3.2.1 单调性与最大（小）值讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、函数的单调性 3 知识点二、基本初等函数的单调性 6 知识点三、函数的最大（小）值 6 03 题型精讲 7 题型一：单调性定义辨析 7 题型二：借助单调性比较数值大小 9 题型三：求解函数单调区间 11 题型四：单调性逆向求参数 13 题型五：单调性求解函数不等式 15 题型六：定义法证函数单调性 17 题型七：利用单调性求函数最值 20 题型八：抽象函数单调性证明 24 题型九：闭区间上二次函数最值 27 题型十：恒成立与有解问题 32 04 课后精练 36 05 培优拓展 45 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型一：单调性定义辨析 【典例1-1】下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 【答案】B 【解析】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 【典例1-2】（2026·高一·河南·期末）已知函数在上有定义，设甲：在上单调递增，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于充分性，由单调递增性质显然有，充分性成立， 对于必要性，考虑，此时，但其在上不是单调递增的，必要性不成立. 故选：A 【变式1-1】（2026·高一·广东肇庆·期中）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 【变式1-2】（2026·高三·江西·期中）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 【答案】B 【解析】函数图象的对称轴为直线，且图象开口向上，由题意，得．又，则当时，在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值．综上，在上单调递增． 【变式1-3】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【方法技巧与总结】 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 题型二：借助单调性比较数值大小 【典例2-1】（2026·高一·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，， 由， 得， 因为，所以. 又， 所以在上单调递增，则， 即. 故选：B 【典例2-2】（2026·高三·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 【变式2-1】（2026·高三·江西宜春·阶段检测）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 【变式2-2】已知在上是减函数，，且，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，得到． 在上是减函数， ， ，故选D． 【变式2-3】（2026·高一·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为二次函数的最大值为， 所以的图象关于直线对称，所以，且在上是减函数， 因为，所以. 故选：A． 【方法技巧与总结】 利用单调性解决 题型三：求解函数单调区间 【典例3-1】（2026·高一·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 故选：B 【典例3-2】（2026·高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C 【变式3-1】（2026·高三·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 【变式3-2】（2026·高一·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 【变式3-3】（2026·高一·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则在上单调递增； ，因式分解得，解得定义域为或，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此，在上单调递减；在上单调递增. 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）数形结合利用图象判断函数单调区间； （2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关． （3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数． 题型四：单调性逆向求参数 【典例4-1】（2026·高二·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 【典例4-2】（2026·高一·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 【变式4-1】（2026·高一·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 【变式4-2】（2026·高一·河北石家庄·期中）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，函数图象如图1所示，由图象可知满足条件； 当时，函数图象如图2所示，由图象可知， 要使在上单调递增，则，即， 同理可得，当时也满足题意．综上． 故选：C 【变式4-3】（2026·高一·河南南阳·期中）已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，在上单调递增，因此， 当时， 为对勾函数，在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以，则， 所以实数b的取值范围是. 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论． （2）分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题． 题型五：单调性求解函数不等式 【典例5-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 【答案】 【解析】由函数是定义在区间上的增函数，得， 解得，所以所求的取值范围是. 故答案为： 【典例5-2】（2026·高一·贵州黔东南·期末）已知函数定义域为对任意两个不相等的实数都有成立．则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】由已知对任意两个不相等的实数都有成立， 不妨设，则， 即函数在上单调递增， 又，则， 即， 则，即， 解得， 故答案为：． 【变式5-1】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】由题知时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减； ①当，即时，可知 ， 因为自变量时，在上单调递减， 则，原不等式无解； ②当时，即时，可知， 因为自变量时，在上单调递增， 因此，即原不等式恒成立，其解集为； ③当且时，即时， 由可得，解得，故， 综上所述，关于的不等式的解集为， 故答案为：. 【变式5-2】（2026·高一·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】令，由题意得， 由，得函数的定义域为， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增， 且由反比例函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递增， 可得不等式即， 由单调性可得，故所求的解集是. 【变式5-3】（2026·高一·甘肃张掖·阶段检测）已知定义在的减函数满足，且，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】在中，令，且， 所以， ， ， 因为函数是定义在上的减函数， 所以有， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解． 题型六：定义法证函数单调性 【典例6-1】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【典例6-2】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【解析】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 【变式6-1】（2026·高一·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【解析】（1） 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 【变式6-2】（2026·高一·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 【解析】（1）当时，函数， 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此的最小值为4. （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明如下： ，，且， 有. 由，，得，，所以， 又由，得，所以. 若，则，所以， 即，所以在上单调递增； 若，当，时，，所以， 即，所以在上单调递减； 当，时，，即， 即，所以在上单调递增. 故当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式6-3】（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)解不等式； (2)判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 【解析】（1）不等式化为，即， 可化为，所以或， 不等式解集为. （2）函数在上是增函数.证明如下： 任取，，且， ， ，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. 【方法技巧与总结】 （1）证明函数单调性要求使用定义； （2）如何比较两个量的大小？（作差） （3）如何判断一个式子的符号？（对差适当变形） 题型七：利用单调性求函数最值 【典例7-1】已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【解析】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 【典例7-2】（2026·高一·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）证明:因为函数，且，所以，解得， 故. 任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 故函数在上为增函数. （2）由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 【变式7-1】（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【解析】（1）由函数过点，有， 解得， 所以的解析式为：． （2）证明： ，且， ． 由，得． 则，即． 所以在区间上单调递增． （3）由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 【变式7-2】（2026·高三·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【解析】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递减， 证明如下： 任取，不妨设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 即，又因为，所以在上单调递减； （3）由（2）知，在单调递减， 且，，故在上的值域为. 【变式7-3】（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【解析】（1） 若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 【方法技巧与总结】 （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 题型八：抽象函数单调性证明 【典例8-1】（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【解析】（1）将，代入得， 即， 因为当时，，所以， 所以．     （2）证明：①当时，显然，有，符合题意； ②当时，令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，，此时，符合题意； ③当时，则，，符合题意． 综上所述，，． （3）单调递增.     证明：设任意，，且， 则 ， 由（2）可知，对，， 又，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 【典例8-2】已知函数的定义域为，且对恒有，且，当时，． (1)求证：是单调增函数； (2)列举出具有这样性质的一个函数，并加以验证． 【解析】（1）因为，令，则，即． 因为，所以，即，解得． 对任意的，有， 即， 化简得， 因为，所以，则， 因为当时，，所以， 因此，所以在定义域上是单调增函数． （2）， 对，有 ，所以； 且函数为一次函数，在定义域上单调递增，而， 所以当时，； 综上所述，函数具有题目所给性质 【变式8-1】已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【解析】（1）令代入，得，所以 （2）设且，则， 因为，所以，所以， 所以在上是增函数； （3）因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以不等式可化为 所以，解得，所以不等式的解集为． 【变式8-2】已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 【解析】（1）由于对于任意实数，有， 令，则，即， 再令，则， 由于，则； （2）当时，． 即，由于对于任意实数，，有， 则，即有时，． 设，则，， 则由， 得，即． 故在定义域上是单调递增函数． 【变式8-3】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【解析】设是区间上的任意两个实数，且， 可得， 因为且，所以，所以，所以， 即，所以在上单调递增. 【方法技巧与总结】 研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的．一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型．对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可． 题型九：闭区间上二次函数最值 【典例9-1】（2026·高一·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【解析】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 【典例9-2】（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 【解析】（1）函数，且，则，解得， ，所以. （2）由（1）知，，且， 则， 由，得，， 则，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（2）得函数在区间上单调递减， 则，， 所以函数在区间的最大值和最小值分别为38和11. 【变式9-1】（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 【解析】（1）（ⅰ）由题意得， 由题可知对称轴， 所以，， 所以在区间上的最大值是， 所以，即， 所以的解析式为. （ⅱ）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为 ①当时，即时，在上单调递减， 此时的最小值为， ②当时，在上单调递增， 此时的最小值为， ③当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时的最小值为， 综上，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 当时，的最小值为. （2）令，则，所以， 因为对任意，恒成立，所以恒成立， 所以， ， 所以，此时， 所以，当，，时取等号， 此时，成立， 即成立， 故的最大值为. 【变式9-2】（2026·高一·青海·期中）已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最大值 【解析】（1）设二次函数， 则，， 故由，得， 所以， 即得，故，即， 故； （2）由题意得，， 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 当，即时，； 当，即时，； 故. 【变式9-3】（2026·高一·福建莆田·期中）已知函数． (1)若，求该函数在上的最大值和最小值； (2)求该函数在上的最小值； (3)若该函数在区间上的最大值为4，求实数的值． 【解析】（1）当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 因为，所以当时，， 当时，，所以该函数在上的最大值为16，最小值为0. （2）函数，为开口向上，对称轴为的抛物线， 当，即时，在上单调递增， 所以最小值， 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以最小值， 当，即时，在上单调递减， 所以最小值， 综上， （3）当，即时，在上单调递增， 所以当时，，解得，不符合题意； 当，即时， 在单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 因为，所以， 所以，解得，符合题意； 当，即时， 在单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 因为，所以， 所以，解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减， 所以当时，，解得，不符合题意； 综上，实数m的值为或. 【方法技巧与总结】 二次函数在闭区间上的最值问题由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴的位置（在区间上，还是在区间左边，还是在区间右边）来确定，当开口方向和对称轴的位置不确定时，则需要进行分类讨论． 题型十：恒成立与有解问题 【典例10-1】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 因为， 当时，， 因为，当时，， 因为， 所以，即， 所以； （2）由（1）知， 因为，所以， 由题意， 则，所以； （3）， 设，所以， 即在上单调递减， 所以， 根据定义法，设， 所以， 即在上恒成立， 因为，所以，所以， 所以． 【典例10-2】设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】由题意，可得，即， 当时，，所以在上恒成立， 只需， 当时有最小值为1，则有最大值为3， 则，实数的取值范围是. 【变式10-1】（2026·高二·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 【变式10-2】已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）存在，理由如下： 不等式可化为，即， 要使对于任意恒成立，等价于， 而，所以， 故存在实数使不等式对于任意恒成立，此时需. （2）不等式可化为． 若存在一个实数，使不等式成立，只需， 又，则，所以. 所以所求实数的取值范围是. 【变式10-3】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【解析】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 【方法技巧与总结】 分离参数． 1．（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为为开口向上的二次函数，其对称轴方程为， 所以在单调递减，在单调递增； 若在上具有单调性，则或， 因此或. 2．若奇函数在区间上的最小值是6，那么在区间上有（   ） A．最小值6 B．最小值 C．最大值 D．最大值6 【答案】C 【解析】因为奇函数在上有最小值6， 所以可设，满足． 由奇函数的性质，在上必有最大值，且最大值为． 3．（2026·高一·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 4．（2026·高一·山东济南·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故选：D 5．（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，解得， 故选：B 6．（2026·高一·北京·期中）二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递增， 所以，解得，则实数的取值范围是. 故选：A 7．（2026·高一·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 8．（2026·高一·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 9．（多选题）（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 10．（多选题）（2026·高三·青海西宁·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 11．（多选题）（2026·高二·甘肃定西·期末）下列结论不正确的是（　　） A．若定义在上的函数，有，则函数在上为增函数 B．函数在上是增函数，则函数的单调递增区间是 C．函数的单调递减区间是 D．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 【答案】ABC 【解析】对于A，根据增函数的概念知，无法判断函数在上的增减性，例如，故A错误； 对于B，函数在上是增函数，则是单调递增区间的子区间，例如，故B错误； 对于C，一个函数的同一单调增区间或减区间不能用“”连接，故C错误； 对于D，根据单调函数在闭区间上的性质，函数的最值必在端点处取得，故D正确． 故选：ABC 12．（2026·高一·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 【答案】 【解析】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 13．（2026·高一·河南周口·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】函数的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 所以，. 则实数的取值范围是. 14．（2026·高一·安徽宣城·期末）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】由函数在R上单调递减，得，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为： 15．（2026·高一·广东汕尾·期末）已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由题意可得，或，得或， 故实数的取值范围为 故答案为： 16．（2026·高一·天津红桥·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【解析】（1）由题意，， 所以. （2）当时，函数在上单调递减，所以； 当时，； 当时，函数在上单调递减，所以. 综上，当时，函数的值域为. 17．（2026·高一·新疆喀什·期中）已知函数，且. (1)求的值. (2)用定义法证明函数在上是增函数. 【解析】（1）函数，由，得，所以. （2）由（1）知，，任意， ， 当时，，则，即， 所以函数在上是增函数. 18．（2026·高一·天津·期中）已知函数， ，，用表示、中的较小者，记为. (1)在所给坐标系中画出函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； (2)结合图象写出的解析式. 【解析】（1）令，即，即，解得， 令，即，即，解得或， 故，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的减区间为、，增区间为. （2）由（1）可得. 19．（2026·高一·重庆·期中）已知函数，且. (1)求解析式； (2)证明：函数在区间单调递增. 【解析】（1）， 且，解得. 所以函数的解析式为. （2）任取，且， .    所以，所以， 所以函数在单调递增. 20．（2026·高一·辽宁·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【解析】（1）因为的图象经过点， 所以， 解得，所以； （2）在上单调递减. 证明如下： 设满足的任意， 有， 因为，所以， 所以，则， 即，所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 因为， 所以在上的值域为. 1．已知，当时，设的最大值为，则最小值为________. 【答案】/ 【解析】令，， 设，，由对勾函数 的单调性可知，在上单调递减， 在上单调递增，， ∴是平口单峰函数（如图）， 由平口单峰函数的结论可知， 对于， 的 最小值等于， 即. 2．不等式的解集是________． 【答案】 【解析】原式可化为， 令，则． 整理得， 因为函数和函数为增函数， 所以为单增函数， 故即， 则，解得，即． 3．（2026·高一·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需，的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减，则， 解得，不合题意； 当时，在上单调递增，则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，． 4．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 5．（2026·高一·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 6．（2026·高一·浙江·开学考试）设二次函数，且的两个实根满足. (1)若函数的图象关于对称，求的解集； (2)若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 【解析】（1）由题意得，则，则， 当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）（i）由得，则， 得，则； （ii）由，得或. 设， 则 的零点分别为和，对称轴为 ①当时，， 则在上递增，在上递减， 所以； ②当时，， 则在上递减， 则； ③当时，， 则在上递减，在上递增， 则； 综上. 7．已知，存在使，，求范围. 【解析】，则. 令，则， 如图，则有，即，解得. 8．（2026·高一·湖南·期末）对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【解析】（1）区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 9．（2026·高一·湖南益阳·期末）若定义在非空集合上的函数，以及函数，且函数，的最大值称为，的“偏差”． (1)函数，，，求，的“偏差”： (2)函数，，，若，的“偏差”为3，求的值； (3)函数，，，当，的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【解析】（1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 10．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若，求a的值； (2)若至少存在两个不相等的正实数，，满足. ①求a的取值范围，并求在上的最小值； ②证明：. 【解析】（1）由，则，所以，所以， 当时，，解得，符合题意； 当时，，此方程无解； 综上所述：． （2）①，且， 已知至少存在两个不相等的正实数，，满足， 故只需讨论的情况， 在上单调递减，在上单调递增； 在上单调递增，且，即在处连续， 当时，在上，显然其在上单调递增，不符合题意； 当时，，在上单调递增，在上单调递增，在处连续，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时至少存在两个不相等的正实数，，满足， 所以的取值范围为， 若，则在上单调递减，最小值为； 若，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为； 综上，时最小值为，时最小值为； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 单调性与最大（小）值 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、函数的单调性 3 知识点二、基本初等函数的单调性 6 知识点三、函数的最大（小）值 6 03 题型精讲 7 题型一：单调性定义辨析 7 题型二：借助单调性比较数值大小 8 题型三：求解函数单调区间 9 题型四：单调性逆向求参数 9 题型五：单调性求解函数不等式 10 题型六：定义法证函数单调性 11 题型七：利用单调性求函数最值 12 题型八：抽象函数单调性证明 13 题型九：闭区间上二次函数最值 15 题型十：恒成立与有解问题 17 04 课后精练 19 05 培优拓展 23 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型一：单调性定义辨析 【典例1-1】下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 【典例1-2】（2026·高一·河南·期末）已知函数在上有定义，设甲：在上单调递增，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026·高一·广东肇庆·期中）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高三·江西·期中）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 【变式1-3】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 题型二：借助单调性比较数值大小 【典例2-1】（2026·高一·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高三·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高三·江西宜春·阶段检测）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知在上是减函数，，且，则有（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用单调性解决 题型三：求解函数单调区间 【典例3-1】（2026·高一·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高三·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【变式3-3】（2026·高一·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）数形结合利用图象判断函数单调区间； （2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关． （3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数． 题型四：单调性逆向求参数 【典例4-1】（2026·高二·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·河北石家庄·期中）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·河南南阳·期中）已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论． （2）分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题． 题型五：单调性求解函数不等式 【典例5-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 【典例5-2】（2026·高一·贵州黔东南·期末）已知函数定义域为对任意两个不相等的实数都有成立．则不等式的解集为___________． 【变式5-1】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为______. 【变式5-2】（2026·高一·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【变式5-3】（2026·高一·甘肃张掖·阶段检测）已知定义在的减函数满足，且，则不等式的解集为___________． 【方法技巧与总结】 求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解． 题型六：定义法证函数单调性 【典例6-1】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【典例6-2】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【变式6-1】（2026·高一·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【变式6-2】（2026·高一·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 【变式6-3】（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)解不等式； (2)判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 【方法技巧与总结】 （1）证明函数单调性要求使用定义； （2）如何比较两个量的大小？（作差） （3）如何判断一个式子的符号？（对差适当变形） 题型七：利用单调性求函数最值 【典例7-1】已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【典例7-2】（2026·高一·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式7-1】（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【变式7-2】（2026·高三·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【变式7-3】（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【方法技巧与总结】 （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 题型八：抽象函数单调性证明 【典例8-1】（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【典例8-2】已知函数的定义域为，且对恒有，且，当时，． (1)求证：是单调增函数； (2)列举出具有这样性质的一个函数，并加以验证． 【变式8-1】已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【变式8-2】已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 【变式8-3】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【方法技巧与总结】 研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的．一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型．对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可． 题型九：闭区间上二次函数最值 【典例9-1】（2026·高一·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【典例9-2】（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 【变式9-1】（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 【变式9-2】（2026·高一·青海·期中）已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最大值 【变式9-3】（2026·高一·福建莆田·期中）已知函数． (1)若，求该函数在上的最大值和最小值； (2)求该函数在上的最小值； (3)若该函数在区间上的最大值为4，求实数的值． 【方法技巧与总结】 二次函数在闭区间上的最值问题由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴的位置（在区间上，还是在区间左边，还是在区间右边）来确定，当开口方向和对称轴的位置不确定时，则需要进行分类讨论． 题型十：恒成立与有解问题 【典例10-1】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 【典例10-2】设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【变式10-1】（2026·高二·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【变式10-2】已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【变式10-3】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【方法技巧与总结】 分离参数． 1．（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．若奇函数在区间上的最小值是6，那么在区间上有（   ） A．最小值6 B．最小值 C．最大值 D．最大值6 3．（2026·高一·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·山东济南·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 6．（2026·高一·北京·期中）二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高三·青海西宁·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 11．（多选题）（2026·高二·甘肃定西·期末）下列结论不正确的是（　　） A．若定义在上的函数，有，则函数在上为增函数 B．函数在上是增函数，则函数的单调递增区间是 C．函数的单调递减区间是 D．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 12．（2026·高一·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 13．（2026·高一·河南周口·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 14．（2026·高一·安徽宣城·期末）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 15．（2026·高一·广东汕尾·期末）已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 16．（2026·高一·天津红桥·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 17．（2026·高一·新疆喀什·期中）已知函数，且. (1)求的值. (2)用定义法证明函数在上是增函数. 18．（2026·高一·天津·期中）已知函数， ，，用表示、中的较小者，记为. (1)在所给坐标系中画出函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； (2)结合图象写出的解析式. 19．（2026·高一·重庆·期中）已知函数，且. (1)求解析式； (2)证明：函数在区间单调递增. 20．（2026·高一·辽宁·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 1．已知，当时，设的最大值为，则最小值为________. 2．不等式的解集是________． 3．（2026·高一·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 4．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 5．（2026·高一·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 6．（2026·高一·浙江·开学考试）设二次函数，且的两个实根满足. (1)若函数的图象关于对称，求的解集； (2)若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 7．已知，存在使，，求范围. 8．（2026·高一·湖南·期末）对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 9．（2026·高一·湖南益阳·期末）若定义在非空集合上的函数，以及函数，且函数，的最大值称为，的“偏差”． (1)函数，，，求，的“偏差”： (2)函数，，，若，的“偏差”为3，求的值； (3)函数，，，当，的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值． 10．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若，求a的值； (2)若至少存在两个不相等的正实数，，满足. ①求a的取值范围，并求在上的最小值； ②证明：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $