解决排列组合问题的常用方法总结讲义-2024届高三数学一轮复习

解决排列组合问题的常用方法总结 一、知识归纳 1.两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法； （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 2.排列及排列数 知识点1排列的定义 排列的定义:一般地,从 个不同元素中取出 个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列. 知识点2排列数 1.排列数:从 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数,用符号 表示. 2.排列数公式: ,并且 .从形式上看排列数 等于从 开始的 个连续自然数相乘. 3.全排列:特别地, 个不同的元素全部取出的一个排列,叫做 个元素的一个全排列. 4. 的阶乘:正整数1到 的连乘积,叫做 的阶乘,用 !表示.规定: , 3.组合及组合数 知识点1.组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 知识点2.组合数、组合数公式 1.组合数定义：从n个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 2.组合数公式： ，其中 ，且 规定： 3.排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） 4.组合数的性质 性质1： ；性质2： . 二、题型方法归纳 题型一：捆绑法（相邻问题，用捆绑法，注意内部存在一定的顺序） 1．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（    ） A．48 B．96 C．120 D．240 【答案】D 【分析】相邻元素运用捆绑法解决即可. 【详解】第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列，第二步将两名女生内部排列，即： . 故选：D. 2．（2023春·北京通州·高二校考阶段练习）要为5位同学和2位老师拍照留念，要求排成一排，且2位老师相邻，不同的排法有______种. 【答案】1440 【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解. 【详解】将2位老师看作是一个整体，与另外5个人全排列，即 ， 故答案为：1440 3．（2023·河南·校联考模拟预测）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分 战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案. 【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有 种站法； 当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排， 有 种站法， 所以一共有 种不同的站法． 故选：C 4．已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（ ） A．288 B．144 C．72 D．36 【答案】C 【详解】2位父亲的排队方式种数为 ，2位母亲的排队方式种数为 ，3个小孩的排队方式种数为 ，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有 种排队方式，所以不同的排队方式种数为 . 故选：C. 【方法小结】 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉 题型二、插空法（不相邻问题用插空法，先排列不受限的事物，再插孔不相邻的事物 ） 1．五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为 . 故选：C． 2.（贵州省2022-2023学年高二下