2026-2027学年高一上学期数学期中模拟卷基础版3

2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 若命题“∈[]，”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，，则“”是“”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知不等式的解集为，则＝（　　） A. B. C. D. 5. 若，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数则的值域为（　　） A. [] B. [] C. []∪] D. [] 7. 函数=||+||的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（　　） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. 若是的充分条件，则是的必要条件 11. 关于函数（），下列说法正确的是（　　） A. 当时，在[]上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 若在[上单调递增，则 D. 若的最小值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合是集合的子集，则实数的取值集合为____________． 13. 计算：＝____________． 14. 已知，，且，则的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值及（结果用，表示）． 16. 已知集合，，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 17. 已知关于的不等式，． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式； （3）若不等式在[]上恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明在[上单调递减； （3）求在[]上的值域． 19. 已知函数在区间[]上的最小值为，． （1）求的解析式； （2）求的最大值． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再由区间的包含关系确定端点的大小． 【详解】由得，所以=[]． 因为，要使，只需． （若，则，而但，不满足．） 所以的取值范围是． 故选：A． 2. 若命题“∈[]，”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全称量词命题为假，则其否定为真，转化为存在性问题求最值． 【详解】命题“∈[]，”的否定是“∈[]，”， 由题意，该否定为真命题，即存在∈[]使成立， 而当∈[]时的最大值为，所以． 故的取值范围是． 故选：C． 3. 已知，，则“”是“”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】用基本不等式判断充分性，用反例说明必要性不成立． 【详解】若，则，充分性成立； 若，取，，此时，但，必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 4. 已知不等式的解集为，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式的解集端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系（或代入求根）求，． 【详解】由题意，和是方程的两根，且， 由根与系数的关系得，， 解得，， 所以． 故选：D． 5. 若，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把写成，展开后用基本不等式． 【详解】因为，所以， 又，，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故选：B． 6. 已知函数则的值域为（　　） A. [] B. [] C. []∪] D. [] 【答案】C 【解析】 【分析】分段求出各段上的取值范围，再取并集，注意端点的取舍． 【详解】当时，∈[]； 当时，]． 所以的值域为[]∪]． 故选：C． 7. 函数=||+||的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用绝对值的几何意义：||+||表示数轴上点到与的距离之和． 【详解】||+||表示数轴上的点到点和点的距离之和， 当点在线段[]上时，距离之和取得最小值，最小值为． 所以的最小值为． 故选：D． 8. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求时不等式的解集，再利用偶函数图象关于轴对称得到时的解集． 【详解】当时，由得； 又，所以不满足； 因为是偶函数，其图象关于轴对称，所以当时，的解为． 综上，不等式的解集为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐一使用基本不等式，并检验等号能否成立． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，取，，则，D错误． 故选：ABC． 10. 下列命题正确的是（　　） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. 若是的充分条件，则是的必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐项依据命题的否定规则、充分必要条件的定义判断． 【详解】对于A，全称量词命题的否定是存在量词命题，且结论要否定，A正确； 对于B，时成立；时或，不一定有，故为充分不必要条件，B正确； 对于C，当时，由不能得到，C错误； 对于D，由充分条件与必要条件的定义可知，即是的必要条件，D正确． 故选：ABD． 11. 关于函数（），下列说法正确的是（　　） A. 当时，在[]上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 若在[上单调递增，则 D. 若的最小值为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】二次函数的对称轴、单调性与最值都与对称轴的位置有关，逐项分析． 【详解】对于A，当时，对称轴为直线，在[]上单调递减，在[]上单调递增，A错误； 对于B，，其图象关于直线对称，B正确； 对于C，在[上单调递增，若在[上单调递增，则，C正确； 对于D，，解得，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合是集合的子集，则实数的取值集合为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定，再按与讨论集合的元素． 【详解】由得． 当时，，符合题意； 当时，，由得或，即或． 综上，的取值集合为． 13. 计算：＝____________． 【答案】 【解析】 【分析】用换底公式把化为以为底的对数． 【详解】， 所以． 14. 已知，，且，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】把凑成，再用基本不等式． 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）计算：； （2）已知，，求的值及（结果用，表示）． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）把带分数化为假分数，再用指数幂与对数的运算性质；（2）利用同底数幂的运算法则与对数运算性质． 【详解】（1）因为，所以， ，， 所以原式＝． （2）由，得； 因为，所以． 【点睛】指数式与对数式的互化是解决此类问题的关键：即，于是，两种思路本质相同． 16. （15分）已知集合，，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）[]；（2）或；（3）． 【解析】 【分析】先化简；含参数的区间型集合要注意讨论是否为空集；再借助数轴列不等式． 【详解】由得，所以=[]． （1）当时，=[]，所以=[]． （2）①当，即时，，符合题意； ②当时，，要使，只需且， 解得． 综上，的取值范围是或． （3）要使，需，即， 且，， 解得， 所以的取值范围是[]． 【点睛】第（2）问若忽略的情形就会漏解；第（3）问则要注意时交集必为空，故必须补上这一前提． 17. （15分）已知关于的不等式，． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式； （3）若不等式在[]上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时解集为，当时解集为，当时解集为；（3）． 【解析】 【分析】先因式分解得到两根与，再按两根的大小关系分类讨论；恒成立问题转化为区间包含关系． 【详解】（1）当时，不等式为，即， 解得，所以解集为． （2）原不等式可化为，两根为和． 当时，解集为； 当时，无解，解集为； 当时，解集为． （3）要使不等式在[]上恒成立，即[]是不等式解集的子集， 由（2）知只有时解集才非空，此时需， 所以的取值范围是． 【点睛】含参一元二次不等式的求解，本质是比较两根的大小；当二次项系数为正时，解集是“两根之间”，因此只需讨论与的大小关系． 18. （17分）已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明在[上单调递减； （3）求在[]上的值域． 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）[]． 【解析】 【分析】（1）判断定义域是否对称，再比较与；（2）作差后因式分解，判断各因式的符号；（3）由单调性求端点值． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是奇函数． （2）证明：任取，∈[，且， 则 =． 因为，所以，，即， 所以，即， 故在[上单调递减． （3）由（2）知在[]上单调递减， 所以，， 故在[]上的值域为[]． 【点睛】作差后把分子整理成“乘以另一个因式”的形式，是利用定义证明单调性的通用技巧；判断的符号时，必须用到区间条件． 19. （17分）已知函数在区间[]上的最小值为，． （1）求的解析式； （2）求的最大值． 【答案】（1）（2）最大值为． 【解析】 【分析】按对称轴与区间[]的三种位置关系分类，分别求最小值；再分段求的最大值． 【详解】，其图象开口向上，对称轴为直线． （1）①当时，在[]上单调递增，所以； ②当时，在处取得最小值，所以； ③当时，在[]上单调递减，所以． 综上， （2）①当时，； ②当时，，当时取到； ③当时，． 综上，的最大值为． 【点睛】“轴动区间定”的二次函数最值问题，分类标准是对称轴与区间的相对位置（在区间左侧、在区间内、在区间右侧），三种情形缺一不可． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $