重难点培优06 数列不等式、数学归纳法、新文化、新定义问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦数列不等式、数学归纳法、新文化新定义等高考核心考点，按“知识重构-题型精研-实战检测”逻辑梳理，涵盖放缩公式、归纳法步骤等重难知识，通过8类题型分类指导与分层练习，帮助学生系统构建数列综合问题的解题框架。 资料特色在于融合数学文化与创新题型，如杨辉三角、斐波那契数列等，以“技巧通法+真题精研”培养数学思维，设置“重难巩固+创新提升”分层检测，精准对接高考要求，助力学生快速掌握不等式证明、新定义问题等策略，为教师把控复习节奏提供高效教学资源。

重难点培优06 数列不等式、数学归纳法、新文化、新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 数列中不等式的恒成立问题（★★★★） 4 题型02 数列中不等式的证明问题（★★★★★） 5 题型03 数学归纳法（★★★） 6 题型04 杨辉三角与数列（★★★★） 7 题型05 裴波那契数列（★★★★） 11 题型06 n阶数列（★★★★） 12 题型07 数列中其他新文化问题（★★★★★） 14 题型08 数列新定义问题（★★★★★） 15 03 实战检测·分层突破验成效 17 重难知识巩固 17 创新能力提升 22 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 数列与不等式 1、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 2、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 知识点02 数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 知识点03 斐波那契数列 1、斐波那契数列概念 把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。 2、斐波那契数列的递推公式 3、斐波那契数列的通项公式 4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n项和Sn） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 知识点04 与数列有关的新定义问题的策略 1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 数列中不等式的恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题. 恒成立； 恒成立. 1．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高三上·山西太原·期中）已知单调递增的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 4．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 5．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知数列满足. (1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 6．（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 题型02 数列中不等式的证明问题 【技巧通法·提分快招】 1、对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，有时采用比较法；有时采用构造函数法；但更多采用放缩法进行证明.在运用放缩法证明时，若能够直接求和，则考虑先求和再放缩；若不能或很难求和，则考虑先放缩再求和. 2、放缩法技巧 在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法. 放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）. 放缩法证不等式的理论依据是：；. 1．在正项数列中，. (1)证明：是等差数列． (2)记，数列的前n项和为，证明： 2．已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 3．（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知正项数列满足． (1)求证：是等比数列 (2)设，记数列的前项和为，求证：． 4．已知正项数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，证明：. 5．（2025·广东汕尾·一模）记为递增数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记的前项和为，证明：. 6．（2025·安徽·二模）已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有. (1)求和； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 题型03 数学归纳法 【技巧通法·提分快招】 用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 1．已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 2．已知数列中，，前项和与通项满足关系．求证：． 3．记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 4．设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 5．已知数列满足，且. (1)证明：； (2)证明：. 题型04 杨辉三角与数列 【技巧通法·提分快招】 1、第二层是自然数列 2、第三层是三角数列 这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形． 3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列 1．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 3．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第项，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）如图，“杨辉三角”是我国古代的伟大发明，其中表示第i行的第j个数表示第i行所有数字之和，例如．则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则数列的前n和为 D．若，则 5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图是“杨辉三角”，则其前 行（从第1行至第 行）所有数字之和______    6．“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 7．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图4所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第5行第3个数是__________；若，是的前项和，则__________.（用含的代数式作答） 题型05 裴波那契数列 【技巧通法·提分快招】 1、数列表示 （1）逐项罗列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…. （2）递推公式：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3). （3）通项公式：an＝［()n－()n］. 2、常考性质 性质1.前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝an＋2－1. 性质2.奇数项和：a1＋a3＋…＋a2n－1＝a2n；偶数项和：a2＋a4＋…＋a2n＝a2n＋1－1. 性质3.平方性质：＝anan＋1－anan－1；平方和性质：＋＋…＋＝anan＋1. 性质4.中项性质：anan＋2－＝(－1)n＋1；3an＝an－2＋an＋2. 性质5.余数列周期性： 被2除的余数列周期为3：1，1，0，…； 被3除的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，…； 被4除的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，…. 1．意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．59 D．60 2．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西渭南·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（    ） A．2025 B．-1 C．2026 D．1 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，．其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）1202年，斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A． B．为奇数 C． D． 6．1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2025项的和为________． 7．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第______________项. 题型06 n阶数列 1．（2026·江西·一模）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列为二阶等差数列，且，则（   ） A．35 B．36 C．37 D．38 2．（2025·湖南郴州·三模）给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（    ） A．556 B．557 C．292 D．291 3．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了关于一阶等差数列的问题：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列，即一阶等比数列满足从第二项开始，每一项与前一项的比值构成等比数列．设数列是一阶等比数列，，则______；______． 5．（2025·山东德州·三模）在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为．如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列．若数列满足，则______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则______． 6．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列． (1)若数列满足，，且，求证：数列为二阶等差数列； (2)若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和； 题型07 数列中其他新文化问题 【技巧通法·提分快招】 解决数列与数学文化相交汇问题的关键 1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2026·浙江·三模）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 5．（多选题）提丢斯-波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则．它是一位中学教师提丢斯提出的，后来被某天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列，，，，，，，，…表示的是太阳系行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U.为单位）．现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每一项是前一项的2倍，则下列说法中正确的有（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的第2023项为 C．数列的前项和 D．数列的前项和 6．（2026·北京·模拟预测）玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示．某学生用技术打印了个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为的等比数列．若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则最矮的玉琮内圆柱形孔洞的体积为________，这个玉琮模型的高度和为________．    7．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 题型08 数列新定义问题 1．（24-25高三上·上海虹口·阶段检测）已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”.对于以下两个命题，说法正确的是（    ）. ①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”； ②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 2．在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（    ） A．63 B．64 C．65 D．66 4．佩尔数列是一个在计算机科学中有着重要应用的数列.若数列满足，，且，则称数列为佩尔数列.已知为佩尔数列，若为奇数，把换成，若为偶数，把换成0，得到数列，若的前项和为100，则的值可能是（    ） A．198 B．201 C．99 D．100 5．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）定义：在正项数列中，若（为非零常数），则称存在对数系，常数为的对数系数． (1)判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由． (2)已知数列存在对数系，且，，，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）证明：． 6．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 7．（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 2．莱布尼茨三角是与杨辉三角数阵相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和．记第2行的第2个数字为，第3行的第2个数字为，…，第行的第2个数字为，则（    ）．    A． B． C． D． 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）为了计算无穷级数和，意大利数学家恩纳斯托·切萨罗发明了切萨罗和：设数列的前n项和构成数列，的前n项的平均数构成数列，若收敛于，则称为的切萨罗和.已知数列满足，，则（   ） A． B．1 C． D． 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 7．（2026·西藏拉萨·二模）量子计算是当前科技前沿领域，其核心单元“量子比特”在物理实现上常采用能级结构．某种量子比特模型中，用递增离散能级表示量子态，相邻能级间的能量差构成等比数列，即（）．已知（为基准能量单位）．则该量子比特从高能级向低能级跃迁时，可释放光子的频率（光子频率恰为能量差）不可能为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·云南红河·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列或兔子数列，是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契于1202年以兔子繁殖问题引入的整数数列．斐波那契数列满足，，，则（    ） A．1 B．2 C．2025 D．2026 9．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值． 10．（2026·吉林·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 11．（2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. 12．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 13．已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 14．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 15．（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 16．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）已知，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 17．对于给定的数列，令，则数列称为的一阶和数列，再令，则数列是的二阶和数列，以此类推，可得的p阶和数列． (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前n项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差． 18．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…… (1)设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式； (2)记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和． （i）求； （ii）若成立，求的取值范围． 19．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）已知数列满足，，点是函数上的点， (1)若.（，为正整数），求的值 (2)证明数列是等差数列，并求数列的前项和为 (3)证明：. 20．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 21．已知定义在上的可导函数对任意的，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)在（2）的前提下，求证：当时，.在 22．（25-26高三下·天津·阶段检测）设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3． (1)若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 (2)若，数列的伴随数列为，求． (3)若数列的前n项和（其中c为常数），求数列的伴随数列的前m项和． 创新能力提升 1．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 2．（2026·天津北辰·三模）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 3．（2025·四川资阳·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为.求证：. 4．（2024·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）． (1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式； (2)若阶等差数列的通项公式． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求数列的前项和． 附：． 5．设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明） ①等差数列：； ②等比数列： (2)已知数列具有性质，，，且满足 （即：数列的所有项构成整数集），求的通项公式； (3)若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值. 6．（24-25高三下·云南·阶段检测）设数列的前n项和为，由，，…，组成的数列记为，把新数列称为原数列的一阶和数列，设数列的前n项和为，把数列称为数列的二阶和数列，依此类推，可得数列的p阶和数列，其中． (1)若，求数列的二阶和数列的通项公式； (2)若． ①求数列的三阶和数列的通项公式； ②写出数列的p阶和数列的通项公式（不用证明）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优06 数列不等式、数学归纳法、新文化、新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 数列中不等式的恒成立问题（★★★★） 4 题型02 数列中不等式的证明问题（★★★★★） 9 题型03 数学归纳法（★★★） 16 题型04 杨辉三角与数列（★★★★） 21 题型05 裴波那契数列（★★★★） 27 题型06 n阶数列（★★★★） 31 题型07 数列中其他新文化问题（★★★★★） 36 题型08 数列新定义问题（★★★★★） 40 03 实战检测·分层突破验成效 48 重难知识巩固 48 创新能力提升 66 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 数列与不等式 1、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 2、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 知识点02 数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 知识点03 斐波那契数列 1、斐波那契数列概念 把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。 2、斐波那契数列的递推公式 3、斐波那契数列的通项公式 4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n项和Sn） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 知识点04 与数列有关的新定义问题的策略 1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 数列中不等式的恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题. 恒成立； 恒成立. 1．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造法可求的通项公式； （2）利用参变分离和数列的单调性可求的最大项，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列的首项，可得， 而，故，故， 即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即. （2）若恒成立，即为，即恒成立， 设，可得，. 即数列是单调递减数列，可得， 所以，即实数的取值范围是 2．（24-25高三上·山西太原·期中）已知单调递增的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据等比数列定义及其基本量的计算求得公比可得通项公式； （2）利用错位相减求得的表达式，再根据不等式恒成立即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设的公比为q， 则， 解得或（舍去）， ∴（）； （2）由（1）可得（）， ∴，① ∴，② ①－②，整理得， 所以对于任意的，不等式恒成立， 即不等式对于任意的恒成立， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 3．（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用的关系得，结合累乘法可得通项； （2）根据（1）的结论得出，由错位相减法得，再分离参数，根据基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为，代入， 整理得， 所以， 以上个式子相乘得， . 当时，，符合上式，所以. （2）. 所以，① ，② ①②得， ， 所以. 由得：， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 4．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 5．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知数列满足. (1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用构造法，即可得等差数列递推关系，从而可求得通项公式； （2）①利用错位相减法，即可求和； ②利用分离参变量法，再利用递推关系求解数列中的最大项，即可得参数范围. 【详解】（1）由. 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以数列的通项公式为； （2）①由（1）得， 则. 于是， 上两式相减得： ， 所以. ②由，得.令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第 项取得最大值. 由，即 解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是. 6．（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，两式相减即可求解； （2）由（1）得到的表达式，分别讨论为奇数和偶数的情况即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，又因为， 所以，即，所以， 所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列． （2）由（1）得，，， ，， 设，则变为对任意正整数恒成立， 当，，； 当，，， 因为， 所以，当时，，即；当时，，即， 故，， 所以，解得或， 因此的取值范围为． 题型02 数列中不等式的证明问题 【技巧通法·提分快招】 1、对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，有时采用比较法；有时采用构造函数法；但更多采用放缩法进行证明.在运用放缩法证明时，若能够直接求和，则考虑先求和再放缩；若不能或很难求和，则考虑先放缩再求和. 2、放缩法技巧 在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法. 放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）. 放缩法证不等式的理论依据是：；. 1．在正项数列中，. (1)证明：是等差数列． (2)记，数列的前n项和为，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知得，结合等差数列的定义即可得证； （2）应用裂项相消法求，即可得证. 【详解】（1）由，得， 因为为正项数列，所以，即， 所以是以13为首项，4为公差的等差数列； （2）由（1）可知， ， 则， 所以， 因为，所以，所以. 2．已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式； （3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立. 【详解】（1）(1)由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知，所以． （3）由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以， 3．（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知正项数列满足． (1)求证：是等比数列 (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【分析】（1）根据题设整理可得，进而求证即可； （2）由（1）得，结合指数函数的性质可得，进而求和即可求证. 【详解】（1）由，则， 由于，则， 所以，则， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）得，，则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 则，即， 所以. 4．已知正项数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，证明：. 【分析】（1）由递推公式构造得到即可求证； （2）由（1）等比数列通项公式即可求解； （3）由（2）得到，通过即可求证； 【详解】（1）证明:由得， ， 则， 因为，所以， 又，故数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）可知，， 故. （3）证明:由（2）得，， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立； 当时，， 所以 ， 综上可知，. 5．（2025·广东汕尾·一模）记为递增数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记的前项和为，证明：. 【分析】（1）由题设利用分和结合等差数列定义即可依次求出数列的首项和通项公式； （2）由错位相减求和方法结合等比数列前n项和公式即可求解； （3）方法一：由和放缩公式结合裂项相消求和法计算求证即可得证； 方法二：由数列的单调性和放缩公式得到即可计算求证. 【详解】（1）由题令，则，解得， 当时，， 所以，即， 因为，且是递增数列，所以， 所以，即是公差和首项均为2的等差数列， 所以. （2）设是数列的前项和， 因为，所以， 所以， 则， 两式相减得，即. （3）证明：方法一：， 所以，① 因为， 所以，② ①+②得， 即，所以. 方法二：因为是递增数列，所以是递减数列. 所以， 所以， 所以 . 6．（2025·安徽·二模）已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有. (1)求和； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 【分析】（1）数列为等差数列，不妨设，再利用待定系数法解得，根据等差数列前项和公式求． （2）方法一：由题意得，再根据累乘法得到，方法二：构造数列，得到数列为常数列即可求解； （3）由题意得，先证，再累加即可证得． 【详解】（1）因为数列为等差数列，不妨设，由可得，故，解得， 所以， ，即，即， 所以，解得， 故，. （2）方法一：由（1）得：， 当且时，， ， 当时，满足， 综上所述：. 方法二：由（1）得：， ，，， ， 令，则数列为常数列， ， ； （3）证明：由（1）知，，下面证明， 设，， 则，当时，，单调递增， 所以， 所以，即， 所以 ， 所以． 题型03 数学归纳法 【技巧通法·提分快招】 用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 1．已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 【分析】(1)利用题干的迭代条件即可得到，，; (2)利用第一问的结果即可猜想，再用数学归纳法证明 【详解】（1）将已知等式展开整理得 ， 解得． 由，知． 故，，. （2）猜想， 证明：（i）当时，，命题成立； （ii）假设当，命题成立，即， 那么， 即时命题成立． 由（i）（ii）可知对一切自然数命题都成立． 2．已知数列中，，前项和与通项满足关系．求证：． 【详解】①当时，，即，，结论成立． ②假设时，结论成立，即，则当时， ， 即，（）． 所以，当时，结论也成立． 由①、②知，对都成立． 3．记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【分析】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 4．设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 【分析】（1）先利用等差数列通项公式求出，再利用的关系求解即可； （2）①根据的关系结合题设可得，即可求证； ②先根据裂项相消法求出，结合①可求得，进而根据数学归纳法及分析法求证即可. 【详解】（1）由题意，，则， 当时，， 显然满足上式，则. （2）①由， 当时，，即； 当时，， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ②由（1）知，， 则， 即， 由①知，，则， 下面利用数学归纳法证明：. 当时，，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 则时，需证明，即证， 由，只需证明， 即证，即证， 即证， 由于，则， 所以. 综上所述，，所以. 5．已知数列满足，且. (1)证明：； (2)证明：. 【分析】（1）通过构造函数，并求导分析单调性，证得任意时，，再结合不等式的性质运算即可得证； （2）先用数学归纳法证明，再利用不等式性质证明数列为递增数列，利用变形后的不等式结合累乘法可证明. 【详解】（1）由题意可得.构造函数，x， 则，在上单调递增. 所以，即任意时，. ，，且， 且，故. 所以，. （2）下面用数学归纳法证明. ①当时，成立；当时，成立； ②假设当时，，， 则当时，， 且，所以， 综合①②可知，对任意，成立. ，， 由，则，即， ，数列为递增数列， ，即. 当时，，即， 当时，， 所以，对，得证. 题型04 杨辉三角与数列 【技巧通法·提分快招】 1、第二层是自然数列 2、第三层是三角数列 这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形． 3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列 1．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的前项，归纳出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和，即可求解. 【详解】根据题意可知，，，，， 以此类推，， 所以其前项和， 所以. 故选：A. 2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 【答案】B 【分析】明确杨辉三角每行数字个数及规律以及去掉1后每行数字个数规律，然后确定所求数列前35项在杨辉三角中的位置，利用等比数列求和公式求杨辉三角前行和，再去掉1的个数及第10行对应部分和，从而得到所求数列前35项和. 【详解】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数. 第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字； 那么， 当时，，即前9行去掉1后有28个数. 所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字. 杨辉三角前行和为， 前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）. 第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9， 前7个数字和为. 所以此数列的前35项和为. 故选：B. 3．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，再借助累加法结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】由图可知的递推公式为， 所以， 因为，所以， 故. 故选：B. 4．（多选题）如图，“杨辉三角”是我国古代的伟大发明，其中表示第i行的第j个数表示第i行所有数字之和，例如．则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则数列的前n和为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据二项式系数的概念可判断AB的真假；根据二项式系数的性质结合等比数列的求和公式可判断CD的真假. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为，故B错误； 对C：因为，所以， 所以数列的前项和为： ，故C正确； 对D：当，时， ，故D正确. 故选：ACD 5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图是“杨辉三角”，则其前 行（从第1行至第 行）所有数字之和______    【答案】 【详解】第0行的和为：， 第1行的和为：， 第2行的和为：， 第3行的和为：， 第4行的和为：， 第5行的和为：， ， 第行的和为：， 则其前 行（从第1行至第 行）所有数字之和为：， 数列是一个以2为首项，公比为2的等比数列， 其前 项和为. 6．“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 【答案】/ 【分析】先根据杨辉三角的行号与位置对应关系，确定数列的通项，再对通项进行裂项，最后通过裂项相消法求出前项和 ，代入得到结果. 【详解】在杨辉三角中，第行的第个数（从第行开始计数）为， ， 所以， 所以, 故答案为：. 7．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图4所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第5行第3个数是__________；若，是的前项和，则__________.（用含的代数式作答） 【答案】 【分析】由题意将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形为“莱布尼茨三角形”，观察表中数字，题中要求第5行第3个数，当，即可求解；由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，由可得：，即，利用列相消法即可求解. 【详解】由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形为“莱布尼茨三角形”， 观察表中数字，题中要求第5行第3个数，所以，，所以第5行第3个数为. 由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和， 由可得：， 所以， 所以 ， 所以. 故答案为：；. 题型05 裴波那契数列 【技巧通法·提分快招】 1、数列表示 （1）逐项罗列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…. （2）递推公式：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3). （3）通项公式：an＝［()n－()n］. 2、常考性质 性质1.前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝an＋2－1. 性质2.奇数项和：a1＋a3＋…＋a2n－1＝a2n；偶数项和：a2＋a4＋…＋a2n＝a2n＋1－1. 性质3.平方性质：＝anan＋1－anan－1；平方和性质：＋＋…＋＝anan＋1. 性质4.中项性质：anan＋2－＝(－1)n＋1；3an＝an－2＋an＋2. 性质5.余数列周期性： 被2除的余数列周期为3：1，1，0，…； 被3除的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，…； 被4除的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，…. 1．意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．59 D．60 【答案】D 【分析】根据斐波那契数列的性质即可求解. 【详解】由题意，所以. 故选：D 2．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系采用叠加法即可. 【详解】根据题意，，，，，…， ，， 则，，…，，， 将上述各式两边相加得，， 所以. 故选：B． 3．（2026·陕西渭南·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（    ） A．2025 B．-1 C．2026 D．1 【答案】D 【分析】利用卡西尼恒等式化简乘积的每一项，再根据指数和的奇偶性判断最终结果. 【详解】因为，所以， 当为奇数时，， 为偶数时，， 所以 ， 其中项中奇数项有1013个，即有个1相乘得，偶数项有个，即有1012个相乘得，故结果为. 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，．其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斐波那契数列的递推公式，迭代可得，，进而可得. 【详解】因为， 所以 ， 所以，所以， 所以，所以， 故选：A 5．（多选题）（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）1202年，斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A． B．为奇数 C． D． 【答案】ACD 【分析】列出数列前几项，可计算得选项A正确，再观察数列数字的特点可得B；由递推公式计算判断选项C，选项D. 【详解】解：对于A，记该数列为，由题意知，，，，，，，， ，，，故A正确; 对于B，因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和， 此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，而， 故为偶数，故B错误; 对于C，由题意知，所以， ，故C正确; 对于D，，，，， ， 将这些等式左右两边分别相加得： ， 所以，D选项正确. 故选： 【点睛】关键点点睛：根据“斐波那契数列”的递推关系列出数列前几项，观察数列数字的特点，再由递推公式即可求得结果. 6．1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2025项的和为________． 【答案】1350 【分析】由题意可得出新数列，判断出周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯， 被2除后的余数构成一个新数列：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯， 即数列是以3为周期的数列，一个周期内的三项和为2， 因为，故数列的前2025项的和为， 故答案为：1350 7．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第______________项. 【答案】2027 【分析】利用斐波那契数列的递推关系变形，通过裂项相消法求和即可求出结果. 【详解】由题意知，（，）， 所以（，）， 所以，，……，， 由累加法可得， 则， 所以是斐波那契数列的第2027项. 题型06 n阶数列 1．（2026·江西·一模）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列为二阶等差数列，且，则（   ） A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】B 【分析】利用二阶等差数列的定义，借助列举法求出. 【详解】依题意，， 数列，数列，数列， 所以. 2．（2025·湖南郴州·三模）给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（    ） A．556 B．557 C．292 D．291 【答案】C 【分析】根据题意得到数列的递推关系式，利用累加法结合分组求和可求出. 【详解】根据题意，， 则， 即，又因为，故. 故选：C. 3．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列的二阶商数列是常数列可知数列的一阶商数列是等比数列，再利用累乘法求得，即可得解. 【详解】设数列的一阶商数列为，二阶商数列为， 则，，， 又数列的二阶商数列是常数列， 则， 则满足， 所以数列是为首项，为公比的等比数列， 则， 所以， 则，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 所以， 则， 故选：C. 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了关于一阶等差数列的问题：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列，即一阶等比数列满足从第二项开始，每一项与前一项的比值构成等比数列．设数列是一阶等比数列，，则______；______． 【答案】 32 / 【分析】①根据一阶等比数列定义，得到，从而得到等比数列的通项公式，求出；②累乘求出，代入，再裂项求和. 【详解】①由题意，数列是一阶等比数列，， 所以为等比数列，其中，，公比为， 所以； ②， 所以， 所以． 故答案为：①；②. 5．（2025·山东德州·三模）在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为．如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列．若数列满足，则______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则______． 【答案】 27 【分析】利用递推式求出的前四项，利用一阶差数列定义即可求解；结合二阶等比数列定义，运用等比数列通项公式、等比数列求和公式及累加法可求得结果. 【详解】因为，所以，所以； 设数列为原数列的一阶差数列，为原数列的二阶差数列. 则由题意可知. 又为等比数列，故公比，所以，即. 当时，， 将代入得，符合， 所以，.所以， 当时，， 将代入得，符合， 所以，. 故答案为：27；. 6．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 【分析】（1）结合已知定义及等差数列的定义即可判断； （2）由已知定义及等差数列的通项公式，求和公式即可求解. 【详解】（1）是，理由： 因，则， 故， 是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”. （2）由题意是“一阶等差数列”， 又首项为1，公差为3，故， 则 ， 又满足上式，故. 则 “二阶等差数列”的通项公式为. 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列． (1)若数列满足，，且，求证：数列为二阶等差数列； (2)若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和； 【分析】（1）结合等差数列的定义及题设定义求证即可； （2）结合已知设，结合累加法得到，，进而结合组合数公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列， 则是一阶等差数列，数列为二阶等差数列. （2）因为是“三阶等差数列”，所以是“二阶等差数列”， 设，所以是“一阶等差数列”． 由题意得，，，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，根据累加法有： ， ，， 满足上式，所以， ，， 因为满足上式，， . 题型07 数列中其他新文化问题 【技巧通法·提分快招】 解决数列与数学文化相交汇问题的关键 1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【详解】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B 2．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知联立可解得 所以， 所以， 因为， 所以的公差． 3．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列通项公式与等差数列前项和公式及性质分析求解即可. 【详解】设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差， 所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：， 又下层石板总数比中层多729块，所以， 即， 化简得：，解得：. 4．（多选题）（2026·浙江·三模）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 【答案】ABD 【分析】根据题意可得数列的递推公式，分析可知数列是以首项，公比为的等比数列，即可得，，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，，，， 则， 可知数列是首项为，公比为的等比数列，则，， 所以，故A正确； 因为，则，即，故B正确； 因为， 即，所以不存在，使得，故C错误； 由等比数列性质可知，即，都有，故D正确. 5．（多选题）提丢斯-波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则．它是一位中学教师提丢斯提出的，后来被某天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列，，，，，，，，…表示的是太阳系行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U.为单位）．现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每一项是前一项的2倍，则下列说法中正确的有（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的第2023项为 C．数列的前项和 D．数列的前项和 【答案】CD 【分析】根据给定的信息求出判断AB；利用等比数列前项和公式求解判断C；利用错位相减法求出前项和判断D. 【详解】对于A，数列的各项乘以10再减4得到数列，，，，，，，，…， 则该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，，A错误； 对于B，由选项A得，，B错误； 对于C，当时，；当时， ， 当时，也符合上式，因此，C正确； 对于D，，当时，，当时， ， ，两式相减得 ，则， 当时，也满足上式，因此，D正确． 故选：CD 6．（2026·北京·模拟预测）玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示．某学生用技术打印了个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为的等比数列．若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则最矮的玉琮内圆柱形孔洞的体积为________，这个玉琮模型的高度和为________．    【答案】 【分析】直接由等比数列的第五项及公比计算第一项可得第一空，再根据等差数列的第一项及第五项求前项和可得第二空. 【详解】设个玉琮的圆柱形孔洞体积为，高度为，孔洞半径为（对应最矮，对应最高）， 由题知是公比的等比数列，因此. 最高玉琮孔洞半径，高，因此： . 代入，得，即最矮孔洞体积为. 由题知是等差数列. 对最矮玉琮孔洞，由上分析知，， 由圆柱体积公式得： ，解得. 所以等差数列中，，， 所以数列前项和， 即个玉琮高度和为. 7．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 题型08 数列新定义问题 1．（24-25高三上·上海虹口·阶段检测）已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”.对于以下两个命题，说法正确的是（    ）. ①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”； ②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】B 【分析】结合等比数列和等差数列的定义及通项公式，利用数列的定义求解. 【详解】设等比数列的通项公式为， 则是等比数列，故①是真命题； 设等差数列的通项公式为， 则不是等差数列，故②是假命题. 故选：B 2．在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“数列”定义逐项判断可得答案. 【详解】在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且， 则称数列为“数列”，“数列”不是递增或递减数列． 对于A，因为，所以是递增数列，A错误； 对于B，因为，所以是递增数列，B错误； 对于C，，满足且，故是“数列”，C正确； 对于D，因为， 所以是递减数列，D错误． 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（    ） A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】A 【分析】通过新定义得到，进而得到，相加，进而可求解； 【详解】因为数列为“速增数列”， ，，且， 所以对，，， 所以，且， 所以， 相加得， 所以，即，， 当时，， 当时，， 故正整数的最大值为. 故选：A 4．佩尔数列是一个在计算机科学中有着重要应用的数列.若数列满足，，且，则称数列为佩尔数列.已知为佩尔数列，若为奇数，把换成，若为偶数，把换成0，得到数列，若的前项和为100，则的值可能是（    ） A．198 B．201 C．99 D．100 【答案】B 【分析】由为偶数，可得与同奇或同偶，进而可得通项公式与前项和公式，据此可得答案. 【详解】根据数列满足，，且， 则为偶数，则与同奇或同偶.又，， 可得的奇数项为偶数，偶数项为奇数，则. 即，其中. 所以数列的各项依次为0，，0，4，0，，0，8，…， 注意到，设数列的前项和为， 则时，， 又 ，则； 则，. 则 因的前项和为100，则 或 故选：B. 5．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）定义：在正项数列中，若（为非零常数），则称存在对数系，常数为的对数系数． (1)判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由． (2)已知数列存在对数系，且，，，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）证明：． 【分析】（1）根据对数系定义，再由数列定义即可求出对数系数； （2）（ⅰ）由数列的前几项可求出其对数系数，再由等差数列定义即可求得的通项公式； （ⅱ）利用错位相减求和得出，可证明得出结论. 【详解】（1）因为， 所以存在对数系，其对数系数为． （2）（ⅰ）令． 因为存在对数系，所以． 设， 则， 又因为，， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列，， 所以当时，， 即． 因为，所以． 又满足，所以． （ⅱ）（ⅰ） （ⅱ）证明：由（ⅰ）得， 因为，所以， 所以． 设， 则， 所以， 所以． 因为，所以， 即． 6．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 【分析】（1） 先利用递推公式结合的定义验证满足等差中项性质即可证明； （2）结合前项和与的关系推导第二问的等式即可证明； （3）通过与的递推关系推导的通项公式，判断其为等差数列 【详解】(1)证明： 由题意得 ， 对任意，，且前项和 要证成等差数列，只需证， 当时，代入递推式得， 又，， 代入得： ，化简得， 两边同乘3得，整理得， 因为， 所以，故成等差数列，证毕.； (2)证明： 因为数列，对任意，令 所以，对任意，，，， 所以，前项和， 所以①， 因为，对任意，②， 将②代入①得：， 移项化简得，证毕.； (3)数列是等差数列，理由如下： 由（2）的结论，对任意整数，均有， 令（），得， 因为， 所以， 验证时也成立， 所以，对所有， ， 当时， ， 两式相减得： ， 展开整理得， 令，代入上式得（）， 可变形为， 又因为当时，，即 所以数列在时为常数列，即， 所以时，，其中为常数，（显然时也成立）， 所以，，即是首项为1，公差为的等差数列. 7．（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ｉ）；（ⅱ）存在，满足条件的只有． 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式，联立方程组即可求解； （2）（ｉ）先分析数列的分组结构，算出前21项包含的和的项数，分别求和后相加即可； （ⅱ）先求出前组的和的表达式，再结合的特殊情况验证，最后用放缩法证明时和不在等比数列中，从而得出所有符合条件的. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，所以. （2）（ｉ）新数列， 可以看作是：第1组：，共1项， 第2组：，共2项， 第3组：，共3项， 第组：，共项， 因此前组共有项， 且第组的和为， 由于时，，因此前6组共有21项， 因此 . （ⅱ）由（ｉ）可知，到为止，数列的项数为, 此时和为 , ①当恰好是前组的总项数时，此时， 当时，，即是数列中的项，符合题意： 当时，，则是数列中的项，符合题意； 当时，恒成立，此时， 在两个相邻的2的幂和之间，没有其他的2的幂， 因此不可能是数列中的项，不符合题意； ②当不是前组的总项数时，而是介于与之间，即， 这意味着是前组的和再加上第组的前几项， 设，其中，则， 当时，，只能取2，， 即是数列中的项，符合题意； 当时，，只能取4或5，， 即不是数列中的项，不符合题意； 当时，，由于，则， 若要使得为数列中的项，则，即， 当时，上式不成立；当时，，上式也不成立； 因此不可能是数列中的项，不符合题意； 综上所述，满足条件的只有． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【详解】由题意知，每相邻两个节气之间的日影长度差为分， “夏至”时日影长度最小，为160分，“夏至”之后，每往后一个节气日影长度增加分, 则“夏至”对应等差数列的首项，公差，则. 由二十四节气表可知，“立秋”是该数列的第4项，则. 故“立秋”时日影长度为分. 2．莱布尼茨三角是与杨辉三角数阵相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和．记第2行的第2个数字为，第3行的第2个数字为，…，第行的第2个数字为，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探究通项规律，根据规律裂项求和即可. 【详解】每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和． 则 分析得， 所以． 故选：D. 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）为了计算无穷级数和，意大利数学家恩纳斯托·切萨罗发明了切萨罗和：设数列的前n项和构成数列，的前n项的平均数构成数列，若收敛于，则称为的切萨罗和.已知数列满足，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据数列新定义及分组求和计算求解. 【详解】因为数列满足，， 则， 所以， 所以. 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举法判断AB,根据数列裂项消项求和判断CD选项． 【详解】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确； 由题意 则可得： ，所以选项C正确，D错误； 故选：D 5．如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意数列中…，观察数列特点可知，利用累加法求得，再由裂项求和计算可得出结果. 【详解】根据题意数列中…， 观察数列特点可知， 则， 显然满足上式，则， ， . 故选：D. 6．（2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【分析】利用等差和等比数列的性质以及前项和公式的性质结合题意推导可得. 【详解】对①，对于任意等差数列，若是递增数列，则，，当时，，与的前n项的和矛盾，故不存在； 对于②，构造等比数列，令，则， ，故为递增数列. 由等比数列前项和公式得， 因为，所以，取，则对于任意的都有. 综上分析，可知①错误，②正确. 故选：D. 7．（2026·西藏拉萨·二模）量子计算是当前科技前沿领域，其核心单元“量子比特”在物理实现上常采用能级结构．某种量子比特模型中，用递增离散能级表示量子态，相邻能级间的能量差构成等比数列，即（）．已知（为基准能量单位）．则该量子比特从高能级向低能级跃迁时，可释放光子的频率（光子频率恰为能量差）不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式求出，逐项检验后可得正确的选项. 【详解】设的公比为， 因为，所以， 而，故，故（舍）或. 故，且， 故 ， 对于A，令，故， 因为为奇数，故，故，此方程无正整数解，故A不可能为能量差； 对于B，取，则，故B选项可为能量差； 对于C，取，则，故C选项可为能量差； 对于D，取，则，故D选项可为能量差. 8．（2026·云南红河·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列或兔子数列，是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契于1202年以兔子繁殖问题引入的整数数列．斐波那契数列满足，，，则（    ） A．1 B．2 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】利用即可求得. 【详解】由，得． 所以， 则 ， 所以． 故选：A． 9．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值． 【分析】（1）结合题干和等差数列的定义求解通项公式即可； （2）由（1）得，设，裂项相消可得，再结合的特点求解m的最小值. 【详解】（1）由已知得且，可得是首项为1，公差为的等差数列， 所以．故的通项公式是． （2）由（1）得． 设，则，． 当时， ， 由题意可得单调递增，且当时，，得到． 由，可知符合题设条件的m的最小值为9． 10．（2026·吉林·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式即可求解； （2）利用结合条件与数列放缩化简可得. 【详解】（1）设数列的公比为（）. 因为，，成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）. 所以. （2）证明：由，得， 两式相减，得，所以， 则. 11．（2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. 【分析】（1）根据与的关系求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. （3）结合放缩法得到，再求和证明即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 也满足上式； 故. 当时，； 当时，， 也满足上式； 综上，. （2）， 故数列的前项和. （3）， 又对任意的：， 所以， 故. 12．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及能成立求参数的最大值. 【详解】（1）证明如下： 令，则，于是，结合已知有， 所以 ，即． 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． （2）由（1）知，，则， 则， 令，整理得，而在上单调递增， 且， 所以，的最大值为． 13．已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 【分析】（1）利用递推式变形，结合数列为正项数列，通过数学归纳法或直接推导证明每一项都小于1； （2）先由（1）得到，猜想，再用数学归纳法证明． 【详解】（1）证明:由，得． 在数列中，， 故数列中的任何一项都小于1．； （2）由（1）知，，那么， 由此猜想， 证明如下： 当，且时猜想正确． ①当时已证； ②假设当（，且）时，有成立， 那么 所以当时，猜想正确． 综上所述，对于一切，都有． 14．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1． 【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式以及等差数列的定义和通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式以及裂项相消法即可求解； （3）通过分析数列的单调性即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为． 因此，即， 而，故． 所以，，则，， 故，所以 即． （2），因此 . （3）由题意得，即对任意恒成立， 设，则， 当时，；当时，；当时，． 故的最大值为，因此，即的最小值为1． 15．（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1)98 (2) 【分析】（1）直接利用通项公式与递推关系计算即可； （2）根据等差数列求和公式及裂项相消法先计算和，再解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）因为， 所以 则， 所以， 因为，所以，即. 由恒成立，可得， 则，得， 则，即t的取值范围为. 16．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）已知，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 【分析】（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可； （2）利用导数证明，进而得到，可得，累加即可证. 【详解】（1）由，又由题意知，， 左右同时除以得， 又因为，则，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得. （2）证明：因为，则， 所以， 令函数，求导得， 所以在上单调递增，，即， 取，则，于是， 所以， 则. 17．对于给定的数列，令，则数列称为的一阶和数列，再令，则数列是的二阶和数列，以此类推，可得的p阶和数列． (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前n项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差． 【答案】(1)12 (2) (3)1999， 【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值. （2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式. （3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值. 【详解】（1）由题得，，， 所以，，则公比为，故，，， 所以，，， 所以，，． （2）设的二阶和数列的前项和为， 由题得，， 所以． （3）因为，所以，解得． 设的公差为，则，解得， 又， 所以，解得， 所以的最大值是1999， 此时公差为． 18．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…… (1)设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式； (2)记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和． （i）求； （ii）若成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（i）； （ii） 【分析】（1）利用观察归纳法找到递推关系，再利用累加法求通项公式即可； （2）（i）利用二项式系数的性质得，再利用错位相减法求即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最大值即可．. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以数列的一个递推关系为， 所以当时，利用累加法可得 ， 将代入得，符合， 所以数列的通项公式为. （2）（i）利用二项式系数的性质得， 所以， 所以， ， 得， 所以， 所以， （ii）成立，等价于成立， 等价于成立，令， 所以，即，解得， 所以的最大值为， 所以，即的取值范围是. 19．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）已知数列满足，，点是函数上的点， (1)若.（，为正整数），求的值 (2)证明数列是等差数列，并求数列的前项和为 (3)证明：. 【答案】(1)2025 (2) 【分析】（1）由题意得，代入到对数等式中，利用对数运算法则可得答案； （2）利用等差数列的定义可证明，并求出数列，利用错位相减法可得； （3）放缩成等比数列求和，可证明. 【详解】（1）因为点 在函数 上，所以， 所以， ，代入 ： ， 所以. （2）证明：令，由 得： ， 即 所以 是首项 ，公差 的等差数列， 所以， 于是 ， 得： ， ， 所以： 所以： （3）证明：因为 对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 于是 因此. 20．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据的关系式进行求解，结合累乘法求出通项公式； （2）放缩得到时，，从而裂项相消法求和可得结论 【详解】（1）①，当时，，即，所以， 当时，②， 式①-②得，即， 故当时，， 当时，依然成立， 故通项公式为； （2），故， 当时，， 当时，，故， 又，故， 所以， 故 21．已知定义在上的可导函数对任意的，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)在（2）的前提下，求证：当时，.在 【分析】（1）通过对抽象函数赋值，令和，代入已知关系式，直接求得和的值，令，则，猜测，求出，进而求出； （2）根据递推关系构造数列，通过计算相邻两项的差为常数，证明其为等差数列； （3）先求出的通项公式，再利用数学归纳法和放缩法，将放缩为等比数列的项，最后求和证明不等式. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则，所以， 令，则，， 不妨假设，则，所以， 所以，所以， 所以 （2）已知，对，将代入原函数得： ， 即，所以， 即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （3）由（2）可得，，即，所以， 首先用数学归纳法证明当时，： 当时，，成立； 假设时，则时，，成立. 因此对，两边乘，得. 对求和式放缩： ， 右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得： ， 因此，得证. 22．（25-26高三下·天津·阶段检测）设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3． (1)若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 (2)若，数列的伴随数列为，求． (3)若数列的前n项和（其中c为常数），求数列的伴随数列的前m项和． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的定义写出数列. （2）由给定的定义求出的相应项，再利用并项求和法列式，利用错位相减法求和即得. （3）由求出，再由给定的定义求出，并按为奇数和偶数分类求出. 【详解】（1）依题意，数列为. （2）由，得， 当时，，共2项；当时，，共6项； 当时，，共18项；当时，，共54项； ；当时，，共项， 则 令， 于是， 两式相减得， 因此，所以. （3）由数列的前n项和，得，解得，即 当时，，而满足上式，因此， 由，，得， 由使得成立的的最大值为，得， 当时，， 当时，， 所以. 创新能力提升 1．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）对递推关系变形，构造数列，得到通项公式； （2）对进行放缩，得利用裂项相消法证不等式； （3）用错位相减法求，将恒成立问题转化为求数列最大值，得到的取值范围. 【详解】（1）由， 两边同除以得， 即， 又，故，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 解得，所以. （2） ， 所以 ，即命题得证. （3）由（1）知 ， 故数列的前项和为： ， 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得 令，分析其单调性： ， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即， 所以，实数的取值范围为. 2．（2026·天津北辰·三模）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 【分析】（1）根据“归一数”概念，结合列举法求解. （2）分析题意可知必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解. （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）根据定义逐个计算的： （奇）：，得是归一数； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，是归一数； （偶）：，得，不是； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，不是. （2）由题意可知为奇数，所以为偶数， 所以存在正整数，使得，即， 因为，且，所以， 或，或，解得或， 所以，或， 所以的值为或. （3）显然偶数“归一数”必为形如的整数， 下面探究奇数“归一数”，不妨设置如下区间： ， 若奇数，不妨设， 若为“归一数”，则且， 即且，当且时， ，当时， ，所以且， 又因为，即， 易知为上述不等式的唯一整数解，区间存在唯一的奇数“归一数”， 所以且，显然为奇数“归一数”，所有的奇数“归一数” 为，所以所有的奇数“归一数”的倒数为， 因为，所以， ， 即 3．（2025·四川资阳·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为.求证：. 【分析】（1）根据题设易得，即可得证； （2）由（1）可得，进而根据等比数列的求和公式分组求和即可； （3）由题设可得，即可证明，分析可得，即证，再结合数学归纳法证得，即可得到，当且仅当时取等，进而求证即可. 【详解】（1）证明：由，则， 又，所以数列是以4为首项4为公比的等比数列. （2）由（1）知，，则， 所以 . （3）证明：由， 则， 由于，则， 所以. 由，则， 要证，即证， 由，则， 则， 下面证明， 当时，，即； 假设，，时，， 则时， . 综上所述，，则， 所以， 则，当且仅当时取等， 则，即. 综上所述，. 4．（2024·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）． (1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式； (2)若阶等差数列的通项公式． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求数列的前项和． 附：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据阶等差数列的定义，分别求出一阶差分数列和二阶差分数列，发现二阶差分数列为常熟列，即可得出，即，得到为等差数列，求得，即，然后用累加法即可求解； （2）（ⅰ）根据阶等差数列的定义，从一阶差分数列、二阶差分数列、三阶差分数列…依次往下求，当出现常数列时为止，即可确定为r的值；（ⅰⅰ）结合二项式定理将转化为了，然后利用裂项相消求和与分组求和的方法即可得解. 【详解】（1）数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为，为非零常数列， 所以，即，且， 所以数列是首项为1、公差为4的等差数列， 所以，即，且， 所以当时， ， 当时，，也满足上式， 综上，数列的通项公式为． （2）（ⅰ），所以， ， 所以， 所以， 所以数列是4阶等差数列，即． （ⅱ） ， 所以， 又 ， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：本题第2问的第ⅱ小问，求和关键是把平时熟悉的裂项相消求和与分组求和的方法应用到该题，结合二项式定理巧妙而关键的将转化为了，然后第一组可以用裂项相消求和的思想来求和，第二组用题干中给出的公式求和，第三组用等差数列公式求和即可. 5．设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明） ①等差数列：； ②等比数列： (2)已知数列具有性质，，，且满足 （即：数列的所有项构成整数集），求的通项公式； (3)若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值. 【答案】(1)数列具有性质，数列不具有性质 (2)或 (3) 【分析】（1）性质即，通过代入验证即可判断； （2）通过转化得到数列：，，，⋯，是等差数列且公差，数列：，，，⋯，，是等差数列且公差，进而分类讨论的正负情况进而求解的通项公式； （3）由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，，，，，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得．所以的最小值大于或等于5，然后证明的最小值等于5即可. 【详解】（1）由题意知，数列通项公式为， ，所以数列具有性质； 数列中，代入，，所以数列不具有性质. （2）由数列具有性质，得， 所以，即， 所以数列：，，，，，是等差数列. 又因为，，所以数列的公差， 同理，得数列：，，，⋯，，是等差数列，公差． ①若且，则数列的最小项是，数列的最小项是， 所以数列的最小项为1，这与矛盾； ②若且，同理，得的最大项为2，这与矛盾； ③若且，则为递减数列，为递增数列， 由，得3为数列中的项，所以只能是，且， 同理，可得0为数列中的项，所以只能，， 此时，的通项公式为； ④若，，类似③的讨论可得，． 此时，的通项公式为． 综上，的通项公式为或. （3）由数列1，1，2，2，3，3，⋯，，，，，，，不是等差数列，且其同时具有性质，，，得且， 类似的，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，⋯，，，，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得， 所以的最小值大于或等于5， 以下证明的最小值等于5，即证“既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列”． 因为具有性质，即， 所以对于，是等差数列； 同理，由具有性质，得对于，是等差数列． 由，，，，，，为等差数列（记公差为），且，，，，，，为等差数列（记公差为）， 得，，所以． 令，则，，． 同理，由，，⋯，，为等差数列，且，，，，，，，，为等差数列（记公差为），得，， 所以，且． 所以 同理，由，，，⋯，，为等差数列，且，，，⋯，，为等差数列， 得； 由，，，，⋯，，为等差数列，且，，，，⋯，，为等差数列， 得； 由，，，，，⋯，，为等差数列，且，，，，，⋯，，为等差数列，得． 综上，， 故数列是公差为的等差数列， 即既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列， 所以的最小值等于5. 6．（24-25高三下·云南·阶段检测）设数列的前n项和为，由，，…，组成的数列记为，把新数列称为原数列的一阶和数列，设数列的前n项和为，把数列称为数列的二阶和数列，依此类推，可得数列的p阶和数列，其中． (1)若，求数列的二阶和数列的通项公式； (2)若． ①求数列的三阶和数列的通项公式； ②写出数列的p阶和数列的通项公式（不用证明）． 【答案】(1) (2)①；②（） 【分析】（1）由新定义，根据等比数列前项求和公式计算可得，结合分组求和计算即可求出； （2）①：由新定义，根据等差数列前项求和公式计算可得，由，得，进而求出即可；②：观察数列中的，即可得出. 【详解】（1）因为，根据定义知： ， 所以数列的一阶和数列的通项公式为． 同理数列的二阶和数列的通项公式为： ． （2）①因为，所以． 设，， ． 而，所以， 又因为，而，…，， 所以． ，又因为， 所以，…，， 所以数列的三阶和数列的通项公式为： ． ②观察数列的一阶和数列的通项公式， 二阶和数列的通项公式， 三阶和数列的通项公式， 猜想数列的阶和数列的通项公式为（） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $