专题3.4 导数在函数中的其他应用【6类必考点分类集训】-2027年高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学讲义围绕“导数在函数中的其他应用”专题，系统覆盖证明不等式、恒成立与能成立问题、函数零点、图象性质及双变量问题等六大高考核心考点，按从基础应用到综合创新的逻辑架构组织知识点。通过考点梳理、方法指导与真题训练相结合的教学环节，帮助学生构建导数应用的解题框架，突破难点问题。 资料采用分层递进教学策略，如在证明不等式时引导学生构造辅助函数分析单调性，培养数学思维与推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级练习，配合典型例题精讲，有效提升学生用数学语言表达和解决复杂问题的能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

专题3.4导数在函数中的其他应用 。思维导图 导数中的不等式证明的解题策略 (1)一般地，要证x)>g)在区间(a,b)上成立，需构造辅助函数)=)一8)，通过分析F)在端点处的 函数值来证明不等式.若Fa)=0,只需证明Fx)在(a,b)上单调递增即可；若F)=0,只需证明Fx)在(a, b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题， 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题 ②a≥fx)恒成立一→u≥f(x)=；a≤f(x)恒成立一a≤f(x)mi a≥f(x)能成立←→a≥f(x)m；a≤f(x)能成立←→a≤f(x)m (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分 类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内 导数在函数中 的函数值不满足题意即可。 的其他应用 双变量的恒（能）成立问颗的求解方法 “双变量”的恒（能）成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换 有 对于某一区间1 (1)yxe1.fx)>g(x)←→f(r)n>g(x)= (2x∈，3x3∈1.民x)>g(x)→f(x)m>g(r)m (3)3x∈1.Vx∈1.fx)>g(x)f(x)n>g(x)m 函数零点（个数）问题的的求解方法 (1)构造函数法：构造函数g),利用导数研究g)的性质，结合g)的图象，判断函数零点的个数 (2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图家与性质确定函数有多 少个零点 (3)数形结合法，函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解 导数中的含参函数零点（个数）问题 利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法： (1)利用导数研究函数)的最值，转化为)图家与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决 (2)分窝参变量，即由x)=0分离参变量，得ag),研究)=a与)=g)图象的交点问题 与函数零点有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊 点判断面数的大致图家，进而求出参数的取值范固.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况 ★题型分类 【考点1：利用导数证明不等式】… 2 【考点2：利用导数研究不等式恒成立问题】 【考点3： 利用导数研究能成立问题】 .6 【考点4：利用导数研究函数的零点】 .7 【考点5：利用导数研究函数图象及性质】 9 【考点6：利用导数研究双变量问题】10 【考点1：利用导数证明不等式】 1.（2627高-上全图课堂例意)已知h>0,求证：（0+>1+10h f(x)=In(1-x) 2.(25-26高三上北京丰台期中)已知函数1 求曲线=在点0，o)处的切线方程： 2求证：当x(n,0)时，f()>-x f(x)=e-2x- 3.(2026高三全国专题练习)已知函数 ，其导函数为( 求（闪的单调区间； 2)证明： f'(x)+x-lnx≥0 f(x)=2e-ax-l,a∈R 4.(26-27高三上·浙江开学考试)已知函数 (1)讨论函数(x)的单调性： 2若x2,求证：24-2- 4 5。(2026河北衡水模拟预测)已知函数f树=心+中 1 e一在x=1处取得极值e (1)求a,b: (2)证明：1>0时，(t+)f()<t. 【考点2：利用导数研究不等式恒成立问题】 1.(25-26高二下·安徽芜湖阶段检测)已知不等式x-x-lx≥0对任意x>0恒成立，则实数a的取值范 围为() A.[L,+o) c. 。-goj 2.《基础点2利用导数研究不等式)已知爵数儿)=c(2x-),若)2-大在，)恒成立，则k 的取值范围为() A.（-0,-c g.（-w,eUe-可c.[o,u+o) D.,o) 3.(2026河南南阳模拟预测)若对x>0,关于x的不等式x+r+2≥0恒成立，则实数a的最小值为_ 4.(26-27高三上河北衡水阶段检测)已知函数f)=hx+。-2,a∈R (1)讨论f(x)的单调性. (2)若对任意x∈(0，+∞)都有f()>0恒成立，求a的取值范围. 5.(2026宁夏吴忠三模)已知函数)(x+)e-a 当=0时，若曲线'=f儿冈在点P处的切线与‘错平行，求点P的坐标， 2若f(2-2-4红 恒成立，求a的取值范围。 【考点3：利用导数研究能成立问题】 1,(24-25高二下安徽阜阳期中)若不等式x2-2血x+m≤0有解，则实数m的取值范围为（) A.[l+) B.[e,+o) c.（-∞，- D.（,e 2.(24-25高二下江西九江期末)已知函数 ()=xosx-sim,若存在e(Q,2网，使得f(因51成立， 则实数的最小值是() A.-π B.2π C.-1 D.1 3.(2425商=下四川广元期末)已知函数()号式-2， 口求函数儿冈的图象在=3处的切线方程： 2活)5m在G]上有解，求m的取值范国。 f(x)=ae*-x-2 4.(25-26高二下河北张家口阶段检测)已知函数 考儿在D,上单调递增。求“的取值范用， 2喏关于*的不等式/小x-1 有解，求的取值范围. 5.(2026陕西铜川r模拟预测)已知函数f()=h(2x+)-4ae+(a-2)x(aeR) 当a=0时，求f(的最大值： P-对院文装任实数有刊s0 ，求的取值范围. 【考点4：利用导数研究函数的零点】 1.(26-27高三全国一轮复习)已知函数1 国=-2x+1则y=f)-x在1,2）上零点的个数为 ,则 在 () A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2526高二下福建厦门阶段检测若西数网-3x+20在区间0,2列内有两个季点.则实数“的 在区间 取值范围是() A.(亿，+o) B.(2,to) c.(02) .(0) 4 3.(2026高二·全国专题练习)已知f(x)=a3-bx+4在x=2处取得极小值3： 1求（四在x=3处的切线方程： 2)若eR，讨论8()=f() 零点的个数. 4.（2627高三上重庆阶段检测)已知函数f)=r-(2a+x+ahx, 当a=1时，讨论（的单调性， m引当9时，日左传2如+刊上右H汉有个受点 5。(2527有三上院区成则阶段检测已知函数)号 时论函数的单调区间： 2若西数8()=f()a-(aeR)有且仅有一个季点，求实数“的取值范园 【考点5：利用导数研究函数图象及性质】 =e(2x-1) 1.(24-25高二下甘肃定西期中)函数 的大致图象是() 2 1 1/ 2 3-2 8.点20节、 -170123x 12 1 D 2.(2526高二下江苏南京期末)函数（网=6-4x的大致图象是（入》 3.(2526高一上山东临行期末)函数国=(6-：-的大致图象为（) D. 4.(2026:辽宁抚顺三模)函数/)= e可的图象大致为() 5。(2526商三上广西南宁阶段检测)函数/)=(《+s血)十的图象大致为（) 0. 【考点6：利用导数研究双变量问题】 1.(26-27高三上陕西榆林开学考试)已知函数 f)=e“-lhx(a>0)有两个零点，，且< (1)求实数a的取值范围： 2)证明：+书>2e 2.（2026江苏扬州-模拟预测)已知函数()=ln(m)小-x(m>0) )若(x)s0 恒成立，求m的取值范围： ②四芳（因有两个不同的零点，西，证明+5>2. 3.(2025陕丙模拟预测)已知aeR,国数f()-名+a-2)r+hg()=2ahx ()若曲线'=与曲线”=8()在它们的交点 9处的切线互相垂直，求a,b的值； 1,c F(x)-F()>a (2)设F(x)=∫"(x-8(x),若对任意的x为∈(0，+∞)，且x≠都有- ,求a的取值范围. 4.（2526高二下河南三门峡期末)已知数-=0-四)-hx(acR). 1 (1)当a=2时，证明：f)≥4 2若因存在两个极值点，气.且>5， (i)求实数a的取值范围： f(x)-f()<1-4a (ii)证明：x-x2 4 f(x)=e*-a(x-1) 5.(2027高二全国专题练习)已知函数 若a=c,求证：f()0, 2时论西数儿因的零点个数： 冷8()-f)+(x-),若，∈(0,1)，求证：lg()-8(s2国-西 。现学现测 一、单选题 1.(2026高三·全国专题练习)已知函数f:=ac+cosx,若f'()≥0在R上恒成立，则实数a的取值范 围是() A.(-1,) B.[l,+o) C.（-l,+oo) D.（-1,0) 2.(26-27高三上重庆沙坪坝阶段检测)设∫'(x)是函数f)的导函数，若对任意实数x,都有 V-f+f>0,且f0=2020e,则不等式)-2020e≥0 的解集为() A.[1,+) B.（-∞， C.(0,2020] D.(1,2020] 3.(2526高二上江苏泰州期末)不等式红-2x+)<m(-2im(2-的解集为（) A（0,-U2,+w) B.(,2) c.（2) D.0,2) 4.(2526高二上全国课后作业)已知函数f()=-x-,若f似s0,则o的取值范围是() A.（-o,©] B 0,-20」 c.(Le] 。[0 5.(2627高三上江苏苏州阶段格测)已知商数（冈=r+k1x,对任意的5>>0，有 f(x)-f(>2022 x2-X 恒成立，则实数k的取值范围为() A.[0,+o) B c. 10112 0.2,to∞ 6.(25-26高二下河南商丘·期末)已知定义在R上的连续偶函数y=f(x)的导函数为y=f(x),当x>0 时，了+f四<0，且f2=-3,则不等式f0x-)<2x°的解集为（) -6 a（侵m c(侵o 。（G》 二、多选题 7.(2026湖北模拟预测)已知函数f)2x-e ，下列说法正确的是() A.f(因在R上单调递塔 B儿闲行在唯-的零有5，且引 C.过原点可作曲线的两条切线 D.若)“有两个不等实根，则k>0 8.(25-26高三上河北阶段检测)已知函数y=f)在R上可导且f(0)=1,其导函数f'(,满足 -2四<0，设晒数g)= x-1 e2x，下列结论正确的是() A.函数8(x)在，+o)上为单调递增函数 B.x=1是函数8()的极大值点 C.函数(x)至多有两个零点 D.≤0时，不等 f(x)<e2 恒成立 三、填空题 9。（2526高二下河南焦作期末)已知函数f()=1-x+-。 2-3,若不等式f(a+a)sf(2a+2)成 立，则实数a的取值范围为 10.（25-26高一全国课后作业)已知函数了=x+,8)=x-h,若对任意的∈。l小，存在6[ 上山，使得g(5)5f)成立，则实数a的取值范国是 e 四、解答题 f(x)=x-1-alnx,aER 11.(25-26高三上辽宁朝阳·阶段检测)己知函数 (1)a=1时，求函数 (x) 的单调区间： 2)若f()≥0 恒成立，求“的值 12,(25-26高三下山东青岛阶段检测)已知函数f)-e2x- x-1 求儿冈的单调递猫区间： 2求出方程f(x=a(a∈R) 的解的个数， 专题3.4 导数在函数中的其他应用 【考点1：利用导数证明不等式】 2 【考点2： 利用导数研究不等式恒成立问题】 5 【考点3： 利用导数研究能成立问题】 8 【考点4： 利用导数研究函数的零点】 12 【考点5： 利用导数研究函数图象及性质】 16 【考点6：利用导数研究双变量问题】 20 【考点1：利用导数证明不等式】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求证：． 【答案】证明：由于对正数和，可得， 故，则， 从而， 两端次方得． 【分析】由对正数和，证得，进而得到，两端次方，即可得证. 【详解】略. 2．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2) 证明：令， 则，在上单调递减， ，即当时， 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证. 【详解】（1）定义域为，，，又， 在处的切线方程为. （2）略 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，其导函数为. (1)求的单调区间； (2)证明：. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明：由（1）令， 所以，令， 则在上恒成立， 所以函数即在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，即. 【分析】（1）利用导数工具研究导函数的值的正负情况即可得解； （2）利用导数工具二次求导研究函数的单调性即可得证. 【详解】（1）由题函数定义域为R，，令， 所以当时，， 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）略 4．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，求证：． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． (2)由， 要证， 即证， 即证， 令，则， 易知在上单调递减，在上单调递增，即， ，得证． 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论和求出函数的单调区间即得. （2）不等式可化为：，通过平方，构造函数，通过求导确定其单调性，求得最值，即可求证. 【详解】（1）， 当时，在上单调递增 当时，， 当，在单调递减， 当，在单调递增． 综上：当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）略 5．（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 【答案】(1) (2) 时，， 令，， 则，故在上单调递减， 则， 所以，，证毕. 【分析】（1）求导，根据，得到方程组，求出，检验后得到答案； （2）作差得到，构造，，求导，得到函数单调性，求出，得到. 【详解】（1）， 故且， 解得， 故，， 令得，令得， 所以在处取得极值，满足要求； （2）略 【考点2： 利用导数研究不等式恒成立问题】 1．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 2．（基础点12利用导数研究不等式）已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先依题意分离参数，再构造函数并探讨其最值，进而即可求出的取值范围． 【详解】由在恒成立， 则，，      令，， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为． 故选：D． 3．（2026·河南南阳·模拟预测）若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为__________ 【答案】 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，所以实数的最小值为. 故答案为： 4．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 5．（2026·宁夏吴忠·三模）已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【详解】（1）当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. （2）， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 【考点3： 利用导数研究能成立问题】 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 2．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是. 故选：A 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程的求解方式求切线方程即可； （2）根据题意，利用导数求函数在的最小值即可. 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 4．（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，参变分离，再求函数的最值即得； （2）参变分离，构造新函数，进而求导分析单调性求函数的极值结合条件即得. 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 5．（2026·陕西铜川·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若对定义域内任意实数都有，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性得到函数的最值. （2）先利用端点效应猜想的取值范围再利用导数研究函数的单调性，求证出猜想的正确性. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （2）因为恒成立，所以，得， 下面证明：当时，． 证明如下：因为在上单调递减， 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又因为，所以时，． 综上，的取值范围为． 【考点4： 利用导数研究函数的零点】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则在上零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令，求导，得到函数单调性，结合特殊点函数值和零点存在性定理可得答案. 【详解】令，，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，． ∴，． ∴在内有一个零点，在内有一个零点． ∴在内有两个零点． 2．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 3．（2026高二·全国·专题练习）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2) 令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）略 4．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减， (2) 证明：易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 【分析】（1）利用导数计算研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性及零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）略 5．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为， (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得与有且仅有一个交点，结合的单调性分析的取值情况，即可得到不等式，解得即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当或时， 的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）令，即，依题意可得与有且仅有一个交点， 因为当时，当时，，此时， 当时，，所以； 当时，又， 当时，，此时， 当时，，所以； 所以或，解得或； 所以实数的取值范围为. 【考点5： 利用导数研究函数图象及性质】 1．（24-25高二下·甘肃定西·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，分析函数的单调性可排除CD；结合图象与轴交于点可排除B，进而判断即可. 【详解】由，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故CD错误； 当时，，所以函数的图象与轴交于点，故B错误； 令得，所以函数只有1个零点， 当时，，当时，， 综上所述，函数的图象为A． 故选：A. 2．（25-26高二下·江苏南京·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，进而可得出函数的图象. 【详解】解：因为，所以， 令，则， 令，解得，且时，，时，， 所以时，单调递减，时，单调递增，且，，， 所以在上存在，使得，又，令，则有2个实数根， 所以当或时，，当时，， 所以函数在和上是增函数，在上是减函数，且，，结合选项得出A选项符合函数的大致图象. 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性与极值是解决本题的关键．难度中等． 3．（25-26高一上·山东临沂·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析函数值符号、零点和图象变化趋势判断即可. 【详解】令，则或，解得或， 故函数与轴的交点为， 又，故，该函数不为奇函数，排除A， 当时，，，排除B， 当时，增长速度远快于，故的图象更倾斜,故C选项图象符合题意. 故选：C. 4．（2026·辽宁抚顺·三模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 5．（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到的奇偶性，排除CD，再利用导函数得到时，恒成立，排除A，选出正确答案. 【详解】的定义域为R， 且， 所以为偶函数，排除CD； 令，， 则恒成立， 故当时，， 又在上恒成立， 所以在上恒成立，排除A， B选项正确., 故选：B 【考点6：利用导数研究双变量问题】 1．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知函数（）有两个零点，，且． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得， 所以， 设，则，， 设，， ， 所以在上单调递增，所以， 所以， 又由于，所以， 所以． 【分析】（1）先将原函数的零点方程作同构变形，借助严格单调的辅助函数消去外层，把原问题转化为有两个不同解的问题，再通过求导分析的单调性与最大值，结合两函数图象的交点数确定的取值范围. （2）先通过已知等式变形并换元简化式子，再构造函数利用导数判断单调性证明不等式，最后结合的范围得出的范围. 【详解】（1）的定义域为， 函数有两个零点， 即方程有两个解． 因为，所以恒大于0，所以恒大于0，可得， 设，， 则原方程可化为， ， 则在上单调递增， 所以，即． 设，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，且恒大于0， ， 画出的图象如图所示， 要使有两个解，即与的图象有两个交点， 由图象可得的取值范围是. （2）略 2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 【答案】(1) (2) 不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有. 在的范围内定义函数. 则，所以单调递增. 这表明时，即. 又因为，且和都大于， 故由在上的单调性知，即. 【分析】（1）直接用导数求出的最大值即可； （2）构造并证明时，并对该不等式代入特殊值即可得证. 【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而. 故，从而当时，当时. 故在上递增，在上递减，所以具有最大值. 所以命题等价于，即. 所以的取值范围是. （2）略 3．（2026·陕西·模拟预测）已知，函数. （1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值； （2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围． 【答案】（１）,或；（２）． 【详解】试题分析：（１）由得可得的值，由在上得，则在上可得等式，求得的值；（２）本题可转化为在上是增函数，求转化为一元二次不等式恒成立问题，可得的取值范围． 试题解析：（1）,依题意有 ,且,可得,解得,或. （2）. 不妨设, 等价于. 设,则, 可得,依题意有, 对任意, 有恒成立. 由,可得. 考点：导数的几何意义；构造函数． 4．（25-26高二下·河南三门峡·期末）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若存在两个极值点，，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)的定义域为， 当时，， ．令，则， 当时，；当时，． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 所以， 所以． (2)（i）． （ii）由（i）可得，， ， 所以． 要证， 只需证 即证． 令， 只需证， 令，则， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，即．所以． 【分析】（1）代入，对求导，判得单调性求出最小值为，从而证得； （2）（i）把存在两个极值点，，且，转化成在上有两个不等正根，利用根的分布即可得的取值范围； （ii）由根与系数的关系得和，代入化简，再令，构造函数证明即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为，所以， 因为存在两个极值点，，且，所以在上有两个不等正根， 即有两个不等正根，令, 则，即，解得． 故实数的取值范围为 （ii）略 5．（2027高二·全国·专题练习）已知函数 (1)若，求证：； (2)讨论函数的零点个数； (3)令，若，，求证：． 【答案】(1)若，，， 当时，，递减；当时，，递增， 所以函数在处取得极小值也是最小值. 因此，得证． (2)当时，无零点；当或时，有唯一的零点；当时，恰有两个零点． (3)，当时，所证不等式显然成立， 当时，由对称性，不妨设， 令，， 即证：，其中，， 所以，下面证明， 即证，.令， 设，则， 所以函数在上单调递减，因此，即，所以. 当时，， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以函数在处取得极小值也是最小值，所以， 即对任意成立，所以 当时，， 因为函数在上单调递增， 所以. 因此当时，. 综上所述，，成立，即成立，因此原不等式成立. 【分析】（1）由函数的导数判断函数的单调性及最小值，进而可证明不等式； （2）根据函数的导数分三类讨论，其中还要根据函数的最小值的正负再分三种情况讨论并结合零点存在性定理判断可得； （3）先由条件得，再将不等式转化为，再设，，因此只需证明，再结合两个不等式，放缩可得所证不等式. 【详解】（1）略 （2）因为函数，定义域为，. ①时，，在上递增，注意到，，，所以在上有唯一的零点； ②时，在上无零点； ③时，在上递减；上递增， 所以； （ⅰ）当时，，所以恒成立，无零点； （ⅱ）当时，有唯一的零点； （ⅲ）当时，且时，，当时，， 所以在和上各有一个零点，共两个零点． 综上：（ⅰ）当时，无零点；（ⅱ）当或时，有唯一的零点； （ⅲ）当时，恰有两个零点． （3）略 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，参变分离得在上恒成立，然后利用正弦函数的性质求解最值即可求解. 【详解】由得， 由题意得在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以恒成立，故实数的取值范围是． 故选：B 2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C．(0，2020] D．(1，2020] 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数可得为单调递增函数，将原不等式化为，根据单调性可解得结果. 【详解】构造， 则 ， 所以为单调递增函数， 又，所以不等式等价于等价于，所以，故原不等式的解集为， 故选：A． 【点睛】本题考查了构造函数并利用导数得到函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，考查了转化化归思想，属于中档题. 3．（25-26高二上·江苏泰州·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式等价于，构造函数，求导，确定单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】由， 即，得， 设，则，所以在上单调递减， 故由得， 所以，解得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：同构法解不等式 将不等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将不等式整理为，从而构造函数，不等式化为，由的单调性解不等式. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，构造函数，借助导数研究其单调性即可得解. 【详解】等价于， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 所以只需，即． 故选：B. 5．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，对任意的，有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知在上单调递增，进而得在上恒成立，再根据独立参数法求解最值即可得答案. 【详解】解：∵对于任意得有， ∴ ∴在上单调递增， ∵ ∴在上恒成立， ∴，即在上恒成立，， ∵ ∴，即实数的取值范围为. 故选：D. 6．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由变形得，即可构造，结合的奇偶性可得是上的奇函数且在上单调递减，则可对的符号分类讨论，可将化为关于的不等式，最后结合单调性求解即可 【详解】当时，，∴， 令，∴在上单调递减， 又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减， ∵，∴， 当，即时，，∴； 当，即时，，∴，则. 故不等式的解集为. 故选：A. 二、多选题 7．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．存在唯一的零点，且 C．过原点可作曲线的两条切线 D．若有两个不等实根，则 【答案】AB 【分析】利用导数研究函数的单调性与切线方程，以及函数零点存在性定理，对选项一一验证，从而得到正确结果. 【详解】选项A：，在上单调递增，故正确； 选项B：，， 存在唯一的零点，且，故正确； 选项C：设切点为， 的切线方程为， 代入原点得，解得，切线只有一条，故不正确； 选项D：若与有两个交点， 因为与相切的直线只有一条，且此切线斜率为， 当时，与有两个交点，故不正确. 故选：AB. 8．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知函数在上可导且，其导函数满足，设函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在上为单调递增函数 B．是函数的极大值点 C．函数至多有两个零点 D．时，不等式恒成立 【答案】BCD 【解析】根据，求导，再根据，判断正负，得到的单调性再逐项判断. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以当时，，，则递减； 当时，，，则递增； 所以当时， 取得极大值，，当时，无零点，无零点；当时，有一个零点，有一个零点；当时，有两个零点，有两个零点，故函数至多有两个零点； 当时，，，所以不等式恒成立， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是发现的导数，与条件的关联，得出函数的单调性，进而研究函数的极值，最值以及零点和恒成立问题. 三、填空题 9．（25-26高二下·河南焦作·期末）已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】用导数判断的单调性，根据单调性解不等式. 【详解】由得，， 所以在上为减函数， 由得， 解得或. 故答案为： 10．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，若对任意的x1∈[]，存在x2∈[]，使得成立，则实数a的取值范围是____． 【答案】或． 【分析】把对任意的x1∈[]，存在x2∈[]，使得成立转化为时， ，所以只需求函数和的最大值即可解决问题. 【详解】由题意得对任意恒成立， 所以函数在上单调递减，所以当时，； 所以对任意的，存在，使得成立可转化为时，有解， 即在上有解，即在上有解， 令，，则只需求， 因为函数图象的对称轴为，而恰为区间的中点， 所以，所以只需，即， 所以或， 故答案为：或． 四、解答题 11．（25-26高三上·辽宁朝阳·阶段检测）已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）由得到，令导数大于零、小于零、，即可求出单调区间； （2）先由题意得的最小值大于等于零恒成立.对进行分类讨论，当时，易知当时，，不符合题意；当时，，转化为恒成立；令，用导数的方法研究其单调性与最值，即可求出结果. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，. 令，得；令，得， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，函数的定义域为. 当时，在上单调递增， 又，∴当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 由恒成立，得恒成立. 令，， 当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 12．（25-26高三下·山东青岛·阶段检测）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求出方程的解的个数． 【答案】(1)， (2) 当时，与没有交点，则方程的解为个； 当或或时，与有个交点，则方程的解为个； 当或时，与有个交点，则方程的解为个． 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可列出、、的关系表，从而得到函数的单调递增区间； （2）问题转化为函数的图象与直线的交点个数，根据（1）分析函数的取值情况，即可作出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为． ．令解得或． 则、、的关系列表如下： 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 的单调递增区间为． （2）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数． 在（1）中可知：在区间上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值， 令，得． 当时，的图像过点． 当时，，但始终在轴上方； 当从的左侧无限近于时，；当从的右侧无限近于时，； 当时，；当时，． 根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示， 当时，与没有交点，则方程的解为个； 当或或时，与有个交点，则方程的解为个； 当或时，与有个交点，则方程的解为个． 学科网（北京）股份有限公司 $