专题2.8 指数与指数函数【12类必考点分类集训】-2027年高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学讲义聚焦指数与指数函数专题，覆盖指数幂运算、函数概念、图象性质、单调性应用等12个高考核心考点，按“基础运算—函数性质—综合应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节帮助学生构建知识网络。 资料突出分层教学特色，基础题巩固概念，综合题提升能力，如在“由单调性求参”中通过分类讨论培养数学思维，在“指数函数应用”中建立实际问题模型发展应用意识。设置不同难度练习配合即时反馈，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

专题2.8 指数与指数函数 【考点1：指数与指数幂的运算】 2 【考点2：指数函数的概念】 5 【考点3：指数函数的图象】 6 【考点4：指数函数的定义域】 8 【考点5：指数函数的值域】 10 【考点6：判断指数函数的单调性】 12 【考点7：由指数函数的单调性求参】 14 【考点8：比较指数幂的大小】 17 【考点9：由指数函数的单调性解不等式】 18 【考点10：求指数函数的最值】 21 【考点11：根据指数函数的最值求参】 23 【考点12：指数函数的应用】 26 【考点1：指数与指数幂的运算】 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】利用分数指数幂的运算即可判断A；利用完全平方公式计算即可判断B；利用换底公式计算即可判断C；根据对数的运算法则计算即可判断D． 【详解】对于A，由，则，即，所以，故A正确； 对于B，由，则，所以，故B错误； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D正确． 3．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）方法1：因为，，则，， 所以； 方法2：因为，， 则， 所以． （2）方法1：因为，，则，， 则， 所以； 方法2：由，，则，． 所以． 4．（25-26高二下·福建福州·期末）（1）求值：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用指数幂运算求解即可； （2）利用指数式与对数式的互化关系求解方程. 【详解】（1）原式 . （2）由，得， 则，即. 5．（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 【考点2：指数函数的概念】 1．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设函数，则的值为______． 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用换底公式及指数式与对数式的互化关系求解. 【详解】依题意，. 故答案为：18 2．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． 3．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 4．（2026·湖南长沙·三模）若为指数函数，且，则______ 【答案】 【分析】由指数函数定义可设，由可求得的值，再利用等比数列求和公式求解. 【详解】为指数函数，可设且， ，解得：，， 则 . 5．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)单调递减区间为 ，无增区间. (3) 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）依题意可得，再根据指数函数的性质判断即可； （3）根据指数函数的值域即可求解. 【详解】（1）由题可得，因为且，所以； （2）函数为复合函数， 令，在上单调递增， ，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为 ，无增区间. （3）因为，则，所以，所以函数的值域为. 【考点3：指数函数的图象】 1．（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 3．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 5．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 【考点4：指数函数的定义域】 1．（第二章指数函数专题二指数函数微点1指数函数（一）【基础版】）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 2．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 5．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 【答案】/0.5 【详解】令得，故定义域为， 因为是定义域上的奇函数，所以， 即， 故，所以. 【考点5：指数函数的值域】 1．（2026高三·全国·专题练习）集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，求出判断A；因为，求出判断B；求出判断C，D. 【详解】因为， 所以，故A错误； 因为， 所以，故B错误； 所以，故C正确，D错误. 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. 3．（25-26高二下·北京延庆·期末）函数的值域为__________． 【答案】 【详解】当 时， . 由于底数 ， 该函数在 上单调递增. 最小值为 ，最大值为 . 故此段值域为 . 当 时， . 幂指数 ， 该函数在 上单调递增. 当 时， ，最大值为 时， . 故此段值域为 . 综上， 函数的值域为 . 4．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【详解】由函数有意义，需使，解得：， 因为在R上单调递增，由可得，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为. 5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）（1）计算； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算性质求解即可； （2）令，可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1） . （2）令，则，函数在上单调递增，且时，， 则函数的值域为. 【考点6：判断指数函数的单调性】 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． 【答案】 【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是. 2．（2026·天津河西·一模）设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，但推不出，例如：当时，，但，所以充分性不成立； 若，则，因为是增函数，所以，所以必要性成立. 则是的必要不充分条件. 3．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）“”是函数在R上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由函数在R上单调递增， 可得，解得， 则“”是函数在R上单调递增的必要不充分条件. 4．（26-27高三·全国·一轮复习）下列函数中，在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知函数的性质逐项判断即可． 【详解】对于，在上单调递增，不符合题意，故A错误； 对于，在上单调递减，符合题意，故B正确； 对于，在上单调递增，不符合题意，故C错误； 对于，，则 在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，故D错误． 5．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一判断各选项对应基本初等函数在区间上的单调性，即可解答. 【详解】对于选项A：因为函数是反比例函数，且， 所以在上单调递减，故选项A不符合要求； 对于选项B：因为函数是开口向上的二次函数，且对称轴为直线， 所以在上单调递增，故选项B符合要求； 对于选项C：因为函数是指数函数，且底数满足， 所以在上单调递减，在上也单调递减，故选项C不符合要求； 对于选项D：因为函数是对数函数，且底数满足， 所以函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，故选项D不符合要求. 【考点7：由指数函数的单调性求参】 1．（25-26高一上·广东汕头·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性可知在区间上单调递减，解不等式即可． 【详解】在上单调递减， 又函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， ，解得． 2．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 3．（2026·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 4．（25-26高一上·江西宜春·期末）已知且，函数，在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质建立不等式组，求解即可. 【详解】由且时，函数在上单调递增， 所以， 解得：， 所以的取值范围为， 故选：B. 5．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 【考点8：比较指数幂的大小】 1．（25-26高二下·江西九江·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别判断与的大小，再判断的大小. 【详解】，，， 所以. 2．（25-26高二下·北京朝阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则，C错误，D正确； 取，满足，而，AB错误. 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即得. 【详解】由，得函数是上的减函数，函数是上的增函数， 因此，， 所以. 4．（25-26高二下·天津·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 5．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系． 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 【考点9：由指数函数的单调性解不等式】 1．（25-26高二下·河北邢台·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 则由可得， 即，，所以， 因为在上单调递增，所以. 故不等式的解集为. 2．（25-26高二下·天津和平·期末）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 因为指数函数在上单调递增，因此，解得， 因为，所以. 当时，， 移项整理得， 因为对数函数在上单调递减，且， 因此， 因为，所以. 综上所述，. 3．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 . (1)证明函数为奇函数； (2)解关于的不等式 . 【答案】(1)证明：因为 由题意可得 恒成立，所以函数 的定义域为. 又 所以函数是定义在上的奇函数. (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可. （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意，即，也即， 整理得. 因为，所以，所以可化为，即. 又在定义域上单调递增，所以 ， 解得. 所以的取值范围为. 4．（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 5．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知（且）是定义域内的奇函数. (1)求的值； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据奇函数定义，即可求解参数值； （2）利用函数单调性，将函数不等式问题转化为自变量大小关系问题，即可求解； 【详解】（1）（方法一）易知的定义域为，关于原点对称. 因为是定义域内的奇函数，所以， 则， 得. （方法二）易知的定义域为，关于原点对称. 因为是定义域内的奇函数，所以， 解得. 经检验，当时，是奇函数，故. （2）由（1）可知，. 由，，解得， 则是上的增函数. 由，得. 因为是上的增函数，所以，即. 令，易得是上的增函数，且， 所以由可得，则原不等式的解集为. 【考点10：求指数函数的最值】 1．（2025高二上·云南·学业考试）函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性求出最大值. 【详解】函数在上单调递增，当时，. 所以函数在上的最大值为6. 故选：C 2．（25-26高二下·云南昭通·期末）函数在的最小值与最大值的和为（   ） A．e B．1 C． D．3 【答案】D 【详解】由题知函数在上单调递增， 所以， 则最小值与最大值的和为3． 3．（2026高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意结合指数函数单调性分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 且在上单调递增，可得， 所以函数的最小值为1. 故选：B. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值和最小值． 【答案】最小值为1，最大值为2 【分析】解二次不等式可得，结合指数函数单调性可得，换元令，结合二次函数性质求最值即可. 【详解】因为，即， 可得，解得， 令，可得， 当，即时，取到最小值1； 当，即时，取到最大值2. 【考点11：根据指数函数的最值求参】 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【分析】先利用二次函数的最小值为 0，得到指数的最小值为，再根据指数函数的单调性，由 解出. 【详解】是增函数，所以的最小值由指数的最小值确定， 因为，所以的最小值为（当时取得）， 因此函数的最小值为，又已知的最小值为1， 所以，解得． 故选：A. 2．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 3．（25-26高一上·海南·期末）已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】讨论、，结合指数函数的单调性求区间最值，再由已知列方程求参数值，进而求函数值. 【详解】当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，即，又，解得， 此时函数，所以， 当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，方程无解. 综上，. 故选：B 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，对任意，以为边长均可构成三角形，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设，则，进而根据并结合极限思维得，最后解不等式并讨论时成立即可得答案. 【详解】解：因为函数为上的单调递增函数， 所以，当时，， 不妨设，则， 因为对任意，以为边长均可构成三角形， 所以，根据两边之和大于第三边得：， 因为， 所以，考虑到极端情况，无限接近，则，且无限接近2，无限接近, 所以，解得， 当时，对任意，，满足，故恒成立， 又因为， 所以，实数的取值范围是. 故选：B 5．（2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，分类讨论函数值情况，根据最值定义，求解不等式即可. 【详解】当时，函数为，该函数在上单调递增， 因此此时函数最大值为，当时，函数为， 若，则函数在上单调递增， 此时函数不存在最大值， 当时，函数在上单调递减， 则此时，取不到最大值， 此时若该函数有最大值，应有，解得. 【考点12：指数函数的应用】 1．（25-26高一上·河南郑州·期末）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，解得．． 2．（25-26高一上·重庆·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令、求出，再令即可求出. 【详解】当时，；当时，，即， 当时，，即后，还剩64%的污染物， 所以前消除的污染物的占比为. 故选：B. 3．（25-26高一上·山西吕梁·期末）汾酒产自山西省汾阳市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存年的此种品牌酒整箱的收藏价值为元，则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】根据求出的值，再求即可. 【详解】由题意可得，即， 则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为元. 故选： 4．（25-26高一上·天津·期末）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______小时，才能开车.（精确到1小时） 【答案】6 【分析】首先设至少经过小时才能开车，依题意得到，再根据指数函数的性质确定的范围. 【详解】设至少经过小时才能开车，此时血液中的酒精含量为， 令，即， 因为在上单调递减， 当时，；当时，； 所以满足要求的最小正整数为，即至少要经过个小时才能开车. 故答案为： 5．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）目前某县有100万人，年后为万人．如果年平均增长率是，请回答下列问题： (1)写出关于的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万（精确到1年）． （参考数据：） 【答案】(1) (2)112.7万 (3)大约16年后该县的人口总数将达到120万 【分析】（1）利用指数函数模型，写出关于的函数解析式； （2）令，代入（1）中的解析式，计算即得； （3）利用（1）中的解析式，结合题意列方程，借助于对数运算求解. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 故关于的函数解析式为； （2）当时，． 故10年后该县约有万人． （3）设年后该县的人口总数为120万， 即，即， 两边取常用对数，得， 则． 故大约16年后该县的人口总数将达到120万． 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）下列运算正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分指数幂的性质、运算法则求解． 【详解】对，，故错误； 对，，故错误； 对，由分数指数幂的定义得，故正确； 对，，，故错误，故选． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意分指数幂的性质、运算法则的合理运用． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型的是（    ） A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B．我国人口年自然增长率为，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系 D．信件的邮资与其质量间的函数关系 【答案】B 【分析】依次判断四个选项中的函数模型，即可判断得到答案. 【详解】竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面， 信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系，A错； 我国人口年自然增长率为， 这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系，B正确； 如果某人内骑车行进了， 那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系是反比例函数关系，C错； 信件的邮资与其质量间的函数关系是一次函数关系，D错. 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得、两个数一个小于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】解：令，解得、，根据二次函数图象可知，、两个数一个小于，一个大于且小于， ①当，时，则不成立； ②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图象为A. 故选：A 4．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域. 【详解】令， 则， 所以 又在上单调递增， 所以 即 故选：B. 5．（25-26高一上·山东济南·期中）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的单调性，再利用函数的单调性即可解出不等式的解集. 【详解】函数的图象如图， 显然函数在上单调递减， ， ， 解得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，利用函数的单调性解函数值不等式是关键，是基础题. 6．（25-26高一·河南周口·阶段检测）已知，则a,b,c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性比较大小，即可得结果. 【详解】因为为单调减函数，所以 因为为单调减函数，所以，即 故选：B 【点睛】本题考查根据指数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 【答案】AC 【分析】运用指数函数概念可解. 【详解】若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则满足， 解得或. 故选：AC． 8．（25-26高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝2|x－1|的图象与性质进行了探究，得到的下列四个结论中正确的有（    ） A．该函数的值域为(0，＋∞) B．该函数在区间[0，＋∞)上单调递增 C．该函数的图象关于直线x＝1对称 D．该函数的图象与直线y＝－a2(a∈R)不可能有交点 【答案】CD 【分析】画出函数f(x)的图像，依次分析各个选项即可判断正误﹒ 【详解】解析画出f(x)＝2|x－1|的图象如图： 对于A，根据f(x)的图象可知，函数f(x)的值域为[1，＋∞)，A错误； 对于B，根据f(x)的图象可知，函数f(x)在区间[0，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，B错误； 对于C，根据f(x)的图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确； 对于D，因为y＝－a2≤0，所以函数f(x)的图象与直线y＝－a2(a∈R)不可能有交点，D正确． 故选：CD． 三、填空题 9．（25-26高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性求解不等式即得. 【详解】不等式，化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 10．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知表示不超过x的最大整数，且关于x的方程(且)在上有解，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】根据指数函数性质及的值进行分析求解． 【详解】∵，∴不可能是方程的解， 则，若，则，不符合题意， 因此， 时，，，，不合题意； ，，，，， 时，，，，， 时，，，，， ，则，． 又，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，考查指数函数的性质，解题关键是正确理解新定义函数，解题方法根据新定义分类讨论． 四、解答题 11．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数 (1)求的定义域，并求，，，的值； (2)观察（1）中的函数值，写出的单调性和奇偶性，并选择其中一个性质加以证明. 【答案】(1)定义域为，，，，； (2)在上单调递减，为奇函数； 奇偶性证明：定义域为， ， 故在定义域内为奇函数； 单调性证明：，且， 则 ， 因为，所以， 因为，所以，故， 所以，即， 故在上单调递减， 同理可证在上单调递减，故在上单调递减. 【分析】（1）解不等式，得到定义域，并求出各函数值； （2）写出的单调性和奇偶性，并用定义法证明函数单调性和奇偶性. 【详解】（1）令，解得，故定义域为， ，，， ； （2）略 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，且在上的最小值为． (1)求的解析式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明：由， 知 ，即得证． 【分析】（1）利用分类讨论，结合指数函数判断复合函数单调性，即可求得参数的取值； （2）利用不等式的放缩思想，转化为等比数列求和即可得到证明. 【详解】（1）因为当时，恒为常数，与已知矛盾，所以． ， 当时，，可得为减函数，此时在上的最小值为， 与在区间上的最小值为矛盾； 当时，，可得为增函数，此时在上的最小值为， 依题意，解得，满足， 故． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 指数与指数函数 【考点1：指数与指数幂的运算】 2 【考点2：指数函数的概念】 3 【考点3：指数函数的图象】 4 【考点4：指数函数的定义域】 4 【考点5：指数函数的值域】 5 【考点6：判断指数函数的单调性】 6 【考点7：由指数函数的单调性求参】 6 【考点8：比较指数幂的大小】 7 【考点9：由指数函数的单调性解不等式】 7 【考点10：求指数函数的最值】 9 【考点11：根据指数函数的最值求参】 10 【考点12：指数函数的应用】 10 【考点1：指数与指数幂的运算】 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 4．（25-26高二下·福建福州·期末）（1）求值：； （2）解方程：． 5．（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【考点2：指数函数的概念】 1．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设函数，则的值为______． 2．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 3．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 4．（2026·湖南长沙·三模）若为指数函数，且，则______ 5．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 【考点3：指数函数的图象】 1．（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 5．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点4：指数函数的定义域】 1．（第二章指数函数专题二指数函数微点1指数函数（一）【基础版】）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 4．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________． 5．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 【考点5：指数函数的值域】 1．（2026高三·全国·专题练习）集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________． 3．（25-26高二下·北京延庆·期末）函数的值域为__________． 4．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数，则函数的值域为____________． 5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）（1）计算； （2）求函数的值域． 【考点6：判断指数函数的单调性】 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． 2．（2026·天津河西·一模）设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）“”是函数在R上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高三·全国·一轮复习）下列函数中，在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【考点7：由指数函数的单调性求参】 1．（25-26高一上·广东汕头·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西宜春·期末）已知且，函数，在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【考点8：比较指数幂的大小】 1．（25-26高二下·江西九江·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京朝阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【考点9：由指数函数的单调性解不等式】 1．（25-26高二下·河北邢台·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津和平·期末）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 . (1)证明函数为奇函数； (2)解关于的不等式 . 4．（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 5．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知（且）是定义域内的奇函数. (1)求的值； (2)若，求不等式的解集. 【考点10：求指数函数的最值】 1．（2025高二上·云南·学业考试）函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 2．（25-26高二下·云南昭通·期末）函数在的最小值与最大值的和为（   ） A．e B．1 C． D．3 3．（2026高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值和最小值． 【考点11：根据指数函数的最值求参】 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 2．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 3．（25-26高一上·海南·期末）已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，对任意，以为边长均可构成三角形，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 【考点12：指数函数的应用】 1．（25-26高一上·河南郑州·期末）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山西吕梁·期末）汾酒产自山西省汾阳市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存年的此种品牌酒整箱的收藏价值为元，则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（25-26高一上·天津·期末）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______小时，才能开车.（精确到1小时） 5．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）目前某县有100万人，年后为万人．如果年平均增长率是，请回答下列问题： (1)写出关于的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万（精确到1年）． （参考数据：） 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）下列运算正确的是 A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型的是（    ） A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B．我国人口年自然增长率为，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系 D．信件的邮资与其质量间的函数关系 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则的图象是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东济南·期中）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一·河南周口·阶段检测）已知，则a,b,c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 8．（25-26高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝2|x－1|的图象与性质进行了探究，得到的下列四个结论中正确的有（    ） A．该函数的值域为(0，＋∞) B．该函数在区间[0，＋∞)上单调递增 C．该函数的图象关于直线x＝1对称 D．该函数的图象与直线y＝－a2(a∈R)不可能有交点 三、填空题 9．（25-26高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为______. 10．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知表示不超过x的最大整数，且关于x的方程(且)在上有解，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题 11．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数 (1)求的定义域，并求，，，的值； (2)观察（1）中的函数值，写出的单调性和奇偶性，并选择其中一个性质加以证明. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，且在上的最小值为． (1)求的解析式； (2)证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $