2.4圆的方程教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第一册　第2章 2.4　圆的方程 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　圆的标准方程与一般方程的等价条件 （1）教材出处 选择性必修第一册 第二章 2.4 圆的方程：2.4.1 圆的标准方程正文（由圆的定义建立标准方程），2.4.2 圆的一般方程正文（一般方程的定义、配方法讨论 的符号）；2.4.2 课后练习中“判断下列方程分别表示什么图形”的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 平面内到定点 的距离等于定长 （）的点的集合叫做圆，定点 叫圆心，定长 叫半径。圆的标准方程为 圆心为 ，半径为 。 把标准方程展开，得 令 ，，，即得圆的一般方程 对一般方程配方： 由此得到标准方程与一般方程的等价条件： · 当 时，方程表示圆，圆心为 ，半径为 ； · 当 时，方程只表示一个点 ，不表示圆； · 当 时，方程没有实数解，不表示任何图形。 因此，圆的标准方程与一般方程可以互相转化：任何一个圆都可以写成一般方程；反过来，只有当 时，一般方程才表示圆。一般方程中的二次项必须满足 与 的系数相同且不为 ，且不含 项；若系数不为 ，先整体除以该系数再配方。 几个由 直接读出的位置特征： · ：圆过原点； · ：圆心在 轴上； · ：圆心在 轴上； · ：圆心在原点，方程为 （），半径为 。 图 1　圆的标准方程 中，圆心 定位置，半径 定大小 （3）推导证明 设 是圆上任意一点，由圆的定义 ，用两点间距离公式得 两边平方，得 。反过来，若点 的坐标满足此式，则 ，点 在圆上。因此标准方程与圆上的点一一对应。 将标准方程展开并合并同类项，得 即一般方程，其中 ，，。 反过来，对一般方程配方： 左边是两个实数的平方和，故其值非负。于是： · 若 ，右边为正，方程表示以 为圆心、 为半径的圆； · 若 ，右边为 ，只有 ，，方程表示一个点； · 若 ，右边为负，而左边非负，方程无实数解，不表示任何图形。 若方程写成 （），两边同除以 就化为一般方程，所以“ 与 系数相同且不为 、不含 项”是判断一个二元二次方程能否表示圆的第一道门槛；满足后再用 的符号作最终判断。 （4）适用条件与易错提醒 · 标准方程 只有在 时才表示圆； 时只表示一个点 ， 时不表示任何图形。 · 一般方程表示圆的充要条件是 ，必须严格大于 ； 时是一个点，不是圆。 · 圆心是 ，两个坐标都取相反号；半径是 ，别漏掉根号外的 。 · 二次项系数不是 时先整体除以该系数，例如 要先化为 ，再配方。 · 与 的系数必须相同且不为 ，且不能含 项； 表示两条直线，不是圆。 · 不代表方程不表示圆。例如 中 ，它表示半径 的圆；判断只看 的符号。 · 圆过原点等价于 ；圆心在原点则要求 ，两者不能混淆。 · 含参数时，先由 解出参数范围，再把参数代回求圆心、半径；若题目还要求半径为正，要同时检验。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，5 分，也常作解答题第一问的过渡。常见设问：判断方程表示圆、点还是无轨迹；化一般方程为标准方程并求圆心、半径；由“方程表示圆”或“半径为定值”反求参数；判断圆是否过原点、圆心是否在坐标轴上；与直线、圆锥曲线组合求距离或位置关系。难度基础到中档。已核实真题：2024 北京卷·3（圆 的圆心到直线 的距离，答案 ）；2023 上海卷·7（圆 的面积为 ，求 ，答案 ）。 （6）方法归纳 · 第一步　看形式：确认 与 系数相同且不为 ，不含 项；否则直接判定不表示圆。 · 第二步　化标准：二次项系数不是 时先除以该系数，再对 、 分别配方。 · 第三步　判符号：比较 与 的大小，确定表示圆、一个点还是无轨迹。 · 第四步　读结果并回验：写出圆心、半径，或由半径、面积等条件反求参数；最后把参数代回原方程检验 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 判断方程 是否表示圆；若是，求出它的圆心坐标和半径。 解析 这里 ，，，所以 方程表示圆。配方： 故圆心为 ，半径为 。 例题 2（教材原题改编） 已知方程 表示圆。 （1）求 的取值范围； （2）当 时，求圆心坐标和半径。 解析 （1）这里 ，，。方程表示圆的充要条件是 解得 。 （2）当 时，方程为 。配方： 即 。故圆心为 ，半径为 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2024 北京卷·3）求圆 的圆心到直线 的距离。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知方程 。 （1）若该方程表示圆，求 的取值范围； （2）若该圆的半径为 ，求 的值及圆心坐标。 条目二　待定系数法与过三点的圆 （1）教材出处 选择性必修第一册 第二章 2.4.1 圆的标准方程 例 2（求 的外接圆的标准方程）、例 3（圆心在定直线上且过两点的圆）；2.4.2 圆的一般方程 例 4（求过三点 的圆的方程、圆心坐标和半径）与课后习题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：例题结论。 确定一个圆需要三个独立条件：圆心定位，半径定形。用待定系数法求圆的方程有两条路线： · 标准方程路线：设 ，未知量为 。适合已知圆心、半径、圆心所在直线，或已知圆上两点并利用它们到圆心等距等条件。 · 一般方程路线：设 ，未知量为 。适合已知圆上三个点；把三点坐标分别代入，得到关于 的三元一次方程组，解出后再化为标准方程读圆心和半径。 过不共线三点 的圆存在且唯一。圆心 是线段 、（或 ）的垂直平分线的交点，即 的外心；半径 。若三点共线，三条垂直平分线互相平行，没有交点，不存在过三点的圆。 以 为例，用标准方程路线时，由 列式；用一般方程路线时，把 的坐标分别代入 ，得到三个一次方程，解出 后再配方。两种路线本质相同，选哪一条只看计算是否方便：已知三点通常选一般方程，已知圆心或半径条件通常选标准方程。 图 2　过不共线三点 的圆唯一：圆心 是三边垂直平分线的交点， （3）推导证明 标准方程路线：设所求圆为 。把 、、 的坐标分别代入，得三个方程。把第一个方程分别与第二、第三个方程相减， 被消去，得到关于 的两个一次方程： 这两个方程分别等价于线段 、 的垂直平分线方程。三点不共线时，两条垂直平分线不平行，方程组有唯一解 ，再由任一点求出 ，所以过不共线三点的圆存在且唯一。 一般方程路线：设所求圆为 。把三点坐标分别代入，得 这是关于 的三元一次方程组。三点不共线时方程组有唯一解；解出后配方，若 ，即得圆心 与半径 。 几何法：圆心到 的距离相等，所以圆心在 的垂直平分线上；同理在 的垂直平分线上。两条垂直平分线的交点就是圆心，半径等于交点到任一顶点的距离。若三点共线， 与 的垂直平分线平行，没有交点，故过三点的圆不存在。 （4）适用条件与易错提醒 · 三点必须不共线；三点共线时不存在过三点的圆，不要硬解出一个“圆”。 · 用标准方程路线时，两式相减消去的是 ，不是 ；展开时注意符号，尤其是 的平方。 · 用一般方程路线解出 后，必须检验 ；若等于 或小于 ，说明三点共线或计算有误。 · 题目只说“过三点”时，三点顺序不影响结果；题目说“过四点中的三点”时，要先选定一组不共线的三点，不同选法可能得到不同的圆，开放题写出一个即可。 · 圆心在直线 上，意味着圆心坐标满足 的方程，不是圆与 相切；相切问题属于直线与圆的位置关系，不能混用。 · 圆过两点只给出一个垂直平分线条件；再结合“圆心在定直线上”才有唯一解。若定直线与垂直平分线平行，则无解或条件矛盾，要如实判断。 · 用 的三条边求外接圆时，选两条边的垂直平分线即可，第三条边可以用来检验；不要三条边都列方程而漏掉检验。 · 求出方程后，把三个点的坐标代回原方程逐一验证，尤其是含参数或数据较多时。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，5 分，也常作解答题第一问。常见设问：求三角形的外接圆；求过三点的圆；已知圆心在定直线上且过两点求圆；由“圆过定点”“圆心在定直线”“半径为定值”等三个独立条件求方程；与对称、轨迹、直线与圆综合。难度基础到中档。已核实真题：2022 全国甲卷·文 14（点 在直线 上，点 、 均在圆 上，求圆 的方程，答案 ）；2022 全国乙卷·理 14／文 15（过四点 中的三点写一个圆的方程，开放题）。 （6）方法归纳 · 第一步　选形式：条件围绕圆心、半径、圆心所在直线，设标准方程；已知三个点，设一般方程。 · 第二步　设方程：标准方程设 ；一般方程设 。 · 第三步　列方程：把点坐标代入；用标准方程时两式相减消去二次项，用一般方程时直接得三元一次方程组；圆心在定直线上就把圆心坐标代入直线方程。 · 第四步　解方程并回验：解出参数后检验 或 ，把三个点代回验证，最后按题目要求写成标准方程或一般方程。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 的三个顶点分别是 、、，求 的外接圆的标准方程。 解析 设所求圆的标准方程为 。因为 三点都在圆上，所以 第一式与第二式相减，消去 ： 即 ，化简得 。第一式与第三式相减： 即 ，化简得 。联立 解得 ，。代回第一式： 故 的外接圆的标准方程为 几何法复核： 的中点为 ， 的斜率为 ，其中垂线为 ； 的中点为 ， 的斜率为 ，其中垂线为 。两线交于 ，即圆心；，与上面结果一致。 例题 2（教材原题改编） 已知圆心为 的圆经过 、 两点，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程。 解析 设圆心 。因为 在直线 上，所以 因为 都在圆上，所以 ，即 展开并化简： 即 。代入 ： 所以 ，。圆心为 ，半径 故圆 的标准方程为 几何法复核： 的中点为 ， 的斜率为 ，其中垂线斜率为 ，方程为 ，即 。与 联立得 ，，与上面一致。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2022 全国甲卷·文 14）设点 在直线 上，点 和 均在圆 上，求圆 的方程。 变式 2-2（优质模拟改编） 求过三点 、、 的圆的一般方程，并求它的圆心坐标和半径。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：把圆的一般方程化为标准方程： 圆心为 。它到直线 的距离为 变式 1-2 答案与解析 答案：（1）；（2），圆心为 。 解析：（1）这里 ，，。方程表示圆的充要条件是 解得 。 （2）半径为 ，即 。由半径公式 得 ，所以 。此时圆心为 。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：设圆心 。因为 在直线 上，所以 又点 和 都在圆 上，所以 展开并化简： 即 。由 得 ，代入： 所以 ，。圆心为 ，半径 故圆 的方程为 变式 2-2 答案与解析 答案：，圆心为 ，半径为 。 解析：设所求圆的一般方程为 把 、、 的坐标分别代入： 由第一式得 。代入第二式： 所以 ，。代入第三式： 所以 。故所求圆的一般方程为 配方： 所以圆心为 ，半径为 。 人教A版·选择性必修第一册　第2章 2.4 圆的方程　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $