专题02 等式与不等式及其综合应用（高效培优期中专项训练）高一数学沪教版必修第一册

专题02 等式与不等式及其综合应用 考点01 等式的性质与方程的解集 考点02 一元二次方程根的分布及根与系数关系 考点03 不等式的性质与代数式大小比较 考点04 一元二次不等式（含参数与恒成立） 考点05 分式不等式与高次不等式 考点06 含绝对值不等式（含三角不等式） 考点07 基本不等式求最值（一正二定三相等） 考点08 基本不等式综合与恒成立、实际应用 考点09 综合培优压轴题 考点01 等式的性质与方程的解集 1．（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则______． 【答案】5 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 3．（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 【答案】且 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 4．（23-24高一上·上海·期中）设，则方程的解集为__________. 【答案】 【详解】时，原式，不合题意 时，原式 时，原式即恒成立 时，原式，不合题意 故 故答案为： 5．（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 【答案】当时，解集为；当时，；当时， 【详解】关于的方程，即为， 当时，方程解集为； 当时，解集为； 当时 ，方程解集为． 考点02 一元二次方程根的分布及根与系数关系 6．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·期中）已知方程有两个实数根、，满足，则实数的值为_____． 【答案】 【详解】对于方程，由韦达定理可得，， 又， 解得或， 因为方程有两个实数根，需，解得或， 故． 故答案为：． 8．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以． 9．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 10．（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 【详解】(1)证明如下： 原方程可化为 即方程 因为 所以有两个不同的实数解 经检验 所以，，， 所以关于的方程有两个不同的实数解. （2）令， 而二次函数图象开口向上，故， 所以. 11．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 12．（25-26高一上·上海闵行·期中）已知二次函数． (1)若关于的方程有两个不等实数根，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不等正实数根，求实数的取值范围； (3)若在内不存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或. (2) (3) 【详解】（1）由方程有两个不等实数根， 可得：，化简得：， 解得或. 故实数的取值范围为或. （2）由方程有两个不等实数根， 可得：，化简得：， 解得或， 且满足，解得， 故实数的取值范围为. （3）因为在内不存在使得不等式成立， 所以在内使得不等式恒成立， 当对称轴，只需要满足，解这两个不等式组可得：， 当对称轴，只需要满足，解这两个不等式组可得：， 综上可得：实数的取值范围为. 13．（25-26高一上·上海·期中）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 打开括号得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为，， 所以有，解得. 14．（25-26高一上·上海·期中）阅读：高中数学必修第一册29页——《韦达定理的证明》. 韦达定理  若一元二次方程的两个根为、.则，. 证明  因为一元二次方程的两个根为、，所以二次三项式可以因式分解为.由于，从而等式恒成立.由例5知，该等式两边的对应项系数应相等.因此，.深刻阅读，类比思考，仔细计算，完成以下问题： (1)写出一个满足三个根分别为1，2，3的一元三次方程______；（整理成的形式） (2)“若一元三次方程的三个实根为，，”，则______，______，______； (3)已知长方体体积为1，长宽高之和为，表面积为，求实数的取值范围.（需要用到的公式提示： 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)，，； (3). 【详解】（1）根据根与方程的因式分解关系， 三个根为1，2，3的一元三次方程可写为， 展开整理得. （2）对一元三次方程， 将其因式分解为， 展开得， 比较各项系数， 可得，，. （3）设长方体的长、宽、高为、、， 由题意得，，. 构造一元三次方程，易知是其根， ， 故方程可分解为. 对于二次方程， 需满足判别式且两根之和，解得， 即实数的取值范围为. 考点03 不等式的性质与代数式大小比较 15．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A： 因为，比如，那么此时，所以A错误； 对于B： 因为，比如，那么此时，所以B错误； 对于C： 因为，不等式两边同除以一个正数，符号不变，所以C正确； 对于D： 因为，若，则，所以D错误. 故选：C. 16．（25-26高一上·上海徐汇·期中）已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， (1)若，求实数的值； (2)将与表示为的代数式，并比较与的大小. 【答案】(1)； (2),,. 【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， 则，解得：或， 由韦达定理可得：， 所以，解得：或（舍去）； 所以实数的值为 （2）由（1）得或，且， 所以，， 所以， 当时，则， 故， 当时， 则， 故， 综上，，，且. 17．（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 【答案】(1). (2) 【详解】（1）， 所以； （2）因为是的充分条件，设, 则是的充分条件，即 若，当，即时，满足条件, 若，要使, 则,即 , 综上，实数的范围是. 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知点和点是直角坐标系第一象限内的两个点，定义：若，则称点是点的“上位点”，点是点的“下位点”． (1)试写出点的一个“上位点”和一个“下位点”坐标； (2)已知正数a、b、c、d满足：，，且点是点的“上位点”．试判断点和点是否是的“上位点”？证明你的结论． 【答案】(1)一个“上位点”是，一个“下位点”是； (答案不唯一) (2)点不是的“上位点”， 点是的“上位点”，证明见解析. 【详解】（1）由定义，可知，，且， 所以点的一个“上位点”是，一个“下位点”是； （2）由条件可知，，且， 则 ， 由条件，，可知，，， 且，即， 即，得， 所以点是的“下位点”，不是“上位点”， ， 由条件，，可知，，， 且，即， 即，得， 所以点是的“上位点”. 19．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）证明:先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 20．（24-25高一上·上海浦东新·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 【详解】（1）∵, ∴的一个“下位点”可以是；的一个“上位点”可以是. (2)结论正确：点既是点的“下位点”，又是点的上位 证明：∵点是点的“上位点”， ∴，且，，，均大于0，∴ ∴，即， ∴点是点的“下位点”； 同理，，即， ∴点是点的“上位点”. (3)由题意对任意，都成立 即总存在正整数，使不等式成立 则对任意，都成立 对任意，为正整数恒成立 所以正整数的最小值为4049. 考点04 一元二次不等式（含参数与恒成立） 21．（25-26高一上·上海·期中）关于x的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以是方程的两个根，且， 所以， 解得， 所以， 故答案为： 22．（25-26高一上·上海松江·期中）已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为关于的不等式：的解集为，所以关于的不等式：恒成立， 当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，必须且只需，解得； 综上，. 故答案为：. 23．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为______ 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 因表示不大于的最大整数，则所以， 不等式的解集为. 故答案为： 24．（25-26高一上·上海·期中）若不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】当时，成立， 当时，需满足，解得， 综上实数a的取值范围为， 故答案为： 25．（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是______. 【答案】 【详解】由题意可知方程的两根分别为， 由韦达定理得，，所以， 所以不等式即为，即， 即，解得. 所以所求的解集为. 故答案为：. 26．（25-26高一上·上海金山·期中）设命题方程有两个不相等的正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围____________. 【答案】 【详解】当命题为真时，有，解得． 当命题为真时，有，即，解得． 由题意，与中有且只有一个是真命题，分两种情况： 若真假，则，解得； 若假真，则，解得． 综上可得实数的取值范围是． 故答案为： 27．（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 则一元二次方程的两个根为2和3， 所以， 所以不等式变为， 即，解得或. 故答案为：. 28．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和， 则，得：， 所以不等式等价于， 结合，整理可得， 又，则，因此解得：. 因为关于的不等式有且仅有个整数解， 因此，即，解得：. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 29．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是________ 【答案】或 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 30．（25-26高一上·上海·期中）已知使得代数式有意义的实数的取值集合为，若对任意的，代数式的值恒为正数，则实数的取值范围是______． 【答案】或. 【详解】由分母不为零，对判别式进行分类讨论可知： 当，即时，由可知解集为， 此时要使得代数式的值恒为正数， 只需要再满足， 解得，再结合，可知此时实数的取值范围是； 当，即或时， 若，由可知解集为， 此时代数式的值恒为正数， 若，由可知解集为， 此时代数式 当自变量取时，代数式的值，不满足恒为正数， 此时实数的取值范围是； 当，即或时，由可知解集不为， 设的两根为，且，则定义域为且， 根据题意要满足代数式的值恒为正数， 则当时，由，则， 当或时，由，则， 此时方程与方程同解， 则满足， 此时实数的取值范围是； 综上可得：此时实数的取值范围是或. 31．（25-26高一上·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，，，且，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【详解】（1）当时，或， 又，， ①时，，解得， ②时，或，解得， 综上，或. 所以的取值范围是. （2），即， 当时，则有，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，方程的两根分别为和， 当时，即，解原不等式得或； 当时，即，原不等式即为，解得； 当时，即，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 32．（25-26高一上·上海·期中）已知p：根式对一切实数x有意义；q：集合. (1)求p成立时实数k的取值范围； (2)若p与q同时成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【详解】（1）由题意，因为对于一切实数x有意义， 所以， 当时，恒成立，，符合题意； 当时，可得，解得， 综上实数k的取值范围为. （2）由（1）得，p成立时k的取值范围为. 因为， 所以当时，，解得， 此时，符合题意； 当时，若判别式，解得， 此时，符合题意； 若，解得， 由，解得， 此时，不符合题意； 若，解得， 此时有两个实数根，不符合题意， 所以q成立时k的范围为， 所以p与q同时成立，实数k的取值范围是. 33．（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次方程（a，b，，）的两个实根为，． (1)若，，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； (3)若，，求y的取值范围． 【详解】（1）当，，时， 化为， 则两个实根，由韦达定理可得：， 则， 则. （2）(2)证明：假设，都小于2， 因为，， ，且与异号， 的两个实根，， 由韦达定理可得：， 则与同正，且此时， 则， 因为，都小于2， ，这与矛盾， 故假设不成立， 所以，中至少有一个大于等于2. （3）， ， 则可化为：， 因为一元二次方程有两个实根， ，且， 即， 则， 解得或， y的取值范围为. 34．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是.求实数的值； (2)若是关于的方程的两个根，求的最小值； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)4 (3)①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； ④当时，原不等式的解集为 【详解】（1）由题意：方程的两根为，且， 所以. 所以. （2）由韦达定理可得：， 所以. 因为，所以（当且仅当时取“=”）. 又当时，方程为，因为，所以方程有两个根. 所以的最小值为4. （3）当时，由可化为：. 因为，若，则原不等式可化为：； 若， 当时，的两根为， ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 综上可知： ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； ④当时，原不等式的解集为. 35．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. (3)依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 考点05 分式不等式与高次不等式 36．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解为________ 【答案】 【详解】因为，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为：. 故答案为：. 37．（25-26高一上·上海·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 38．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集是______. 【答案】 【详解】由题意可知：，解得或，且， 因为， 若或1或3，原不等式显然成立； 若，则，，，， 可得，解得或，则； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 39．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 此时，故不在不等式解集中，符合要求； 综上，可得在上恒成立， 且的根仅可在区间上取得； 当时，有，符合题意； 当时，若，即， 令，则，符合要求； 若，则有，解得； 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为：. 40．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有四个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 41．（25-26高一上·上海·期中）定义： 形如（其中均为关于的整式，且）的不等式为“阶梯分式不等式”，其“阶梯运算”的规则如下：当时，表示“”；当时，表示“”；当时，表示“”． (1)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集； (2)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 阶梯分式不等式， 或或， 即或或， 解得或或， 综上，该不等式的解集为； （2）解：阶梯分式不等式 或或， 即或或， 即或或， 解得或或， 综上，该不等式的解集为． 42．（25-26高一上·上海·期中）已知：实数x满足不等式，：实数x满足不等式 (1)设使成立的实数x组成集合A，求集合A（用区间形式表示）； (2)是否存在实数m，使得是的充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 不等式等价于且，解得， 集合 （2）假设存在实数m，使得是的充分条件，设是的解集，则， ，， 当时，解得，，不包含于，故不成立； 当时，不等式变为，解集为，成立； 当时，解集为，则包含于，成立． 综上，存在使得,即是的充分条件． 考点06 含绝对值不等式（含三角不等式） 43．（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得或， 所以由绝对值的几何意义可知或， 所以不能推出，能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 44．（25-26高一上·上海闵行·期中）不等式中，当等号成立时的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由，分三类讨论： （1）当时，，所以；不符合题意； （2）当时，，所以，符合题意； （3）当时，，所以，不符合题意； 综上可知，当等号成立时的取值范围是. 故答案为：. 45．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为______． 【答案】 【详解】不等式化为：或或， 解得或或， 因此，所以原不等式的解集为. 故答案为： 46．（25-26高一上·上海·期中）若关于的不等式共有2025个整数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】显然， 当时，由可得， 解得，所以 当时，由可得， 所以 当时，由可得， 解得，所以 综上：不等式的解集为 因为共有2025个整数解，所以， 解得，所以， 故这2025个整数解只能为254，255，…，2278， 所以，解得； 所以的取值范围是． 故答案为： 47．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，且，则的最小值是______ 【答案】1 【详解】由. 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为3； 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为1； 综上：的最小值是1. 故答案为：1 48．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的取值范围为__________________. 【答案】 【详解】因为，， 当且仅当，时取等号. 所以，又， 所以成立， 则， 易知， 所以 所以 故答案为： 49．（24-25高一上·上海·期中）（1）对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． （2）若关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围． （3）符号表示不大于的最大整数，例如：.设方程的解集为，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2）或（3）； 【详解】（1）由于，故，即，即，解得， （2）由于关于x的不等式的解集不为空集， 若，则不等式为，解得，符合解集不为空集， 若，则不等式为，此时解集为空集，不符合题意，舍去， 若，即或，则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向上，故该不等式的解集一定不为空集，符合题意， 若，即，则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向下，要使不等式的解集不为空集，则，化简得，解得符合题意， 综上可得或 （3）因为，所以， 当，不等式为，解得， 当，不等式为，解得， 当，不等式为，此时无解， 综上可得， 又， 当时，，则，符合题意； 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为； 50．（25-26高一上·上海·期中）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数． (1)若，求的取值范围； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在最小值？若存在，求出该最小值及此时的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)最小值为16，此时 【详解】（1）依题意，得， 当时，，解得，故； 当时，，故； 当时，，解得，故； 综上：. （2）依题意，得对一切实数恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. （3） 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和， 要想距离之和最小， 当且仅当即取得最小值， 取得最小值， 当且仅当即取得最小值， 当且仅当即取得最小值， 当时， 当且仅当即取得最小值， 综上：当时，取得最小值， 最小值为， 故的最小值为16. 51．（25-26高一上·上海·期中）已知代数式和． (1)若，求关于的方程的解集； (2)若，用反证法证明：中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件． 【详解】（1）当时，方程为， 当时，方程化为，解得； 当时，方程化为，即，恒成立，此时方程的解为； 当时，方程化为，解得，时不成立，无解． 方程的解集为． （2）若，假设和两者都小于，即，， 解得且，区间与无交集， 假设错误，故和至少有一个不小于． （3），不等式对任意实数恒成立， 当时，，即，， 时，恒成立； 当时，，即，当，即， 时恒成立， 只需讨论当时，恒成立时，实数需满足的条件． 当时，，即， 若，要使在时恒成立，，且无边界，不满足，舍去； 若，要使在时恒成立，则，； 若，要使在时恒成立，则，即 ， 当时，，即，，得， 要使在上恒成立，且无边界，不满足，舍去； 或，即． 52．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于两个实数a，b，规定， (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集非空，求实数a的取值范围； (3)设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在自然数a，使得不等式与的解集都包含于A，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的a的所有值． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或1或2. 【详解】（1）由，故与同号， 则，即x的取值范围为． （2）不等式解集非空，即解集非空， 记，则，， 当等号成立．故，解得或， 故实数a的取值范围． （3）由，得，解得； 不等式，即，即，解得． 综上，． 不等式，即， 法一：也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，，所以，， 所以，解得或． 当，， （ⅰ）当，，，， （ⅱ）当，，，符合题意， 当，， （ⅰ）当，，，， （ⅱ）当，，，符合题意． 综上，或或． 法二：对恒成立，令，. 当时，，，满足条件. 当时，，故. 综上，或1或2. 法三：对恒成立， ∴. 当时，成立. 当时，，则. 综上，，故或1或2. 法四：对恒成立， ∴，对恒成立， ∴， ∴，且， 根据对勾函数的性质，知，所以， ∴或1或2，结合①， 时，，则； 时，，则， 时，，则， 综上，或1或2. 53．（25-26高一上·上海·期中）教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： (1)求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； (2)求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； (3)对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 【详解】（1）， 当且仅当即时等号成立， 所以当时，取最小值2. (2)1，4，2，3的波动距离为； 实数，，，满足， 则 ， 因为， 所以， 即. (3)32，理由如下： ， 其中，，，， 因为当或时，， 由（2）知交换，的顺序可使得波动距离变大，所以；同理， 所以或， 可知的最大值是. 考点07 基本不等式求最值（一正二定三相等） 54．（25-26高一上·上海·期中）若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为___________． 【答案】 【详解】当一个直角三角形的斜边为，设直角三角形的直角边为， 所以，所以， 所以，当且仅当时，面积最大， 当面积最大时，三角形的周长为. 故答案为：. 55．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知正实数､满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【详解】正实数､满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 56．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【答案】 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 57．（25-26高一上·上海·期中）若对任意满足的实数，都有成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 由对任意满足的实数，都有成立，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 58．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 59．（25-26高一上·上海浦东新·期中）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一： 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：①整体观察：②整体设元；③整体代入：④整体求和等. 例如，，求证：. 证明：原式. 阅读材料二： 解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 结合阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以； （2）由正实数，满足， 所以 ， 由于，故，当且仅当，即，时等号成立， 因为有最小值，此时有最大值， 从而最小值，即有最小值，当且仅当，时取得． 60．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； （2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 【答案】（1）；（2）①甲两次均值不等式等号条件不一致，正确最小值为；②乙误用均值不等式，正确最大值为. 【详解】（1）因为正实数，满足，则. ， 当且仅当即时取等号. 由恒成立，得，即，解得. （2）①甲的错误：两次使用均值不等式时，等号成立条件不同， 第一次需，第二次需，无法同时满足. 正确解法：由，， 当且仅当时取等号，故最小值为. ②乙的错误：误用均值不等式（应针对和使用，而非和）. 正确解法：由，， 当且仅当即，时取等号，故最大值为. 61．（25-26高一上·上海松江·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 【答案】(1)7 (2)；， (3) 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， 所以最小值为7； （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 62．（25-26高一上·上海松江·期中）正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； (2)设的最小值为，且正数满足，求的最小值； (3)若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 【答案】(1) (2) (3)；的最小值为，此时 【详解】（1）若正实数满足， ,当且仅当且,即时取等号， 所以的最小值，当且仅当时取等号. （2）函数，作出图象，    函数的最小值为1，则， ， 当且仅当且，即时，等号成立； 所以，所求最小值为. （3）若正实数满足,且， 由 因为，且仅当时取等号， 所以 ，所以. 代数式, 令,则, 所以, 当且仅当，即时取等号, 又因为，解得， 即，所以. 所以的最小值为，此时. 考点08 基本不等式综合与恒成立、实际应用 63．（25-26高一上·上海·期中）如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．    (1)设，试用表示，并写出的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，S取得最小值，为2000. 【详解】（1）依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上 （2）由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000. 64．（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【答案】(1)40 (2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 65．（25-26高一上·陕西汉中·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. (1)若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 【答案】(1)m，m (2)m，m 【详解】（1）由题意：，，. 因为，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，所用篱笆总长最小. （2）由题意：，，. 所以，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，篱笆所围的育苗区面积最大. 66．（24-25高一上·上海松江·期中）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 【答案】(1)，2； (2)108 【详解】（1）由题意得， 所以， 当时，， （秒， 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． （2）根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得，所以即，解得 ，所以， 因为， 故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在108千米小时． 67．（24-25高一上·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【答案】(1) (2)分米；平方分米 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此 （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 68．（24-25高一上·上海浦东新·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长为米（）. (1)要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)求当的长度为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小面积？ 【答案】(1) (2)当米，米时，矩形花坛的面积最小为48平方米. 【详解】（1）因为， 所以， . ∴. ∴. 答：要使矩形的面积大于平方米，则的长的范围为. （2）  设. ∴. 当且仅当，即时等号成立. 答：当米，米时，矩形花坛的面积最小为平方米. 考点09 综合培优压轴题 69．（25-26高一上·上海·期中）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 【详解】(1)证明：由题意可知要证明， 只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立； (2)3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. (3)证明：由柯西分式不等式可知， 当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证. 70．（25-26高一上·上海闵行·期中）数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件. 【详解】（1）依题意，， . （2）证明：若，设， 由定义知：且， 因此“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性知，则， 因此“”是“”的充分条件， 所以“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围； 若取到最值，则，即，于是，即， 所以. 71．（24-25高一上·上海·期中）已知集合 中的元素都是正整数，且 ．若对任意， 且， 都有 成立，则称集合A具有性质M． (1)判断集合是否具有性质 M； (2)已知集合具有性质 M， 且正整数 求证： 且 并求出的值； (3)已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明)． 【详解】（1）由题意得 所以集合是否具有性质 M， (2)证明: 因为，，则有：， 所以 ，可得：， 所以，， 所以，可得：，所以， 即 又因为为整数，所以符合条件的为4,5,6. 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 所以符合条件的为4,5,6. (3)证明: 因为，则有： 当 时， ，符合题意； 当时, 因为， 且， 所以，可得: ， 所以， 即 ， 综上所述：. 因为由上式可得，所以， 当时，取，则，可知. 又当时，，当且仅当时取等号，所以. 因此集合中元素个数的最大值为9. 72．（24-25高一上·上海·期中）勾股容方问题是数学史中一个非常著名的问题.《九章算术》勾股章有云：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”这个问题（图1）已知直角三角形两条直角边长，要求一个与直角三角形有公共直角的正方形的边长（即“勾股容方”）.记，. (1)若，正方形的边长不小于，求的取值范围； (2)图1中直角三角形斜边上的中线记为，比较线段与长度的大小，并证明你的结论； (3)事实上，直角三角形还有另一个内接正方形（图2），该正方形的一边与直角三角形斜边部分重合，即“弦中容方”.那么“斜”能否压“正”呢？请求出正方形与正方形面积，并比较它们的大小. 【详解】（1）设正方形的边长为，有 由题可知，与相似 所以有 解得 因为，，显然 所以 得 (2),证明如下： 由题可知 由（1）可知， 由基本不等式可知， 故，当且仅当时等号成立； 所以. （3）我们比较正方形面积的大小，只需要比较其边长的大小即可； 由（1）可知正方形的边长为 所以正方形的面积为 我们设正方形的边长为，,易知 所以有 显然 所以 所以正方形面积为 因为 所以 所以 所以正方形的面积大于正方形面积 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式及其综合应用 考点01 等式的性质与方程的解集 考点02 一元二次方程根的分布及根与系数关系 考点03 不等式的性质与代数式大小比较 考点04 一元二次不等式（含参数与恒成立） 考点05 分式不等式与高次不等式 考点06 含绝对值不等式（含三角不等式） 考点07 基本不等式求最值（一正二定三相等） 考点08 基本不等式综合与恒成立、实际应用 考点09 综合培优压轴题 考点01 等式的性质与方程的解集 1．（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则______． 3．（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 4．（23-24高一上·上海·期中）设，则方程的解集为__________. 5．（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 考点02 一元二次方程根的分布及根与系数关系 6．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 7．（25-26高一上·上海·期中）已知方程有两个实数根、，满足，则实数的值为_____． 8．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 9．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 10．（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 11．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 12．（25-26高一上·上海闵行·期中）已知二次函数． (1)若关于的方程有两个不等实数根，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不等正实数根，求实数的取值范围； (3)若在内不存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 13．（25-26高一上·上海·期中）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 14．（25-26高一上·上海·期中）阅读：高中数学必修第一册29页——《韦达定理的证明》. 韦达定理  若一元二次方程的两个根为、.则，. 证明  因为一元二次方程的两个根为、，所以二次三项式可以因式分解为.由于，从而等式恒成立.由例5知，该等式两边的对应项系数应相等.因此，.深刻阅读，类比思考，仔细计算，完成以下问题： (1)写出一个满足三个根分别为1，2，3的一元三次方程______；（整理成的形式） (2)“若一元三次方程的三个实根为，，”，则______，______，______； (3)已知长方体体积为1，长宽高之和为，表面积为，求实数的取值范围.（需要用到的公式提示： 考点03 不等式的性质与代数式大小比较 15．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·上海徐汇·期中）已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， (1)若，求实数的值； (2)将与表示为的代数式，并比较与的大小. 17．（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知点和点是直角坐标系第一象限内的两个点，定义：若，则称点是点的“上位点”，点是点的“下位点”． (1)试写出点的一个“上位点”和一个“下位点”坐标； (2)已知正数a、b、c、d满足：，，且点是点的“上位点”．试判断点和点是否是的“上位点”？证明你的结论． 19．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 20．（24-25高一上·上海浦东新·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 考点04 一元二次不等式（含参数与恒成立） 21．（25-26高一上·上海·期中）关于x的不等式的解集是，则实数__________. 22．（25-26高一上·上海松江·期中）已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是__________. 23．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为______ 24．（25-26高一上·上海·期中）若不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______. 25．（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是______. 26．（25-26高一上·上海金山·期中）设命题方程有两个不相等的正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围____________. 27．（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是__________． 28．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 29．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是________ 30．（25-26高一上·上海·期中）已知使得代数式有意义的实数的取值集合为，若对任意的，代数式的值恒为正数，则实数的取值范围是______． 31．（25-26高一上·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，，，且，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集. 32．（25-26高一上·上海·期中）已知p：根式对一切实数x有意义；q：集合. (1)求p成立时实数k的取值范围； (2)若p与q同时成立，求实数k的取值范围. 33．（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次方程（a，b，，）的两个实根为，． (1)若，，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； (3)若，，求y的取值范围． 34．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是.求实数的值； (2)若是关于的方程的两个根，求的最小值； (3)若，解关于的不等式. 35．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 考点05 分式不等式与高次不等式 36．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解为________ 37．（25-26高一上·上海·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 38．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集是______. 39．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________． 40．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是_________. 41．（25-26高一上·上海·期中）定义： 形如（其中均为关于的整式，且）的不等式为“阶梯分式不等式”，其“阶梯运算”的规则如下：当时，表示“”；当时，表示“”；当时，表示“”． (1)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集； (2)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集． 42．（25-26高一上·上海·期中）已知：实数x满足不等式，：实数x满足不等式 (1)设使成立的实数x组成集合A，求集合A（用区间形式表示）； (2)是否存在实数m，使得是的充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 考点06 含绝对值不等式（含三角不等式） 43．（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 44．（25-26高一上·上海闵行·期中）不等式中，当等号成立时的取值范围是___________． 45．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为______． 46．（25-26高一上·上海·期中）若关于的不等式共有2025个整数解，则实数的取值范围为______. 47．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，且，则的最小值是______ 48．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的取值范围为__________________. 49．（24-25高一上·上海·期中）（1）对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． （2）若关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围． （3）符号表示不大于的最大整数，例如：.设方程的解集为，集合，若，求实数的取值范围． 50．（25-26高一上·上海·期中）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数． (1)若，求的取值范围； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在最小值？若存在，求出该最小值及此时的取值范围；若不存在，说明理由． 51．（25-26高一上·上海·期中）已知代数式和． (1)若，求关于的方程的解集； (2)若，用反证法证明：中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件． 52．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于两个实数a，b，规定， (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集非空，求实数a的取值范围； (3)设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在自然数a，使得不等式与的解集都包含于A，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的a的所有值． 53．（25-26高一上·上海·期中）教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： (1)求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； (2)求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； (3)对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 考点07 基本不等式求最值（一正二定三相等） 54．（25-26高一上·上海·期中）若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为___________． 55．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知正实数､满足，则的最小值为__________. 56．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 57．（25-26高一上·上海·期中）若对任意满足的实数，都有成立，则实数的取值范围为______． 58．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 59．（25-26高一上·上海浦东新·期中）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一： 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：①整体观察：②整体设元；③整体代入：④整体求和等. 例如，，求证：. 证明：原式. 阅读材料二： 解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 结合阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 60．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； （2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 61．（25-26高一上·上海松江·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 62．（25-26高一上·上海松江·期中）正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； (2)设的最小值为，且正数满足，求的最小值； (3)若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 考点08 基本不等式综合与恒成立、实际应用 63．（25-26高一上·上海·期中）如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．    (1)设，试用表示，并写出的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 64．（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 65．（25-26高一上·陕西汉中·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. (1)若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 66．（24-25高一上·上海松江·期中）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 67．（24-25高一上·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 68．（24-25高一上·上海浦东新·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长为米（）. (1)要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)求当的长度为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小面积？ 考点09 综合培优压轴题 69．（25-26高一上·上海·期中）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 70．（25-26高一上·上海闵行·期中）数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件. 71．（24-25高一上·上海·期中）已知集合 中的元素都是正整数，且 ．若对任意， 且， 都有 成立，则称集合A具有性质M． (1)判断集合是否具有性质 M； (2)已知集合具有性质 M， 且正整数 求证： 且 并求出的值； (3)已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明)． 72．（24-25高一上·上海·期中）勾股容方问题是数学史中一个非常著名的问题.《九章算术》勾股章有云：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”这个问题（图1）已知直角三角形两条直角边长，要求一个与直角三角形有公共直角的正方形的边长（即“勾股容方”）.记，. (1)若，正方形的边长不小于，求的取值范围； (2)图1中直角三角形斜边上的中线记为，比较线段与长度的大小，并证明你的结论； (3)事实上，直角三角形还有另一个内接正方形（图2），该正方形的一边与直角三角形斜边部分重合，即“弦中容方”.那么“斜”能否压“正”呢？请求出正方形与正方形面积，并比较它们的大小. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $