第11讲 函数的基本性质—奇偶性讲义—2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第11讲 函数的基本性质—奇偶性 【知识梳理】 知识点一、奇函数、偶函数的定义及图像特征 偶函数 奇函数 前提 定义域关于原点对称 定义 设函数的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 设函数的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数 图象 关于y轴对称 关于原点对称 【特别提醒】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数． （2）若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. （3）若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. （4）若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数． 知识点二、奇函数、偶函数的性质 1. 奇函数，偶函数的图象特征 设函数f(x)的定义域为 （1）f(x)是偶函数f(x)的图象关于轴对称； （2）f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称； （3）若f(x)是奇函数且，则 2. 函数的奇偶性与单调性的关系 （1）f(x)是偶函数f(x)在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）f(x)是奇函数f(x)在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3. 函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数f(x)的定义域为（其中） （1）f(x)是偶函数，且f(x)在上单调，则f(x)在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）f(x)是奇函数，且f(x)在上单调，则f(x)在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数。 【归纳总结】 奇偶性的四个重要结论： （1）如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. （2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． （3）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. （4）若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 【题型归纳】 题型一、函数奇偶性的判断 【函数奇偶性的判断方法】 1．判断或证明具体函数的奇偶性 （1）定义法（仅此法可用于证明）： （2）图象法：若函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数. （3）性质法：在公共定义域上，奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇，偶×偶＝偶，“奇±偶”的奇偶性不能确定，要结合函数具体分析. 【特别提醒】 （1） 判断分段函数f(x)的奇偶性需分段判断f(x)与f(-x)的关系，一般是在每一个区间上任取自变量，再向对称区间转化，验证f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立，若函数在x=0处有意义，还要验证f(0).也可以作出函数的图象，结合对称性判断. （2） 复合函数f(g(x))的奇偶性：一偶则偶，两奇为奇. 2．判断或证明抽象函数的奇偶性 已知抽象函数的关系式（关系式中含有x，y两个变量），判断f(x)的奇偶性，通常利用赋值法确定f(-x)与f(x)的关系.常见的抽象函数的赋值规律如表： 抽象函数形式 赋值规律 奇偶性 令，得，即 令，得，所以 奇函数 令，得，即令，得，即，令，得，所 偶函数 令，得，即 ，得，即令，得，所以 奇函数 令得，此时需结合题目条件确定f(1)；令，得再令即可判断奇偶性 与f（1）的值有关 【典型例题】 1. 判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【答案】(1)奇函数；(2)非奇非偶函数；(3)非奇非偶函数；(4)奇函数；(5)既是奇函数又为偶函数 【详解】（1）定义域：，因为对于任意，且，所以为奇函数. （2）定义域：，即，所以为非奇非偶函数. （3）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数. （4）定义域：，即或，所以， ，所以，所以函数为奇函数 （5）定义域：，解得，所以，因此既是奇函数又为偶函数. 2. 判断函数的奇偶性. （1）； （2）. 【答案】（1）偶函数；（2）既不是奇函数也不是偶函数 【详解】（1）的定义域是，关于原点对称． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，为偶函数． （2）当时，； 当时，； 而当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. 3. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 4. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一判断即可. 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，因为，故是奇函数，即A错误； 对于B，因为，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误. 5. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，，故令时，则， 令时，，令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 6. 已知函数的定义域为，且满足，，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】B 【分析】对于A，令，即可判断；对于B，求出，再令，即可判断；对于C，令，取，即可判断；对于D，先证明，再取，取，即可判断. 【详解】对于A，令，则，解得，故A正确； 对于B，令，则，得，令，则， 又，所以，故B错误；对于C，令，取，则， 即，又，故不恒为0，所以，且定义域为，定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，故C正确； 对于D，令取，，得，则， 令取，取，得， 所以，则，故D正确. 7. 【多选】已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】先由条件得到，的解析式，再逐项分析即可。 【详解】令，得，令，得， 再令，有，所以， 令，则，因此，. A选项：，不一定等于，故A不正确；B选项：，是偶函数，故B正确； C选项：故C正确； D选项：，，故D正确. 8. 【多选】已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 又函数的定义域为R，因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 9. 【多选】已知函数满足以下条件：①；② ；③，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性、周期性逐项分析判断. 【详解】对于A，取，得， 取，得， 由条件① 得的值不恒等于0，因此，A错误； 对于B，取，得，因此B正确； 对于C，取，得，， 因此函数是偶函数，函数是奇函数， 取，得C正确； 对于D，取，得，则， ， 即，因此，D正确. 10. 函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用奇偶性、函数正负快速排除选项，再结合单调性与极限验证，本题为奇函数，图象关于原点对称，排除D；由时可排除 C，由时可排除 A，从而可得结果. 【详解】∵函数，∴定义域，∴， ∴是奇函数，图像关于原点对称，排除D；当，，图象在轴上方，排除C； 当时，，故排除 A. 11. 已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：函数在和上单调递减，与图象不符合，故A错误； 选项B：由对勾函数性质，时，在上递减，在上递增； 时，在上递增，在上递减，故B正确； 选项C：在上单调递增，在和上单调递增， 故在和上单调递增，故C错误； 选项D：，则不是奇函数或偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 题型二、利用函数的奇偶性求值 （1）若所给的函数f(x)本身具有奇偶性，则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解. （2）若所给的函数f(x)本身不具有奇偶性，一般将其解析式构造成“奇函数＋偶函数”的形式，即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，再根据g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)得到f(-x)与f(x)的关系，进而求出函数值. 【注意】 对于（2）中函数f(x)本身不具有奇偶性求函数值的问题，若偶函数g(x)=m(m≠0)，则函数f(x)由“奇函数＋常数”构成，此时常根据“两个互为相反数的自变量对应的函数值之和为2m”进行求解． 【典型例题】 12. 已知函数是定义在上的偶函数，则 . 【答案】4 【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解. 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以.故答案为：4. 13. 且，则等于 ． 【答案】－16 【分析】构造函数，可得为奇函数，由得，从而可得结果. 【解析】令，则， 由得，由得，所以，则 所以，故答案为：－16． 14. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】构造，确定函数为奇函数，，根据奇函数性质计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为，则，即为奇函数， 其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0，则，故.故选：B 15. 设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得， 令，（） 则，即为奇函数，则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则，故答案为：4048. 16. 若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 【答案】8 【分析】先根据得到是奇函数，进而可判断也是奇函数，进而可得. 【详解】在中，令得，即， 令得，即，是奇函数， 令，则，故是奇函数， 所以在对称区间上， 当时，，. 题型三、利用函数的奇偶性求解析式 （1）已知函数在某一区间上的解析式，且函数具有奇偶性，求其对称区间上的解析式的一般步骤： ①设定目标区间：在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间； ②对称转化代入：把-x对称转化到已知区间上，代人已知区间的解析式得f(-x)； ③推导求解：利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x)，从而出f(x). （2）已知函数可表示为“奇函数＋偶函数”的形式（如F(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数），求解析式的一般步骤： ①构造对称方程：将x替换为-x，由奇偶性得F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)； ②联立方程组：将F(x)=f(x)+g(x)与F(-x)=-f(x)+g(x)联立； ③消元求解：两式相加消去f(x)得，两式相减消去g(x)得 【典型例题】 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，，所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以．故． 18. 设函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若函数，求函数的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，，则； （2）设，则，所以，因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，，所以； （3）当时，，所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 19. 已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得，则有 两式相减得，所以，故答案为：， 20. 已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数，所以，， 因为①，所以， 即②，则①②两式相加可得， 即.故答案为：. 题型四、利用函数的奇偶性求参数的值 （1）若定义域中含有参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． （2）若函数解析式中含有参数，则根据奇函数或偶函数的定义列等式求解；也可通过代入定义域内的特殊值列等式求解，求解后注意检验，对于在x=0处有定义的奇函数f(x)，可利用f(0)=0求解. 【典型例题】 21. 若函数为奇函数，求的值. 【答案】 【详解】由题意得，则且，因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故，又，即，所以，则. 22. 设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即，故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数，所以. 23. 若函数为奇函数，则___________. 【答案】 【分析】解法1：根据奇函数的定义，求出时的解析式，得到即可；解法2：利用即可求解． 【详解】解法1：当时，， 所以， 又为奇函数，所以，所以， 即当时，，所以，所以． 解法2：由题意得，即，所以． 24. 已知是偶函数，则实数的值为__________． 【答案】0 【详解】∵函数是偶函数，定义域分析可得为，且， ∴ 对任意恒成立,∴ ，即对任意恒成立,∴ . 25. 【多选】已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，，所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则，所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 题型五、函数的奇偶性与单调性的综合应用 1. 比较函数值或自变量的大小 先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量或其函数值转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 2. 解不等式 ①奇函数解不等式：f(a)+f(b)>0f(a)>-f(b)f(a)> ②偶函数解不等式： (a)-f(b)>0f(a)>f(b)f(|a|)> 【典型例题】 26. （1）已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，求实数的取值范围． （2）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由，得． 因为在上是奇函数，所以，所以． 又因为在上单调递减，所以，即， 所以，所以实数的取值范围是． （2）因为函数是偶函数，所以，所以，． 因为在区间上单调递减，且，即， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 27. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质得到在上的单调性和，再将乘积大于0的不等式转化为两个同号不等式组，结合的正负区间求解解集. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，且，先分析的正负分布： 当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式等价于以下两个不等式组： ，即，解得； ，即，解得. 综上，原不等式的解集为. 28. 定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集. 【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 29. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为R，令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则，即 ， 所以，所以，函数为R上的减函数，所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为R上的减函数，由，可得，解得，D对. 30. 已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先构造辅助函数，接着判断奇偶性和单调性，将不等式转化，最后平方求解即可。 【详解】设，则由得，即，所以是偶函数. 又对任意，有，因为，所以，即， 因此在上单调递减，可得， 两边同时平方化简得，解得，故解集为. 31. 已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】先根据函数的奇偶性求出，变形，构造函数，得到在上单调递增，根据单调性得到不等式，求出答案即可. 【详解】由题意得，因为，所以， 即有，两式相加可得. 因为，，所以， 设，所以在上单调递增， 所以或或，解得或，所以 32. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 【答案】 【分析】由奇函数的性质求出时的函数解析式，从而可求出不等式的解集，分和三种情况分别根据不等式恒成立计算求解即可. 【详解】设，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以当时，，解得， 当时，，解得，所以的解集为，， 因为，所以，当时，， 因为不等式恒成立，所以，即恒成立，所以，即； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当，恒成立， 即，即，所以； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当，恒成立，即，即，所以； 综上，所以，即正实数的最小值为；故答案为：；． 33. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）若函数，记函数的最小值，求的解析式； （3）若在上有最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式； （3）结合的解析式并作出相关图象，结合已知条件求出实数的取值范围． 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又为奇函数，则，综合可得，． （2）当时，，则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增，故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增，故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减，故当时，函数取得最小值，最小值是， 函数的最小值． （3）由（1）的结论，，作图如下：若在上有最小值，即函数图象在区间上有最低点，必有或，的取值范围为：． 34. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）求在区间上的值域，并指出取得最大值与最小值时x的值； （3）解关于t的不等式． 【答案】(1)；(2)，最大值为8，此时，最小值为，此时 (3) 【分析】（1）由是定义在上的奇函数得到，设，则，利用已知求出，利用奇函数得到，用分段函数表示. （2）按（1）的解析式分段求值域，取并集． （3）先由（1）的解析式得出单调性，利用单调性和奇偶性求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，，则， 又，则，则 . （2）①当时，， 图象开口向下、对称轴为，故在上单调递增，此时； ②当时，， 图象开口向上、对称轴为，故在上单调递增，此时． 取并集得在上的值域为． 故的最大值为8，此时，最小值为，此时． （3）当时在上递增；当时在上递增； 又时时，故时恒有，则在R上单调递增，由得，由是奇函数，得，于是． 由单调性得，即，解得．则原不等式的解集为（或写成）． 35. 已知函数. （1）若函数为偶函数，求的值 （2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据偶函数定义可求得； （2）对参数的取值进行分类讨论，再由不等式恒成立限定得出满足的表达式，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由函数为偶函数可知，对任何都有， 得，即对任何恒成立， 平方得对任何恒成立，而不恒为0，则； （2）将不等式化为， 即（*）对任意恒成立， ①当时，将不等式（*）可化为，对上恒成立， 又在为单调递增，只需，解得； ②当时，不等式（*）可化为对恒成立， 由①可知，则在为单调递减， 只需，解得或，即； ③当时，将不等式（*）可化为对恒成立 又在为单调递增，只需，解得或， 即，综合①②③可知：的取值范围为. 36. 函数的定义域为，且满足对任意，都有． （1）试判断的奇偶性并证明你的结论； （2）若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 【答案】（1）略；(2)或或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇偶性的定义可得； （2）由题意判断单调性，并结合题意，将不等式转化为，求解可得. 【详解】(1)函数是偶函数.证明：函数的定义域为，关于原点对称. 因为对任意，都有，所以令，得； 用替换，得.所以，即. 所以函数是偶函数. （2）由题意知，，所以.又在上是单调的，， 所以在上单调递增.由（1）知，是偶函数，所以在上单调递减. 因为对任意，都有， 所以不等式， 所以，由，得，所以，所以， 解得或.所以不等式的解集为或或. 【课后训练】 一、单选题 1. 已知图甲是函数的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设图乙对应的函数为，由图可知当时，， 当时，，所以.故选：A. 2. 下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式，直接判断函数的奇偶性. 【解析】A.函数是非奇非偶函数，BC都是奇函数， D.满足，定义域是，是偶函数.故选:D. 3. 对于定义域是R的任何一个奇函数都满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义分别进行判断即可． 【解析】解：因为是奇函数，所以，则．，不一定小于0，所以A错误； ．，所以B正确；．不一定小于等于0，所以C错误； ．，所以D不正确．故选：B． 4. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，且在上单调递增，在上单调递减，如图： 当时，，故，此时；当时，满足； 当时，，，此时，则，所以， 综上，不等式的解集为.故选：B. 5. 已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，，则，由，得， 即，因为，，得， 即，设，则函数在上单调递减， 又，则， 则不等式，即，则，所以， 又函数为定义在R上的偶函数，所以当时，，又，所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：由，可构造函数，可得在上单调递减，可利用单调性解出不等式. 6. 已知是偶函数，当时，，若当时，恒成立，则的最小值为(　　) A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质求出函数在的解析式，进而求出函数在的值域，由不等式恒成立，得到关于的范围. 【解析】设，则.有，又 ∴当时，∴该函数在上的最大值为1，最小值为0， 依题意，恒成立，则，即故的最小值为1. 【点睛】若恒成立，则，若恒成立，则，注意与有解、有解的区别. 二、多选题 7. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A不是； 对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，C是；对于D，函数定义域为R，而，不是偶函数，D不是.故选：BC 8. 一个偶函数定义在区间上，它在上的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．这个函数有三个单调递增区间 B．这个函数有两个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值 【答案】AC 【详解】根据偶函数在上的图象及其对称性，作出函数在上的图象，如图所示， 由图象可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间； 在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是.故选：AC 9. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A． B．的图象关于点成中心对称 C．当时， D．方程的解为， 【答案】ACD 【详解】对于A，因为为奇函数，则，即，， 又因为为偶函数，则，即，所以， 又，，则，， 所以，故A正确； 对于B，由选项A可得，所以对称中心为， 又，所以的图象关于点成中心对称，故B错误； 对于C，当时，，则，所以对任意的，， 所以当时，，则， 故当时，，所以，故C正确； 对于D，当时，，，令，解得， 因为的图象关于点成中心对称，且周期为4，且为偶函数， 可知的图象关于点成中心对称，且周期为4，所以方程的解可以为， 结合周期性可知的解为全体奇数，故D正确．故选：ACD． 三、填空题 10. 已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，，则时 . 【答案】 【详解】当时，，则有， 因函数是定义在区间上的奇函数，故得. 故答案为：. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数， 由对任意的，当时，有成立，得在上单调递减， 因此函数在上单调递增，由，得， 不等式，因此，解得或， 所以不等式的解集为.故答案为： 12. 已知定义在上的函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，则的解集为 . 【答案】 【详解】函数为奇函数，函数关于中心对称，所以， 又在上单调递增，在单调递增，从而可化为,,即故答案为 四、解答题 13. 已知定义在R上的偶函数，当,时，. （1）求函数f（x）在上的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)在,上的最大值是，最小值是． 【详解】（1）根据题意，设，则，则， 又由为偶函数，则 （2）由（1）的结论：， 在,上单调递增，在,上单调递减， 则；， 函数在,上的最大值是，最小值是． 14. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且 （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解不等式． 【答案】(1)；（2）证明过程见详解；（3） 【分析】（1）先由函数的奇偶性得到，然后由求解； （2）利用函数单调性定义证明； （3）将，转化为，利用单调性求解. 【解析】（1）由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数. （2）设，则， ，，且，则，则，即， 所以函数在上是增函数． （3），， 是定义在上的增函数，，得，所以不等式的解集为． 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3). 【详解】（1）由题意：所以. 又.所以：，. （2）由（1）可知：.设， 则， 因为，所以，，， 所以.所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为：. （3）问题转化为，当时，恒成立. 若，则在上为增函数，由. 若，则，此时在上恒成立. 若，则在上为减函数，由. 综上可知：.即实数的取值范围是：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的基本性质—奇偶性 【知识梳理】 知识点一、奇函数、偶函数的定义及图像特征 偶函数 奇函数 前提 定义域关于原点对称 定义 设函数的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 设函数的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数 图象 关于y轴对称 关于原点对称 【特别提醒】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数． （2）若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. （3）若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. （4）若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数． 知识点二、奇函数、偶函数的性质 1. 奇函数，偶函数的图象特征 设函数f(x)的定义域为 （1）f(x)是偶函数f(x)的图象关于轴对称； （2）f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称； （3）若f(x)是奇函数且，则 2. 函数的奇偶性与单调性的关系 （1）f(x)是偶函数f(x)在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）f(x)是奇函数f(x)在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3. 函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数f(x)的定义域为（其中） （1）f(x)是偶函数，且f(x)在上单调，则f(x)在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）f(x)是奇函数，且f(x)在上单调，则f(x)在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数。 【归纳总结】 奇偶性的四个重要结论： （1）如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. （2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． （3）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. （4）若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 【题型归纳】 题型一、函数奇偶性的判断 【函数奇偶性的判断方法】 1．判断或证明具体函数的奇偶性 （1）定义法（仅此法可用于证明）： （2）图象法：若函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数. （3）性质法：在公共定义域上，奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇，偶×偶＝偶，“奇±偶”的奇偶性不能确定，要结合函数具体分析. 【特别提醒】 （1） 判断分段函数f(x)的奇偶性需分段判断f(x)与f(-x)的关系，一般是在每一个区间上任取自变量，再向对称区间转化，验证f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立，若函数在x=0处有意义，还要验证f(0).也可以作出函数的图象，结合对称性判断. （2） 复合函数f(g(x))的奇偶性：一偶则偶，两奇为奇. 2．判断或证明抽象函数的奇偶性 已知抽象函数的关系式（关系式中含有x，y两个变量），判断f(x)的奇偶性，通常利用赋值法确定f(-x)与f(x)的关系.常见的抽象函数的赋值规律如表： 抽象函数形式 赋值规律 奇偶性 令，得，即 令，得，所以 奇函数 令，得，即令，得，即，令，得，所 偶函数 令，得，即 ，得，即令，得，所以 奇函数 令得，此时需结合题目条件确定f(1)；令，得再令即可判断奇偶性 与f（1）的值有关 【典型例题】 1. 判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 2. 判断函数的奇偶性. （1）； （2）. 3. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A． 是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 5. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 6. 已知函数的定义域为，且满足，，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．是奇函数 D． 7. 【多选】已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 8. 【多选】已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 9. 【多选】已知函数满足以下条件：①；② ；③，则（　　） A． B． C． D． 10. 函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 11. 已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 题型二、利用函数的奇偶性求值 （1）若所给的函数f(x)本身具有奇偶性，则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解. （2）若所给的函数f(x)本身不具有奇偶性，一般将其解析式构造成“奇函数＋偶函数”的形式，即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，再根据g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)得到f(-x)与f(x)的关系，进而求出函数值. 【注意】 对于（2）中函数f(x)本身不具有奇偶性求函数值的问题，若偶函数g(x)=m(m≠0)，则函数f(x)由“奇函数＋常数”构成，此时常根据“两个互为相反数的自变量对应的函数值之和为2m”进行求解． 【典型例题】 12. 已知函数是定义在上的偶函数，则 . 13. 且，则等于 ． 14. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 15. 设函数（）的最大值为，最小值为，则= 16. 若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 题型三、利用函数的奇偶性求解析式 （1）已知函数在某一区间上的解析式，且函数具有奇偶性，求其对称区间上的解析式的一般步骤： ①设定目标区间：在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间； ②对称转化代入：把-x对称转化到已知区间上，代人已知区间的解析式得f(-x)； ③推导求解：利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x)，从而出f(x). （2）已知函数可表示为“奇函数＋偶函数”的形式（如F(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数），求解析式的一般步骤： ①构造对称方程：将x替换为-x，由奇偶性得F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)； ②联立方程组：将F(x)=f(x)+g(x)与F(-x)=-f(x)+g(x)联立； ③消元求解：两式相加消去f(x)得，两式相减消去g(x)得 【典型例题】 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 18. 设函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若函数，求函数的最小值. 19. 已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 20. 已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 题型四、利用函数的奇偶性求参数的值 （1）若定义域中含有参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． （2）若函数解析式中含有参数，则根据奇函数或偶函数的定义列等式求解；也可通过代入定义域内的特殊值列等式求解，求解后注意检验，对于在x=0处有定义的奇函数f(x)，可利用f(0)=0求解. 【典型例题】 21. 若函数为奇函数，求的值. 22. 设 是定义在上的奇函数，则______ 23. 若函数为奇函数，则___________. 24. 已知是偶函数，则实数的值为__________． 25. 【多选】已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 题型五、函数的奇偶性与单调性的综合应用 1. 比较函数值或自变量的大小 先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量或其函数值转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 2. 解不等式 ①奇函数解不等式：f(a)+f(b)>0f(a)>-f(b)f(a)> ②偶函数解不等式： (a)-f(b)>0f(a)>f(b)f(|a|)> 【典型例题】 26. （1）已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，求实数的取值范围． （2）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围． 27. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 28. 定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 29. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 30. 已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 31. 已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是________. 32. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 33. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）若函数，记函数的最小值，求的解析式； （3）若在上有最小值，求实数的取值范围． 34. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）求在区间上的值域，并指出取得最大值与最小值时x的值； （3）解关于t的不等式． 35. 已知函数. （1）若函数为偶函数，求的值 （2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 36. 函数的定义域为，且满足对任意，都有． （1）试判断的奇偶性并证明你的结论； （2）若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 【课后训练】 一、单选题 1. 已知图甲是函数的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（    ）.    A． B． C． D． 2. 下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3. 对于定义域是R的任何一个奇函数都满足（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5. 已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6. 已知是偶函数，当时，，若当时，恒成立，则的最小值为(　　) A． B． C． D．1 二、多选题 7. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8. 一个偶函数定义在区间上，它在上的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．这个函数有三个单调递增区间 B．这个函数有两个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值 9. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A． B．的图象关于点成中心对称 C．当时， D．方程的解为， 三、填空题 10. 已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，，则时 . 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 12. 已知定义在上的函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，则的解集为 . 四、解答题 13. 已知定义在R上的偶函数，当,时，. （1）求函数f（x）在上的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值． 14. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且 （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解不等式． 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $