专题六 相似三角形中的动点问题（六大题型） 专项练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形中的动点问题 【知识解析】 知识点01 相似三角形动点问题主要涉及的知识 1. 相似三角形判定与性质：需掌握“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”等判定定理；利用相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等性质，建立线段、角度关系。 2. 动点分析：明确动点运动路径、速度和时间关系，用含时间的代数式表示相关线段长度，进而建立相似三角形中边的比例方程，解决线段长度、面积最值等问题。 3. 数学思想运用：运用分类讨论思想，考虑动点不同位置导致的多种相似情形；结合函数思想，建立变量间函数关系，同时借助方程思想求解未知量。 【专题练习】 【题型1 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 【例1】如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 【对应练习】 1．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：设运动时，以，，为顶点的三角形与相似，则，，． ①当点与点对应时，有， ，， ， ， ． ②当点与点对应时，有， ，， ， ， ． 当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是或． 2．如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过_______秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 3．如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 【答案】(1)4或6 (2)2或5 【分析】（1）先根据点坐标得到，，由运动速度表示线段：，，运动范围．利用四边形面积等于面积减去面积，建立一元二次方程求解； （2）两个直角三角形直角对应相等，分两种对应边成比例情况分类讨论，列方程求出t． 【详解】（1）解：， ， ． 由题意得：，， ． 四边形的面积， ， 整理得：， 因式分解得， 解得，． 两个解均满足． 的值为或． （2）解：， 与相似分两种情况： ①当时， ， 即， 化简得，解得． ②当时， ， 即， ， 解得． 、都符合题意， 的值为或． 【题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 【例2】如图，在中，，，．过点作直线，点是直线上一动点（点在点右侧），连接，过点作，使，连接，当最短时，则的长度为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】设，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质得到，在直线上点右侧取点，使，点在过点且定夹角的射线上运动，当时，最短，过点作于点，证明四边形是矩形，过点作的延长线于点，四边形是矩形，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：设，过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在直线上点右侧取点，使， ， 点在过点且定夹角的射线上运动， 当时，最短， 过点作于点， ， 四边形是矩形， ， 过点作的延长线于点， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ． 【对应练习】 1．如图，在矩形中，，，E是边上的动点，若，则的长是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】证明，得到，，最后根据求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 2．如图，矩形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，，过点作于点，当时，的长为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质可得，过点E作于点F，则，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到，根据等腰三角形三线合一计算即可． 【详解】解：矩形中，∵， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点E作于点F，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．在 中， ，，，点 为边上的一个动点(点 不与点 重合)，过 作，垂足为 E，连接，将沿直线 翻折得到 ,点 落在射线上的处． (1)求证:； (2)当点与点重合时(如图1),求线段的长； (3)设，，求关于的函数解析式，并判断是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴，， ∴． (2) (3)存在， 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及翻转变换的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及翻转变换的性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）根据垂直的定义得到，证明，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理求出的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由翻转变换的性质可知， ， ∵， ∴， 即， 解得：． （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即关于的关系式为， 当点在线段的延长线上时，如图， ， ∴， 当点在线段上时， ∵，， ∴， 要使，只要即可， 即， 解得， 当点在线段的延长线上时，不成立， 故当时，． 【题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 【例3】如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出与的正比例关系式；再依据垂线段最短，确定点到对角线的垂线段为最小值，结合三角形面积公式求出的最小长度，最终代入关系式算出的最小值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 对角线，且为中点， ， ， ， 过点分别作于，于， 则四边形为矩形， ，且, ， ， ， ， ， 设， 则，，， ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 其中， 代入得：， 约分化简得：， ，， 在中，由勾股定理得， 将、代入，利用完全平方公式展开并整理： ， ， ，即， 为定值， 当取最小值时，取得最小值， 点在线段上运动， 根据垂线段最短，当时，取得最小值（即点到直线的距离）， ， 代入得：， 解得， 将代入的表达式： ． 【对应练习】 1．已知边长为4的等边，D、E、F分别为边的中点，P为线段上一动点，则的最小值为（　） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】连接，设与相交于点H，首先说明是线段的垂直平分线，可证，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点H， ∵是等边三角形，D、E、F分别为边的中点， ∴，， ∴,， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在菱形中，，点是边的中点，点是平面内一个动点，且，点是上的一个动点，连接，则的最大值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作的垂线，交延长线于点，交于点，连接，证明出垂直平分，则，则问题化为，然后解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：过点作的垂线，交延长线于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点四点共线时，取得最小值，即为， ∵，为中点， ∴， ∴， 即最小值为8， 故答案为：8． 3．【问题背景】小明有一天看到这样一道数学题：如图1，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题探究】小明发现，可利用构造全等三角形的方法将线段的位置进行转移，使得动点和动点合并，进而将双动点的问题转化为单动点的问题，再根据“两点之间线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图2，延长至点，使得，连接． 证明过程缺失 ∴ ∴ (1)请你帮小明补全上述证明过程． (2)【问题解决】的最小值为______________________． (3)【拓展提升】小刚同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法解决类似的问题：如图3，点在对角线上，，请直接写出的最小值___________． 【答案】(1) 证明：如图2，延长至点，使得，连接． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，求出，再利用“”即可证明，从而得证； （2）连接，由矩形的性质可得，，，结合勾股定理求出，根据，得出当点、、在同一直线上时，取得最小值，从而即可得出结果； （3）延长至点，使得，连接、，证明，由相似三角形的性质可得，由，得出当点、、三点共线时，取得最小值为，最后由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，取得最小值，为； （3）解：如图，延长至点，使得，连接、， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值为， 由勾股定理可得， ∴的最小值为． 【题型4 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 【例4】如图1，四边形为菱形，动点P从点A出发，以的速度沿线段运动到点D处停止，与此同时，动点Q以的速度沿折线运动到点D处停止．设点P运动的时间为x（s），的面积为y（），图2为点P，Q运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】.结合函数图象可得当时，点Q运动到点B处，当时，此时点Q在的中点处，分别计算即可解答． 【详解】解：由题意，可知当时，点Q运动到点B处， 此时，， 过点B作于点H，如解图1， 则，解得． 当时，点Q运动的路程为， ， 所以此时点Q在的中点处，此时． 过点Q作交的延长线于点M，如解图2， ， ， ， ． ． 的值为． 【对应练习】 1．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，若，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，关于的函数图象，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、动点的函数图象，从函数图象获取必要的信息是解题的关键． 根据矩形的性质证明，得到，由图象得，当时，，再代入数据即可求出的长． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图象得，当时，， 此时， ∴， 解得， 故选：A． 2．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则点的横坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．连接，，由正方形的性质可得，，，证明，得到，则可推出当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，再根据，，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形。 ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 图②中，图象上最低点的纵坐标为， ， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理可得 ， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 3．如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以1的速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以3的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)当以，，为顶点的三角形与相似时，_________． (3)求出图2中，的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【分析】（1）由图2中关键点和可知，； （2）以，，为顶点的三角形与相似，则分两种情况分别进行讨论，再根据相似三角形对应边成比例建立方程，解方程即可； （3）在中，根据勾股定理表示出，再由图像可知：当时取最小值，即可求解，的值． 【详解】（1）解：由图2中关键点和可知： 当时，点从点出发，点从点出发， ∴，， 当时，点到达终点， ∴； （2）以，，为顶点的三角形与相似，则分两种情况： 情况一： 此时， ∴，即， 解得， 情况二 此时， ∴，即， 解得， 综上可得，当以，，为顶点的三角形与相似时，或； （3）∵在中，有， ∴， 由图像可知：当时取最小值，最小值为， ∴点的坐标对应当时取最小值， ∴，． 【题型5 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 【例5】图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点于点F，连接并延长，分别交边，所在直线于点，，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括两点），下列结论错误的是（） A． B． C． D．的最小值是 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点． 选项A：通过角度关系，证出，根据平行线的性质可判断出； 选项B：由特殊值法可判断，当点P与中点重合时，，显然； 选项C：通过角度等量关系，可证出，，即； 选项D：由，可得取最小值时，有最小值，即由垂线段最短可求解； 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故选项A正确； 当点P与中点重合时， 点与点重合， 此时，但，故选项B错误； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项C正确； ∵，，且， ∴四边形为矩形，连接，如下图，可得， 当最小时，即最小，即点到上的点的距离最小， 根据正方形的性质可判断，当点为中点时，最小， 此时的长度为对角线的一半， ∵正方形边长为， ∴对角线长度为， ∴， ∴的最小值为，选项D正确． 【对应练习】 1．如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（   ） A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，即可判断①；得到的周长，即可判断②；证明出，得到的边上的高边上的高，即可判断③；求出和的面积和即可判断④；由三角形内角和定理即可判断⑤． 【详解】解：①∵是平行四边形边上一动点，点分别为的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴线段的长不会随点P的移动而变化； ②∵点分别为的中点， ∴，， ∴的周长 ∵，会随点P的移动而变化 ∴的周长会随点P的移动而变化； ③∵ ∴ ∴边上的高边上的高 ∴的边上的高边上的高， ∵边上的高是平行线和间的距离，不会随点P的移动而变化 ∴的边上的高不会随点P的移动而变化； ④∵ ∴和的面积和 ∴和的面积和不会随点P的移动而变化； ⑤∵，会随点P的移动而变化 ∴的大小会随点P的移动而变化． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤． 故选：B． 2．如图，在正方形中，，交于点，点为中点，点为三等分点，连接，分别交于点，，连接，点是上一动点，连接，，若，则下列结论中：①；②；③；④最小值是； 其中正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【分析】将绕点A顺时针旋转得，根据旋转性质及已知条件证明，从而，故①正确；由①的结论可说明，根据相似比即可确定②不正确；过点H作于点，根据相似求正方形的边长，由，可证，由此求出即可说明③正确；作点关于的对称点，连接，，连接交于点，的长即为最小值，在中，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得， 则，，，，， 正方形中，， ， ，，三点共线， 设正方形的边长为，则，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； 正方形中，，交于点， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，故②不正确； ， ，， ， ， ， 即正方形边长为． ，， ， ，， ， ， ，， 过点H作于点， ， ， ，故③正确； 作点关于的对称点，连接，，连接交于点， 则，， ， ， ， ， ， 即最小值是，故④不正确； 综上可知，正确的结论是①③． 3．如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)连接，，当_____时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到，在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）由，，可知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得； （2）由沿翻折得，知，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于的方程，解之可得； （3）由可得，利用得到与之间的关系式； （4）将四边形和三角形的面积表示出来，使，解一元二次方程求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，解得， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵将沿翻折得， ∵，， ∴当时有四边形为菱形， ∴，解得， ∴存在，当时，使四边形为菱形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． （4）解：， 当时，即， ∴， 解得，（不合题意，故舍去） ∴存在，秒时，四边形的面积等于面积的倍． 【题型6 相似三角形中的动点探究应用问题】 【例6】综合与探究 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图，已知矩形，点为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接． (1)【问题发现】若矩形是正方形，请直接写出线段与之间的数量关系：________； (2)【类比探究】如图，在矩形中，，．请判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)．理由如下： ∵四边形是矩形，， ，． ， ． ， ． ． ． 于， ． ． ． ． ． ． ． (3)或 【分析】（1）证明，由全等三角形的对应边相等可得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质即可解答； （3）分两种情况，①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质，结合相似三角形的判定与性质可求出的长． 【详解】（1）解：． 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：分两种情况： 当四边形关于直线对称时，如图，设与的交点为H， 则垂直平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 当四边形是矩形时，四边形为轴对称图形，如图， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得，则， 综上，的长为或． 【对应练习】 1．综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． (1)填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； (2)类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． (3)拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)90，相等，是 (2)解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形； (3)①证明：如下图，作于点，作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②或2 【分析】（1）首先根据正方形的性质证明，结合可证明，进而证明；证明，由全等三角形的性质可得，进一步证明，易得，可证明，即是等腰三角形； （2）首先证明，结合菱形的性质证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，可证明，即是等腰三角形； （3）①作于点，作于点，易得四边形是矩形，证明，，结合相似三角形的性质可得，即可证明结论；②设，则由①得，进而可得，且，，然后分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：略； （3）①证明：略； ②解：设，则由①得， ∵， ∴， 由①可知， ∴， 则， 若，如下图， 则， ∴， 解得（此时，舍去）， ∴； 若，如下图， ∵， ∴， ∴，解得， 此时，舍去； 当时，如下图， 即， ∴ 解得（此时，舍去）， ∴． 综上所述的长为或2． 2．综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 3．【问题情境】 在矩形中，，点E是的中点，连接，点是射线上一动点，连接，交于点． 【探究证明】 （1）如图1，点在边上，连接，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； 【灵活应用】 （2）如图2，延长交的延长线于点，点在的延长线上，交于点，若与对应中线的比是，求的值． 【答案】 （1）①证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：由①得：，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）①根据矩形的性质及平行线的性质推出，，由相似三角形的判定即可得证； ②根据相似三角形的性质得，由中点定义得，推出，即可得证； （2）根据矩形的性质得，，由平行线分线段成比例定理得，继而推出，证明，由相似三角形的性质得，求出，，最后根据平行线分线段成比例定理可得答案． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵与对应中线的比是， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似三角形中的动点问题 【知识解析】 知识点01 相似三角形动点问题主要涉及的知识 1. 相似三角形判定与性质：需掌握“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”等判定定理；利用相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等性质，建立线段、角度关系。 2. 动点分析：明确动点运动路径、速度和时间关系，用含时间的代数式表示相关线段长度，进而建立相似三角形中边的比例方程，解决线段长度、面积最值等问题。 3. 数学思想运用：运用分类讨论思想，考虑动点不同位置导致的多种相似情形；结合函数思想，建立变量间函数关系，同时借助方程思想求解未知量。 【专题练习】 【题型1 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 【例1】如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 【对应练习】 1．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 2．如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过_______秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 3．如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 【题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 【例2】如图，在中，，，．过点作直线，点是直线上一动点（点在点右侧），连接，过点作，使，连接，当最短时，则的长度为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】设，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质得到，在直线上点右侧取点，使，点在过点且定夹角的射线上运动，当时，最短，过点作于点，证明四边形是矩形，过点作的延长线于点，四边形是矩形，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：设，过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在直线上点右侧取点，使， ， 点在过点且定夹角的射线上运动， 当时，最短， 过点作于点， ， 四边形是矩形， ， 过点作的延长线于点， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ． 【对应练习】 1．如图，在矩形中，，，E是边上的动点，若，则的长是（    ） A． B．2 C． D． 2．如图，矩形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，，过点作于点，当时，的长为__________． 3．在 中， ，，，点 为边上的一个动点(点 不与点 重合)，过 作，垂足为 E，连接，将沿直线 翻折得到 ,点 落在射线上的处． (1)求证:； (2)当点与点重合时(如图1),求线段的长； (3)设，，求关于的函数解析式，并判断是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 【例3】如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出与的正比例关系式；再依据垂线段最短，确定点到对角线的垂线段为最小值，结合三角形面积公式求出的最小长度，最终代入关系式算出的最小值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 对角线，且为中点， ， ， ， 过点分别作于，于， 则四边形为矩形， ，且, ， ， ， ， ， 设， 则，，， ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 其中， 代入得：， 约分化简得：， ，， 在中，由勾股定理得， 将、代入，利用完全平方公式展开并整理： ， ， ，即， 为定值， 当取最小值时，取得最小值， 点在线段上运动， 根据垂线段最短，当时，取得最小值（即点到直线的距离）， ， 代入得：， 解得， 将代入的表达式： ． 【对应练习】 1．已知边长为4的等边，D、E、F分别为边的中点，P为线段上一动点，则的最小值为（　） A． B．3 C．4 D． 2．如图，在菱形中，，点是边的中点，点是平面内一个动点，且，点是上的一个动点，连接，则的最大值为___________． 3．【问题背景】小明有一天看到这样一道数学题：如图1，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题探究】小明发现，可利用构造全等三角形的方法将线段的位置进行转移，使得动点和动点合并，进而将双动点的问题转化为单动点的问题，再根据“两点之间线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图2，延长至点，使得，连接． 证明过程缺失 ∴ ∴ (1)请你帮小明补全上述证明过程． (2)【问题解决】的最小值为______________________． (3)【拓展提升】小刚同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法解决类似的问题：如图3，点在对角线上，，请直接写出的最小值___________． 【题型4 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 【例4】如图1，四边形为菱形，动点P从点A出发，以的速度沿线段运动到点D处停止，与此同时，动点Q以的速度沿折线运动到点D处停止．设点P运动的时间为x（s），的面积为y（），图2为点P，Q运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】.结合函数图象可得当时，点Q运动到点B处，当时，此时点Q在的中点处，分别计算即可解答． 【详解】解：由题意，可知当时，点Q运动到点B处， 此时，， 过点B作于点H，如解图1， 则，解得． 当时，点Q运动的路程为， ， 所以此时点Q在的中点处，此时． 过点Q作交的延长线于点M，如解图2， ， ， ， ． ． 的值为． 【对应练习】 1．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，若，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，关于的函数图象，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 2．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则点的横坐标为________． 3．如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以1的速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以3的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)当以，，为顶点的三角形与相似时，_________． (3)求出图2中，的值． 【题型5 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 【例5】图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点于点F，连接并延长，分别交边，所在直线于点，，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括两点），下列结论错误的是（） A． B． C． D．的最小值是 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点． 选项A：通过角度关系，证出，根据平行线的性质可判断出； 选项B：由特殊值法可判断，当点P与中点重合时，，显然； 选项C：通过角度等量关系，可证出，，即； 选项D：由，可得取最小值时，有最小值，即由垂线段最短可求解； 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故选项A正确； 当点P与中点重合时， 点与点重合， 此时，但，故选项B错误； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项C正确； ∵，，且， ∴四边形为矩形，连接，如下图，可得， 当最小时，即最小，即点到上的点的距离最小， 根据正方形的性质可判断，当点为中点时，最小， 此时的长度为对角线的一半， ∵正方形边长为， ∴对角线长度为， ∴， ∴的最小值为，选项D正确． 【对应练习】 1．如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（   ） A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④ 2．如图，在正方形中，，交于点，点为中点，点为三等分点，连接，分别交于点，，连接，点是上一动点，连接，，若，则下列结论中：①；②；③；④最小值是； 其中正确结论的序号是_________． 3．如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)连接，，当_____时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到，在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【题型6 相似三角形中的动点探究应用问题】 【例6】综合与探究 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图，已知矩形，点为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接． (1)【问题发现】若矩形是正方形，请直接写出线段与之间的数量关系：________； (2)【类比探究】如图，在矩形中，，．请判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)．理由如下： ∵四边形是矩形，， ，． ， ． ， ． ． ． 于， ． ． ． ． ． ． ． (3)或 【分析】（1）证明，由全等三角形的对应边相等可得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质即可解答； （3）分两种情况，①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质，结合相似三角形的判定与性质可求出的长． 【详解】（1）解：． 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：分两种情况： 当四边形关于直线对称时，如图，设与的交点为H， 则垂直平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 当四边形是矩形时，四边形为轴对称图形，如图， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得，则， 综上，的长为或． 【对应练习】 1．综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． (1)填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； (2)类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． (3)拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 2．综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 3．【问题情境】 在矩形中，，点E是的中点，连接，点是射线上一动点，连接，交于点． 【探究证明】 （1）如图1，点在边上，连接，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； 【灵活应用】 （2）如图2，延长交的延长线于点，点在的延长线上，交于点，若与对应中线的比是，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $