数列：数列不等式恒成立求参数问题、数列新定义问题复习讲义-2027届高三数学人教A版一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦数列不等式恒成立求参数、数列新定义两大高考核心考点，按“知识点解析—例题分析—变式训练”逻辑架构，系统梳理恒成立模型、单调性判断、新定义转化等关键知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点。 讲义采用问题驱动教学法，如恒成立问题中引导学生用分离参数法构造数列，通过作差法判断单调性求最值，培养数学思维；新定义问题中通过精读题干转化规则，赋值找规律，提升数学语言表达能力。分层设置例题与变式训练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三数学一轮复习讲义 数列：数列不等式恒成立求参数问题、数列新定义问题复习讲义 考点目录 数列不等式恒成立求参数问题 数列新定义问题 考点一 数列不等式恒成立求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 两类恒成立模型 设数列，参数， ① 对任意恒成立 ② 对任意恒成立 1. 判断数列单调性的三种方法 1. 作差法：，差值正负判断增减； 1. 作商法：（），比值大于1递增； 1. 函数法：把中换成，借助导数判断单调性，再还原整数。 1. 常见题型 · 通项恒成立； · 前项和恒成立； · 含参不等式对所有正整数成立； · 存在性问题：使不等式成立 小于等于最大值 / 大于等于最小值。 1. 边界注意：取正整数，最值出现在或极值附近整数，不能直接照搬连续函数极值。 二、解题原理 1. 分离参数：把含式子单独放一侧，另一侧构造数列； 1. 研究数列单调性，求出最大值或最小值； 1. 根据恒成立规则写出参数范围； 1. 验证边界整数，区分恒成立、存在性两种逻辑； 1. 若无法分离参数，分类讨论参数，解不等式对所有成立。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 例2．（25-26高二下·湖北·期末）已知数列，的各项均为正数，的前n项和，满足，为等比数列，且有，． (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 例3．（25-26高三上·天津津南·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，且，等差数列前项和为，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求实数的最大值. 例4．（25-26高三上·四川成都·期中）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练】 变式1．（2026·福建厦门·模拟预测）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上． (1)求的解析式； (2)求数列的通项公式； (3)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m． 变式2．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前n项和； (3)若对于恒成立，求实数m的取值范围． 变式4．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点，，…，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积.    (3)记数列的前项和为且，若恒成立，求实数的最大值． 考点二 数列新定义问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 题型特征：给出课本没有的全新数列定义（如新等差、新等比、和积定义、关联递推、分阶数列、对称数列等），附带全新运算法则。 1. 核心解题依据：严格照搬题目定义，不套用固有等差等比结论。 1. 常见设问方向 1. 求数列前几项、通项公式； 1. 判断数列是否为等差/等比； 1. 求和、最值、恒成立、参数范围； 1. 证明不等式。 1. 常用工具：递推变形、累加法、累乘法、构造新等差/等比、求和五大方法。 二、解题原理 1. 精读题干，拆解新定义等式/文字规则，转化为数学关系式； 1. 赋值算出前几项，直观寻找规律； 1. 对递推式变形，构造标准等差、等比数列求通项； 1. 结合常规数列求和、单调性、不等式方法求解后续问题； 1. 证明类问题全程以题目新定义为已知条件，不能自行添加性质。 【例题分析】 例1．（2026·山东济南·模拟预测）设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 例3．（2026·山东济南·三模·多选）若数列，，，…，由m个1和n个构成，且对任意，都有，则称该数列为“数列”．记“数列”的个数为．已知数列，，，…，为“数列”，则（   ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则 例4．（2026·浙江宁波·三模·多选）已知无穷数列前项和为，若存在不相等的正整数，使得，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是（        ） A．已知数列，则数列为“绝对数列” B．若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列” C．若等比数列为“绝对数列”，则公比为 D．存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列和均为“绝对数列” 例5．（2026·四川成都·三模）数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 例6．（2026·山东烟台·模拟预测）已知有穷数列（且）是1，2，…，的一个排列．对进行一次变换得到，记的各项之和为．若，则的最小值为______；对任意的，的最大值为______． 例7．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）“斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列，其中，小正方形的面积从小到大记为数列，小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列，则正确的结论为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·北京西城·二模）已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（   ） A．可能为常数列 B．可能为等差数列 C．不可能为等比数列 D．可能为递减数列 变式3．（2026·江西宜春·模拟预测·多选）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：其中不正确的命题是（    ） A．若，则对任意，数列都不是“加速数列” B．若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项 C．若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得 D．正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是 变式4．（2026·黑龙江·模拟预测·多选）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 变式5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____． 变式6．（2026·河北沧州·三模）在数列中，按照下面方式构成“次生数列”：，，，…，（），其中（）表示数列中最小的项．已知数列满足（），若，，则________． 变式7．（2026·山东·模拟预测）对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． 变式8．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 数列：数列不等式恒成立求参数问题、数列新定义问题复习讲义 考点目录 数列不等式恒成立求参数问题 数列新定义问题 考点一 数列不等式恒成立求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 两类恒成立模型 设数列，参数， ① 对任意恒成立 ② 对任意恒成立 1. 判断数列单调性的三种方法 1. 作差法：，差值正负判断增减； 1. 作商法：（），比值大于1递增； 1. 函数法：把中换成，借助导数判断单调性，再还原整数。 1. 常见题型 · 通项恒成立； · 前项和恒成立； · 含参不等式对所有正整数成立； · 存在性问题：使不等式成立 小于等于最大值 / 大于等于最小值。 1. 边界注意：取正整数，最值出现在或极值附近整数，不能直接照搬连续函数极值。 二、解题原理 1. 分离参数：把含式子单独放一侧，另一侧构造数列； 1. 研究数列单调性，求出最大值或最小值； 1. 根据恒成立规则写出参数范围； 1. 验证边界整数，区分恒成立、存在性两种逻辑； 1. 若无法分离参数，分类讨论参数，解不等式对所有成立。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意知. 因为成等比数列，故. 又，所以，，，代入得 展开整理得，即. 由得，因此数列的通项公式为 . （2）， 数列的前项和 因为，所以，故， 因此，即的最大值为. 不等式对任意恒成立，等价于， 整理得，即， 解得或. 例2．（25-26高二下·湖北·期末）已知数列，的各项均为正数，的前n项和，满足，为等比数列，且有，． (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据与的关系求出的通项公式，再结合已知条件求出的通项公式，进而得到的通项公式，最后利用错位相减法求出. （2）将不等式进行变形，然后通过构造函数，利用函数的单调性求出实数的取值范围. 【详解】（1）已知：时，； 时，相减得故． ，得， 是首项为1、公比为2的等比数列，故，． 则：① 两边同乘得：②． ① ②得： 中间等比数列求和得， 代入整理得：． （2）不等式，对恒成立， 代入，得：． 设，作差得： ，2时，； 时，； 时，， 故的最大值为3，因此，即． 例3．（25-26高三上·天津津南·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，且，等差数列前项和为，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)，， (2)； (3) 【分析】（1）由条件根据等比数列通项公式列方程求公比，可得的通项公式，利用等差数列的前项和公式列方程求的首项和公差，由此可求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和，利用裂项相消法求数列的前项和，结合分组求和法求数列的前项和； （3）由（1）求，由条件可得，判断数列的单调性求其最值，由此可得，结合基本不等式求的最大值. 【详解】（1）设数列的公比为， 因为，故， 因为，所以，又， 所以，故或（舍去）， 当时，，， 设数列的公差为， 由，，得，， 解得，，所以； （2） 令为的前项和，则， ， 所以， 所以， 所以； 令为的前项和，则 所以. 故 ， ， 即； （3）因为，， 故恒成立 设 时，； 时，， ， 恒成立，即恒成立， ，当且仅当时等号成立， ，故的最大值为. 例4．（25-26高三上·四川成都·期中）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中条件，利用作差法求出数列的通项公式. （2）先根据（1）求出，再对列项，然后通过列项相消法求. （3）分n为偶数和奇数两种情况，根据数列的单调性，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，， 两式相减得， 当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． （2）由（1）可知， 所以，， 则， 所以数列的前项和. （3）当为偶数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为偶数时，单调递增， 所以，则， 当为奇数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为奇数时，单调递增， 所以，则，则， 综上所述， 所以实数的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（2026·福建厦门·模拟预测）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上． (1)求的解析式； (2)求数列的通项公式； (3)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m． 【答案】(1) (2) (3)10 【详解】（1）（1）设二次函数，易得，则． 由于，得，，所以． （2）由点均在函数的图像上，又，所以． 当时，． 当时，，符合上式，所以． （3）由（2）得， 故． 是关于的单调递增的数列，当趋于正无穷时，， 要使成立，只需，即，所以满足要求的最小正整数m为10． 变式2．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 变式3．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前n项和； (3)若对于恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）根据等差等比数列的定义直接可得通项公式； （2）直接用错位相减法求数列的前n项和； （3）将不等式转化为，再构造数列，通过判断数列的单调性可得数列值，进而可得所求值的范围. 【详解】（1）因为是等差数列，所以， 得，公差，所以. 再由，，得，，且是等比数列， 所以公比，即，. 故，. （2）由，所以，，， ——① ——② ①②相减得： 即 （3）由（1）知，，，代入 得，即对于恒成立. 令，则，， 所以当时，，数列递增，即； 当时，；当时，，数列递减. 所以或3时，数列有最大值，要使对于恒成立，所以. 故实数m的取值范围. 变式4．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点，，…，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积.    (3)记数列的前项和为且，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明为等差数列，求解通项公式即可； （2）记梯形的面积为，根据题意得，再根据错位相减法求和即可得面积； （3）结合题意，进而根据裂项求和的方法得，再根据恒成立问题转化为，最后根据数列的单调性求的最小值即可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴为等差数列， 首项为，公差为1， ∴，∴. （2）解：过，，，……向轴作垂线，垂足分别为，，……， 由（1）得，则 记梯形的面积为.由题意得： ， 所以 ① 又② ①－②得 所以. 所以由该折线与直线，所围成的区域的面积. （3）解：由（1）知 则， 由恒成立，即恒成立， 即恒成立，由单调递增， 故当时，，故，即， 所以的最大值为. 考点二 数列新定义问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 题型特征：给出课本没有的全新数列定义（如新等差、新等比、和积定义、关联递推、分阶数列、对称数列等），附带全新运算法则。 1. 核心解题依据：严格照搬题目定义，不套用固有等差等比结论。 1. 常见设问方向 1. 求数列前几项、通项公式； 1. 判断数列是否为等差/等比； 1. 求和、最值、恒成立、参数范围； 1. 证明不等式。 1. 常用工具：递推变形、累加法、累乘法、构造新等差/等比、求和五大方法。 二、解题原理 1. 精读题干，拆解新定义等式/文字规则，转化为数学关系式； 1. 赋值算出前几项，直观寻找规律； 1. 对递推式变形，构造标准等差、等比数列求通项； 1. 结合常规数列求和、单调性、不等式方法求解后续问题； 1. 证明类问题全程以题目新定义为已知条件，不能自行添加性质。 【例题分析】 例1．（2026·山东济南·模拟预测）设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据取整函数定义，结合对数的运算确定时的取值范围，推导的取值区间， 统计每个对应的项数，按的取值从小到大分组计算每组的和，累加得到前若干组的累计和，找到累计和首次超过的临界分组，求解j即可. 【详解】已知是不超过的最大整数，设（为整数）， 则. 变形得，即. 因为是正整数，所以的整数取值为，所以对，满足的正整数共有个，每个项的值为，该组的和为. 我们分组计算前项和的累计值： ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大. 当时，满足的的取值范围为，设还可以取个这样的项，则， 解得，即最大取.总，此时； 若，，不符合要求. 因此使得的最大正整数为. 例2．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】可通过列举数列判断①②，对于③，求出，作差后，分类讨论公差的的3种情况来判断；对于④，求出，作差后对分奇偶分析即可确定. 【详解】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则（*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. 例3．（2026·山东济南·三模·多选）若数列，，，…，由m个1和n个构成，且对任意，都有，则称该数列为“数列”．记“数列”的个数为．已知数列，，，…，为“数列”，则（   ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据数列新定义分析各选项，A中是直接写出符合题意的新数列进行判断，BC是结合系数及新数列的特征确定的位置然后求和判断，D是根据新数列的定义确定最后一项的取值进行分析判断. 【详解】对A，就是3个1和3个，要满足，第一个是1，最后一个一定是，因此数列有：；；；；共5个，A错 对B，若，即有个1和个，要使得取最大值，系数大的尽可能取1， 因为对任意，都有， 所以，当数列取时，的值最大， 此时最大值为，B正确； 对C，若，即有个1和个，要使得取最小值，系数大的尽可能取， 数列取时，满足对任意都有， 此时系数较大的后m项都取，则的最小值为 ，，C正确； 对D，对数列，由于，所以， 所以，所以数列中，可以是1也可以是， 若，则是数列， 若，则是数列， 所以，D正确. 例4．（2026·浙江宁波·三模·多选）已知无穷数列前项和为，若存在不相等的正整数，使得，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是（        ） A．已知数列，则数列为“绝对数列” B．若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列” C．若等比数列为“绝对数列”，则公比为 D．存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列和均为“绝对数列” 【答案】AD 【分析】对于A：根据“绝对数列”的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据“绝对数列”的定义举例说明即可. 【详解】A选项，因为，可知是以为首项，公差为的等差数列， 则， 取，所以为“绝对数列”，故A选项正确； B选项：由A选项，取， 不妨取，此时的前项和， 取，则，可知是“绝对数列”. 但，其前项和是单调递增的，故不是“绝对数列”，B选项错误. C选项：因为等比数列为“绝对数列”，取，此时， 即，解得， 此时也满足条件，故C选项错误. D选项：取，此时的前项和为， 取，此时,即均为“绝对数列”. ，其前项和， 取，此时，即为“绝对数列”. 则，其前项分别为， 设的前项和为，由，可知也为“绝对数列”，综上，故D选项正确. 例5．（2026·四川成都·三模）数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 【答案】4052 【分析】由可知数列中每一项加1的积，等于数列中每一项加1的积，依此规律即可求解. 【详解】第一次变换是：删除两项，添加， ∵，正好是新添加的项， 也就是说，数列中每一项加1的积，等于数列中每一项加1的积，也等于数列中每一项加1的积…… 原数列是共2026项， 每项加1后，初始乘积为：， 每一次变换会让数列的项数减少1，初始有2026项，经过2025次变换后， 数列只剩1项，设为，根据不变量，有，解得． 例6．（2026·山东烟台·模拟预测）已知有穷数列（且）是1，2，…，的一个排列．对进行一次变换得到，记的各项之和为．若，则的最小值为______；对任意的，的最大值为______． 【答案】 【分析】把首尾相接看成一个圆环，就是圆环上每条边两端数字较小者之和．第一空从数字相邻的两条边入手估计下界并构造取等排列；第二空设最大值为，删除数字并连接其原来的两个相邻数字，建立与的关系，再构造排列取到上界． 【详解】把首尾相接看成一个圆环，并规定， 则， 第一空：当时，数字与两个数字相邻，这两条边对应的较小值都为． 圆环共有条边，剩余两条边的两个端点都不小于，所以它们对应的较小值都不小于． 因此 取则 所以当时，的最小值为． 第二空：设对的所有圆环排列，的最大值为． 任取一个使的圆环排列，设数字的两个相邻数字为． 从圆环中删去数字，并把直接相邻，得到由组成的新圆环． 原来与数字相邻的两条边对和的贡献为 删去数字后，新增加的边对和的贡献为． 因此 因为，所以，从而 再把圆环中的每个数字都减去，得到的一个圆环排列． 圆环共有条边，每条边两端数字同时减去后，该边两端数字的较小值也恰好减去，所以 由的定义，有． 结合上述关系，得即 当时，任意圆环排列均有所以． 由上述递推不等式依次递推，得 又，所以 另一方面，取圆环排列 则 即 所以对任意，的最大值为． 例7．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 【答案】(1)证明： 由题意得 ， 对任意，，且前项和 要证成等差数列，只需证， 当时，代入递推式得， 又，， 代入得： ，化简得， 两边同乘3得，整理得， 因为， 所以，故成等差数列，证毕.； (2)证明： 因为数列，对任意，令 所以，对任意，，，， 所以，前项和， 所以①， 因为，对任意，②， 将②代入①得：， 移项化简得，证毕.； (3)数列是等差数列，理由如下： 由（2）的结论，对任意整数，均有， 令（），得， 因为， 所以， 验证时也成立， 所以，对所有， ， 当时， ， 两式相减得： ， 展开整理得， 令，代入上式得（）， 可变形为， 又因为当时，，即 所以数列在时为常数列，即， 所以时，，其中为常数，（显然时也成立）， 所以，，即是首项为1，公差为的等差数列. 【分析】（1） 先利用递推公式结合的定义验证满足等差中项性质即可证明； （2）结合前项和与的关系推导第二问的等式即可证明； （3）通过与的递推关系推导的通项公式，判断其为等差数列 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）“斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列，其中，小正方形的面积从小到大记为数列，小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列，则正确的结论为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得到，，整理变形，代入数据，可判断A的正误；根据规律，结合累加法，可判断B的正误；由题意得，整理变形，结合累加法，可判断C的正误，由题意，根据C选项结论，可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意，， 所以， 令，则，故A错误； 选项B： ，故B错误； 选项C：由题意，， 所以 又，所以， 则，故C正确； 选项D：由题意，， 所以，故D错误. 变式2．（2026·北京西城·二模）已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（   ） A．可能为常数列 B．可能为等差数列 C．不可能为等比数列 D．可能为递减数列 【答案】D 【分析】对于A，不妨设，可知即可判断；对于B，易知公差不符合题意，再推导也不符合题意即可；对于C，若为等比数列，设，公比为，易知当时可解得即可判断C；对于D，易知为等比数列，，时符合题意． 【详解】对于A，若为常数列，不妨设， 显然，故A不符合题意； 对于B，若为等差数列，设公差为，易知时不符合题意， 当时，数列单调递增，则， ，故当时，不存在正整数s，t使得，故B错误； 对于C，若为等比数列，设，公比为， 若，则， 解得或（舍去）， 即可能为等比数列，当，时， 对任意的正整数i，总有，即即可，故C错误； 对于D，由C易知，为等比数列，，时，单调递减， 对任意的正整数i，总有， 即时，即满足，则可能为递减数列，故D正确． 变式3．（2026·江西宜春·模拟预测·多选）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：其中不正确的命题是（    ） A．若，则对任意，数列都不是“加速数列” B．若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项 C．若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得 D．正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是 【答案】ACD 【分析】A选项，计算的比值即可作出判断；B选项，根据条件可判断是常数列或单调递增数列，然后结合可推出数列存在最小项；C选项，“加速数列”会使数列指数增长，导致无界，即可作出判断；D选项，正项等比数列是否为“加速数列”， 的取值与公比有关，即可判断. 【详解】因为若存在常数，对于任意的，都有， 则称数列为“加速数列”， 所以设，对于任意的，都有成立，. 对于A：    ， 因为，所以，所以成立， 即，因为， 所以存在，使得数列是“加速数列”，故A错误； 对于B：若数列是“加速数列”，则， 而， 故，故存在，使得 ， 所以， 故数列存在最小项，故B正确； 对于C：若数列是“加速数列”，则，且， 则，所以， 即，当时，，所以不存在，使得， 故C错误； 对于D：若正数列是等比数列，则，等价于 若，则，不等式等价于， 只要，数列是“加速数列”； 若，则，不等式等价于， 只要，数列是“加速数列”， 所以是“加速数列”的充要条件不是，故D错误. 变式4．（2026·黑龙江·模拟预测·多选）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】ABD 【分析】根据给出的新定义数列变化形式，找出数列中k与n之间的变化关系，列出变化等式，进而判断选项即可． 【详解】初始数列：1，4； 第一次成长：1，4，4，乘积,； 第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：， ；故A正确 记次“美好成长”后的数列有项，则，即， 又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列， 故，， 所以，故B正确 因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积， 故 ； 故， 则，故C错误， 由此， 因此数列为等比数列，首项为，公比为3； 故，解得，故D正确． 变式5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____． 【答案】11 【分析】根据题意，确定前两项或前三项的数，进而分析其余项的数. 【详解】当由1,4构成时，则，，、为2，3的一个排列，故满足条件的数列共有个； 当由2,4构成时，则，，、为1，3的一个排列或，，， 故满足条件的数列共有个； 当由3,4构成时，则，，、为1，2的一个排列或，，、为2，4的一个排列 或，，、为1，4的一个排列，故满足条件的数列共有个； 由题可知，若，则“控制数列”其“阶数”为1，不符合题意； 所以使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为个. 变式6．（2026·河北沧州·三模）在数列中，按照下面方式构成“次生数列”：，，，…，（），其中（）表示数列中最小的项．已知数列满足（），若，，则________． 【答案】 【分析】由题意可得，可得是等比数列，进而求得的通项公式，利用“次生数列”的定义求得的值，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，即，所以是等比数列， 又，，所以，， 设等比数列的公比为，则，所以， 所以，所以， 所以的前7项为2，，，，，，， 由“次生数列”的定义可得，，， 所以. 变式7．（2026·山东·模拟预测）对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． 【答案】(1)集合①②是理想集，③不是理想集 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据理想集定义，计算每个集合对应的，再判断与是否无公共元素即可； （2）（i）：构造出3个两两不交的非空理想集，使得它们的并集为即可； （ii）：结合题意推导的取值规律，得到的放缩方式，再结合裂项相消原理求和证明不等式. 【详解】（1）根据理想集定义：为理想集当且仅当 ，其中， ① 集合：计算得， ， 因此是理想集， ②集合：计算得：， ， 因此是理想集. ③ 集合：因为，故且， ， 因此不是理想集. 所以集合①②是理想集，③不是理想集． （2）（i）构造集合，，， ，无公共元素，是理想集； ，无公共元素，是理想集； 中最小两元素和为，故，是理想集， 且， ， 所以是可分的，故． （ii）若存在个非空理想集，，…，，且，使得，则对于，取， 其中表示将集合中每个数都加上后所得的新集合． 取，此时存在个非空理想集，，…，， 且，使得． 设，则有 ， 则，又， 于是当时，， 故，当时，依然成立，所以， 于是， 当时，成立； 当时，． 综上所述，． 变式8．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明：因为数列的前项积为，满足， 所以当时，，解得. 当时，，化为，则， 所以当时，， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）当可求得的值，当时，由已知等式得出，变形得出，结合等比数列的定义证明可得结论； （2）（i）分析可知中元素两两互异，且的所有项中至多有两个和两个，由此可得出的最小值，并找出使得的最小值时的一个； （ii）根据（1）中的结论可求出数列的表达式，可得出的表达式，然后由结合二项式定理可化简的表达式. 解法一：设为数列的前项和，利用分组求和可求得的表达式； 解法二：求出，设为数列的前项和，利用并项求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）. 所以的所有项中至多有两个和两个，所以. 例如，当为、、、、时等号能取到， 所以的最小值为. （ii）由（1），数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即， 又因为，所以. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 法一：设为数列的前项和， 则 ， 所以数列的前项和为. 法二：， 设为数列的前项和， 则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $