专题四 成比例线段 专项练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

成比例线段 【知识解析】 知识点01 线段的比 线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 知识点02 成比例线段 1.成比例线段概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2.判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 知识点03 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 【专题练习】 【题型1 求线段的比】 【例1】如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质得到，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【对应练习】 1．已知线段，若线段是线段，的比例中项，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为____________． 3．已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值． (2)若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． 【题型2 由比例尺求距离】 【例2】甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把1600米化为厘米，再根据比例尺的定义求解即可． 【详解】解：∵1600米=160000厘米， ∴这幅地图的比例尺是． 故选B． 【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟练掌握比例尺的定义是解答本题的关键，比例尺=图上距离：实际距离． 【对应练习】 1．在比例尺是的地图上，两地的距离是，那么这两地的实际距离为（    ） A． B． C． D．． 2．小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 3．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【题型3 判断四边是否成比例线段】 【例3】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段．根据比例线段的概念及比例的基本性质：内项之积等于外项之积，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：选项A：排序为， ∵，，， ∴不成比例； 选项B：排序为， ∵，，， ∴成比例； 选项C：排序为， ∵，，， ∴不成比例； 选项D：排序为， ∵，，， ∴不成比例； 故选：B． 【对应练习】 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 2．已知线段，，，成比例，若，，，则______． 3．已知4条线段a，b，c，d，解答下列问题： (1)若，试判断它们是否是成比例线段？ (2)若，试判断它们是否是成比例线段？ (3)若，且线段a，b，c，d成比例，求线段d的长． 【题型4 已知成比例线段求其中一边长】 【例4】四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 【对应练习】 1．已知，，，依次成比例线段，若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为________． 3．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 【题型5 利用比例的性质进行求解】 【例5】已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 【对应练习】 1．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 2．若，则________． 3．解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，，请你探索的形状． 【题型6 利用比例中的等比性质进行求解】 【例6】若，且，则的值是（   ） A．4 B．8 C．32 D．2 【答案】A 【分析】根据给出的条件得出，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， ． 【对应练习】 1．已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 2．若，则的值为__________． 3．已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 成比例线段 【知识解析】 知识点01 线段的比 线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 知识点02 成比例线段 1.成比例线段概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2.判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 知识点03 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 【专题练习】 【题型1 求线段的比】 【例1】如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质得到，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【对应练习】 1．已知线段，若线段是线段，的比例中项，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键． 直接利用比例中项的定义分析得出答案． 【详解】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，， ∴． 故选：B． 2．如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为____________． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，则， ∵是与的比例中项， ∴， 整理，得 解得 ∴，（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值． (2)若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例，线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）设，得到，代入，求出 ，则，即可解答． （2）推导出，将代入求解即可． 【详解】（1）解：设， 则 ∵ ∴， 解得， ∴． （2）∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴， ∴ ∴． 【题型2 由比例尺求距离】 【例2】甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把1600米化为厘米，再根据比例尺的定义求解即可． 【详解】解：∵1600米=160000厘米， ∴这幅地图的比例尺是． 故选B． 【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟练掌握比例尺的定义是解答本题的关键，比例尺=图上距离：实际距离． 【对应练习】 1．在比例尺是的地图上，两地的距离是，那么这两地的实际距离为（    ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离． 【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得：两地的实际距离为6×200000＝1200000（cm）＝12（km）． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 2．小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 【答案】 25 【分析】本题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺是解题关键．设实际长度为厘米，根据比例列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设实际长度为厘米， ∴， ∴， 故实际长度为， 故答案为：． 3．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【答案】(1)1440m，900m (2)， 【分析】本题考查比例尺： （1）根据比例尺为图上距离与实际距离的比例，进行求解即可； （2）根据图上距离，和实际距离，相比即可得出结果． 【详解】（1）解：∵比例尺为， ∴新安大街的实际长度为：； 光华大街的实际长度为； （2）图上长度之比为：， 实际长度之比为：． 【题型3 判断四边是否成比例线段】 【例3】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段．根据比例线段的概念及比例的基本性质：内项之积等于外项之积，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：选项A：排序为， ∵，，， ∴不成比例； 选项B：排序为， ∵，，， ∴成比例； 选项C：排序为， ∵，，， ∴不成比例； 选项D：排序为， ∵，，， ∴不成比例； 故选：B． 【对应练习】 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段．判断四条线段是否成比例，可通过计算最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积来验证． 【详解】解：A：线段为． ∵，，， ∴不成比例． B：线段为． ∵， ∴不成比例． C：线段为． ∵， ∴不成比例． D：线段为． ∵， ∴成比例． 故选：D． 2．已知线段，，，成比例，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按给定线段顺序列出比例式，代入已知线段长度，求解一元一次方程得到的值. 【详解】解：线段，，，成比例， ， ，，， ， 交叉相乘得：， 解得： 3．已知4条线段a，b，c，d，解答下列问题： (1)若，试判断它们是否是成比例线段？ (2)若，试判断它们是否是成比例线段？ (3)若，且线段a，b，c，d成比例，求线段d的长． 【答案】(1)它们是成比例线段 (2)它们不是成比例线段 (3) 【分析】（1）（2）若有四条线段满足其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段； （3）根据成比例线段的定义得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四条线段按照从短到长的顺序排列为， ∵， ∴，即 ∴它们是成比例线段； （2）解：∵， ∴四条线段按照从短到长的顺序排列为， ∵， ∴ ∴， ∴它们不是成比例线段； （3）解：∵线段a，b，c，d成比例， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4 已知成比例线段求其中一边长】 【例4】四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 【对应练习】 1．已知，，，依次成比例线段，若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段的应用，掌握比例线段的关系是解题的关键． 根据成比例线段的定义，有，代入已知值求解即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴. 代入，，， 得， 解得， 故选C． 2．若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为________． 【答案】 【分析】已知四条线段按顺序成比例，根据成比例线段定义列比例式求出的厘米数，再转换单位为米即可得到结果． 【详解】解：∵、、、是成比例线段 ∴ ∵，， 代入得 解得 ∵ ∴． 3．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 【答案】(1)12，8，24 (2)24 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k,然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：设 ，则， ∵， ∴， 解得，， 所以，，，； （2）解：∵线段x是线段、c的比例中项， ∴， ∴． 【题型5 利用比例的性质进行求解】 【例5】已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 【对应练习】 1．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 2．若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 3．解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，，请你探索的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】（1）把所求分式拆开，利用已知条件求出的值，代入直接计算． （2）利用设参数k的方法表示三边，再根据三边之和列方程求出k，得到三边长，最后用勾股定理逆定理判定三角形形状． 【详解】（1）解：， ． ； （2）解：令． ，，， ，，． 又． ， ． ，，， ，， 是直角三角形． 【题型6 利用比例中的等比性质进行求解】 【例6】若，且，则的值是（   ） A．4 B．8 C．32 D．2 【答案】A 【分析】根据给出的条件得出，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， ． 【对应练习】 1．已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题可利用设参数法表示出a，b，c，再代入已知等式求出参数值，即可得到b的值，用到比例的基本性质． 【详解】∵ ， ∴设（）， 可得，，， ∵， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 2．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据比例关系设元，代入表达式化简计算． 本题考查了见比设k，熟练掌握根据比例关系设元是解题的关键． 【详解】解：设 ，，（），则 分子：， 分母：， ∴原式 ． 3．已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由可设， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $