2026-2027学年高一上学期数学期中模拟卷拔高版1

2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则满足条件的实数的个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解两个方程，注意集合中元素的个数随的取值而变化，再逐一检验包含关系． 【详解】由得． 方程可化为，所以． 要使，只需，即或． （当时，同样符合题意．） 所以满足条件的实数有个． 故选：B． 2. 已知命题：∈[]，；命题：，．若与有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. []∪ 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出，为真的条件，再按“真假”与“假真”分类求解． 【详解】若为真，则对任意∈[]成立，所以； 若为真，则方程有实根，所以，即， 解得或． ①若真假，则且，所以； ②若假真，则且（或），所以． 综上，的取值范围是． 故选：C． 3. 已知命题：，命题：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把充分不必要条件转化为解集之间的真包含关系，注意端点的取舍． 【详解】由得，记，． 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 即，所以； 当时，，此时且，符合题意； 当时也符合题意． 所以的取值范围是]． 故选：A． 4. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由解集确定且，是方程的两根，用根与系数的关系表示，，再代入新不等式． 【详解】由解集为或知，且，是方程的两根， 所以，，即，． 代入得， 因为，两边同除以得，即， 即，解得或． 所以所求不等式的解集为． 故选：D． 5. 已知，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先换元，令，，则，再用“的代换”． 【详解】令，，则，，且． 所以． 因为，，所以， 当且仅当，即，时取等号，此时，，符合题意， 所以所求最小值为． 故选：C． 6. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用奇偶性把不等式化为的形式，再由单调性转化为自变量的大小关系，最后务必用定义域加以限制． 【详解】由得． 因为是奇函数，所以，即． 又在上单调递减，所以，即，解得． 同时自变量必须在定义域内：且， 解得且， 取交集得， 所以不等式的解集为． 故选：A． 7. 已知函数满足，且在[上单调递增，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由知图象关于直线对称，把自变量都转化到[上再比较． 【详解】由知的图象关于直线对称， 所以，， 又在[上单调递增，且， 所以，即． 故选：B． 8. 若不等式对任意∈[]恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按对称轴与区间[]的位置关系分类，分别求出各段上的最小值并令其非负． 【详解】设，其图象开口向上，对称轴为直线． ①当，即时，在[]上单调递增， ，恒成立； ②当，即时，， 由得，所以符合题意； ③当，即时，在[]上单调递减， ，得，与矛盾． 综上，的取值范围是． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐项用基本不等式或函数的单调性求最值，注意等号成立的条件． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，由得，B正确； 对于C，由，令]，则在]上单调递减， 所以，C正确； 对于D，，所以，D错误． 故选：ABC． 10. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（　　） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】赋值法求特殊值并判断奇偶性；用单调性的定义，结合“时”证明单调性． 【详解】对于A，令得，所以，A正确； 对于B，令得，即，所以是奇函数，不是偶函数，B错误； 对于C，任取，则，所以， ， 所以在上单调递减，C正确； 对于D，，D错误． 故选：AC． 11. 已知函数在区间[]上的值域为[]，则实数的取值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先配方求出最小值，再由值域的上下界确定区间端点必须满足的条件． 【详解】，其图象开口向上，对称轴为直线，． 因为值域为[]，所以区间[]必须包含，即； 又，，而当时，所以必须有． 当时，在[]上的最大值为，最小值为，值域恰为[]． 所以∈[]，选项中，，均符合，不符合． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________． 【答案】[ 【解析】 【分析】“”是“”的必要不充分条件等价于是的真子集． 【详解】由得=[]； 由得，所以是以和为端点的闭区间． 由题意是的真子集， 当时，=[]，需； 当时，=[]，此时，不合题意． 所以的取值范围是[． 13. 计算：＝____________． 【答案】 【解析】 【分析】把化为，注意零指数幂与以为底的对数的计算． 【详解】因为，所以； ；． 所以原式＝． 14. 已知，，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先把条件化为，再用“的代换”． 【详解】由及，，两边同除以得． 所以． 因为，，所以， 当且仅当时取等号，此时，，满足， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）计算：； （2）已知，（且），用，表示． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先把各数化为幂的形式，再用对数的运算性质与换底公式；（2）把分解为，用对数运算性质展开． 【详解】（1），， ， 所以原式＝． （2）因为，所以， 又，，所以． 【点睛】第（1）问中的底数是，应先用换底公式化为以为底的对数再计算；第（2）问的关键是把分解为与的幂的乘积． 16. （15分）已知集合，，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围； （3）若且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）或． 【解析】 【分析】先把两个集合都化为区间，再用数轴比较端点位置． 【详解】由得，即，所以=[]； 由得，所以． （1）要使，只需且，解得． （2）要使，只需或，解得或． （3）即且，解得； 即或，解得或． 取交集得或， 所以的取值范围是． 【点睛】本题的区间的长度恒为，端点随平移，因此只要抓住两个端点与，的相对位置即可；第（3）问是“相交”与“不包含”两个条件的交集，用数轴分段判断最清晰． 17. （15分）已知关于的不等式，． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时解集为，当时解集为，当时解集为，当时解集为，当时解集为；（3）． 【解析】 【分析】（2）因式分解后按二次项系数与两根大小分类；（3）把不等式因式分解为，由转化为分离参数． 【详解】（1）当时，不等式为，即，解得，解集为． （2）原不等式可化为． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式化为，解集为； ③当时，比较与的大小： 若，则，解集为； 若，则，无解，解集为； 若，则，解集为． （3）当时，，于是等价于，即． 因为在上单调递减，且， 所以要使对任意成立，只需． 故的取值范围是]． 【点睛】含参一元二次不等式的讨论要点有三：二次项系数的符号、两根是否存在、两根的大小；第（3）问用“分离参数”把恒成立问题转化为求的下确界，避免了繁琐的分类讨论． 18. （17分）已知定义在上的函数满足，且当时，，． （1）求的值，并判断的奇偶性； （2）证明：在上单调递减； （3）解不等式． 【答案】（1），为奇函数；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）赋值求，再令判断奇偶性；（2）把差值写成，用已知符号条件判断；（3）先把右边凑成，再用单调性去掉函数符号． 【详解】（1）令，得，所以． 令，得，即， 又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数． （2）证明：任取，，且，则， 由已知得， 又[]=， 所以，即， 故在上单调递减． （3）因为，， 所以原不等式即，即． 由（2）知在上单调递减，所以，解得， 所以不等式的解集为． 【点睛】抽象函数问题常用“赋值—变形—用性质”三步走：先由特殊值确定，再用获得奇偶性，最后把写成以利用符号条件． 19. （17分）对于函数，若存在实数使，则称为的一个“不动点”． （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不同的不动点，求实数的取值范围； （3）若函数在[]上存在不动点，求实数的取值范围． 【答案】（1）和；（2）或；（3）[]． 【解析】 【分析】“不动点”即方程的根，把问题转化为一元二次方程或函数值域问题． 【详解】（1）由得，解得或， 所以的不动点为和． （2）由得， 由题意该方程有两个不相等的实根，所以， 即，解得或． （3）由得， 记，∈[]， 当时取得最大值；当或时， 所以在[]上的值域为[]， 故的取值范围是[]． 【点睛】新定义问题的通法是“翻译”：把定义中的等式直接当作方程来处理；第（3）问把方程解出，转化为求函数在给定区间上的值域，体现了“分离参数”的思想． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则满足条件的实数的个数为（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题：∈[]，；命题：，．若与有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. []∪ 3. 已知命题：，命题：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，且在[上单调递增，则（　　） A. B. C. D. 8. 若不等式对任意∈[]恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（　　） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 11. 已知函数在区间[]上的值域为[]，则实数的取值可以是（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________． 13. 计算：＝____________． 14. 已知，，且，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，（且），用，表示． 16. 已知集合，，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围； （3）若且，求的取值范围． 17. 已知关于的不等式，． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 18. 已知定义在上的函数满足，且当时，，． （1）求的值，并判断的奇偶性； （2）证明：在上单调递减； （3）解不等式． 19. 对于函数，若存在实数使，则称为的一个“不动点”． （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不同的不动点，求实数的取值范围； （3）若函数在[]上存在不动点，求实数的取值范围． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $