第40讲 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第40讲 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精讲） 题型目录一览 ①圆与圆的位置关系 ②圆的公共弦问题 ③圆的公切线问题 ④圆的综合性问题 一、知识点梳理 一、两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交；两圆外切； 两圆相离；两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 【常用结论】 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 二、题型分类精讲 题型一 圆与圆的位置关系 策略方法 几何法判断圆与圆的位置的步骤 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长． (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值． (3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论． 【典例1】已知圆，圆．试求为何值时，两圆： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【题型训练】 一、单选题 1．（2023高三专题练习）两圆和的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（2023高三专题练习）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 3．（2023高三专题练习）已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是（    ） A． B．2 C．或2 D．1或 4．（广西梧州市苍梧中学2023届高三5月份高考数学模拟试题）若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（东北三省四城市联考暨沈阳市2023届高三二模数学试题）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．（2023高三专题练习）已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（　　） A．2 B． C． D．4 7．（2023高三专题练习）已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 8．（广东省深圳市罗湖区部分学校2024届高三上学期开学模拟数学试题）“”是“圆：与圆：存在公切线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考（三）数学试题）下列圆中与圆相切的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023高三专题练习）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆C的半径为18 B．圆C截x轴所得的弦长为 C．圆C与圆相外切 D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是 13．（广东省江门市部分学校2023届高三下学期开学联考数学试题）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．若，则圆与圆相交 B．若，则圆与圆外离 C．若直线与圆相交，则 D．若直线与圆相交于，两点，则 14．（2023高三专题练习）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2023高三专题练习）已知圆与圆：相内切，则实数m的值为 ． 16．（黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023届高三三模数学试题）写出一个与两坐标轴和圆：都相切的一个圆的标准方程为 ． 17．（山东省枣庄市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试题）满足圆与相交的一个a值为