期中真题重组卷（广东专用，新教材人教版九上第25～26章：一元二次方程+二次函数）九年级数学上学期

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A A A D A C B C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11． 12．2 13．2026 14．或 15．或 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）加步骤分值 16．（8分）【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得；······（4分） （2）解： ， ， 解得．······（4分） 17．（8分）【详解】解：∵的一个解为， ∴将代入得，······（1分） 解得，······（2分） ∴一元二次方程为······（1分） ∴或， 解得，······（2分） ∴的值为1，另一个解为2．······（2分） 18．（8分）【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为；······（2分） （2）解：列表， 如图： ······（2分） （3）解：根据图象可知：在时， 当时，y有最小值；······（1分） 当时，y有最大值，······（1分） ∴当时，的取值范围为．······（2分） 19．（9分）【详解】（1）解：设月平均增长率是， 根据题意，得，······（1分） 解得，（不符合题意，舍去），······（1分） 答：月平均增长率为；······（1分） （2）解：设售价应降低元， 根据题意，得，······（1分） 整理得：，······（1分） 解得，，······（2分） ∵尽量减少库存， ∴，······（1分） 答：售价应降低20元．······（1分） 20．（9分）【详解】（1）解：二次函数的图象过点，， 对称轴为直线，······（1分） ；······（1分） （2）解：二次函数的最大值为， ，，······（1分） 又， ，······（1分） ，整理得，······（1分） 即，······（1分） 解得，，······（1分） ， ，则，······（1分） ．······（1分） 21．（9分）【详解】（1）解：根据题意，改造后，， ∴， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点为点E， ∴，，······（1分） 设抛物线的解析式为，把点代入得，， 解得，，······（1分） ∴抛物线解析式为；······（1分） （2）解：改造后，，，，且， ∴，，······（1分） 设， ∴， 在中，， ∴，······（1分） 解得，， ∴拱桥上半部分劣弧所在圆的半径为；······（1分） （3）解：桥墩高，船顶部距水面， ∴， ∴，则，······（1分） ∴， 解得，，，······（1分） ∵小船宽度为， ∴ ∴设计1改造方案下的最大值为．······（1分） 22．（12分）【详解】（1）解：∵直线的解析式中， ∴随的增大而减小时的取值范围为：为任意实数；······（2分） （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为，······（1分） 当时，得， ∴， ∵点为抛物线的顶点，且点在该抛物线上， 设抛物线解析式为， ∴， ∴，······（1分） ∴， ∴抛物线的解析式为；······（1分） （3）解：设， ∵，， ∴， ， ，······（3分） ∵， ∴， ∴，······（2分） 解得：或， ∴点坐标为或．······（2分） 23．（12分）【详解】（1）解：①对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； ②对于， ，，， ∴， ∵41不是整数的平方， ∴不是“美好方程”； ③对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； 综上，一定是“美好方程”是①③；······（2分） （2）①证明： ，，， ∴，······（1分） ∴此方程一定是“美好方程”；······（1分） ②解：由①得，， ∴此方程的解为，······（1分） ∵， ∴，，······（1分） ∵，， ∴，······（1分） 解得；······（1分） ③解：由②得，，， ∴，······（1分） 代入点到，得，······（1分） 整理得：， ∵不恒为0， ∴， 解得，······（1分） 综上，存在实数，．······（1分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~26章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 2．（25-26九年级上·广东江门·期中）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）已知，，是二次函数的图像上的三个点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 5．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26九年级上·山东淄博·期中）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 10．（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（25-26九年级上·广东汕头·期中）二次函数的最小值为________． 12．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知是y关于x的二次函数，则______． 13．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 14．（25-26九年级上·广东中山·期中）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为_______． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（25-26九年级上·广东东莞·期中）解方程： (1)． (2)． 17．（8分）（25-26九年级上·广东湛江·期中）已知关于的一元二次方程的一个解为，求的值和另一个解． 18．（8分）（26-27九年级上·广东·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19．（9分）（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 20．（9分）（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 21．（9分）（24-25九年级下·广东广州·期中）广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情． 现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题． 永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告 素材1 图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）． 素材2 拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变． 设计 设计1 拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 设计2 拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式． 问题解决： (1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)任务2   按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径． (3)任务3   a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）． 22．（12分）（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上． (1)直接写出随的增大而减小时的取值范围． (2)求抛物线的解析式； (3)若点是轴上一点，当时，求点的坐标． 23．（12分）（25-26九年级上·广东茂名·期中）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~26章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：由得，解得，． 2．（25-26九年级上·广东江门·期中）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵若点在抛物线上，则其坐标满足， ∴将D选项的横坐标代入解析式得； ∴点在抛物线上； ∵将A选项代入得，B选项代入得，C选项代入得 ∴A、B、C选项的点均不在抛物线上 综上，答案为D． 3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）已知，，是二次函数的图像上的三个点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，其中， ∴其对称轴为，图象开口向上， ∵，，是二次函数的图象上的三个点， 且，，，， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 即， ∴，，， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 6．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：点和在抛物线上， ，， 选项A：当时， ， ， ，选项A正确； 选项B：当时， 即， ， ， ， ，选项B正确； 选项C：当时， ， ，选项C正确； 选项D：当时， 即， ， 但选项D要求，而不一定满足（例如时但）， 选项D错误； 故选：D． 7．（25-26九年级上·山东淄博·期中）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1； ∴， 又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项不符合题意； C. 中，，，故该选项符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：C． 9．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【答案】B 【详解】解：由题意可得：前n行的点数之和为， A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意； C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意； D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意． 故选：B． 10．（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：开口向下，； 对称轴在轴的右侧，， 则； 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴， 所以①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点， ∴当，故③正确； ∵时，， 时，， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴当时，， ∴ ∴，故⑤错误， ∴正确的有4个， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（25-26九年级上·广东汕头·期中）二次函数的最小值为________． 【答案】 【详解】， 开口向上，当时有最小值． 12．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知是y关于x的二次函数，则______． 【答案】2 【详解】解：由二次函数的定义可知，中的最高次数为2，即． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2026 【详解】解：因为是一元二次方程的一个根， 所以，即， 则代数式， 故答案为：2026． 14．（25-26九年级上·广东中山·期中）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为_______． 【答案】或 【详解】解：当即时，， ∴， ∴， ∴（舍去）或， 当即时，， ∴（舍去），， 综上所述，或， 故答案为：或． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是_____． 【答案】或 【详解】解：由图像得，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的一个交点为， ∴轴的下方的图像对应的函数值小于， ∴当或时，； ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（25-26九年级上·广东东莞·期中）解方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得；······（4分） （2）解： ， ， 解得．······（4分） 17．（8分）（25-26九年级上·广东湛江·期中）已知关于的一元二次方程的一个解为，求的值和另一个解． 【详解】解：∵的一个解为， ∴将代入得，······（1分） 解得，······（2分） ∴一元二次方程为······（1分） ∴或， 解得，······（2分） ∴的值为1，另一个解为2．······（2分） 18．（8分）（26-27九年级上·广东·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为；······（2分） （2）解：列表， 如图： ······（2分） （3）解：根据图象可知：在时， 当时，y有最小值；······（1分） 当时，y有最大值，······（1分） ∴当时，的取值范围为．······（2分） 19．（9分）（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 根据题意，得，······（1分） 解得，（不符合题意，舍去），······（1分） 答：月平均增长率为；······（1分） （2）解：设售价应降低元， 根据题意，得，······（1分） 整理得：，······（1分） 解得，，······（2分） ∵尽量减少库存， ∴，······（1分） 答：售价应降低20元．······（1分） 20．（9分）（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，， 对称轴为直线，······（1分） ；······（1分） （2）解：二次函数的最大值为， ，，······（1分） 又， ，······（1分） ，整理得，······（1分） 即，······（1分） 解得，，······（1分） ， ，则，······（1分） ．······（1分） 21．（9分）（24-25九年级下·广东广州·期中）广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情． 现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题． 永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告 素材1 图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）． 素材2 拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变． 设计 设计1 拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 设计2 拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式． 问题解决： (1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)任务2   按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径． (3)任务3   a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）． 【详解】（1）解：根据题意，改造后，， ∴， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点为点E， ∴，，······（1分） 设抛物线的解析式为，把点代入得，， 解得，，······（1分） ∴抛物线解析式为；······（1分） （2）解：改造后，，，，且， ∴，，······（1分） 设， ∴， 在中，， ∴，······（1分） 解得，， ∴拱桥上半部分劣弧所在圆的半径为；······（1分） （3）解：桥墩高，船顶部距水面， ∴， ∴，则，······（1分） ∴， 解得，，，······（1分） ∵小船宽度为， ∴ ∴设计1改造方案下的最大值为．······（1分） 22．（12分）（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上． (1)直接写出随的增大而减小时的取值范围． (2)求抛物线的解析式； (3)若点是轴上一点，当时，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线的解析式中， ∴随的增大而减小时的取值范围为：为任意实数；······（2分） （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为，······（1分） 当时，得， ∴， ∵点为抛物线的顶点，且点在该抛物线上， 设抛物线解析式为， ∴， ∴，······（1分） ∴， ∴抛物线的解析式为；······（1分） （3）解：设， ∵，， ∴， ， ，······（3分） ∵， ∴， ∴，······（2分） 解得：或， ∴点坐标为或．······（2分） 23．（12分）（25-26九年级上·广东茂名·期中）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：①对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； ②对于， ，，， ∴， ∵41不是整数的平方， ∴不是“美好方程”； ③对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； 综上，一定是“美好方程”是①③；······（2分） （2）①证明： ，，， ∴，······（1分） ∴此方程一定是“美好方程”；······（1分） ②解：由①得，， ∴此方程的解为，······（1分） ∵， ∴，，······（1分） ∵，， ∴，······（1分） 解得；······（1分） ③解：由②得，，， ∴，······（1分） 代入点到，得，······（1分） 整理得：， ∵不恒为0， ∴， 解得，······（1分） 综上，存在实数，．······（1分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $