3.2.1单调性与最大(小)值讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1　单调性与最大（小）值 3.2.1　单调性与最大（小）值 方法册 · 习题册 知识梳理 知识点 1：函数的单调性 1. 单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ：如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增． 函数 在区间 上的图象从左到右是上升的 单调递减 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ：如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递减． 函数 在区间 上的图象从左到右是下降的 2. 单调性的等价定义 设 是函数 定义域的一个子区间，若 ，且 ， 或 ，则 在区间 上单调递增． 反之，若 或 ，则 在区间 上单调递减． 3. 函数的单调性及单调区间 ①当函数 在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它为增（减）函数． ②如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做 的单调区间． ①并非所有的函数都有单调区间．例如，函数 的定义域为 ，但它在任意区间上都不单调． ②当函数有多个单调递增（减）区间时，这些单调递增（减）区间不能用并集连接，只能用“和”或“，”连接．例如下图中，，但 ，所以不满足 在 上单调递增的定义，故单调递增区间不能写成 ． 的单调递增区间是 　 的单调递增区间是 和 　 的单调递增区间是 　 4. 常见函数的单调性 函数类型 单调性 一次函数 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减 反比例函数 当 时， 在 ， 上单调递减； 当 时， 在 ， 上单调递增 二次函数 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 知识点 2：函数单调性的运算性质 设函数 ， 在区间 上具有单调性，则在区间 上，有： ① 与 单调性相同，其中 为常数； ②设 ，当常数 时， 与 单调性相同；当常数 时， 与 单调性相反； ③若 恒为正或恒为负，设 ，则当常数 时， 与 单调性相反；当常数 时， 与 单调性相同； ④当 为正奇数时， 与 单调性相同；当 为正偶数且 时， 与 单调性也相同； ⑤在区间 上， 的单调性有如下结论： 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 增 不确定 减 减 减 减 不确定 ⑥当 ， 在区间 上都单调递增（减）时，若两者的函数值都恒大于 ，则 在区间 上单调递增（减）；若两者函数值都恒小于 ，则 在区间 上单调递减（增）． 知识点 3：复合函数的单调性 函数 由 和 复合而成，当 时，若 单调，此时 或 ，如果 在 的上述取值范围内也单调，则 在 上的单调性满足“同增异减”的判断准则，详见下表： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点 4：函数的最大（小）值 1. 函数的最大（小）值的定义 ①函数的最大值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足： (i) ，都有 ； (ii) ，使 ． 那么，我们称 是函数 的最大值． ②函数的最小值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足： (i) ，都有 ； (ii) ，使 ． 那么，我们称 是函数 的最小值． 从图象上看，函数的最大值、最小值分别对应图象上最高点、最低点的纵坐标． 2. 利用单调性求函数的最大（小）值的常用结论 ①当函数 在 上单调递增时，其最大值、最小值分别在右端点、左端点取得，如下图 1；当函数 在 上单调递减时，其最大值、最小值分别在左端点、右端点取得，如下图 2． ②当函数 在 上单调递减，在 上单调递增时， 在 上的最小值在 处取得，最大值在左端点或右端点处取得（哪个更大取哪个），如下图 3． ③当函数 在 上单调递增，在 上单调递减时， 在 上的最大值在 处取得，最小值在左端点或右端点处取得（哪个更小取哪个），如下图 4． 图 1 图 2 图 3 图 4 典型例题 知识点 1 【例 1】如图是函数 的图象，则该函数的单调递减区间是______． 解析：由图象求单调递减区间，就看图上哪几段从左到右是下降的，由图可知， 的单调递减区间是 和 ． 答案： 和 【例 2】（多选）下列函数满足 且 ，都有 的是（  ） A． B． C． D． 解析：已知条件怎样解读？既然 ，那么不妨假设 ，于是 ，所以 ，故 ，这意味着 在 上为单调递增函数，故按此判断选项， A 项，如图 1， 的图象是二四象限的双曲线，它在 上单调递增，故 A 项正确； B 项，因为 解析式中 的系数 ，所以 在 上单调递减，那么在 上也单调递减，故 B 项错误； C 项，如图 2， 的图象开口向上，对称轴是 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，那么它在 上也单调递增，故 C 项正确； D 项，因为 解析式中 的系数 ，所以 在 上单调递增，那么它在 上也单调递增，故 D 项正确． 图 1 图 2 答案：ACD 知识点 2 【例 3】用“单调递增”、“单调递减”填空： （1）函数 在其定义域上______； （2）若 在 上单调递增，则函数 在 上______； （3）函数 在 上______． 解析：（1），所以 的定义域是 ，又因为 在 上单调递增，所以由知识点 2 的 ④ 可知 在 上单调递增，再由知识点 2 的 ① 可知 在 上单调递增． （2） 在 上单调递增，所以由知识点 2 的 ②， 在 上单调递减，又因为 在 上单调递减，所以由知识点 2 的 ⑤， 在 上单调递减． （3）因为 ，且 在 上单调递增，所以由知识点 2 的 ③ 可知 在 上单调递减． 答案：（1）单调递增；（2）单调递减；（3）单调递减 知识点 3 【例 4】若函数 是定义在 上的增函数，则函数 的定义域是______，单调递增区间是______． 解析：因为 的定义域是 ，所以在 中，，解得 ，故 的定义域是 ； 再看单调性， 是复合函数，可用同增异减准则判断单调性， 是由 和 复合而成，当 时，，由题意可知， 在 上单调递增，而 在 上单调递增，在 上单调递减，所以由同增异减准则，函数 的单调递增区间是 ． 答案：， 【例 5】函数 的单调递减区间是______． 解析：求函数的单调递减区间，先求函数的定义域，由 可得 或 ，所以 的定义域是 ， 注意到 是由 和 复合而成，故考虑用同增异减准则分析单调性，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减（此时与外层的 单调性相反），在 上单调递增（此时与外层的 单调性相同）， 所以由同增异减准则， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的单调递减区间是 ． 答案： 知识点 4 【例 6】（1）已知函数 ，则 在 上的值域是______； （2）函数 在 上的最小值是______． 解析：（1）因为 在 上单调递增，所以 ，，故 在 上的值域为 ． （2）函数 的图象开口向上，对称轴为 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ． 答案：（1）；（2） 【例 7】设 的定义域是 ，则“ 为增函数”是“ 的最小值为 ，且最大值为 ”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若 为增函数，则 的最小值和最大值分别在左、右端点处取得，即 ，，所以充分性成立； 当 ， 时，不一定有 单调递增，反例如下图所示，所以必要性不成立，故选 A． 答案：A 本节核心题型 函数的单调性是函数的重要性质，有着广泛的应用．关于单调性，我们要学习判断、应用两个层面的内容．关于单调性的判断，我们通过类型 Ⅰ 的 3 道题归纳了常见的判断方法，在例 10 中还总结了一类重要的函数（双勾函数）的单调性．在类型 Ⅱ 中，我们会专门用它来研究一类常见的“二次型”分式函数．关于单调性的应用，我们还设计了类型 Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ，分别解决用单调性求最值、用单调性解函数值不等式、根据单调性求参这三类常见问题． 类型 Ⅰ：判断函数的单调性 【例 8】（多选）下列函数中，在区间 上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 解析：A 项，分析二次函数在某区间的单调性，可考虑画草图，看该区间与对称轴的位置关系，二次函数 开口向上，对称轴是 ，所以如图 1，该函数在 上 ↘（见反思），故 A 项正确； B 项，如图 2， 在 上 ↘，故 B 项正确； C 项，二次函数 的对称轴是 ，与 轴的两个交点横坐标分别为 和 ，所以函数 的大致图象如图 3，该函数在 上 ↘，故 C 项正确； D 项，涉及“”，可考虑用本章第 2 节提及的快速画图方法来画出其图象，再判断单调性． ①由 可得 ，所以垂直渐近线为 ；②分子分母 的系数之比为 ，所以水平渐近线为 ；③当 时，，所以函数的图象过点 ；综合①②③可知函数 的草图如图 4， 由图可知该函数在 上 ↗，故 D 项错误． 图 1 图 2 图 3 图 4 答案：ABC 【反思】①为了便于书写，以后在小题的解析中，我们用非正式的符号“↘”和“↗”分别表示单调递减和单调递增，但解答题中，不宜用此符号； ②对于我们熟悉的函数，画出图象即可直观地判断出单调性，但有些组合而成的偏复杂函数，图象就不那么容易直接画出了，此时常用代数变形、单调性的运算法则、同增异减准则来判断，不妨见下面例 9． 【例 9】（多选）下列函数中，在 上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 解析：A 项，函数解析式虽带绝对值，但可发现内部是二次函数，画图方便，故考虑直接画出函数图象分析，函数 的大致图象如图中实线，由图可知， 在 上 ↗，在 上 ↗，故 A 项错误； B 项， 可看成 和 复合而成，故可用同增异减准则分析单调性，因为函数 开口向上，且对称轴是 ，所以当 时， ↗ 且 ，又 在 上 ↗，所以根据同增异减准则， 在 上 ↗，故 B 项正确； C 项，可以想象 和 在 上都 ↗，它们的差似乎无法直接判断出单调性，怎么办呢？如果是 ，那就好办了．其实我们可以用分子有理化的操作把 化为含 的形式， 由题意，， 因为 和 在 上都 ↗，所以 在 上 ↗，又 ，所以 在 上 ↘，故 C 项错误； D 项，，此为两项之积，可尝试分别判断单调性和正负，看能否得到整体的单调性，在 上， 和 都 ↗，结合 ， 可得 ↗，故 D 项正确． 答案：BD 【例 10】试利用定义证明函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 证明：（怎样用定义证明 在 上 ↘？由单调递减的定义可知，我们就是要证对任意的 ，都有 ，于是我们先在 上任取两个自变量） 在 上任取自变量 ，，假设 ，（接下来为了证明 ，可考虑把它们作差） ，（显然不易直接判断差值的正负，考虑变形．观察发现若按 组合，则将第二部分通分后，分子会出现 ，可通过提公因式分解因式，有利于判断正负，故按此操作） ， （要确定上式的符号，可分 、、 三部分来分析） 因为 ，所以 ，，， 从而 ，故 ，所以 在 上单调递减； （再证 在 上单调递增，只需证对任意的 ，都有 ，证法同前面类似） 在 上任取自变量 ，，假设 ，则 ，，， 所以 ，从而 ，故 在 上单调递增． 【反思】①用定义证明单调性，常分五步进行：(i) 取值：在规定的范围内任取两个自变量 ，，并假设 ；(ii) 作差：写出 ；(iii) 变形：将 变形，常见的变形方向有分解因式、配方、分母（分子）有理化等；(iv) 定号：判断差值的符号；(v) 下结论：由 与 的大小得出单调性的结论． ②本题的函数是一个重要函数，其一般形式是 ，它的图象如右图所示，该图象看上去像两把勾，我们形象地将这一函数称为“双勾函数”，在下面的类型 Ⅱ 还会频繁遇见它，接下来我们通过一个变式来证明一般化的双勾函数在 上的单调性． 【变式】已知 ，，用定义证明 在 上的单调性． 证明：在 上任取两个自变量 ，，假设 ， （上式中 和 的正负是确定的，那 呢？正负都有可能，需找到正负的分界点，怎么找？不妨假设 ，此时令 可得 ，于是考虑以 为分界点来分别考虑） 当 时，，，， 所以 ，从而 ，故 在 上单调递减； 当 时，，，， 所以 ，从而 ，故 在 上单调递增． 【反思】若 在某区间上有增有减， 就存在正负不确定的因式（如本题的 ），此时为了找到该因式的正负分界点，一般会假设 ，并令该因式等于 ，求出 ，，往往就是正负分界点． 类型 Ⅱ：常见“二次型”分式函数的单调性与值域分析 【例 11】函数 的值域为______． 解析：观察发现将解析式拆开，可以产生 这一结构，进而用双勾函数的图象来求其值域， ，函数 可由 上移 个单位得来，所以 的部分图象如图，当 时，， 结合图象可知函数 的值域为 ． 答案： 【反思】涉及“”，常通过拆项转化为双勾函数模型求值域，但有时一次函数不会像本题这样只是一个单独的 ，还可能出现“”的形式，此时又怎么办呢？我们来看下面的变式 1． 【变式 1】求下列函数的值域： （1），；（2），． 解：（1）（看到“”这种结构，想到拆项化双勾函数模型求值域，但这里分母不是单独的 ，不方便像上题那样直接拆，于是先通过换元把分母化简，再拆项） 令 ，则 ，所以 ， 当 时，，所以如图，当 时， 取得最小值 ， 又当 时，，当 时，，所以 的最大值为 ，故所求函数的值域为 ． （2）（和第（1）问相比，变成了“”，又怎么办呢？其实我们只需要上下同除以“一次函数”这个部分，就能在分母的局部构造出“”这种结构，所以其处理方法与第（1）问类似，下面我们先换元） 令 ，则 ，当 时，， ，由（1）可知 ， 所以 ， 故所求函数的值域为 ． 【反思】对于“”这种结构，若“一次函数”这部分较复杂，则可先将其换元，再拆项后分析值域．而若是“”，则上下同除以“一次函数”，将分母的局部化为“”来处理． 【变式 2】求函数的值域：，． 解：（这里变成了“”，好像与前面两题不是同一个类型了，是这样吗？其实我们只需要把分子的平方项凑成分母的形式，再拆出来，就能将其化为“”这一结构） ，由上面变式 1 第（2）问可知，当 时， 的值域是 ，所以 的值域是 ． 【反思】从上面几题可以看出，“”、“”、“”这三种“二次型”结构，最终都化为了双勾函数模型处理．那是不是按上述方法，一定能化为双勾函数模型呢？我们再来看下面的变式 3． 【变式 3】求函数的值域：，． 解：（看到“”，想到通过拆项化为“”来处理） 由题意，　①， （分子的“一次函数”不是单独的 ，于是将其换元成 ，再上下同除以 ，把变量集中到分母上） 令 ，则 ，代入①得 ， 当 时，，所以 ， （我们发现分母含 的结构是 ，这显然不是双勾函数，怎么办呢？其实这种情况比双勾函数更简单，因为函数 和 的单调性相同，所以 的单调性可直接判断，当然就能轻松求出值域） 当 时，因为 和 都单调递增，所以 也单调递增，故当 时， 取得最小值 ， 当 时， 取得最大值 ，所以 ，从而 ，故 ， 所以 ，故所求函数的值域是 ． 【反思】①形如 的函数，其大致图象如图，我们一般形象地将其称为“双撇函数”；②由上面几题可以看到，对于“二次型”分式函数，通过换元、同除、一次函数的手段，最终都转化为双勾函数或双撇函数模型处理，这是这一类问题的共性． 类型 Ⅲ：利用单调性求最大（小）值 【例 12】函数 的定义域是 ，则其值域为______． 解析： 的解析式较复杂，显然不方便作图，可考虑分析单调性，解析式为两项之和，不妨试试拆开来看， 当 时， 和 都 ↗，所以 也 ↗， 从而 ，，故 的值域为 ． 答案： 【反思】函数的单调性与最值是紧密联系的，所以在求一些较复杂的函数的最值时，常先分析其单调性． 【变式 1】已知函数 ，若 ，都有 ，则实数 的最小值是______． 解析：（怎样翻译已知条件？ 恒成立意味着 的所有值都小于等于 ，于是只需 ， 何时最大？可以想象，应该是 ， 分别为 的最大值、最小值的情形，所以下面我们先求 在 上的最大值和最小值） 由双勾函数的性质， 在 上 ↘，在 上 ↗，所以 ， 又 ，，所以 ，故 ，所以 ，从而 ，故 的最小值是 ． 答案：1 【反思】最值问题是函数中比较常见的问题，有时题干不会明确提及最值，但根据问题的情景，需要我们求最值．例如，不等式恒成立问题常转化为最值问题来分析． 【变式 2】已知函数 ，其中 ． （1）当 时，求 的最小值； （2）若 ，，当 时，求 的最小值； （3）当 时，求 的最小值． 解：（1）（求 的最小值，考虑分析 的单调性．对称轴是运动的，它与区间 的位置关系不同，函数 在 上的单调性也就不同，故据此讨论）由题意， 的对称轴是 ， (i) 当 ，即 时，如图 1， 在 上单调递增， 所以 ； (ii) 当 ，即 时，如图 2，对称轴在区间 上， 所以 ； (iii) 当 ，即 时，如图 3， 在 上单调递减，所以 ； 综上所述，当 时，． 图 1 图 2 图 3 （2）若 ，则 ，所以 的对称轴是 ，（对称轴不变，但考虑的区间 是变化的，所以对称轴与区间的位置关系不定，仍需据此讨论） (i) 当 ，即 时，如图 4， 在 上单调递减， 所以 ； (ii) 当 ，即 时，如图 5，对称轴 在 上，所以 ； (iii) 当 时，如图 6， 在 上单调递增，所以 ； 综上所述，当 时，． 图 4 图 5 图 6 （3）由题意，函数 的对称轴是 ，（对称轴在变，考虑的区间 也在变，二者的位置关系不确定，故仍讨论对称轴与区间的位置关系） (i) 当 ，即 时，如图 7， 在 上单调递减， 所以 ； (ii) 当 ，即 时，如图 8， 在 上单调递增，所以 ； (iii) 当 ，即 时，如图 9，对称轴 在 上， 所以 ； 综上所述，当 时，． 【反思】从本题的几个小问可以看出，求二次函数的区间最值，当对称轴与区间的位置关系不确定时，不管是对称轴动，还是区间动，或者一起动，处理的方法都是讨论区间与对称轴的位置关系． 【变式 3】已知二次函数 ，若 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 解法 1：， （上述不等式要恒成立等价于左边的最小值大于等于 ，左边为二次函数，对称轴不定，故可通过讨论对称轴与给定区间的位置关系来求其最小值） 令 ，，则题设条件等价于 ， 二次函数 的对称轴为 ， (i) 当 ，即 时，如图 1， 在 上单调递增， 所以 ，令 可得 ； (ii) 当 ，即 时，如图 2，对称轴 在 上， 所以 ，不满足 ； (iii) 当 ，即 时，如图 3， 在 上单调递减，所以 ，因为 ，所以 ，不满足 ； 综上所述，实数 的取值范围是 ． 解法 2：由题意，　①， （若将含 的两项拿到一起，则可化为只含 1 个 的不等式，进而能将其分离出来，故也可按此尝试） 当 时，不等式①等价于 　②， （于是问题等价于 ，此为“”，可按前面类型 Ⅱ 的方法处理） 令 ，则 ，且当 时，， ，函数 和 在 上都单调递增， 所以 在 上也单调递增，故当 时， 取得最小值 ， 所以当 时， 的最小值是 ，由②可知 恒成立，所以 ． 【反思】直接讨论、参变分离是解决含参不等式恒成立问题的两种重要方法，很多时候由于参变分离可以回避讨论，因此会更简单． 类型 Ⅳ：利用单调性解不等式 【例 13】已知定义在 上的单调减函数 ，若 ，则 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 解析：没给 的解析式，无法代解析式求解 ，怎么办呢？注意到给出了 的单调性，故可考虑用单调性将函数值的大小转为自变量的大小，求出 的范围． 因为 是定义在 上的单调减函数，且 ，所以 ，解得 　①， 结束了吗？一定要小心，函数 的定义域不是 ，所以还应考虑定义域的要求， 由 可得 ，结合①得 ． 答案：B 【反思】单调性是沟通函数值大小与自变量大小的桥梁，所以看到 这类函数值不等式，一般往单调性上考虑，通过单调性去掉 这层符号，转化为括号内自变量的大小来求解，但别忘了考虑定义域的要求． 【变式 1】定义在 上的函数 满足：对任意的 ，有 ，则（  ） A． B． C． D． 解析：没有解析式，怎样判断 ，， 的大小？考虑单调性，有单调性吗？我们发现题干虽然没有直接给单调性，但 隐含了单调性，咱们来分析一下这个不等式就明白了． 假设 ，则 ，又由题意，，所以 ，从而 ，故 在 上 ↘，因为 ，所以 ． 答案：A 【变式 2】已知函数 在 上有定义，且 ．若对任意给定的实数 ，均有 恒成立，则不等式 的解集是______． 解析：怎样翻译 ？与上一题的 一样，也隐含了单调性，理由如下． 不妨假设 ，则 ，又因为 ，所以 ，从而 ，故 在 上 ↘，注意到 的正负由 和 共同决定，而 的正负好判断，故可讨论 的正负，在目标不等式中将其约去，化为只含 的不等式． 当 时，，所以 ． 怎样分析 的正负？有了 的单调性，结合 ，我们可以画出 的草图来辅助分析．函数 的草图如图，由图可知 ，解得 ，与 没有交集，所以无解； 当 时，，不满足 ； 当 时，，所以 ，解得 ，结合 可得 ； 综上所述，不等式 的解集为 ． 答案： 【反思】①像本题这种两项之积大于 （或小于 ）型的函数值不等式，若有一项的正负容易判断，则可通过讨论该项的正负，将目标不等式化简，再考虑余下的部分；②本题在分析 与 的大小时，其原理与例 13 相同，因为本题中 ，所以本质也就是比较 与 的大小，还是借助了单调性来看． 类型 Ⅴ：已知函数的单调性求参 【例 14】函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是______． 解析：涉及二次函数的区间单调性，考虑画图分析对称轴与区间的位置关系， 函数 的开口向上，对称轴为 ， 如图，要使 在 上 ↗，应有 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． 答案： 【变式 1】已知函数 是定义在 的减函数，则实数 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 解析：分段函数在定义域上是减函数，则每一段上都应是减函数，观察发现两段都是一次函数，其为减函数的充要条件是一次项系数为负． 因为 是 上的减函数，所以 在 和 上都为减函数，从而 ，故 　①， 这样就可以了吗？不够，如图 1， 两段都为减函数，合在一起可以不是减函数，那还要补充什么呢？直观想象可知要满足两段合在一起为减函数的情况如图 2 或图 3，只需分段点处，左边图象不低于右边图象即可， 由图 2 和图 3 可知，，解得 ，结合①可得实数 的取值范围是 ． 答案：D 【反思】根据分段函数 在整个定义域上单调求参，除了要考虑每一段的单调性之外，还应考虑间断点处的拼接情况．具体来说，若 单调递减，则分段点处左边的图象不低于右边点；若 单调递增，则分段点处左边的图象不高于右边． 【变式 2】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（  ） A． B． C． D． 解析：涉及分段函数在整个定义域上 ↗，先考虑每一段上 ↗， 当 时，由题意可知，，要使 ↗，只需 ，解得 　①， 再看 的情形，此时若 的正负不同，则分析单调性的方法也不同，故分类讨论， 当 时，由题意可知，， (i) 若 ，则 ，此时双勾函数 在第一象限的大致图象如图， 要使 在 上 ↗，应有 ，解得 ，所以 ； (ii) 若 ，则 ，此时 ，满足 在 上 ↗； (iii) 若 ，则 ，由于 和 在 上都 ↗，所以 在 上 ↗； 综上所述，要使 在 上 ↗，应有 　②， 两段上都 ↗ 考虑完毕，别忘了还有间断点处的拼接情况， 由 可得 ，解得 ，结合①②可得实数 的取值范围是 ． 答案：B 【变式 3】已知 在 上单调递增，则实数 的取值范围是______． 解析：你能看出本题和前面几题的区别吗？前面几题在规定的范围内， 可随便往解析式中代，结果都有意义，但这里由于有根号，代进去就不一定有意义了，所以我们得先考虑定义域． 由题意， 在 时恒成立，所以 ，故 ， 上式要恒成立，应有 ，为了便于分析最值，我们将 换成 ， 令 ，则当 时，，且 ， 所以当 时， 取得最大值 ，从而 ，故 ， 接下来怎样分析函数 的单调性？注意到 可看成由 和 复合而成，故考虑用同增异减准则来分析， 因为二次函数 的开口向上，对称轴为 ， 所以如图， 在 上 ↗，又因为 在 对应的取值范围内也 ↗，所以由同增异减准则， 在 上 ↗，满足题意，故实数 的取值范围是 ． 答案： 【反思】当条件给出函数 在 上 ↗ 时，隐含了 在 上有定义，所以在一些特殊的情况下（例如解析式中有根号等），应先考虑定义域的要求，再来分析单调性． — 补充 · 拓展 — 如果题干没有给出函数的解析式，而只是给出了函数满足的一些性质，这个时候又怎么判断单调性呢？我们通过下面的类型 Ⅵ 来为大家做详细的分析． 类型 Ⅵ：证明抽象函数的单调性 【例 15】已知函数 的定义域为 ，且对任意的 均有 ，且对任意的 ，都有 ，试判断函数 在定义域上的单调性． 解：（没有解析式，证明单调性只能考虑定义，而在单调性的定义中，关键是构造 并判断其正负，怎样构造？题干所给的等式中没有差，只有和，故随便从右边选一项，移到左边，化为差的形式） 因为 ，所以 　①， （为了让左边等于 ，可以假设 ，此时可求得 ，赋值的方法就有了．同时为了运用已知的“当 时，”，这里我们假设 比 大） 任取 ，在①中令 ， 可得 ， 所以 ，因为 ，所以 ，结合题意可知 ， 所以 ，从而 ，故 在 上单调递增． 【变式】已知函数 的定义域为 ，当 时，，且 ，试判断函数 在定义域上的单调性． 解：（所给等式只有和，没有差，我们先通过移项，构造一个函数值之差出来，便于赋值） 因为 ，所以 　①， （为了让左边变成 ，可以假设 ，此时可求得 ，，赋值的方法就有了．同时为了运用已知条件“当 时，”，这里我们假设 比 大） 任取 ，在①中令 ， 可得 ，即 ， 因为 ，所以 ，结合题意可知 ，所以 ， 从而 ，故 在 上单调递增． 【反思】可以看到，尽管题干所给的关系式发生了变化，但我们解题的思路和例 15 几乎是一样的，其关键都是对所给等式赋值，把 构造出来，再根据已知条件判断其正负． 强化训练 A 组　夯实基础 1．（2024·全国模拟）（多选）下列函数中，在 上为增函数的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙模拟）若 是定义在 上的增函数，则满足 的 的取值范围是______． 3．（2024·山东德州模拟）（多选）已知函数 ，则（  ） A． B．若 ，则 C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 的值域为 4．（2025·广东广州模拟）函数 的单调递减区间是（  ） A． B． C． D． B 组　强化能力 5．（2024·广东潮州开学考试）当 ______（填入恰当的数）时，函数 在 上单调递增． 6．（2025·陕西西安期末）二次函数 在 上单调递增的一个充分不必要条件为（  ） A． B． C． D． 7．（2025·江西模拟）设 ，若 ，则 ______． 8．（2024·内蒙古鄂尔多斯开学考试）已知函数 是增函数，则实数 的取值范围为______． 9．（2024·江苏镇江模拟）若 ，则函数 的值域是______． 10．（2024·湖北模拟）已知函数 ，其中 ，则 的值域为______． 11．（2024·湖南长沙期末）（多选）函数 的定义域为 ，对任意的实数 ，满足 ，下列结论正确的是（  ） A．函数 在 上是单调递减函数 B． C． D． 的解集为 12．（2024·广东深圳期末）函数 在 上单调递增，则 的取值范围为______． 13．（2024·河北邯郸期末）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（  ） A． B． C． D． 14．（2024·广东梅州期末）已知二次函数 ，． （1）若 ，求 在 上的值域； （2）求 在 上的最小值 ． 15．（2024·湖南岳阳开学考试）设函数 ． （1）求函数 在区间 上的值域； （2）若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围． C 组　拓展提升 16．（2024·湖北模拟）已知函数 ，若存在 ，使 ，则 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 17．（2024·山东临沂模拟）已知函数 的单调递减区间为 ，则实数 的值为______． 18．（2024·陕西西安模拟）已知函数 的定义域为 ，对任意实数 都有 ，当 时，，且 ，则关于 的不等式 的解集为（  ） A． B． C． D． 19．（2024·全国模拟）设函数 ，用单调性的定义证明 在 上的单调性． 20．（2024·安徽期末）已知函数 定义域为 ，，总有 成立．若 时，． （1）证明函数 的单调性； （2）若 ，求关于 的不等式 的解集． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 强化训练 A 组 夯实基础 1.(2024・全国模拟)(多选) 下列函数中，在 上为增函数的是( ) A. B. C. D. 1. 解析: A 项,当 时, ,因为 的系数小于 0,所以它在 上 ,故 A 项错误; B 项,当 时, ,它在 上 ,故 B 项正确; C 项,当 时, , 它在 上 ,故 项正确; 项,当 时, , 它在 上 ,故 项正确. 2.(2025・湖南长沙模拟) 若 是定义在 上的增函数,则满足 的 的取值范围是_____. 2. 解析: 因为 在 上 ,所以 等价于 ,解得: ,所以 的取值范围是 . 3.(2024・山东德州模拟)(多选) 已知函数 ，则( ) A. B. 若 ,则 C. 函数 在 上单调递减 D. 函数 在 的值域为 3. 解析: A 项, ,故 A 项正确; 观察发现 B、C、D 三个选项都能用图象来判断, 故画图, B 项,函数 的大致图象如图,由图可知方程 只有 1 个解,且该解在 上, 令 得 , 解得: 或 -1 (舍去),故 B 项正确; 项,由图可知 在 上 ,故 项错误; D 项,因为 , ,所以结合图象可知 在 上的值域是 ,故 D 项正确. 4.(2025・广东广州模拟) 函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 4. D 解析: 分析单调区间,先看定义域,由 可得 或 ,所以 的定义域是 , 由 和 复合而成,可用同增异减准则分析单调性, 函数 在 的取值范围内 , 又因为 在 上 ,在 上 , 所以由同增异减准则, 的单调递减区间是 . B 组 强化能力 5.(2024・广东潮州开学考试) 当 _____(填入恰当的数)时，函数 在(1，+∞)上单调递增. 5. 1 (答案不唯一,只需 即可) 解析:函数 的草图如图，要使该函数在 上 ，应有 . 6.(2025・陕西西安期末) 二次函数 在(-∞，2)上单调递增的一个充分不必要条件为()) A. B. C. D. 6. 解析: 与 0 的大小关系不同,则图象的开口方向也不同,单调性会受到影响,故据此讨论,但题干已经说了 是二次函数,所以无需考虑 的情况, 当 时, 的图象开口向上, 所以 不可能在 上 ,不合题意; 当 时,如图, 图象的对称轴为 , 要使 在 上 ,应有 ,两端乘以 得 ,所以 ,结合 得 ; 综上, 在 上 的充要条件是 , 题干让选充分不必要条件, 所以选上述不等式对应集合的一个真子集即可, 结合选项可知 在 上 的一个充分不必要条件是 ,故选 C. 7. 设 ,若 ,则 7. -1 解析: 怎样翻译 和 与 2 的大小都不确定,要通过讨论代解析式吗? 如果直接讨论,则需考虑较多的情况,我们先试试分析 两段上的情况,看能否缩小考虑的范围, 由题意, 在 和 上都 , 因为 ,所以 与 不可能位于同一段区间, 否则 ,不合题意, 所以只能 ①， 此时 即为 ， 解得: 或-2,其中 不满足①,所以 , 故 . 8.(2024・内蒙古鄂尔多斯开学考试) 已知函数 是增函数,则实数 的取值范围为_____. 8. 解析:涉及分段函数 ，先分别考虑每一段， 由题意，要使 在 上 ，应有 ，所以 ①， 要使 在 上 ，如图 1，应有 ②， 再考虑间断点处的拼接情况，左侧图象不高于右侧图象， 如图 2, ，解得: ， 结合①②可得 的取值范围是 . 图1 图2 9.(2024・江苏镇江模拟) 若 ，则函数 的值域是_____. 9. 解析:求 “二次函数” 的值域，考虑将 “一次函数” 换元成 ，再拆开处理， 令 ,则 ,因为 ,所以 , 故 ,取等条件是 ,即 , 所以 的值域是 . 10.(2024・湖北模拟) 已知函数 ，其中 ，则 的值域为_____. 10. 解析:求 “二次函数” 的值域，考虑将 “一次函数” 换元成 ，再上下同除以 ，将变量集中到分母来看， 令 ,则 ,因为 ,所以 , 接下来上下同除以 ,但 的情况需单独考虑, 当 时, ; 当 时, , 因为 ,所以 , 取等条件是 ,即 ,满足 ; 综上所述, 的值域为 . 11.(2024・湖南长沙期末)(多选) 函数 的定义域为 ,对任意的实数 ,满足 ,下列结论正确的是 ( ) A. 函数 在 上是单调递减函数 B. C. D. 的解集为 11. 解析: A 项,已知的不等式中有 ,可能隐藏了单调性,我们把它化简来看看, 因为 , 所以 从而 在 上 ,故 A 项错误; B 项,因为 ,所以结合 在 上 知 成立,故 B 项正确; 项,由题设条件只能得到 的单调性,无法确定 是否成立,故 项错误; D 项, ,解得: , 故 D 项正确. 12.(2024・广东深圳期末) 函数 在 上单调递增，则 的取值范围为_____. 12. 解析: 的正负不同会影响 的图象类型,故讨论, 当 时, 在 上的大致图象如图, 要使 在 上 ,应有 , 结合 可得 ; 当 时, ,满足 在 上 ; 当 时,由于 和 在 上都 , 所以 在 上也 ,满足题意; 综上所述, 的取值范围为 . 13.(2024・河北邯郸期末) 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 13. B 解析:解析式中有根号，先考虑定义域的要求， 由题意， 在 上有定义， 所以 在 上恒成立， 这意味着 ，但 的正负未定， 的最小值在哪里也不确定，要讨论吗？其实不用，反正我们知道无论 与0 的大小关系如何， 的最小值必定在 或 处取，所以我们把这两个端点都考虑就可以了， 所以 ，解得: ①， 再看单调性， 可看成由 和 复合而成，故用同增异减准则分析， 因为 在 的取值范围内必定 ,所以要使 在 上 ,应有 在 上 , 从而 ,故 ,结合①可得 . 14.(2024・广东梅州期末) 已知二次函数 . (1)若 ，求 在 上的值域； (2)求 在 上的最小值 . 14. 解: (1) 若 ,则 ,如图 1, 所以 在 上的值域是 . (2) 的对称轴是 ，(对称轴与区间的位置关系不同，取最小值的位置也不同，故据此讨论) 当 ,即 时,如图 2, 图1 图2 当 ,即 时,如图 当 ,即 时,如图 4, 综上, 在 上的最小值 图3 图4 15.(2024・湖南岳阳开学考试) 设函数 . (1)求函数 在区间 上的值域； (2)若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围. 15. 解: (1) 由题意, 的对称轴是 ,如图 1, 当 时, , 所以 在 上的值域为 . (2)解法 1: ( 恒成立意味着 ，要讨论对称轴与区间 的位置关系，求该最大值吗? 不用，可以想象,开口向上的二次函数在 上的最大值必在 或 处取得,故考虑这两个点就够了) 由题意, 在 时恒成立 , 即 ,所以 , 从而 ,故 , 所以实数 的取值范围是 . 解法 2: (观察发现不等式 容易解出,故也可先解该不等式,再分析 与求得的解集的关系) 令 可得 , 所以 ,解得: , 故不等式 的解集是 , 由题意,对任意的 恒成立, 所以 ,如图 2,应有 , 解得: ,所以实数 的取值范围是 . 图1 图2 【反思】开口向上的二次函数在任意闭区间上的最大值一定在端点处取得, 故涉及这类求最大值的问题, 只需考虑两个端点; 类似的, 开口向下的二次函数在任意闭区间上的最小值也一定在端点处取得. C 组 拓展提升 16.(2024・湖北模拟) 已知函数 ，若存在 ，使 ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 16. A 解析:通过代解析式来分析 显然不方便，考虑单调性，但右边是 ，不能直接用单调性，如果能把 9 拿到括号内就好了，我们试试能不能拿进去， 由题意， ， 所以 ①， 这样就可以用单调性处理了，下面先判断单调性， 在两段上的解析式都很简单，可直接画图看单调性， 函数 的大致图象如图，由图可知 在 上 ， 所以不等式①等价于 ,即 , 所以题设条件等价于存在 ,使 , 注意这里变量是 ,可理解成存在 ,使 常 数 ,其中 ,于是应有 , 所以 ,故 , 解得: . 17.(2024・山东临沂模拟) 已知函数 的单调递减区间为 ，则实数 的值为_____. 17. -3 解析:解析式中有绝对值，不易判断单调性，可考虑去掉绝对值，写成分段函数再看， 由题意， ， 观察发现 的图象与 轴交点的横坐标必为 和 1，但 和 1 大小不确定，故据此讨论，画图分析单调性， 当 时， 和 的图象如图 2，不可能满足 的单调递减区间是 ; 图1 图 2 当 时, 和 的图象如图 3, 的大致图象如图 4,不可能满足 的单调递减区间是 ; 图3 图4 当 时, 和 的图象如图 5, 的大致图象如图 6,要使 的单调递减区间是 , 应有 ,解得: ,满足 ; 图5 图6 综上所述,实数 的值为 -3 . 【反思】注意区分 “ 在 上 ” 与 “ 的单调递减区间是 ” 这两个说法,对于前者, 可能只是 减区间的一部分,而后者 必须是 的全部减区间. 若将本题的条件改为 在 上 ,则在图 6 中应有 . 18.(2024・陕西西安模拟) 已知函数 的定义域为 ,对任意实数 都有 ,当 时, ,且 ，则关于 的不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 18. A 解析:没有解析式，求解 只能考虑单调性，但这里也不是两个函数值的大小啊？怎么办呢？观察发现用已知的等式可以把它化为两个函数值的大小， ①， 由题意, ,所以令 可得 将上式和 代入①得 ②， 只要判断出 的单调性,就能求解不等式②,怎样由 判断单调性? 显然用定义,可先将其变形成 ,只要令 ,即 ,就能产生单调性定义中的 , 由题意可得, , 令 可得 , 为了运用题干的 “当 时, ”,我们假设 , 假设 ,则 ,又因为当 时, , 所以 ,从而 , 故 ,所以 在 上 , 故不等式②等价于 ,解得: . 19.(2024・全国模拟) 设函数 ，用单调性的定义证明 在 上的单调性. 19. 证明: 任取 ,由题意, (观察发现 和 的正负是确定的，而 正负都有可能，需找到正负分界点，怎么找？可以假设 ， 并令 ，此时可得 ，分界点就找到了) 当 时, , 所以 , 从而 ,故 在 上单调递减; 当 时, , 所以 , 从而 ,故 在 上单调递增. 20.(2024・安徽期末) 已知函数 定义域为 ,总有 成立. 若 时, . (1)证明函数 的单调性; (2)若 ，求关于 的不等式 的解集. 20. 解:(1)(所给等式中已有 这种结构，可直接 赋值，构造 出来) 任取 ,由题意, ①, 因为当 时, ,又 ,所以 , 从而 ,结合①可得 , 故 ,所以 在 上单调递减. (2)(没有解析式，只能用单调性解 ，但这里不是两个函数值的大小，怎么办呢？可尝试结合已知的 把它化为两个函数值的大小) 由 可知 ②, 由题意, ,所以 , 代入②得 ③， 对于不等式③，首先应有 且 ，所以 ； 其次，因为 在 上单调递减，所以 ， 两端乘以 可得 ，所以 ， 解得: 或 ，结合 可得 ， 所以不等式 的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $