2026-2027学年高一上学期数学期中模拟卷基础版4

2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则＝（　　） A. B. ] C. [] D. [ 2. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 或 3. 设，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 5. 若，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 设函数若，则＝（　　） A. B. C. 或 D. 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，＝（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，且，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列各式运算正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数满足，且，则（　　） A. B. C. 是奇函数 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，若，则实数的取值集合为____________． 13. 计算：＝____________． 14. 已知，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 已知集合，，，． （1）求及； （2）若，求的取值范围． 17. 已知二次函数． （1）求在[]上的最大值与最小值； （2）若对任意∈[]恒成立，求实数的取值范围； （3）若在区间[]上单调，求实数的取值范围． 18. 已知函数，且． （1）求的值； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）用定义证明在[上单调递增． 19. 某农户要用长为 m的篱笆围成一个矩形菜园，菜园中间用一道篱笆隔成两个全等的小矩形（隔墙与菜园的一边平行），且不留门．设小矩形的长为 m、宽为 m（）． （1）写出，满足的关系式，并求菜园总面积关于的函数解析式及其定义域； （2）当，各为多少时，菜园总面积最大？最大面积是多少？ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则＝（　　） A. B. ] C. [] D. [ 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，再借助数轴求交集． 【详解】由得，所以=[]． 又，所以]． 故选：B． 2. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】存在使二次式小于零，等价于该二次函数的最小值小于零，即判别式大于零． 【详解】命题为真，即存在实数使成立， 因为二次函数的图象开口向上，所以只需， 解得或． 故选：C． 3. 设，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，再判断两个条件之间的推出关系． 【详解】当时，恒成立；当时，由得， 所以的解集为． 若，则，必要性成立； 若，取，此时不满足，充分性不成立． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式有解等价于对应的二次函数能取到非正值，即判别式不小于零． 【详解】因为二次函数的图象开口向上， 所以不等式有实数解，当且仅当， 即，解得或． 故选：D． 5. 若，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把所求式乘以（其值为），展开后使用基本不等式． 【详解】因为，所以． 因为，，所以， 当且仅当时取等号，此时，，符合题意． 所以的最小值为． 故选：A． 6. 设函数若，则＝（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】按与两种情况分别解方程，注意检验解是否落在相应的区间内． 【详解】当时，，解得，结合得； 当时，，解得，符合． 综上，或． 故选：C． 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，先代入已知解析式，再用奇函数的定义转化为． 【详解】设，则，所以． 因为是奇函数，所以． 故选：D． 8. 已知函数在上单调递减，且，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用单调递减函数的性质：函数值小则自变量大． 【详解】因为在上单调递减，且， 所以，解得． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依据不等式的基本性质判断，注意“同向不等式不能相减”． 【详解】对于A，由，得，，所以，A正确； 对于B，由得，又，所以，B正确； 对于C，取，，，，则，，此时，C错误； 对于D，由得，又，所以，D正确． 故选：ABD． 10. 下列各式运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】用换底公式、零指数幂的意义、根式的意义及对数恒等式逐项判断． 【详解】对于A，，，所以，A正确； 对于B，，所以，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由对数恒等式得，D正确． 故选：ABD． 11. 已知定义在上的函数满足，且，则（　　） A. B. C. 是奇函数 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过赋值法求特殊值、判断奇偶性；单调性无法由已知条件确定． 【详解】对于A，令，得，所以，A正确； 对于B，令，得，所以，B正确； 对于C，令，得，即，所以是奇函数，C正确； 对于D，取，满足条件且在上单调递增；取，也满足条件但在上单调递减， 所以的单调性无法确定，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，若，则实数的取值集合为____________． 【答案】 【解析】 【分析】即，按与讨论的元素． 【详解】由得． 当时，，符合题意； 当时，，由得或，即或． 综上，的取值集合为． 13. 计算：＝____________． 【答案】 【解析】 【分析】负指数先化为正指数，分数指数化为幂的乘方；写成的负指数幂的对数． 【详解】， ， 所以原式＝． 14. 已知，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】配凑成“”，再用基本不等式． 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）逐项化简后合并；（2）平方后注意中间项为常数． 【详解】（1），，， 所以原式＝． （2）将两边平方，得， 所以． 【点睛】第（2）问中，故平方后中间项为而不是，这是与“和式平方”最容易混淆的地方． 16. （15分）已知集合，，，． （1）求及； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）=[]，；（2）． 【解析】 【分析】先分别解不等式化简，，再用数轴求交集、并集与补集；第（2）问由区间包含关系列不等式组． 【详解】由得，所以=[]； 由得，所以=[]． （1）=[]，=[]， 所以． （2）因为=[]，要使=[]， 只需且，解得， 所以的取值范围是[]． 【点睛】求补集时要注意端点取舍：的两个端点都属于并集，故补集中不含和． 17. （15分）已知二次函数． （1）求在[]上的最大值与最小值； （2）若对任意∈[]恒成立，求实数的取值范围； （3）若在区间[]上单调，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）配方后比较顶点与端点；（2）分离参数转化为求新函数的最小值；（3）区间整体位于对称轴的一侧． 【详解】（1），对称轴为直线， 因为∈[]，所以， 又，，所以． （2）由得对任意∈[]恒成立， 令，∈[]，则， 所以，即的取值范围是． （3）因为的图象开口向上，对称轴为直线， 要使在[]上单调，只需或， 解得或． 【点睛】第（2）问也可以用“分离参数法”：恒成立等价于；第（3）问注意“单调”包含单调递增和单调递减两种情形． 18. （17分）已知函数，且． （1）求的值； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）用定义证明在[上单调递增． 【答案】（1）；（2）奇函数，理由见解析；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）代入求值；（2）定义域关于原点对称且；（3）作差后分解出与． 【详解】（1）由得，即． （2）的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是奇函数． （3）证明：任取，∈[，且， 则． 因为，所以，，即，， 所以，即， 故在[上单调递增． 【点睛】对（）而言，它在]上递减、在[上递增，本题的证明正是这一结论的严格表述． 19. （17分）某农户要用长为 m的篱笆围成一个矩形菜园，菜园中间用一道篱笆隔成两个全等的小矩形（隔墙与菜园的一边平行），且不留门．设小矩形的长为 m、宽为 m（）． （1）写出，满足的关系式，并求菜园总面积关于的函数解析式及其定义域； （2）当，各为多少时，菜园总面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），，定义域为；（2），时面积最大，最大面积为平方米． 【解析】 【分析】（1）数清篱笆的条数：两条长为的边、三条长为的边，再由确定定义域；（2）配方（或用基本不等式）求最值，并检验取等条件是否在定义域内． 【详解】（1）菜园的两条长边共需篱笆 m，三条宽边（含中间的隔墙）共需篱笆 m， 所以，即． 由得，解得． 菜园总面积，定义域为． （2）， 因为，所以当时，取得最大值， 此时，满足． 故当 m， m时，菜园总面积最大，最大面积为平方米． 【点睛】本题建模的关键是数清篱笆的条数并写出约束；也可用基本不等式得到，两种方法本质一致． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $