 B. 若曲线C表示椭圆，则 C. 若曲线C表示双曲线，则或 D. 曲线C不可能表示等轴双曲线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、等轴双曲线的标准方程逐一判断即可. 【详解】A：若曲线C表示圆，则有，本选项正确； B：若曲线C表示椭圆，则有，且，所以本选项不正确； C：若曲线C表示双曲线，则有，或，解得，或 所以本选项不正确； D：若曲线C表示等轴双曲线，则有或 两个方程组都是空集，所以曲线C不可能表示等轴双曲线，因此本选项正确， 故选：AD 10. 函数的部分图象如图所示，下列正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数为偶函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象，利用余弦函数的性质，求出，即可判断A的正误；对B，直接求出的对称轴，即可求解；对C，求出的解析式，再利用偶函数的定义，即可求解；对D，根据条件，求得，再利用余弦的倍角公式，即可判断正误. 【详解】由图易知，又时，，所以，得到，又，所以， 又时，，且点在的减区间内，所以， 得到，又由图知，得到，所以，故A正确， 对于B，因为，由，得到， 取，得到，所以B正确， 对于C，，又，所以C错误， 对于D，因为，所以， 又，故D正确. 11. 已知圆，动圆的半径为1，其圆心在直线上，则（ ） A. 若圆与圆相切，则 B. 若圆与圆相交，则 C. 若圆与圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为1 D. 过圆的圆心作圆的切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】当圆与圆相外切时，得到，求得的值，可判定A不正确；根据圆与圆相交，列出不等式，求得的范围，可判定B正确；结合圆的弦长公式，以及圆的性质，可判定C正确；由圆的切线的性质，求得割线方程，结合，求得直线过定点，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为，且， 对于A，当圆与圆相内切时，此时圆心距，此时两圆重合，舍去； 当圆与圆相外切时，可得圆心距，即， 将代入，可得，解得或，所以A不正确； 对于B，若圆与圆相交，则圆心距满足， 即，而， 可得，解得，所以B正确； 对于C，如图（1）所示，因为圆与圆的半径都是，则是的垂直平分线， 则圆心到的距离， 又因为圆心，圆心在直线， 可得圆心的距离为，即， 又由圆的弦长公式，可得， 即的最大值为，所以C正确； 对于D，如图（2）所示，过点作圆的切线方程， 设切点分别为， 可得直线和的方程为和， 因为和相交点，可得，所以割线的方程为， 又因为，可得， 联立方程组，解得， 即直线恒过定点，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是______. 【答案】或 【解析】 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为，代入点，解得， 所以直线方程为，即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，代入点，解得， 所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 13. 已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】由题设结合对数运算法则可得，再根据基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意，，， 则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为24. 故答案为：24. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，直线与椭圆C交于另一点Q，，，则椭圆C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，由椭圆的定义可知， 因为，所以， 由椭圆的定义可知， 因为， 所以， 于是，，， 因此在中， 由余弦定理可得， 在中， 由余弦定理可得， 于是有， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求经过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，求出圆心坐标及半径即可； （2）按切线斜率存在与否，结合点到直线的距离公式求出切线方程. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 点到直线的距离为2，即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，因此方程为， 所以经过点且与圆相切的直线方程为或. 16. 甲乙丙三名同学独立破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，丙能破译的概率为. （1）求三人都破译出密码的概率； （2）求密码被破译（至少一人破译出）的概率； （3）比赛规则：若至少两人破译出密码，则该团队获一等奖，求团队获一等奖的概率 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）利用对立事件的概率公式计算即可； （3）利用互斥事件的概率加法公式和独立事件概率乘法公式计算即可. 【小问1详解】 记甲、乙、丙破译出密码分别为事件，，，则，，，且，，相互独立. 三人都破译出密码的概率为. 【小问2详解】 密码被破译（至少一人破译出）的概率为. 【小问3详解】 设团队获一等奖为事件，即至少两人破译出密码，则 . 17. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得，用正弦定理边化角，化简得，结合锐角三角形，即可求出角； （2）由中线向量公式得，结合余弦定理，得，再用正弦定理表示，由锐角条件求其范围，即得范围. 【小问1详解】 因为，所以． 在中，由正弦定理得：， 展开得：，即． 因为，得．又，故． 【小问2详解】 因为点是边的中点，由向量中线公式：， 两边平方得：，即． 因为，，由余弦定理得：， 则，故． 所以． 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则． 又， 则 ． 由，得，故， 所以，， 故的长的取值范围为． 18. 如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为分别为的中点，所以， 又因为，所以，所以， 因为，且，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，得到，再由，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）假设存在实数，转化为平面和平面的夹角的余弦值为，由（2）得，得到，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 【小问3详解】 解：假设存在实数，使得平面和平面的夹角的正弦值为， 即使得平面和平面的夹角的余弦值为， 由（2）得， 所以， 由平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则有， 即，整理得，解得或， 因为，所以， 所以存在，即，使得平面和平面的夹角的正弦值为. 19. 已知P（3，）是椭圆C：1上的点，Q是P关于x轴的对称点，椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点. ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值. ②当A、B在运动过程中满足∠APQ=∠BPQ时，问直线AB的斜率是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）；（2）①；②是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知列关于，，的方程组求解可得，的值，则椭圆方程可求； （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得，利用配方法求最值； ②当时，由是关于轴的对称点，得，的斜率之和为0，设直线的斜率为，则的斜率为，求得直线，的方程，与椭圆方程联立求得与的值，代入直线的斜率公式可得直线的斜率是定值． 【详解】解：（1）由题意知，解得． 椭圆的方程为； （2）①设，，，，直线的方程为． 联立，得． 由的范围可得，由根与系数的关系得，． ． 是关于轴的对称点，四边形的面积． 当时，； ②当时，是关于轴的对称点，，的斜率之和为0， 设直线的斜率为，则的斜率为，设直线， 代入椭圆方程，可得． ，将换为，可得． ，， ． 故的斜率为定值． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $