第3章 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高&专题小练习 (三) 相似三角形判定与性质的综合-【勤径千里马】2026-2027学年九年级上册数学随堂小练10分钟（北师大版·新教材）

8< 随堂小练♪0分钟 九年级数学·北师版·上册 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1.如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明 同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、 镜子和旗杆底端在同一直线上)，直到他刚好在镜子& 中看到旗杆的顶端.已知小明的眼睛离地面的高度为 1题图 1.6m,同时量得小明与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离 为12m,则旗杆的高度为 A.6.4m B.8 m C.9.6m D.12.5m 2.如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行 测量.他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树 10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所 B 在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F A C 视线恰好经过竹竿的顶端D,测得小明的眼睛距地面 2题图 的高度AB为1.6m,竹竿CD长3m,则大树的高度EF为 m. 3.如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在点D处的影长DE=3米， 沿BD方向行走到达点G,DG=5米，这时小明的影长GH=5米.如果小 明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度， 、 B DE G 3题图 4.古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测 量金字塔的高度OB,先竖立一根已知长度的木棒O'B',比较木棒的影长 A'B'与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB.如果O'B'= 1,A'B'=2,AB=274,求金字塔的高度OB. A B'A 4题图 80)58g 见此图标3微信扫码 轻松做题.稳拿高分。 8< 随堂小练10分钟 九年级数学·北师版·上册 专题小练习（三） 相似三角形判定与性质的综合 1.在菱形ABCD中，E是边BC上的点，连接AE交BD于点F.若EC=2BE, 则5的值是 () B. c. n片 如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，CD是边AB上的高，=2，则SG 的值是 2题图 3.如图，在△ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD= CE,DE交AC于点F.求证：AB·DF=BC·EF D 3题图 4.如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于点F,过点F作FG∥ AB交AE于点G.求证： (1)AE=BE; (2)AG2=AF·FC. E 4题图 80)598 见此图标[宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。 8< 8 随堂小练0分钟 九年级数学·北师版·上册 5.如图，在菱形ABCD中，M为AD的中点，BM与AC的交点为E,点F在边 BC上，AF交BM于点G,且∠BGF=∠ABC (1)求证：△BAG∽△BMA; (2)若∠ABC=60°，连接CG,求证：CG⊥BM. C 5题图 6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度 从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从 点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个 动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为 t秒. (1)如图①，连接DE,AF.若DE⊥AF,求t的值； (2)如图②，连接EF,DF.当t为何值时，△EBF∽△DCF? B 6题图① 6题图② E 60 、见此图标宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。8< 随堂小练》0分钟 九年级数学·北师版·上册 (2):△BFG△BCE, BF 3 第2课时平面直角坐标系中的位似变换 BC=5, [1分钟知识速记] -( SABCE 位似Ik :S△BFG+S四边形GFCE=S△BCE, [9分钟目标检测] ∴，四边形GFCE的面积：△BCE的面积=(25-9)：25 1.D2.B3.C4.(2,2) =16:25. 5.(-3,0)或（号，号）6D ,·四边形GFCE的面积为48 .S△BCE=75. 7.解：(1)如答图，△A1B1C即为所求，点A1的坐标为 AC=方，AE+CE=AC,CE=3 (-3,0). AC=5, S△BGE-3 S△ABC ,S△ABc=125. 5图形的位似 2 第1课时图形的位似 A [1分钟知识速记] -4-32-10 12345花 1.相等成比例位似中心 1--- 2.(1)位似中心(2)对应顶点(3)相似比 3 [9分钟目标检测] B 1.C2.B 7题答图 3.解：①②和④中的两个图形都是位似图形，①中的位 (2)4:1 似中心是点A,②中的位似中心是点P,④中的位似 8.解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求 中心是点Q (2)如答图，△42B2C2即为所求. 4.B5.1:26.②③④ (3)如答图，作点B2关于x轴的对称点B',连接BB 7.解：(1)如答图，点0即为所求 交x轴于点P,则点P即为所求.点P的坐标为 (2)△48c与△gC的相似比为=合子 (-3,0) (3)如答图，△A1B1C1即为所求. B2 ,PA20 B' 7题答图 8.解：如答图，四边形A'B'C'D'即为所求 8题答图 D ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1.C2.10 3.解：路灯杆AB的高度为5.95米 4.解：太阳光线是平行光线， ∠OAB=∠O'A'B B C 又：∠AB0=∠A'B'0'=90°， 8题答图 .△OAB△O'A'B', ∴.OB:O'B'=AB:A'B′， )1158 见此图标[3微信扫码 轻松做题，稳拿高分。 8< 随堂小练》0分钟 九年级数学·北师版·上册 40B=4B:0B_274X1=137. .∴.△BGC∽△BCM, A'B' 2 ∴.LBGC=∠BCM=90°， 答：金字塔的高度为137. ∴.CG⊥BM. 专题小练习（三）相似三角形判定与 性质的综合 1B2号 3.证明：过点D作DG∥BC交AC于点G, ∴.△DGF∽△ECF,△ADG∽△ABC, B F ÷E=9E4BA0 5题答图 6.解：(1)设AF与DE的交点为O, DF GD'BC DG .DE⊥AF,.∠A0E=90°， AD-CEDEDG BGDF EFAD.ABEF ∴.∠BAF+∠AE0=90°. ∴AB·DF=BC·EF ∠ADE+∠AE0=90°， ∴.∠BAF=∠ADE 4.证明：(1).：四边形ABCD是矩形， 又：四边形ABCD是正方形， ·AD=BC,∠D=∠BCE=90. ∴.AB=AD,∠ABF=∠DAE=90°， ,E是CD的中点，.DE=EC .∴.△ABF≌△DAE, 在△ADE和△BCE中， ∴.BF=AE,∴2t=1+t,解得t=1. rAD =BC, (2)四边形ABCD是边长为4的正方形， ∠D=∠BCE, ∴.AB=BC=CD=4. LDE =CE, .BF =2t,AE=1+t, .△ADE≌△BCE(SAS),∴AE=BE. .∴.FC=4-2t,BE=4-1-t=3-b. (2):Pc/ABe-器 当△EBF△DCF时， ,AE=BE,∴.AG=BF 脱42 在Rt△ABC中，BF⊥AC, △ABr△BC部-g器， 解得9-瓦49（不合画意，合. 2 即BF2=AF·FC,即AG=AF·FC =9-57 2, 5.证明：(1)四边形ABCD是菱形， .AD∥BC,.∠MAB+∠ABC=180 当t=9-,S7时，△EBF△DCR 2 .·∠BGF=∠ABC,∠AGB+∠BGF=18O°， 第三章易错小练习 .∠AGB=∠MAB. 又.∠ABG=∠MBA,∴.△BAG∽△BMA 1A2.15或2.4或9 (2)连接CM,如答图. 3.解：：△ABC与以A,D,E为顶点的三角形相似，且 :四边形ABCD为菱形，∴.AB=BC=CD ∠BAC=∠DAE. :∠ABC=60°，.△ABC为等边三角形， ①当△ABC△ADE时，有∠ADE=∠ABC=120°， .AB=BC=AC...AC=CD. .∠AED=∠ACB=30°； M为AD的中点，∴.CM LAD. ②当△ABC△AED时，有∠ADE=∠ACB=30°， .AD∥BC,.CM⊥BC,.∠MCB=90 ∠AED=∠ABC=120° 由(1)得△BAG∽△BMA, 4.解：(1)不相似. 六品-8gBG,BM=AB,BG,aM=BC, (2)如答图，设相邻两条小路的宽度分别是xm和 ym. 照 相对两条小路的宽度相等， ∴.EF=AB+2y=(20+2y)m, 又，∠CBG=∠MBC, EH=AD+2x=(30+2x)m. )1163 见此图标宁微信扫码轻松做题。稳拿高分。