3.3幂函数教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第3章 3.3　幂函数 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　五个幂函数的图象与公共点 （1）教材出处 必修第一册 第三章 3.3 幂函数 正文的“探究”栏目（在同一坐标系中画出 、、、、 的图象）与性质归纳表；课后练习中由图象过点求解析式的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：探究与发现。 五个幂函数的图象与性质如下表： 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点 全体实数 全体实数 奇函数 在全体实数上单调递增 全体实数 偶函数 在 上递减，在 上递增 全体实数 全体实数 奇函数 在全体实数上单调递增 非奇非偶 在 上递增 奇函数 在 和 上分别递减 · 五个图象都过点 ；其中 还过 ， 还过 ， 还过 。 · 第一象限内， 时 递增， 时递减；以 为分界， 时幂指数越大图象越高， 时幂指数越大图象越低。 · 幂函数图象一定不过第四象限；是否过原点取决于 且 在定义域内。 图 1　五个常见幂函数在同一坐标系中的图象，公共点为 （3）推导证明 · 公共点：对任意常数 ，都有 ，所以所有幂函数的图象都过点 。 · 第一象限的高低：设 ，。则 ，而 ，，故 ，即指数大的图象在上方。当 时 ，故 ，指数大的图象在下方。 · 单调性：设 （ 互质，）。在 上， 随 增大而增大。若 ，则 ， 随 增大而增大；若 ，则 ，令 。由 ，当 增大时 增大，故 减小。 · 过原点与象限： 时 ，故第四象限没有图象； 时 ，图象过原点； 时 不在定义域内，图象不过原点。 （4）适用条件与易错提醒 · 五个图象的公共点是 ，不是 ； 不过原点， 只在 时有图象。 · “幂指数越大图象越高”只在 时成立；在 时结论相反，不能记反。 · 与 在第一象限都递增，但前者是偶函数、后者是奇函数，不能只凭第一象限的图象判断奇偶性。 · 幂函数图象一定不过第四象限，但可以出现在第二、三象限（如 、），不能把“不过第四象限”误当成“只在第一象限”。 · 判断一个函数是否为幂函数，必须同时满足“底数是自变量、指数是常数、系数为 ”三条；、、 都不是幂函数。 （5）考点定位与命题角度 选填为主，常见设问：判断幂函数解析式、由图象过点求解析式、比较同指数幂的大小、判断图象所在象限、由第一象限图象的高低比较幂指数大小。难度基础到中档。常与指数函数、对数函数的单调性拼接成“比较大小”小题。 （6）方法归纳 · 第一步　定解析式：由“幂函数”三条特征设 ，再用图象经过的点求 。 · 第二步　画第一象限：先判断 的正负以及与 的大小关系，画出第一象限的升降与凹凸。 · 第三步　补全图象：根据定义域是否关于原点对称、函数的奇偶性，把第一象限的图象对称到第二、三象限；不在定义域内的部分要擦去。 · 第四步　用图比较：同指数看单调性，同底数看指数高低，底数与指数都不同时插入中间量 或 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 在同一平面直角坐标系中画出幂函数 、、、、 的图象，写出这五个图象的公共点，并归纳第一象限内图象随幂指数变化的规律。 解析 五个图象如图 1 所示。公共点为 。第一象限内： 时图象上升， 时图象下降；以 为界， 时幂指数越大图象越高， 时幂指数越大图象越低；所有图象都过 。 例题 2（教材原题改编） 已知幂函数 的图象经过点 ，求 的解析式，并指出它的图象经过的公共点以及在 上的单调性。 解析 由 ，得 ，故 。幂函数图象都过 ，故 的图象也过 ；又 ，所以 在 上单调递增（实际上在 上递增）。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 已知 ，，，则 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 变式 1-2（优质模拟改编） 如图，曲线 是幂函数 在第一象限内的图象，已知 分别取 四个值，则相应于 的 依次为（　　） A．　　B． C．　　D． 图 2　变式 1-2 所用的第一象限幂函数曲线 至 条目二　幂指数对定义域、单调性与奇偶性的决定作用 （1）教材出处 必修第一册 第三章 3.3 幂函数 正文的性质归纳表与例题（证明 在 上是增函数）；课后练习中由幂指数判断定义域、奇偶性、单调性的题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 （ 互质，），。 · 定义域： 为奇数时， 对一切实数有意义，故 时定义域为全体实数， 时定义域为 ； 为偶数时， 要求 ，故 时定义域为 ， 时定义域为 。整数指数是 的特例。 · 单调性：在 上， 时 单调递增， 时单调递减； 时为常数 （）。 · 奇偶性：定义域关于原点对称是前提。 为奇数时，若 为奇数则 为奇函数，若 为偶数则 为偶函数； 为偶数时定义域不关于原点对称， 既不是奇函数也不是偶函数。 · 全定义域上的单调区间：必须结合 的奇偶性分情形： 指数情形 定义域 奇偶性 单调性 ， 奇， 奇 全体实数 奇函数 在全体实数上递增 ， 奇， 偶 全体实数 偶函数 在 上递减，在 上递增 ， 偶 非奇非偶 在 上递增 ， 奇， 奇 奇函数 在 和 上分别递减 ， 奇， 偶 偶函数 在 上递增，在 上递减 ， 偶 非奇非偶 在 上递减 图 3　 与 的图象对照：前者在全体实数上有定义，后者在 处无定义 （3）推导证明 · 定义域：由 讨论。 为奇数时，任意实数 的 次方仍取遍全体实数，且符号与 相同，故 对一切实数有意义； 为偶数时，只有 时 才有意义。 时还要排除使分母为零的 。 · 单调性：设 。因为 ，所以 （ 为偶数时 ，结论同样成立）。 时 ，两边取 次方得 ； 时 ，令 ，由 ，当 增大时 增大，故 减小。 · 奇偶性： 为奇数时，，所以 。 为奇数时 ，为奇函数； 为偶数时 ，为偶函数。 为偶数时定义域为 或 ，不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数。 · 全定义域上的单调性： 且 均为奇数时， 为奇函数， 上递增，由对称性得 上也递增，故在全体实数上递增； 且 偶、 奇时， 为偶函数， 上递增，由对称性得 上递减； 且 均为奇数时， 为奇函数， 上递减，故 上也递减，但两个区间要分开写； 且 偶、 奇时， 为偶函数， 上递减，故 上递增。 （4）适用条件与易错提醒 · 时，“在定义域上递减”这句话是错的：如 ，取 ，却有 ，不符合减函数的定义，所以只能写“在 和 上分别递减”，不能把两个区间用并集连接。 · “指数是偶数才是偶函数”是错的： 的分子 为偶数、分母 为奇数， 是偶函数；反过来， 的分母为偶数，定义域为 ，既不是奇函数也不是偶函数。 · 判断奇偶性前必须先看定义域是否关于原点对称；、 中前者定义域不对称，后者对称，不能只看指数。 · 不代表在全体实数上递增：、 都是偶函数，在 上递减，在 上递增。 · 写指数时必须先化为最简分数： 应看作 ，分母为 ，定义域是 ，不能按未约分时分母为 的情形处理。 · 幂函数图象都过 ，但不一定过 ； 时 不在定义域内，图象不过原点。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，常见设问：由幂指数判断定义域、奇偶性与单调区间；由“奇函数且在 上递减”求指数或参数；由“偶函数且在 上递减”求参数；解形如 的不等式；比较幂值大小。难度基础到中档，常与指数函数、对数函数的性质综合。 （6）方法归纳 · 第一步　化最简分数：把指数写成 （ 互质，），分别看 的奇偶。 · 第二步　定定义域： 奇时定义域为全体实数或 ； 偶时定义域为 或 。 · 第三步　判奇偶：定义域关于原点对称是前提； 奇时看 的奇偶， 偶时直接判定为非奇非偶。 · 第四步　定单调区间：先定 上的增减，再用奇偶性对称到负半轴；分段写，不能并。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 证明幂函数 在 上是增函数。 解析 函数定义域为 。任取 ，则 因为 ，且 ，所以 ，即 。故 在 上是增函数。 例题 2（教材原题改编） 已知幂函数 的图象经过点 ，求 ，并讨论 的定义域、奇偶性与单调区间。 解析 由 ，即 ，得 ，。故 。 定义域为 。因为 ，所以 是偶函数。在 上， 递增，其倒数递减，故 在 上递减；由偶函数图象关于 轴对称，得 在 上递增（图形见图 3）。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上单调递减，求 的值。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知幂函数 （ 为整数）在 上是减函数，且其图象关于 轴对称，求 的值与 的解析式。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：A。 解析：，。因为 在 上递增，且 ，所以 。 又 ，，。因为 ，且 ，所以 。综上，，选 A。 变式 1-2 答案与解析 答案：A。 解析：取 ，四条曲线对应的函数值分别为 ，，，。由小到大依次为 。当 时，幂指数越大图象越高，故 对应的指数依次为 ，选 A。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：在 上递减，故 ，候选为 。逐一判断奇偶性： 时 ，定义域为 ，，为奇函数； 时 为偶函数； 时分母为偶数，定义域为 ，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数。故 。 变式 2-2 答案与解析 答案：，。 解析：因为 在 上是减函数，所以 ，即 ，解得 。又 为整数，故 。 分别计算指数： 时 ， 为奇函数，图象关于原点对称，不合题意； 时指数为 ， 为偶函数，图象关于 轴对称，符合题意； 时指数为 ， 为奇函数，不合题意。故 ，。 人教A版·必修第一册　第3章 3.3 幂函数　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $