广西南宁市第三十三中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷

南宁市第三十三中学2026年秋季学期10月月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：黎扬哭 审题人：欧永琛 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.设集合A=x,y)I(x-2+y2=1,B={《),()} 则AnB=() A.0 B.{} c.{e》 D.{),(得} 2.已知复数z=m+(m-2)i(m∈R)在复平面内表示的点在直线2x+y-1=0上，则复数 z的共轭复数z=（) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i 3.已知A,B,C三点不共线，点0在平面ABC外，点P满足O丽=xOA+OE+0元，则当点 P.A,B,C共面时，实数x=（) A.- B.-君 C. D. 4.条件p:“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍”：条件q:“直线1的斜率为-2”，则 p是q的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 Q.既不充分也不必要条件 6若方程x2+y2+2x一4y+k=0表示圆，则k的取值范围为 A.[5,+∞) B.(5,+o) C.(-∞，5] D.(-o,5) 6.知直线过点(0,1)，其倾斜角为0，设原点0到直线的距离为d,当0<d≤时，B的取 值范围是() A,后) B.(任， c.Eu(任 D.U 10月月考数学卷（第1页共4页）》 7,如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=4,AA=6, ∠BAA=∠DAA=60°，∠BAD=90°则AC与AB的夹角的余弦值为 () A.7W13 B.7v19 C.7w23 D.729 26 38 46 58 8.在△ABC中，AC=2,BC=4,∠C=60°，点P为△ABC所在平面内 的一个动点，且PC=1,则PA.PB的最大值是(). A.5+2W7 B.3+2V7 C.7+2V5 D.3+2W5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 D 9.在正方体ABCD-A1B1C4D1中，E,F,G分别是棱A1B1,B1C1, BB1的中点，则() A.FG/平面AA1DD B.EF//AC C.EG//平面BC1D1 D.平面EFG//平面BC1D1 10.已知直线：y=3x+3,下列说法正确的是：( B A.点P(4,5)关于的对称点的坐标是(-2,7)； B.直线y=x-2关于1的对称直线的方程是7x+y+22=0; C.直线关于点A(3,2)的对称直线的方程是3x-y-17=0: D.过点P(4,5),垂直于直线1的直线的方程是x+3y-17=0 11.已知点P(1,2),圆C:x2+y2=9,则下列结论正确的有() A.Q(3,4)是圆C外一点，QA是圆C的切线，切点为A,则1QH切线长为4V2 B.点P在圆C内部 C.若过点P的直线截圆C的弦长为4V2,则1的方程为3x-4y+5=0 D.以P为中点的弦所在的直线方程为x+2y-5=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线2x-y+1-4m=0过一、三、四象限，则m的取值范围为 .(用区间作答) 13.在△0AB中，0是坐标原点，A(-2,2),B(1,3),则△0AB的外接圆方程为 14.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，AA1=2, ∠A1AB=∠A1AD=60°，则直线AC1与BD1夹角的余弦值为 10月月考数学卷（第2页共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. I5(本题满分13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已4a=V5c,c0sC=是 (1)求simA的值： (2)若b=11,求△ABC的面积. 16.（本题满分15分)根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点(2,1)的直线方程： (2)原点0(0,0)与点A(-4,2)关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 17.（本题满分15分)随着自动驾驶技术的发展，无人物 频率/组距 0.040 疏逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行 研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达 次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率 0.010 分布直方图（分组区间为(60,70]，(70,80]，(80,90]， 060708090100评分/分 (90,100]).已知样本中评分在(70,80]内的快递车比评分 在(60,70]内的快递车多40辆. (1)求a,b的值； (2)现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其 余为B等车，估计A等车的分数线： (3)为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的 分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆 车评分均不超过90分的概率。 10月月考数学卷（第3页共4页） 18.（本题满分17分)如图(1)所示，在△ABC中，∠ABC=60°，过点A作AD L BC,垂足 D在线段BC上，且AD=2V5,CD=V5,沿AD将△CDA折起（如图(2)，点E、F分别为棱 AC、AB的中点. D 图(1) 图(2) (1)证明：AD⊥EF; (2)若二面角C-DA-B所成角的正切值为2，求二面角C-DF-E所成角的余弦值. 19.(本题满分17分)已知圆C:x2+y2=5,直线1过点A(-5,1) (1)当圆心C到直线1的距离等于圆C的半径时，求直线的方程； (2)设B是圆C上的动点，M为线段AB的中点. ①求动点M的轨迹方程； ②已知点N(-)直线与M的轨迹相交于P,Q两点，当△NPQ的面积取得最大值 时，求直线的斜率， 10月月考数学卷（第4页共4页） 南宁市第三十三中学2026年秋季学期 高二年级10月月考数学卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B D C D A AB ABC BD 12. (6+o） 13. 2+2+x-3y=0或写成(++-到=(9 14. 店 5 1.【答案】C【详解】已知集合A=x,y)Ix-1)2+y2=1,B={《,),(得，} 将集合8中的元素代入圆(-12+)y2=1,计算得（自-1）+()°=号≠1，而（但-1）2+（目2=1，可 知点()在圆x-1)2+y2=1上，点(，)不在圆(x-1)2+y2=1上，于是AnB={,},故选C 2.【答案】A【详解】复数z=m+(m-2)i(m∈R)在复平面内表示的点(m,m-2)在直线2x+y-1= 0上，则2m+m-2-1=0,即得m=1,则z=1-i,则复数z的共轭复数z=1+i. 3.【答案】C【详解】由点P,A,B,C四点共面，且O丽=x0A+20+0元，根据共面向量的基本定理， 可得x+号+号=1，解得x=号 4.【答案】B【详解】记直线在y轴上的截距为b,在x轴上的截距为a,若直线的斜率为-2， 当截距均为0时，直线在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍， 当截距均不为0时，设直线方程为+名=1，变形为y=-x+b,得-=-2，b=2a,则q能推出p, 必要性成立：若b=2,当截距都不为0时，斜率为-=-2，当截距均为0时，直线斜率可以是任何实 数，不一定是-2，所以p不能推出q,充分性不成立.所以P是q的必要不充分条件。 5.【答案】D【详解】方程可化为(x+1)2+y-2)2=5-k,因为该方程表示圆，故5-k>0, k∈(-o,5),D正确. 6.【答案】C【详解】由题意，直线过点(0,1)，且原点0到直线I的距离d>0,则直线的斜率存在，设 直线I的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,则d=示由0<d≤受则0<京≤号解得 k≤-或k≥5，又k=tan0,则9的取值范围是)U(侄，故选：C D' 7.【答案】D【详解】设AB=a,AD=方，AA=衣，则AC=a+i+, Ac=(a+6+)=l2++1+2(a.方+ac+i.) D =42+42+62+2×(0+4×6×c0s60°+4×6×c0s60)=116, AC=V116=2V2丽.设AC与花的夹角为0， 由AC.AB=(à+i+)d=2+.i+.8=16+0+4×6×cos60°=28， 46os9=品隔=2器4=2 A元AE 28 58 8.【答案】A【详解】因为AC=2,BC=4,∠C=60°， 所以由余弦定理可得：AB2=4+16-2×2×4×2=12, 所以AB=2V3,又因为AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB, 所以建立如图所示的平面直角坐标系，C(2,0),B(0,2V3,A(0,0), 因为点P为△ABC所在平面内的一个动点，且PC=1, 所以P点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 取AB的中点M,则MA=-M丽，PA·P死=P成+MAPM+M=(PM+MAPM-MA =网-欧m-(2-网-3 而P=CM+1=MCA+aMf+1=2+5+1=7+1,所(a-Pm）=（V万+1°-3=5+27. 9.【答案】AB【详解】对于A选项，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面BB1C1C/平面AA1D1D 由于F,G分别是B1C1,BB1的中点，则FGC平面BB1C1C, D 所以FG/平面AA1D1D,故A选项正确； B 对于B选项，连接AC,A1C1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1/CC1, 且AA1=CC1,则四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC/∥A1C1, G =》 在△A1B1C1中，E,F分别是A1B1,B1C1的中点，则EF/∥A1C, 所以EF/AC,故B选项正确； 对于C选项，在△A1B1B中，E,G分别是A1B1,BB1的中点，所以EG/∥A1B, 由A1B∩平面BC1D1=B,即B∈平面BC1D1,而A1平面BC1D1, 所以EG与平面BC1D1相交，故C选项错误： 对于D选项，由于A1C1nC1D1=C1,C1∈平面BCD,EF/A1C1, 所以EF与C1D1相交，所以面EFG与平面BC1D1相交，故D选项错误。 10.【答案】ABC【详解】A:设点P关于直线1的对称点为P'(x,y),则线段PP的中点在直线l上，且直 线PP'垂直于直线， =3×华+3 即2 ×3=-1 ,解得子所以点P的坐标为-27)，A正确， B:解方程超化十粉 y=-7 则点(-，-)在所求直线上. 在直线y=x-2上任取一点M(2,0),设点M关于直线的对称点为M'(xo,yo), 9=3×o2+3 则 品×3-1解得 2 一。5，则点M(-号)也在所求直线上 由两点式得直线方程为学=益 x+ 化简得7x+y+22=0,故所求直线的方程，B正确。 5+2 C:在直线1上取两点E(0,3)、F(-1,0),则E、F关于点A(3,2)的对称点分别为E'(6,1)、F'(7,4). 因为点E、P在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为岩=名即C正确 D:直线斜率为3，故垂直于1的直线斜率为-子过点P(4,5)的垂线正确方程为y一5=一（化-4）， 整理得x+3y-19=0,故过点P(4,5)垂直于直线1的直线的方程是x+3y-17=0,故D错误. 11.【答案】BD【详解】已知点P(1,2),圆C:x2+y2=9,则圆心C(0,0),半径r=3, 选项A,1CQ1=√3-0)2+(4-0乎=5，由切线长定理可求出1Q4=V52-3z=4,故A错误； 选项B,因为12+22=1+4=5<9，所以点P在圆内部，故B正确； 选项C,弦长L=4W2,由弦长公式L=2Vr2-d亚→4V2=2W9-d亚， 2W2=V9-d2→8=9-d2→d2=1→d=1,即圆心到直线距离d=1, 直线过P(1,2),当直线1的斜率存在时，设1的方程是y-2=k(x-1), 即kx一y十2-k=0,圆心到直线距离d=loo+-4=1, VR2+1 2-k=V2+1→(2-k)2=k2+1即4-4k+k2=k2+1→4k=3→k=是 所以直线l的方程是y-2=(x-1),即3x-4y+5=0, 当直线1的斜率不存在时，直线的方程是x=1,圆心到它的距离d=1,也满足条件， 所以1的方程为：x=1或3x-4y+5=0,故C错误； 选项D,以P为中点的弦，则弦与CP垂直，k=三2，所以弦所在的直线的斜率k=一又过 1-0 P(1,2),所以该直线方程为y-2=-x-1),即x+2y-5=0,故D正确。 12.【答案】（仔，+o∞）【详解】因为直线方程为2x-y+1-4m=0,即为y=2x+1-4m, 又因为直线过一、三、四象限，所以直线在y轴上的截距小于零， 即1-4m<0,解得m>是所以m的取值范围为（存，+∞），故答案为：（仔，+∞） 13.【答案】2+y2+x-3y=0或写成(x+}+6-召=吗 【详解】设△0AB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2一4F>0),则 8-2D+2E+F=0 D= 1 10+D+3E+F=0, 7 解得 了= 所以△0AB的外接圆方程为x2+y2+x-y=0. F=0 F=0 14.【答案】西【详解】如图，连接BD,BC1,设BA=d,BC=方，DD=c, 5 依题意，d.i=0,d.2=12×c0s120°=-1，b.8=1×2×c0s60°=1， AC=AB+BC=-BA+BC+DD;=-a+b+ BD=BD+DD=BA+BC+DD=a+b+c, 而AC2=(-a+i+)2=++2-2a.6-2a.2+26.2=1+1+4- 2×(-1)+2×1=10,得到AC=V10. 而BD2=(a+方+)2=2+2+2+2a.方+2à.c+26.c=1+1+4+2×(-1)+2×1=6, 可得BD=V6. 则AC·BD=(-+6+)·(a+B+)=+2+26.-2=1+4+2×1-1=6, AC.BD1 所以cOS<AC1,BD1> AG-BDa 品6-雪>0，故直线4G和BD,所成角的余弦值为酒答案：严 5 15解：()由于cosC=是0<C<π，则stmC=.因为4a=V5c, 由正弦定理知4如A=5血C,则mA=5血C=5 4 5 (2)因为4a=V5c,由余弦定理，得 F。。a2+b2-2a十1215211一 2ab 53, 22a 2a 即ad2+6a-55=0,解得a=5,而simc-等b=11, 所以△ABC的面积S=absinC=2x5x11x4=22 16.解：（1)直线斜率是3，且经过点(2,1)，则直线方程为y-1=3(x-2), 化为一般式方程为3x-y-5=0; (2)已知0(0,0)关于直线1的对称点为A(-4,2), 故直线1为线段OA的中垂线，求得OA的中点为(-2,1)， 且01的斜率为子。=分，故直线1的斜率为2， 故直线1的方程为y-1=2(x+2),化简可得：2x-y+5=0. (3)设该直线在两轴上截距为a,那么， ①当a=0时，直线过原点，设直线方程为y=kx,代入点(2,3)， 可得k=至则方程为y=x,即3x-2y=0: ②当a≠0时直线方程为芒+兰=1，把(2,3)代入求得a=5. aa 则直线方程为x+y-5=0, 由①②知所求直线方程是3x-2y=0或x+y-5=0. 17.【答案】(1)a=0.015,b=0.035.(2)85分.(3)层 解：(1)由直方图的数据得10(a+b+0.04+0.01)=1→a+b=0.05①，由评分在(70,80]的快递车比 (60,70]内的多40辆，得200×10×b-200x10×a=40,解得b-a=0.02②， 联立①②，解得a=0.015,b=0.035 (2)达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数.从低分段累计频率： 0.50<0.70,0.50+0.40=0.90>0.70,第70百分位数落在(80,90]区间， 设分数线为，则0.50+一80×0,40=0.70，解得x=5,估计4等车的分数线为85分. 10 (3)分层抽样：评分超过80分的车辆=(80,90]组80辆，+(90,100]组20辆=100辆. 按比例抽取5辆，(00组：0x5=4辆，(010则组：需x5=1辆. 编号：将(80,90]组4辆车记为4,4,4，A4:(90,100]组1辆车记为B. 列举所有等可能基本事件(5选2，无序)： 用穷举法把可能的情况一一列出：(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1), (A3,A4),(A3,B1),(A4,B1)共10种等可能基本事件，找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都 来自(80,90]组，不含B1):(A1A2),(A1,A3),(A,A4),(A2,A3),(A2,A4),(A3,A4)共6种， 两车评分均不超过90分的概率：P=品- 18.(1)证明：翻折前，AD⊥BC,则AD⊥CD,AD⊥BD,翻折后，则有AD⊥CD,AD⊥BD, 因为BD n CD=D,BD、CDc平面BCD,所以，AD⊥平面BCD,因为BCC平面BCD,所以，AD⊥BC, 在四棱锥A一BCD中，因为点E、F分别为棱AC、AB的中点，则EF/BC,因此，AD⊥F. (2)因为AD⊥CD,AD⊥BD,则二面角C-DA-B的平面角为∠BDC,即tan∠BDC=2, 因AD⊥平面BCD,以点D为坐标原点，DB、DA所在直线分别为x、y轴， 平面BCD内过点D且垂直于BD的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 女题洪 因为∠ABD=60,A01BD,AD=23,则BD=0=号=2， 又因为CD=V5,则A(0,2W3,0小、B(20,0)、C(1,0,2)、D(0,0,0)、E(GV3,1、F(1,V3,0), 设平面CDF的法向量为m=(x1,y1,21),D元=(1,0,2)，D示=(1，V3,0), 2a 可得m=(2V3,-2,-V3, 设平面DE的法向量为元=(x2y2,z2),乎=（仔，0，-1， 则正=+v3购=0 {元脉=-2=0，取2=23， 可得元=(2V3,-2,V3, 所以，o佩列=需=筒 19 由图可知，二面角C-DF-E的平面角为锐角，故二面角C-DP-E的余弦值为号 19.解：(1)由圆C:x2+y2=5,可得圆心C(0,0),半径为√5，若直线的斜率不存在，则x=-√5， 圆心C(0,0)到直线x=-V5的距离为半径，符合题意； 若直线I的斜率存在，设直线方程为y=k(x+V⑤+1=kx+1+V5k,则+5=V5, √1+k2 故k=25,此时1的方程为2W5x-5y+15=0,综上，1的方程为2W5x-5y+15=0或x=-5. (2)①设点M(x,y),B(xo,yo),由点M是AB的中点和点A(-V5,1), 得t也 =兰。所以你，二+5因为在圆C上运动所以+将=5， 2 (y0=2y-11 2 联立得(2x+V同2+(2y-12=5,化简得点M的轨迹方程是(x+写+0-)= ②由题可知N为M的轨迹的圆心，设圆心N到直线距离为d, IPQl=2vF2-=2层-d2,则5awpo=xdx2层-d2=a2(得-a2) 当d-即d=匹时，△NPQ的面积最大， 若直线1的斜率不存在，则其方程为x=-V5,此时点N到直线l的距离d=,因≠四，故不符合题意， 当直线1的斜率存在时，设直线l的方程为：kx-y+1+√5k=0, d-_四，解得k=2±压 VR241 4 5