专题7 相似三角形的常见模型-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第三章图形的相似 专题7相似三角形的常见模型 [答案P18] 模型1“A”字型 模型2“8”字型 【模型展示】 【模型展示】 C D C (DE∥BC) (DE与BC不平行， (AB∥CD) （AB与CD不平行， 其中∠AED=∠B) 其中∠ABJ=∠CDJ) 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,3.如图，在△ABC中，BD,CE分别是AC,AB边上的 E是AC上一点，AE=5,ED⊥AB,垂足为点D,求 高，连接ED.求证：△ABC△ADE. AD的长. 1题图 3题图 2.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，4.如图，已知正方形ABCD中，E,G分别是AD,BC ∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点F,G, 且AD:AC=DF:CG.求证： 的中点，连接CE,DG,BD.线段CE分别交BD,DG (1)AG平分∠BAC; 于点F,H. (2)EF·CG=DF·BG (求受的值： (2)求册的值 4题图 2题图 见此图标照微信打码进人初中智慧学园自 61 全程导练·九年级数学·北师版·上册 模型3旋转型 模型4母子型 【模型展示】 【模型展示】 若∠1=∠2，∠B=∠D, 则△ADE∽△ABC (∠ACD=∠B) 7.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C 5.（福建福州期末)如图，在△ABC和△ADE中， (1)求证：△ABD△CBA; ∠ACB=∠AED=90°，AC=CB,AE=ED.连接 (2)若AB=6,BD=3,求CD的长 BD,CE.当点D在△ABC内，且B,D,E三点共线 时，设DE交AC于点O,则图中与△OCE相似的 三角形（不包括△OCE)共有 （) D 7题图 5题图 A.0个 B.1个C.2个 D.3个 6.如图，点B,D,E在一条直线上，BE与AC相交于 点r8-8能G (1)求证：∠BAD=∠CAE; (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数； 8.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边 (3)连接EC,求证：△ABD△ACE. 于点D,已知∠ADB=2∠ABD (1)求证：△ABD∽△ACB; (2)若DC=2AD=2,求∠A的度数. 6题图 8题图 62 见此图标照微信扫码进人初中智芯学国自自 第三章图形的相似又 模型5双垂直型 模型6一线三等角型 【模型展示】 【模型展示】 △ADE∽△ABC 若∠1=∠2=∠3， 则△ABC∽△CDE C(D) 9.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，过点 11.如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把 D作垂直于AB的直线交BC于点E,交AC的延 △ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的 长线于点F.求证： AB BC (1)△ADF△EDB; 点F处.求证：FCEF (2)CD2=DE·DE. R 11题图 9题图 12.如图，在△ABC中，∠A=50°，AB=AC,D是BC 边上的动点，E,F分别是AB,AC边上的点. 10.(（四川遂宁期中)如图，在△ABC中，∠ACB= (I)若BD=DE,且△BDE∽△CDF,求∠EDF的 90°，CD⊥AB于点D,E为AC的中点，ED,CB的 度数； 延长线交于点F.求证： (2)若∠EDF=α，不改变a的值，以D为旋转中 (1)△ABC∽△CBD; 心，把∠EDF按顺时针或逆时针方向适当转 (22器-e 动后，△BDE和△CDF始终保持相似，求a 的值. 10题图 D 12题图 见此图标骏微信打码进人初中智慧学园自 63 全程导练·九年级数学·北师版·上册 模型7对角互补型 15.如图，E,G,F,H分别是矩形ABCD四条边上的 点，EF⊥GH.若AB=2,BC=3,求EF与 【模型展示】 GH的比. 若∠AOB+∠DCE=180°， 过点C作CM⊥AO于点M, CN⊥OB于点N, 则△CDM∽△CEN 15题图 13.在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如 图，在直角三角形纸片ABC(∠C=90)内剪取 一个直角三角形DEF(∠EDF=90),点D,E,F 分别在AB,AC,BC边上.当AC=3,BC=4,DE= 2DF时，求AD的长 13题图 模型8十字架型 16.如图，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，点 E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD, 【模型展示】 0 DA上，EF与GH交于点O,∠FOH=90°，EF= 在矩形ABCD中， 4,求GH的长. CF⊥DE于点G, CD CF 则△DCF∽△ADE台AD-DE 14.如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB, 16题图 BC,AD上，AF⊥EG.若AB=5,AE=DG=1,求 BF的长. GD B F 14题图 64 见此图标贸微信扫码进人初中智慧学园自全程导练·九年级数学·北师版·上册 上DAE=∠BC若2-侣振据两边成比例且夫角相 等的两个三角形相似可以得到△ADE∽△ACB.:AB=6, AC=9,A0=3,号=怨，解得AB=2分两种情况透行讨 论：①D,E分别在线段AC和AB上时，，'AE=2,AB=6, .BE=AB-AE=6-2=4:②D,E分别在线段AC和AB的 反向延长线上时，：AE=2,AB=6,BE=AB+AE=6+2 =8.综上所述，BE的长为4或8. 8.5√2[解析]如答图，在BC上取一点G,使CG=1,连接 MC,AG.BC=9.CM=3,CM= CG A BC=3,又：∠MCG=LMCB, CM 1 △c6naC盟-器分 CG MG=子BMAM+子BW=AM+ 8题答图 MG≥AG.AG=V√AC2+CG=√72+1下=52，.AM+ 子BM≥5，即当M在AG上时，AM+宁BM取得最小值， 最小值为5√2. 9.(1)2或4(2)3或号 10.证明：(1)AB=AC,.∠B=∠C. .·∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B, ∴.∠CEF=∠BDE,∴.△BDE∽△CEF (2)ABDE△GBr,8s-2器 yE是BC的中点BE=CE等-0 易知∠C=∠DEF,.△CEF∽△EDF, .∠CFE=∠EFD,即FE平分∠DFC 【素养探究创新练】 11.(1)证明：·∠BAD=∠C,∠ABD=∠CBA, △ABD△Ca…8-0。 .AB2=BD·BC. (2)解：过点C作CF⊥AB于点F,过点D作DG⊥AB于点 G,如答图.则∠AFC=∠AGD=90°，∴.CF∥DG ∠BAC=60°，.∠ACF=30°， AFCx21 1 D CF=√AC2-AF=5, :D为边BC的中点， G E B .BD=CD=BG=2. 11题答图 ·CF∥DG,.易得△BDG∽△BCF, .DC=BC_BD 1 B0=2,·DG=2CF=3 2 ∴.BF=2BG=√13，.AB=AF+BF=1+√13. .AC=CD,∴.∠CAD=∠CDA. .·∠AED=∠CAD,∴.∠AED=∠CDA ·18· .:∠AED+∠BED=∠ADC+∠BDA=180°， .∴.∠BED=∠BDA, 又.·∠DBE=∠ABD,.△BED∽△BDA, 器-0些2 ,得E=1 21+√13 3 (3)解：FG=24,5 111 专题7相似三角形的常见模型 1.解：∠C=∠ADE=90°，∠A=∠A, 六A40En64C2-盖 又AC=8,AB=5,AB=10智=高AD=4 2.证明：(1).∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，∠BAC+ ∠B+∠C=180°，∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC, .∠ADE=∠C. 在△ADF和△ACG中， .AD:AC=DF:CG,∠ADE=∠C, .△ADF∽△ACG,∴∠DAF=∠CAG,∴.AG平分∠BAC. (2)在△AEF和△ABG中，∠AED=∠B,∠EAF=∠BAG, △MBP△MGC-影 .DF AF 由(I)知△ADF∽△ACG,CC=AG, EF DF 六BG-CGEF.CG=DF·BG. 3.证明：设BD与CE交于点O, BD,CE分别是AC,AB边上的高，∴.∠BEC=∠BDC=90°. ,·∠BOE=∠COD,∴.∠ABD=∠ACE. .·∠A=∠A,∴.△ABD∽△ACE, 怨把8-能 ∠A=∠A,△ABC∽△ADE. 4.解：(1)：E是AD的中点AB=DE=之AD ·四边形ABCD是正方形，.AD=BC,AD∥BC, DE=BC,△DEF~△BGF, 器脱能时 (2)G是BC的中点CG=2BC=2AD,CG=DB ,EH_D5=1, AD∥BC,.△DEH△GCH,.CH-C元 EH=CH=EC. 由(0相器分即球=分c, 1EC FH=EH-EF=6 ECCH=1=3 6 5.c 6.(I)证明：8-能-治△MBC△M0E, .∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF, 即∠BAD=∠CAE. (2)解：.'△ABC∽△ADE,∴.∠ABC=∠ADE .·∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD, ∴.∠EBC=∠BAD=21°. (3)证明：由(1)知LBAD=∠CAE. 8-AG0-0△MaD△4CE 7.(1)证明：∠BAD=∠C,∠B=∠B,.△ABD△CBA. （2)解：△AB0△C12=阳 AB=6,80=3品-音BC=12, .∴.CD=BC-BD=12-3=9. 8.(1)证明：：BD平分∠ABC,.∠ABC=2∠ABD. 又∠ADB=2∠ABD,,∠ADB=∠ABC. 又.∠A=∠A,∴.△ABD∽△ACB (2)解：△ABD△ACB,LABD=∠C,49=4D ACAB .·∠ABD=∠DBC,.∠C=∠DBC. 又.DC=2AD=2,∴.AD=1,DB=DC=2,∴.AC=AD+DC=3. 怨侣B=0:AC=3. 又AD2=1,DB2=4, .AB2+AD2=DB2=4,.△ABD是直角三角形，∠A=90°. 9.证明：(1)：△ABC是直角三角形，AB是斜边， .∠ACB=90°，∠A+∠B=90°.DF⊥AB,∴.∠ADF=90°， ∴.∠F+∠A=90°，∴.∠F=∠B. 又，'∠ADF=∠EDB=90°，∴，△ADF∽△EDB. (2),CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴.CD=AD=DB. 由△ADF∽△EDB,得"=DF ED DB' ÷品-器cD=0En那 10.证明：(1)∠ACB=90°，CD⊥AB,∴.∠ACB=∠CDB. 又，·∠ABC=∠CBD,∴，△ABC∽△CBD. (2).△ABC∽△CBD, ∴A=LB00%-%即瓷-80 .·E是AC的中点，CD⊥AB, ∴.DE=AE=CE,.∠A=∠EDA. 又.·∠EDA=∠BDF,∴.∠A=∠FCD=∠BDF 又·∠F=LF,∴△FDB∽△FCD, …器脱器器 11.证明：：四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC, ,∠BAF+∠AFB=90°. 由翻折可得∠AFE=∠D=90°，AF=AD, ∴.∠AFB+∠EFC=90°，AF=BC, ∴.∠BAF=∠EFC,.△ABF∽△FCE, 光铝号器 12.解：(1)∠A=50°，AB=AC, ∠B=∠C=7×(180-50)=650 BD=DE,∴.∠B=∠BED=65°， 参考答案及解析■ ∴.∠BDE=180°-∠B-∠BED=50° △BDE△CDF,.∠CDF=∠BDE=50°， .∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=80°. (2).:∠B=∠C=65°， ∴∠BDE+∠BED=180°-65°=115°， ∠CDF+∠CFD=180°-65°=115°. 随着∠EDF的转动，∠BDE和∠CDF均发生变化， ∴.只能是△BDE∽△CFD. 当LBDE=∠CFD时，△BDE△CFD, 此时∠BED=∠CDF, .∠BDE+∠CDF=∠CFD+∠CDF=115°， .a=180°-（∠BDE+∠CDF)=180°-115°=65°， 即a为65时，△BDE和△CDF始终保持相似. 13.解：如答图，过点D分别作DP⊥AC于点P,作DQ LBC于 点Q,则∠EPD=∠FQD=90°.易得∠PDQ=90°， ∴.∠ADP+∠QDF+∠FDB=90°. 又∠EDF=90°，.∠ADP+∠PDE+∠FDB=90°， .∠QDF=∠PDE,.△DPE△DQF, 器器 4 又，DE=2DF, 咒器-2 E .DP=2D0. C QF B .AC=3,BC=4,∠C=90°， 13题答图 .AB=5. 易知0/c品能子品子即品号 易得D0=c记…北号 DP/Bc-品8=号A0=3. 14.解：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=5,∠ABC=∠BAD=90 AE =DG=1,..AG=4. :AF⊥EG,∴.∠BAF+∠AEG=90°=∠BAF+∠AFB, .∠AFB=∠AEG,∴△ABF∽△GAE, 船=品青郎P=子 15.解：过点H作HM⊥BC于点M,过点E作EN LCD于点N, 如答图，∴.∠HMG=∠ENF=90°. .EF⊥GH, A D .∠HGC+∠EFC=180° =∠HGC+∠HGM, .∴.∠EFC=∠HGM， .∴.△MHG∽△NEF, 能器船是 B M G 15题答图 16.解：8. 4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中对应线段的性质 【知识要点分类练】 1.B2.A3.C4.A5.6 【能力提升综合练】 6.c ·19·