2026-2027学年高一上学期数学期中模拟卷基础版1

2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则＝（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（　　） A. ] B. ] C. ] D. 6. 已知函数则＝（　　） A. B. C. D. 7. 若，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的偶函数在[上单调递减，则（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列各式运算正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（　　） A. B. C. 当时， D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的真子集的个数为____________． 13. 计算：＝____________． 14. 已知，，且，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 已知集合，，． （1）当时，求及； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围； （3）若在区间[]上单调递增，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明在上单调递增； （3）求在[]上的值域． 19. 某农户要用长 m的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的一边利用长为 m的旧墙，其余三边用篱笆围成，且与墙平行的边不超过墙长．设垂直于墙的一边长为（单位：m），菜园的面积为（单位：平方米）． （1）求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由不等式确定集合中的整数元素，再求交集． 【详解】因为，所以中的整数元素为，，即． 又，所以． 故选：A． 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时“改量词、否结论”． 【详解】命题“，”是存在量词命题， 其否定为“，”． 故选：C． 3. 设，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断“”与“”是否成立． 【详解】当时，必有，所以“”是“”的充分条件； 当时，或，不一定有，例如，所以“”不是“”的必要条件． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把二次项系数化为正数，再求相应方程的两根，结合图象写出解集． 【详解】不等式两边同乘，得， 即，解得． 所以原不等式的解集为． 故选：D． 5. 函数的定义域为（　　） A. ] B. ] C. ] D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式被开方数非负、分母不为零列不等式组求解． 【详解】要使函数有意义，只需 解得且． 所以函数的定义域为]． 故选：B． 6. 已知函数则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由内向外求值，先判断自变量所在区间，再代入对应的解析式． 【详解】因为，所以； 又，所以． 故选：B． 7. 若，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两项均为正数且乘积为定值，直接使用基本不等式求最小值，并检验等号成立的条件． 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． 故选：C． 8. 已知定义在上的偶函数在[上单调递减，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的性质把自变量都转化到[上，再用单调性比较． 【详解】因为是偶函数，所以． 又在[上单调递减，且， 所以，即． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐项依据不等式的基本性质判断，注意不等式两边同乘一个数时该数的符号，以及的特殊情形． 【详解】对于A，由，两边同乘得，两边同乘得，故，A正确； 对于B，由得，两边同除以得，即，B正确； 对于C，， 因为，所以，，故该式大于，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：ABC． 10. 下列各式运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】依据负指数幂、根式的意义以及对数的运算性质逐项计算． 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：ABC． 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（　　） A. B. C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义及求值、求解析式，再结合二次函数的图象判断单调性． 【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，A正确； 对于B，，所以，B正确； 对于C，设，则，， 由得，C错误； 对于D，当时，，其在上单调递减，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的真子集的个数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】含有个元素的集合共有个子集，其中真子集有个． 【详解】集合中含有个元素，所以的子集共有个， 去掉本身，真子集共有个． 13. 计算：＝____________． 【答案】 【解析】 【分析】先由分数指数幂的意义求，再用对数运算性质合并． 【详解】， ， 所以原式＝． 14. 已知，，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】把所求式乘以（其值为），展开后使用基本不等式，注意等号成立的条件． 【详解】因为，所以． 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，此时，，符合题意． 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）把小数化为分数、把底数化为幂的形式，再用指数幂与对数的运算性质计算；（2）把已知等式两边平方，注意中间项为常数． 【详解】（1）因为，， ， 所以原式＝． （2）将两边平方，得， 即，所以． 【点睛】第（1）问的易错点是的符号与的运算顺序，应先把底数写成幂的形式再约分指数；第（2）问体现了“平方”这一处理指数和式的常用手段． 16. （15分）已知集合，，． （1）当时，求及； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），]；（2）或． 【解析】 【分析】（1）代入后借助数轴求并集与补集的交集；（2）先考虑的情形，再在时由区间位置关系列不等式． 【详解】（1）当时，，又， 所以． 因为]∪[， 所以]． （2）①当，即时，，此时，符合题意； ②当，即时，， 要使，只需或， 解得或． 综上，实数的取值范围是或． 【点睛】含参数的集合运算问题，若集合由开区间给出，一定要先讨论集合为空集的情形，否则容易漏解；数轴是判断区间位置关系最直观的工具． 17. （15分）已知函数，． （1）若，求的值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围； （3）若在区间[]上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）[]；（3）． 【解析】 【分析】（1）直接代入计算；（2）二次函数在上恒非负，只需判别式不大于零；（3）二次函数的单调区间以对称轴为分界，只需对称轴不在区间内部． 【详解】（1）因为，， 由得，解得． （2）因为二次函数的图象开口向上， 所以对任意恒成立，当且仅当， 即，解得． 所以的取值范围是[]． （3）函数的图象开口向上，对称轴为直线， 要使在[]上单调递增，只需． 所以的取值范围是]． 【点睛】“在区间上单调”与“单调区间是”不同：前者只要求是对称轴某一侧的区间的一部分，故用端点与对称轴比较即可，不需要等号以外的额外限制． 18. （17分）已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明在上单调递增； （3）求在[]上的值域． 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）[]． 【解析】 【分析】（1）先求定义域并判断其是否关于原点对称，再比较与；（2）按“取值—作差—变形—定号—结论”的步骤证明；（3）由单调性直接求端点函数值． 【详解】（1）是奇函数．理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是奇函数． （2）证明：任取，，且， 则． 因为，所以，，从而， 所以，即， 故在上单调递增． （3）由（2）知在[]上单调递增， 所以，， 即在[]上的值域为[]． 【点睛】用定义证明单调性时，作差后必须化成“因式的积或商”的形式，才能由各因式的符号确定差的符号；本题中把两项合并成是关键一步． 19. （17分）某农户要用长 m的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的一边利用长为 m的旧墙，其余三边用篱笆围成，且与墙平行的边不超过墙长．设垂直于墙的一边长为（单位：m），菜园的面积为（单位：平方米）． （1）求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），定义域为[；（2）时面积最大，最大面积为平方米． 【解析】 【分析】（1）用表示与墙平行的边长，由“平行边不超过墙长”和“边长为正”确定定义域；（2）配方求二次函数在给定区间上的最值． 【详解】（1）因为篱笆总长为 m，垂直于墙的两边共长 m， 所以与墙平行的边长为 m， 由题意得，解得， 所以，定义域为[． （2），∈[， 所以当时，取得最大值． 故当 m时，菜园的面积最大，最大面积为平方米． 【点睛】建立函数模型解决实际问题时，定义域往往由实际条件（如墙长、边长为正）给出，不能只写；求出顶点后还要检验它是否落在定义域内． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $