3.2函数的基本性质教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习
3.2 函数的基本性质
教材结论与考点深挖
（1）教材出处
必修第一册 第三章 3.2.1 单调性与最大（小）值 正文对增函数、减函数的定义；正文例3 用定义证明 
在 
上单调递增；习题3.2 第8题讨论 
的单调性。
图 1 
在 
上的图象：
上递减，
上递增
（2）教材结论/公式/性质
结论类型：正文定理公式。
设函数 
的定义域为 
，区间 
。
- 若对任意
，当 
时都有 
，则称 在 
上单调递增；
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- 若对任意 ，当 时都有
，则称 在 上单调递减。
等价刻画（
）：
也就是差商 
在 上恒正（增）或恒负（减）。
（3）推导证明
以增函数为例。若 
在 上单调递增，取 且 。当 时 ，故 
与 
同为负，乘积为正；当 
时两者同为正，乘积仍为正。
反之，若乘积恒正，假设存在 使 
，则 
且 
，乘积非正，与条件矛盾。故必有 ，即 在 上单调递增。减函数的情形同理。
（4）适用条件与易错提醒
- 定义中的“任意”不能换成“存在”，也不能只代几组特殊值；只验证
不能说明单调性。 - 单调区间必须是定义域的子区间，讨论前先确定定义域。例如
在 
和 
上分别递减，但在整个定义域上不是减函数。 - 多个单调区间之间用“和”或逗号并列，不能写成并集。例如 的减区间写 和 ，不能写成
。 - 单调区间的端点写开写闭一般不影响单调性，但同一题中要保持一致；
不在 的定义域内，区间端点只能写开。 - 由 单调递增不能推出
单调递减，除非已知 恒正或恒负。 - 解答题中证明单调性必须回到定义做代数变形，不能只写“由图象可以看出”。
（5）考点定位与命题角度
选填题考“判断具体函数或抽象函数的单调性”“由单调性比较大小”“解抽象不等式 
”；解答题中常用定义法证明单调性，或由分段函数在全体实数上单调求参数。难度基础到中档。近年真题有 2024 新课标Ⅰ卷·6（分段函数在全体实数上单调递增求参数）、2023 新课标Ⅰ卷·4（指数型复合函数单调性求参数，见条目二）。
（6）方法归纳
- 第一步 取值：设
是区间 内任意两个实数，且 。
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- 第二步 作差：计算 ，必要时先通分、因式分解或有理化。
- 第三步 变形定号：把差写成若干符号确定的因式的乘积，逐因式判断正负。
- 第四步 下结论：由差的符号判定
与 
的大小，说明函数在 上单调递增或递减。
（7）典型例题
证明函数 
在区间 上单调递减。
解析
任取 
，且 ，则
因为 
，所以 
，
，故 
，即 。所以 在 上单调递减。
证明函数 
在区间 
上单调递减。
解析
任取 
，则
由 得 ，
，故 
，。于是 ，即 。所以 在 上单调递减。
（8）变式训练
（改编自 2024 新课标Ⅰ卷·6）已知函数
在全体实数上单调递增，求实数 
的取值范围。
用单调性的定义证明：函数 
在区间 
上单调递增。
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