3.1 相似多边形 同步分层练习 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

3.1 相似多边形 同步分层练习 （北师大版 九年级上册 第三章 图形的相似） 满分：100分　时间：60分钟 班级：____________　姓名：____________　学号：____________ 一、基础巩固（共40分） （一）选择题（每小题3分，共18分） 1．下面四组线段中，不能成比例线段的是（　　） A．3，6，2，4 B．4，6，8，10 C．1，，， D．，，，3 2．已知=，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．所有的矩形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的等腰三角形都相似 4．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A=120°，∠B=90°，∠C′=60°，则∠D的度数是（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 5．两个相似多边形的相似比为3:4，则它们的周长比和面积比分别为（　　） A．3:4，9:16 B．3:4，6:8 C．9:16，3:4 D．4:3，16:9 6．如图，有三个矩形甲、乙、丙，其中相似的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．都不相似 （二）填空题（每小题3分，共12分） 7．已知线段 a=4，b=9，则线段 a，b 的比例中项 c=__________． 8．在比例尺为1:50000的地图上，量得A，B两地的距离为3.4 cm，则A，B两地的实际距离为__________千米． 9．已知=（x+y≠0），则=__________． 10．两个相似多边形的相似比为2:3，若较小多边形的周长为12 cm，则较大多边形的周长为__________cm． （三）解答题（共10分） 11．（4分）已知 ==，且 a+b+c=24，求 a、b、c 的值． 12．（6分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠B=77°，∠C=83°，∠E=117°，AB=12，EF=4，FG=6．求BC的长和∠H的度数． 二、综合运用（共40分） 13．（3分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为 k，点B、F、C、G四点共线，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠A=∠E B．DC∥HG C．BC⊥EF D．AD=k·EH 14．（4分）已知 a:b:c=5:7:8，且 3a-2b+c=9，求 2a+4b-3c 的值． 15．（6分）两个相似多边形的最长边分别为4 cm和6 cm，它们的周长之和为40 cm，面积之差为15 ．求较小多边形的周长和面积． 16．（6分）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A=∠A′=90°，∠B=∠B′=80°，∠C=∠C′=120°，AB=4，AD=6，A′B′=6． （1）求∠D′的度数； （2）求A′D′的长； （3）求四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比． 17．（5分）已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，矩形ABCD的长为8，宽为6．若矩形A′B′C′D′的一边长为4，求矩形A′B′C′D′另一边的长． 18．（5分）已知两个相似多边形的一组对应边分别为6 cm和9 cm，若较小多边形的周长为24 cm、面积为32 ，求较大多边形的周长和面积． 19．（6分）如图，某小区有一块矩形空地ABCD，长AB=40 m，宽BC=30 m．现要在其中修建一个矩形花园EFGH，使矩形EFGH∽矩形ABCD，且花园的周长为空地周长的．求花园的面积． 20．（5分）技术人员利用无人机进行航拍测绘，数字模型上的图形与地面实际物体构成相似图形．已知数字模型上1 cm代表实际距离50 m．若数字模型上某住宅区边界构成的四边形各边长分别为3 cm、4 cm、5 cm、6 cm，求该住宅区实际边界四边形的周长． 三、拓展题（共20分） 21．（6分）两个相似多边形，它们的相似比为1:2，周长之差为10 cm，面积之和为100 ．求这两个多边形的周长和面积． 22．（6分）如图，矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，矩形ABCD的周长是矩形A′B′C′D′周长的2倍，且两矩形的面积之差为36 ． （1）求矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的相似比； （2）求矩形A′B′C′D′的面积． 23．（8分）【阅读探究】我们把形状相同的图形叫做相似图形．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．规定：设菱形相邻两个内角的度数分别为 m° 和 n°（其中 m≤n），将菱形的“接近度”定义为 |m-n|． （1）若菱形的一个内角为120°，则该菱形的“接近度”为__________；当菱形的“接近度”为0时，该菱形是__________（填图形名称）． （2）若两个菱形相似，它们的“接近度”相等吗？请说明理由． 参考答案与解析 一、基础巩固 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C C A B 1．B 【解析】四条线段成比例，即其中两条线段之积等于另外两条线段之积． A：3×4=12，6×2=12，能成比例； C：1×=，×=，能成比例； D：×3=3，×=3，能成比例； B：4×10=40，6×8=48，4×8=32，6×10=60，各组合之积均不相等，不能成比例．故选B． 2．A 【解析】=+1=+1=．故选A． 3．C 【解析】A．矩形的角都是直角，但邻边之比不一定相等，所以两个矩形不一定相似，错误； B．菱形的边都相等，但内角不一定对应相等，所以两个菱形不一定相似，错误； C．正方形的四条边都相等、四个角都是直角，任意两个正方形对应角相等、对应边成比例，一定相似，正确； D．等腰三角形的顶角、边长都不一定相同，所以两个等腰三角形不一定相似，错误．故选C． 4．C 【解析】∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴对应角相等，即∠A=∠A′=120°，∠B=∠B′=90°，∠C=∠C′=60°． ∴∠D=360°-(120°+90°+60°)=90°．故选C． 5．A 【解析】相似多边形的周长比等于相似比，即3:4；面积比等于相似比的平方，即:=9:16．故选A． 6．B 【解析】矩形的四个角都是直角，只要长与宽的比相等，两个矩形就相似． 甲：4:3；乙：3:2；丙：2:1.5=4:3． 因为甲、丙长与宽的比相等，所以甲和丙相似．故选B． 7．6 【解析】∵线段 c 是 a，b 的比例中项，∴=ab=4×9=36．又 c>0，∴c=6． 8．1.7 【解析】实际距离=3.4×50000=170000(cm)=1700(m)=1.7(km)． 9． 【解析】由=，得 5x=3(x+y)，即 5x=3x+3y，∴2x=3y，∴=． 10．18 【解析】设较大多边形的周长为 x cm．∵相似比为2:3，周长的比等于相似比，又12 cm为较小多边形的周长， ∴=，解得 x=18．∴较大多边形的周长为18 cm． 11．【解】 设===k（k≠0），则 a=3k，b=4k，c=5k． ∵a+b+c=24，∴3k+4k+5k=24，解得 k=2． ∴a=3×2=6，b=4×2=8，c=5×2=10． 12．【解】 ∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴对应角相等，∠A=∠E=117°，∠F=∠B=77°，∠G=∠C=83°． ∴∠H=∠D=360°-(117°+77°+83°)=83°． ∵对应边成比例，∴=，即=，解得 BC=18． ∴BC的长为18，∠H的度数为83°． 二、综合运用 13．C 【解析】A．相似多边形的对应角相等，∠A=∠E 一定成立； B．∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠DCB=∠HGF．又B、F、C、G四点共线，即CB与GF在同一条直线上， ∴DC与HG被直线BG所截，同位角相等，∴DC∥HG 一定成立； D．相似多边形的对应边成比例，AD:EH=AB:EF=k，∴AD=k·EH 一定成立； C．BC与EF的位置关系由图形的形状决定，不一定垂直． ∴不一定正确的是C．故选C． 14．【解】 设 a=5k，b=7k，c=8k（k≠0）． ∵3a-2b+c=9，∴3×5k-2×7k+8k=9，即 15k-14k+8k=9，解得 k=1． ∴a=5，b=7，c=8． ∴2a+4b-3c=2×5+4×7-3×8=10+28-24=14． 15．【解】 ∵两个相似多边形的最长边分别为4 cm和6 cm，∴相似比为4:6=2:3． （1）周长的比等于相似比．设较小多边形的周长为 x cm，则较大多边形的周长为(40-x) cm． ∴=，即 3x=2(40-x)，解得 x=16．∴较小多边形的周长为16 cm． （2）面积的比等于相似比的平方，即:=4:9．设较小多边形的面积为 y ，则较大多边形的面积为(y+15) ． ∴=，即 9y=4(y+15)，解得 y=12．∴较小多边形的面积为12 ． 答：较小多边形的周长为16 cm，面积为12 ． 16．【解】 （1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴对应角相等， ∠A=∠A′=90°，∠B=∠B′=80°，∠C=∠C′=120°． ∴∠D′=∠D=360°-(90°+80°+120°)=70°． （2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴=， 即=，解得 A′D′=9． （3）对应边的比等于相似比，且周长的比等于相似比， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比为 AB:A′B′=4:6=2:3． 17．【解】 ∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，∴对应边成比例，需分两种情况讨论． ①若A′B′C′D′中长为4的边与ABCD的长8对应，则=，解得 宽′=3； ②若A′B′C′D′中长为4的边与ABCD的宽6对应，则=，解得 长′=． ∴矩形A′B′C′D′另一边的长为3或． 18．【解】 ∵两个相似多边形的一组对应边分别为6 cm和9 cm，∴相似比为6:9=2:3． 周长的比等于相似比．设较大多边形的周长为 x cm，则=，解得 x=36． 面积的比等于相似比的平方，即4:9．设较大多边形的面积为 y ，则=，解得 y=72． 答：较大多边形的周长为36 cm，面积为72 ． 19．【解】 空地ABCD的周长为 2×(40+30)=140(m)， ∴花园EFGH的周长为 140×=84(m)． ∵矩形EFGH∽矩形ABCD，∴周长的比等于相似比，即相似比==． ∴花园的长为 40×=24(m)，宽为 30×=18(m)． ∴花园的面积为 24×18=432()． 答：花园的面积为432 ． 20．【解】 数字模型上四边形的周长为 3+4+5+6=18(cm)． ∵数字模型上的图形与地面实际物体构成相似图形，且数字模型上1 cm代表实际距离50 m， ∴该住宅区实际边界四边形的周长为 18×50=900(m)． 答：该住宅区实际边界四边形的周长为900 m． 三、拓展题 21．【解】 ∵相似比为1:2，∴周长的比为1:2，面积的比为:=1:4． 设较小多边形的周长为 c cm，则较大多边形的周长为2c cm． ∵周长之差为10 cm，∴2c-c=10，解得 c=10． ∴较小多边形的周长为10 cm，较大多边形的周长为20 cm． 设较小多边形的面积为 s ，则较大多边形的面积为4s ． ∵面积之和为100 ，∴s+4s=100，解得 s=20． ∴较小多边形的面积为20 ，较大多边形的面积为80 ． 答：这两个多边形的周长分别为10 cm和20 cm，面积分别为20 和80 ． 22．【解】 （1）∵矩形ABCD的周长是矩形A′B′C′D′周长的2倍，而相似多边形的周长比等于相似比， ∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的相似比为2:1． （2）∵相似比为2:1，∴面积的比为:=4:1． 设矩形A′B′C′D′的面积为 S ，则矩形ABCD的面积为4S ． ∵面积之差为36 ，∴4S-S=36，解得 S=12． ∴矩形A′B′C′D′的面积为12 ． 23．【解】 （1）∵菱形的相邻两个内角互补，∴当一个内角为120°时，其相邻内角为180°-120°=60°． 不妨取 m=60，n=120，则“接近度”=|m-n|=|60-120|=60． 当“接近度”为0时，m=n．又 m+n=180°，∴m=n=90°， 此时菱形的四个角都是直角，该菱形是正方形． （2）相等．理由：∵两个菱形相似，∴它们的对应角相等． 设其中一个菱形相邻两个内角的度数分别为 m°，n°， 则另一个菱形相应的两个相邻内角的度数也分别为 m°，n°， ∴它们的“接近度”都等于|m-n|，即“接近度”相等． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $