专题4.5 解三角形讲义【12类必考点分类集训】-2027届高三数学一轮复习

专题4.5 解三角形 【考点1： 正、余弦定理解三角形】 2 【考点2：正弦定理判定三角形解的个数】 5 【考点3：正弦定理求外接圆半径】 8 【考点4：三角形面积公式及其应用】 11 【考点5：正、余弦定理判定三角形形状】 14 【考点6：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 17 【考点7：求三角形面积的最值或范围】 21 【考点8：距离测量问题】 25 【考点9： 高度测量问题】 28 【考点10： 角度测量问题】 32 【考点11：正、余弦定理的其他应用 】 36 【考点1： 正、余弦定理解三角形】 1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）在中，已知，，，则（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用正弦定理求得的值，再结合大边对大角定理及三角形内角和性质确定B的唯一取值. 【详解】在中，已知，，，由正弦定理， 代入数值可得： ，所以， 由于，所以，所以. 2．（25-26高二下·湖南·学业考试真题）记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】在中，，， 由余弦定理 ，得， 故. 3．（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，．求： (1)的值； (2)边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）根据余弦定理及三角函数求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，所以. （2）由余弦定理得，即， 整理得，解得或（舍去）. 过点作，交于点. 在中，. 故边上的高为. 4．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出，即可得到周长． 【详解】（1）由辅助角公式化简得 ，即 ， 因为 ，所以 ，因此 ，得 ． （2）由正弦定理， 可化为 ， 因为 ，，，因此 ，得 ， 由正弦定理 ，得： ， ， ， 因此周长为 ． 5．（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合平方关系及正弦定理可得，再根据余弦定理可求得，，再利用正弦定理求解即可； （2）先根据题设及平方关系、两角和的正弦公式求得，可得，进而求解即可. 【详解】（1）由， 则， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理得，因为，所以， 因为，，所以，则， 由正弦定理得，即. （2）由于，， 所以， 由于，所以，而， 所以．     则 ， 由于，所以， 则． 【考点2：正弦定理判定三角形解的个数】 1．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知中，，，若满足条件的角有两个解，则长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于满足条件的角有两个解，所以，即，答案为D． 2．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）在中，角对应的边分别为，现已知，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由下图可知，若三角形有两解，需满足， ，， 由得，由得，所以， 联立得，即的取值范围是. 3．（26-27高三上·河北·阶段检测）若的内角，，的对边分别为，，，且，，则“有两解”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意得，，根据正弦定理得，即， 要使有两解，则，解得， 所以“有两解”是“”的充分不必要条件. 4．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）在外接圆半径为的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】先用正弦定理求出边长；再利用“已知一角及其对边，三角形有两解”的不等式，求出的取值范围，筛选选项即可. 【详解】如图所示，记的外接圆的半径为，，，由正弦定理得，，则， 在中，为定值，三角形有两解的条件：，即，解得， 因为，，，，， 所以，故答案选C. 5．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，满足条件的三角形有两个 B．当时，满足条件的三角形有两个 C．若满足条件的三角形有且只有一个，则的取值范围是 D．若满足条件的三角形不存在，则的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据正弦定理得到的关系式，根据正弦函数的图象及三角形的角度取值范围即可得出答案. 【详解】由正弦定理得， 即， 又，所以， 且， 如图所示， 当或时，即或，此时直线与函数仅有一个交点，即满足条件的三角形有且仅有一个； 如图所示，当时，即，此时直线与函数有两个交点，即满足条件的三角形有两个； 如图所示，当时，即，此时直线与函数没有交点，即满足条件的三角形不存在， 综上，当时，有，故有两个三角形，即A正确； 当时，仅有一个三角形，故B错误； 由上述可得当时，满足条件的三角形有一个，故C错误； 由上述可得当时，满足条件的三角形不存在，故D正确. 【考点3：正弦定理求外接圆半径】 1．（25-26高二下·广东广州·期末）在中，角，，的对边长，，分别为3，5，7，则的外接圆半径等于________． 【答案】/ 【分析】先利用余弦定理求出一个内角的正弦值，再结合正弦定理求解外接圆半径. 【详解】由余弦定理可得， 又， 所以， 由正弦定理， 所以. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角的对边分别为，若，，，则的外接圆的面积为______. 【答案】 【分析】由已知角求得三角形另一个内角，然后由正弦定理求得三角形外接圆半径，即可求得答案. 【详解】在中，，，所以. 设的外接圆的半径为，则由正弦定理可得， 所以，故的外接圆的面积. 3．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且，则的外接圆直径为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，进而求得外接圆的直径，得到答案. 【详解】设的外接圆的半径为， 因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，可得， 所以的外接圆直径为. 4．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知的面积为，若，，则的外接圆半径为__________． 【答案】 【分析】利用已知的三角函数式，结合两角和的余弦公式求出，从而求得，再利用三角形的面积公式求出，然后利用正弦定理即可求得外接圆半径． 【详解】因为，， 所以． 因为在中，，所以， 所以，则， 所以，即． 又因为，，， 所以，则，，． 因为的面积为，即，所以． 由正弦定理，可得，则，即． 5．（26-27高三上·河北·开学考试）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两角和的正弦公式，利用正弦定理化简即可得到结果； （2）由（1）求得，利用正弦定理求得外接圆半径，进而求出面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以． 因为，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又，则． 记外接圆半径为， 由正弦定理得，，所以， 所以外接圆的面积为. 【考点4：三角形面积公式及其应用】 1．（湖南省部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题）在中，，，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式求，再根据余弦定理求. 【详解】由条件可知，，则， 根据余弦定理. 2．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若，的平分线与相交于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将所给式子的边化角，再利用三角恒等变换的公式进行化简变形即可求解. （2）利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积的等量关系得到有关，的等式，再结合余弦定理，即可求解，进而可求解面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 又，所以， 所以，所以． （2） 由（1）知， 因为为的平分线，所以， 又因为，且， 所以， 整理得． 又由余弦定理得， 又，则，所以， 即，解得或（舍去）， 所以△ABC的面积为． 3．（26-27高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知中，，且． (1)求外接圆的半径； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角恒等变换将题干信息转化为，再借助角化边变为，最后用余弦定理可得，用正弦定理即可求出外接圆的半径； （2）将已知数据带入第一问得到的等式，求出，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由题知，， 根据正弦定理可得，整理得， 故，又，故. 根据正弦定理可得，外接圆的半径. （2）由（1）知，将代入上式， 得，解得或者（舍）， 故. 4．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的面积. 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出的值，结合三角形内角的取值范围确定角的两个可能结果； （2）根据锐角三角形的约束排除钝角解，得到角的唯一值，再计算角后代入三角形面积公式求解。 【详解】（1）由正弦定理，已知，，，代入得： ， 因为，且即，所以或. （2）因为为锐角三角形，故为钝角，不符合要求，舍去，即， 此时内角，由两角和的正弦公式得： ， 代入三角形面积公式得： . 5．（26-27高三上·上海徐汇·阶段检测）在中，为钝角，． (1)求； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理， ， 又， 代入化简得. 因为， 所以，又， 故. （2）由面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入得， 即， 将代入得，故， ，解得或， 因为 为钝角，故 ，因此. 【考点5：正、余弦定理判定三角形形状】 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）在中，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【详解】由，得， 所以，， ，，，，即， 所以的形状是等腰三角形． 2．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，若，则是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角的三角形 【答案】B 【详解】试题分析：因为，所以，即，即，所以A-B=0即A=B，所以三角形为等腰三角形，答案选B. 考点：三角形的内角和定理与和（差）角公式 3．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据正弦定理将表达式化简得出是等腰三角形或直角三角形，再进行验证可得是等腰且非直角三角形，可得结论. 【详解】利用正弦定理由可得， 整理可得，因为，所以； 可得，即， 因此可得或，所以或， 可知是等腰三角形或直角三角形， 但当时，，此时，分母无意义， 因此是等腰且非直角三角形， 所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件. 4．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）（多选）的内角的对边分别为，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则C为钝角 C．若，则为直角三角形 D．若为斜三角形，则 【答案】AD 【分析】由三角形大角对大边得到关系，结合正弦定理即可判断A选项；由余弦定理判断B选项；取特殊情况即可判断C选项；由正切的诱导公式和和差角公式化简等式左边即可判断D选项. 【详解】对于A，则，由正弦定理可知，则，A正确； 对于B，因为，所以，则为锐角，B错误； 对于C，因,则当时，则或者，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，因为为斜三角形，即， 所以， 所以， ，D正确. 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（     ） A．若是钝角三角形，则 B．若，则为锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用三角形内角性质、正余弦定理、正余弦函数的单调性逐一判断选项即可. 【详解】对于A：若是钝角三角形，则恰有一个为钝角，另两个为锐角，不妨设为钝角， 则，则，故A正确； 对于B：若，则，即为锐角，但不能保证，都为锐角，故B错误； 对于C：若为锐角三角形，可得，所以， 因为，可得， 因为在单调递增，在单调递减， 所以，， 所以，故C正确； 对于D：若，，可得，要使得有两解， 则满足，即，即的取值范围是，故D正确. 【考点6：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（2026·江苏南通·一模）（多选）记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（     ）． A． B． C．b的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】本题可通过对已知等式变形结合余弦定理求出角，再利用正弦定理、锐角三角形的内角约束推导各选项相关结论，逐一验证选项正误. 【详解】将已知等式变形为， 由余弦定理， 又因是锐角三角形，，故A正确； 由正弦定理，可得 ,故B正确； 依题意，可得 ,解得. 由正弦定理得， 因可得，则 ,故C错误； 由正弦定理得， 即 则， 由，得，因此，则，故D正确. 2．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）锐角中，内角、、所对的边分别为、，，且，则周长的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先利用正弦定理角化边公式得到，从而得到，利用正弦定理得到，再利用三角函数的性质求范围即可. 【详解】由正弦定理可得， ∴，可得， ∴，∵，∴， 由正弦定理可得， ∴，， ， ∵为锐角三角形，则，解得，∴， ∴，则. 因此，周长的取值范围是. 3．（26-27高二上·广东茂名·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求B； (2)若b=3，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)（6，9］ 【分析】（1）由 得 ，再用正弦定理把条件中的边化为角，展开后两边消去 ，约去 得 ，由 求出 . （2）由正弦定理得 ，将 表为 的三角函数；利用 消元，展开 后用辅助角公式合为 ，由 得 ，结合正弦函数值域得周长 . 【详解】（1） 由正弦定理 即： 又     因为，所以 （2）由正弦定理得 所以周长 又      即 周长的取值范围是（6，9］． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化与三角恒等变换，重点考查 "用辅助角公式合并同名三角函数、由角的取值范围严格确定正弦值域求周长范围" 的能力。 4．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A； (2)若，求周长的范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由已知等式：展开左边得：，移项化简得：，由正弦定理得：，由余弦定理 得，因为，所以. （2）由（1）知，且，由正弦定理得：，所以，三角形周长，因为，所以，其中. 由于， 因为，所以，所以， 因此，周长. 5．（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系、二倍角公式、正弦定理和余弦定理化简求解即可； （2）利用正弦定理对已知式子转化可得，再利用余弦定理及基本不等式即可求的最大值，即可得周长的最大值. 【详解】（1）由条件可知，， 整理得. 由正弦定理得． 由余弦定理得． （2）因为，所以. 由正弦定理得，所以，. 所以， 又，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取得等号. 故的周长的最大值为． 【考点7：求三角形面积的最值或范围】 1．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知的边，且，则的面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】首先化简已知表达式，由正弦定理得到，然后表示的面积，利用三角恒等变换求最值. 【详解】， ， ， ， 由正弦定理可得，， ， ，， 时，，，. 2．（2026高三上·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【分析】先根据正弦定理和余弦定理，求得和，然后结合基本不等式和同角三角函数基本关系，求得和，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】设的外接圆半径为，由正弦定理， 可得，，， 又，所以， 化简可得，即， 由余弦定理， 又为三角形内角，所以， 由同角三角函数的基本关系，可得， 又，，即， 由基本不等式，当且仅当时取得等号， 所以，解得，当且仅当时，取得最大值， 所以， 即面积的最大值为. 3．（2026高三上·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则面积的最大值为______． 【答案】/ 【分析】先根据余弦定理，结合已知条件，求得，再运用基本不等式可得，最后根据三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意，，所以， 根据余弦定理，可得， 又，， 所以，即，所以， 解得， 由基本不等式，对于正实数都有， 将代入，可得， 当且仅当时，取得最大值， 所以， 即面积的最大值为. 4．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则B＝______；若b＝4，则△ABC的面积的最大值为______. 【答案】 【分析】先根据余弦定理直接推导角的大小，再结合基本不等式求出的最大值，代入三角形面积公式得到面积最大值. 【详解】 由余弦定理，得， 又，所以 因为，故，所以. 又，所以. 将代入中， 得 ，即，当且仅当时取等号. 三角形面积为 . 因此面积的最大值为. 5．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）在中，，，分别为内角，，的对边，且，． (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明：因为，， 所以，即 化简得. (3) 【分析】（1）直接由余弦定理即可计算求解； （2）利用即可计算求解； （3）先求出，令，再结合辅助角公式变形得到，利用建立关于y的不等关系即可由题意计算求解. 【详解】（1）若则，则由余弦定理得； （2）略 （3）由余弦定理且、可得， 而， 令，则，即， 则，其中， 因为，所以，所以的终边经过点， 因此取为锐角，则，所以，解得. 所以最大值为. 【考点8：距离测量问题】 1．（25-26高一下·广东广州·期末）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行10海里后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，需要航行的距离是（    ） A．20海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【详解】因为， 由余弦定理可得. 所以，即从A到C，需要航行的距离是. 2．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定，之间的距离，测得了以下数据:，，，，则，间的距离为______. 【答案】 【分析】连接，并求出，再求，最后解，求出. 【详解】如图所示； 连接，由题知为等腰直角三角形，，. ，在中由余弦定理得， . 3．（26-27高二·山东·学业考试模拟）如图所示，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：米），已测得隧道两端点，到某一点的距离分别为500米和800米，角为，则之间的距离为________米. 【答案】700 【详解】依题意，由余弦定理得. 4．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）一艘渔船从码头处出发，沿正南方向航行了后到达处进行捕捞作业，然后从处出发，沿北偏东的方向航行了一段距离后到达处进行捕捞作业，最后从处出发，沿北偏西的方向航行了一段距离回到处，则处与处之间的距离为________km.（参考数据：取，） 【答案】 16 【详解】 由题意得，，结合方位角可得， ， 在中，由正弦定理， ， 代入，，得 ， 处与处之间的距离为. 5．（25-26高一下·山东·学业考试真题）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 【答案】 / 【分析】利用平行线的性质求出 和 的内角，结合正弦定理求出 的长，最后根据线段的和差关系求得 的长度. 【详解】由题意可知 ， 所以 ，， 又因为 ，所以 ， 在 中，，， 由正弦定理 ， 得 ， 在 中，， 由正弦定理 ， 得 ， 因为 四点共线，且顺序如图所示， 所以 ， 故隧道 的长度是 . 【考点9： 高度测量问题】 1．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】设岳阳楼的高度为米， 由题意可知，即和均为直角三角形， 在中，，则，在 中，，则， 因为，且， 所以，即，解得， 故岳阳楼的高度为米. 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高度．无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于，两点．记楼顶为，在点测塔顶的俯角为．已知，两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中为楼顶在无人机所在水平面上的垂直投影点），则黄鹤楼的高度大概为（     ）米 A．45 B．51 C．52 D．55 【答案】C 【分析】先在水平面中利用内角和、正弦定理求出，再利用俯角的几何含义得到竖直距离，结合无人机离地高度算出黄鹤楼的高度. 【详解】无人机所在平面距地面高度为70米，在点测塔顶的俯角为，且垂直于无人机所在水平面， 因此是直角三角形，由俯角定义可得. 中：米，，，则. 根据正弦定理，代入数值得米. 由第一步得米，说明塔顶比无人机所在水平面低18米，因此黄鹤楼总高度为：米. 3．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）临沂广播电视塔坐落于山东临沂北城新区，是山东省最高的广播电视塔，也是临沂的标志性城市建筑.如图，某测绘小组为了测量电视塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，两点相距，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，由正弦定理得， 则． 因为在点A测得塔顶P的仰角为，所以且， 又，故， 从而． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15 m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（　　） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】利用特殊角的三角函数值和正弦定理进行求解. 【详解】， 在直角中，， 在中，，， 则，， 由正弦定理，得， 所以m， 在直角中，m. 5．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）天宁寺塔位于北京市西城区广安门外护城河西岸，是辽代八角十三层密檐式实心砖塔，也是北京城区现存最古老的地面建筑之一．某校实践小组在护城河东岸同一水平面内选取，两个观测点，测量天宁寺塔的高度．由于塔底位于对岸无法直接到达，小组先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行35米到达点处，在点处测得塔顶的仰角为．已知，且观测点与塔底在同一水平面内． (1)求天宁寺塔的高度； (2)求的大小； (3)若点在直线上（且在，之间），满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，用表示，结合余弦定理即可求得的值； （2）结合（1）的结论，根据等边对等角，求得； （3）求得，，，再由正弦定理求得，从而求得.的值． 【详解】（1）由题意知，，，，，， 设，则， 又中，， 所以， 即 ， 化简，得， 因为，所以，. 所以. （2）由（1）可得，，， 因为，所以. （3）， ， 所以. ， 由正弦定理，得， 所以， 所以. 【考点10： 角度测量问题】 1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进120m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为30°，若，，山坡与地平面的夹角为θ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据题意得，在中，由正弦定理：，即可计算求得答案. 【详解】在中，，， ， ，故， 在中，由正弦定理： 因为，所以， 代入，，得，即：， 得，所以，所以. 2．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距4海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距2海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先在中，利用余弦定理求出，再求出，利用求出即可. 【详解】 由已知得，在中，，，， 故， 则，则，则， . 3．（25-26高一下·甘肃天水·期末）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为，若，山坡与地平面的夹角为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，根据题意得，在中，由正弦定理：，即可计算求得答案. 【详解】在中，，， ， ，故， 在中，由正弦定理： 因为，所以， 代入，，得，即：， 所以，即. 4．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】先作出示意图，再利用正弦定理求出的长，在中，利用余弦定理求出的长，最后在中利用余弦定理求出即可. 【详解】根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则， 由正弦定理得，所以. 在中，，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或， 因为，所以 在中，，则， 因为，所以，则， 所以在处测得在它的南偏西方向上. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为_______. 【答案】北偏东45°方向 【详解】设小艇沿直线方向以海里/小时的速度航行1.5小时后，到达点， 路程为海里，即海里， 由题意得海里，， 在中，由正弦定理得， 即，， 又，故，故， 即小艇的航行方向为北偏东45°方向. 【考点11：正、余弦定理的其他应用 】 1．（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．小时后 B．小时后 C．小时后 D．小时后 【答案】B 【分析】根据图形判断台风移动方向及城市与台风中心的位置关系，结合方向角并利用余弦定理解三角形可得. 【详解】设该城市在小时后开始受到台风侵袭. 小时后台风中心到达点处，如图， 因为，台风的速度为，因此，. 又由方向角可得. 在中，，，， 由余弦定理， ，， 即，解得或. 根据题意可得为该城市刚开始受到台风侵袭时间，为该城市受台风侵袭结束时间. 因此该城市开始受到台风侵袭的时间为小时后. 2．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时．    【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，结合行驶速度即可求得所需时间. 【详解】在中，由题意得：海里，海里， 因在南偏西，在正东，因此。 由余弦定理， ， 即， 故 得海里， 因甲船速度为30海里/小时，因此甲船到达处所需时间小时。 3．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，分别为杆，为平行的光线，分别为杆的影子， 设光线与水平面所成角为，则，故， 则. （2）由（1），，， 在中，由正弦定理可得 即，故，则， 则， ， 故. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 【答案】(1)快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中． (2)快艇应以垂直的方向向北偏东行驶． (3)4h． 【分析】（1）画图分析，设后与汽车在C处相遇，再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程，再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系，再利用二次不等式的最值分析即可. （2）根据（1）中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系，进而求得时间即可. （3）设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，同（1）中的方法求得三角形各边的关系分析即可. 【详解】（1）如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中. （2）由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°. （3）如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或， 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h. 5．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1)； (2)； (3)（单位：m/min）． 【分析】(1)在中，已知两角及其夹边，可求出第三个角通过正弦定理计算AB的长； (2)甲乙最短距离时所在位置可以与A构成三角形，根据速度，可以求得路程，即三角形边长，利用余弦定理解三角形即可； (3)通过路程除以速度计算时间，根据两人到达时间，列不等式，计算范围即可． 【详解】（1）在中，因为，， 所以，，从而： ， 由正弦定理，得． （2）设乙在D处时，与E处的甲距离最近： 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时，甲行走了，乙走了， 所以由余弦定理得： ， 即， 因为乙还在缆车上，故，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理，得． 乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得， 即，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，，则C=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知三角形的三边长，利用余弦定理可求出角C的值 【详解】因为，，， 所以由余弦定理得，， 因为，所以， 故选：C. 2．（25-26高一下·陕西宝鸡·阶段检测）在△ABC中，a＝7，b＝10，c＝6，则△ABC是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】由边的大小关系易知∠B为最大角，再应用余弦定理判断△ABC的形状即可. 【详解】∵a＝7，b＝10，c＝6，即b>a>c， ∴∠B为最大角． 由余弦定理，得：cos B＝， ∴∠B为钝角． 故选：B. 3．（25-26高三下·河南濮阳·开学考试）已知的内角的对边分别是.若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系求出，根据正弦定理求得，（R为外接圆半径），再根据正弦定理边化角，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，故， 故，（R为外接圆半径）， 故， 故选：D 4．（25-26高一下·湖北荆门·期中）在中，内角对应的边分别为，若，，则边长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】在中， ，， 所以， 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 5．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（    ）（参考数据：，）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】连接，，在中，由正弦定理知， 即，解得， 在中，由余弦定理得：，即， 所以．    故选：C. 6．（2026·河南·模拟预测）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度约为（    ）（参考数据：，） A．13米 B．24米 C．39米 D．45米 【答案】C 【分析】在Rt△ABC根据∠ACB的正切得AB与BC的关系，在△BCD中利用正弦定理列式即可求解． 【详解】设，则， 在中，，由正弦定理得， 因为， 代入数据，解得（米）， 故选：C． 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则符合条件的有两个 【答案】AD 【分析】根据正、余弦定理在解三角形中的应用，通过边角转化等一一判断即可. 【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得， 整理得，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，所以， 因为，所以，即C为锐角，但因为A，B中可能有钝角，所以不一定是锐角三角形，故B错误； 对于C，， 由正弦定理得，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由正弦定理得，即， 因为，所以，A为锐角，所以存在满足条件的有两个，故D正确． 故选：AD． 8．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角形面积公式，结合正弦定理和圆的性质进行判断求解即可. 【详解】，A正确； 已知， 所以 即，D正确； 若为锐角三角形， 所以 ， 若为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确； ，所以，C错． 故选：ABD. 三、填空题 9．（26-27高一·全国·课后作业）在中，若，则__________． 【答案】3或/或3 【分析】由同角平方关系得到，然后结合余弦定理即可得到答案. 【详解】因为C是三角形的内角，且， 所以． 当时， 由余弦定理得                                 则 同理，当时，得 故答案为:或． 10．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】利用余弦定理将表示为关于的函数表达式，利用锐角中，，且，，结合已知等式把不等式中的换走，得到，再利用对勾函数单调性，求得的取值范围. 【详解】， 又锐角中，，且，， 将代入上面三个不等式， 得到且， ，令，则， 所以在上单减，在上单增， 又当时，的值为， 当或时，的值为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用余弦定理，以及锐角边的性质，进行等式不等化，结合对勾函数的单调性求最值． 四、解答题 11．（贵州黔东南州、安顺市部分学校2026-2027学年高三上学期10月学科素养训练数学试题）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求与的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据正弦定理，及两角和的正弦公式即可求解； （2）先根据三角形面积公式得到，再根据余弦定理得到，进而联立即可得到与的值． 【详解】（1）由， 则， 由正弦定理，得， 即， 因， 则， 又因，则，可得， 故得. （2）由，解得①， 又，由余弦定理，得，即②， 联立①，②，解得，． 12．（河南、甘肃部分校联考2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题）在中，内角所对的边分别为．已知 ，． (1)求 ； (2)若为锐角三角形，为延长线上一点，且，求 面积的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）用余弦定理把 化为 ，求出 ； （2）由角的关系得 ，把面积表示为 的函数，再由锐角三角形的条件确定的范围.进而可求解. 【详解】（1）由余弦定理，. 代入已知条件得. 因，故. 又 ，所以 . （2）因在的延长线上， 依次共线， 故. 在中，， 所以，从而. 于是 . 由， 及余弦定理得 . 因为锐角三角形，故 且 ， 即且，解得 且. 反之，当 时，取，，， 则，， 故确为锐角三角形； 再在射线上取，即有，条件可以取到. 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 解三角形 【考点1： 正、余弦定理解三角形】 2 【考点2：正弦定理判定三角形解的个数】 4 【考点3：正弦定理求外接圆半径】 4 【考点4：三角形面积公式及其应用】 5 【考点5：正、余弦定理判定三角形形状】 7 【考点6：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 7 【考点7：求三角形面积的最值或范围】 9 【考点8：距离测量问题】 10 【考点9： 高度测量问题】 11 【考点10： 角度测量问题】 13 【考点11：正、余弦定理的其他应用 】 15 【考点1： 正、余弦定理解三角形】 1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）在中，已知，，，则（     ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高二下·湖南·学业考试真题）记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，．求： (1)的值； (2)边上的高． 4．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，求的周长． 5．（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的值． 【考点2：正弦定理判定三角形解的个数】 1．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知中，，，若满足条件的角有两个解，则长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）在中，角对应的边分别为，现已知，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·河北·阶段检测）若的内角，，的对边分别为，，，且，，则“有两解”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）在外接圆半径为的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（     ） A． B．6 C． D．8 5．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，满足条件的三角形有两个 B．当时，满足条件的三角形有两个 C．若满足条件的三角形有且只有一个，则的取值范围是 D．若满足条件的三角形不存在，则的取值范围是 【考点3：正弦定理求外接圆半径】 1．（25-26高二下·广东广州·期末）在中，角，，的对边长，，分别为3，5，7，则的外接圆半径等于________． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角的对边分别为，若，，，则的外接圆的面积为______. 3．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且，则的外接圆直径为________． 4．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知的面积为，若，，则的外接圆半径为__________． 5．（26-27高三上·河北·开学考试）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 【考点4：三角形面积公式及其应用】 1．（湖南省部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题）在中，，，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若，的平分线与相交于点D，且，求的面积． 3．（26-27高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知中，，且． (1)求外接圆的半径； (2)若，求的面积． 4．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的面积. 5．（26-27高三上·上海徐汇·阶段检测）在中，为钝角，． (1)求； (2)若，的面积为，求的值． 【考点5：正、余弦定理判定三角形形状】 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）在中，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，若，则是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角的三角形 3．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）（多选）的内角的对边分别为，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则C为钝角 C．若，则为直角三角形 D．若为斜三角形，则 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（     ） A．若是钝角三角形，则 B．若，则为锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，，且有两解，则的取值范围是 【考点6：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（2026·江苏南通·一模）（多选）记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（     ）． A． B． C．b的取值范围为 D．的取值范围为 2．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）锐角中，内角、、所对的边分别为、，，且，则周长的取值范围是________． 3．（26-27高二上·广东茂名·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求B； (2)若b=3，求周长的取值范围． 4．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A； (2)若，求周长的范围． 5．（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【考点7：求三角形面积的最值或范围】 1．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知的边，且，则的面积的最大值为_____． 2．（2026高三上·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为______． 3．（2026高三上·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则面积的最大值为______． 4．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则B＝______；若b＝4，则△ABC的面积的最大值为______. 5．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）在中，，，分别为内角，，的对边，且，． (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值． 【考点8：距离测量问题】 1．（25-26高一下·广东广州·期末）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行10海里后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，需要航行的距离是（    ） A．20海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定，之间的距离，测得了以下数据:，，，，则，间的距离为______. 3．（26-27高二·山东·学业考试模拟）如图所示，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：米），已测得隧道两端点，到某一点的距离分别为500米和800米，角为，则之间的距离为________米. 4．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）一艘渔船从码头处出发，沿正南方向航行了后到达处进行捕捞作业，然后从处出发，沿北偏东的方向航行了一段距离后到达处进行捕捞作业，最后从处出发，沿北偏西的方向航行了一段距离回到处，则处与处之间的距离为________km.（参考数据：取，） 5．（25-26高一下·山东·学业考试真题）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 【考点9： 高度测量问题】 1．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高度．无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于，两点．记楼顶为，在点测塔顶的俯角为．已知，两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中为楼顶在无人机所在水平面上的垂直投影点），则黄鹤楼的高度大概为（     ）米 A．45 B．51 C．52 D．55 3．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）临沂广播电视塔坐落于山东临沂北城新区，是山东省最高的广播电视塔，也是临沂的标志性城市建筑.如图，某测绘小组为了测量电视塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，两点相距，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15 m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（　　） A．m B．m C．m D．m 5．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）天宁寺塔位于北京市西城区广安门外护城河西岸，是辽代八角十三层密檐式实心砖塔，也是北京城区现存最古老的地面建筑之一．某校实践小组在护城河东岸同一水平面内选取，两个观测点，测量天宁寺塔的高度．由于塔底位于对岸无法直接到达，小组先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行35米到达点处，在点处测得塔顶的仰角为．已知，且观测点与塔底在同一水平面内． (1)求天宁寺塔的高度； (2)求的大小； (3)若点在直线上（且在，之间），满足，求的值． 【考点10： 角度测量问题】 1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进120m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为30°，若，，山坡与地平面的夹角为θ，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距4海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距2海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·甘肃天水·期末）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为，若，山坡与地平面的夹角为，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为_______. 【考点11：正、余弦定理的其他应用 】 1．（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．小时后 B．小时后 C．小时后 D．小时后 2．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时．    3．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 5．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，，则C=（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·陕西宝鸡·阶段检测）在△ABC中，a＝7，b＝10，c＝6，则△ABC是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上答案都不对 3．（25-26高三下·河南濮阳·开学考试）已知的内角的对边分别是.若，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．（25-26高一下·湖北荆门·期中）在中，内角对应的边分别为，若，，则边长为（    ） A． B． C． D．2 5．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（    ）（参考数据：，）    A． B． C． D． 6．（2026·河南·模拟预测）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度约为（    ）（参考数据：，） A．13米 B．24米 C．39米 D．45米 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则符合条件的有两个 8．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（26-27高一·全国·课后作业）在中，若，则__________． 10．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为____________． 四、解答题 11．（贵州黔东南州、安顺市部分学校2026-2027学年高三上学期10月学科素养训练数学试题）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求与的值． 12．（河南、甘肃部分校联考2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题）在中，内角所对的边分别为．已知 ，． (1)求 ； (2)若为锐角三角形，为延长线上一点，且，求 面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $