专题8 反比例函数 综合复习 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题8 反比例函数综合复习 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、反比例函数的概念 2 知识点二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 3 知识点三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 3 知识点四、反比例函数的图象与性质 3 知识点五、反比例系数k的几何意义 4 知识点六、反比例函数与一次函数综合 7 知识点七、用反比例函数解决实际问题的步骤 7 知识点八、反比例函数实际应用常考题型解题方法 8 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 8 【题型1 反比例函数定义与数量关系】 8 【题型2 函数值、自变量与参数求解】 10 【题型3 图像识别、象限、增减性】 12 【题型4 函数值与自变量大小比较、对称性】 14 【题型5 k 的几何意义（面积与解析式互求）】 16 【题型6 求反比例函数解析式】 19 【题型7 反比例函数与几何综合】 24 【题型8 多函数图像辨析（一次、反比例、二次）】 27 【题型9 一次函数与反比例函数交点问题】 30 【题型10 一次函数、反比例函数综合】 33 【题型11 反比例函数应用题】 36 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 40 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 59 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・・反比例函数的定义、解析式三种形式 ・反比例函数图象与性质：双曲线、象限分布、增减性 ・k 的几何意义（矩形、三角形面积） ・待定系数法求反比例函数解析式 ・反比例函数与一次函数交点问题 ・反比例函数比较函数值大小 ・反比例函数实际应用、几何综合 ・选择填空常考查 k 的几何意义、增减性比较大小 ・解答题以一次函数与反比例函数综合为主，包含求解析式、求交点、面积计算 ・多结合几何图形、动点、存在性设问拔高 ・注重数形结合，需要看图转化线段、坐标关系 考情解码： ・易错集中在：忽略每个象限内再谈增减性 ・k 几何意义分不清图形是三角形还是矩形，漏乘系数 ・比较函数值大小时不区分点是否在同一分支 ・联立函数求交点、算面积容易坐标代错 ・综合性强，是中考函数板块重点考查内容 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、反比例函数的概念 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 在中，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x和y的乘积。若k=0，则=0恒成立，失去了x，y成反比的意义，所以是定义的一部分。 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 特别提醒：形如，，的函数不是反比例函数。 知识点二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数（(k为常数，k≠0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 知识点三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 知识点四、反比例函数的图象与性质 性质 表达式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大 对称性 中心对称:反比例函数的图象关于原点成中心对称,如双曲线一支上的点A(a,b)关于原点的对称点A(-a,-b)在双曲线的另一支上 轴对称:反比例函数的图象关于直线y=x或y=-x 成轴对称 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 注意： (1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较. (2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可. (3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称. 知识点五、反比例系数k的几何意义 当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补法进行求解. （一）一点一垂线 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= （二）一点两垂线 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= （三）两点一垂线 结论：S△ABC =2S△ABO = 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC =co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC =co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) （四）两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| （五）两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） （六）两曲一平行 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 知识点六、反比例函数与一次函数综合 1.自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 知识点七、用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点八、反比例函数实际应用常考题型解题方法 1.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 2.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 3.利用反比例函数解决实际问题，要做到： （1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； （2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； （3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 反比例函数定义与数量关系】 【例1】关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】先确定反比例函数的比例系数k，再结合其定义、性质及图象上点的坐标特征逐一判断． 【详解】解：∵， ∴该函数是反比例函数，其中，故A正确，不符合题意； ∴函数图象位于第二、四象限，且当时，随的增大而增大，故B、D正确，不符合题意； 将代入，得，故C错误，符合题意． 【变式1-1】已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∵由，得或， 由，得， ∴． 【变式1-2】下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【答案】C 【分析】本题根据反比例关系的定义：若两个变量m、n的乘积为非零定值，则m与n成反比例关系，结合各选项的几何公式推导出m、n的关系式，即可判断． 【详解】解：选项A：∵矩形周长为1，∴，即，两个变量和为定值，不是乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项B：∵圆柱体积为1，圆柱体积公式为，∴，即，是与n乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项C：∵菱形面积为1，菱形面积等于对角线乘积的一半，∴，即，乘积为定值，因此m与n成反比例关系，符合题意； 选项D：∵长方体体积为1，长方体体积公式为长宽高，∴，即， 是m与乘积为定值，因此m与n不成反比例关系． 【变式1-3】下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 【题型2 函数值、自变量与参数求解】 【例2】若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点在反比例函数图象上的条件转化为横纵坐标乘积为6，简化计算． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； A选项：点的横纵坐标乘积为，故点在图象上； B选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； C选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； D选项：点的横纵坐标乘积为，故此点不在图象上． 【变式2-1】已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的值判断时的增减性，结合的取值范围求出的取值范围，即可得到最大整数值． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，；当时，， ∴， ∴的最大整数值为． 【变式2-2】对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 【变式2-3】已知，点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先根据点在反比例函数图象上得到与的关系，再根据给定的的范围推导的范围，对选项逐个判断即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，则，即，， A：若，当时，，不满足，A错误，不符合题意； B：若，则，不等式两边同乘得， ∴， ∵， ∴，即，B正确，符合题意； C：若，则， ∵， ∴，两边同乘可得，即，不满足，C错误，不符合题意； D：若，当时，，不满足，D错误，不符合题意． 【题型3 图像识别、象限、增减性】 【例3】函数的图像如图所示，则在该坐标系中，函数的大致图像是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，解题的关键在于根据的图像确定的正负区间，进而分析的图像特征． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图像可以看作由的图像向右平移2个单位长度得到， 且， 当时，， ∴只有A选项符合需求. 故选：A． 【变式3-1】对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 【答案】A 【详解】解：对于反比例函数，． A、反比例函数增减性的前提是“在每一象限内”，该选项表述错误． B、， 函数图象经过点，表述正确． C、， 函数图象在第一、三象限，表述正确． D、当时，． 第三象限内随的增大而减小， 当时，，表述正确． 【变式3-2】下列函数中，当时，变量随变量的增大而减小的是（） A． B． C．（） D． 【答案】A 【详解】解：A选项，，，当时，随的增大而减小，符合题意． B选项，，当时，随的增大而增大，不符合题意； C选项，时，，，当时，随的增大而增大，不符合题意； D选项，，，当时，随的增大而增大，不符合题意． 【变式3-3】关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．它的图象经过点 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，∴该函数是反比例函数，比例系数，故A正确，不符合题意； ∵，∴函数图象位于第二、第四象限，故B正确，不符合题意； 当时，图象在第二象限，随的增大而增大，故C正确，不符合题意； 将代入，得，故D错误，符合题意； 故答案为D． 【题型4 函数值与自变量大小比较、对称性】 【例4】已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质，先判断定值的符号，再结合两点纵坐标的符号推导横坐标的符号，即可比较大小． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，； ∴． 【变式4-1】已知反比例函数图象上有两个点和点，且满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数图象上点的特点得出，，即与同号，与同号，然后分情况讨论即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即与同号，与同号， 若、同号，∵， ∴，即，与已知矛盾， ∴、异号， ∴、异号， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】由点在双曲线上得，将两点代入直线方程推得，再结合逐一判断选项． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 【变式4-3】关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．该图象关于直线对称 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 根据反比例函数（）的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：反比例函数， 选项A、当时，，则点在图象上，A正确； 选项B、，则图象在第一、三象限，B正确； 选项C、当时，随的增大而减小，C错误； 选项D、若点在图象上，则，即，点也在图象上，则图象关于直线对称，D正确， 故选：C． 【题型5 k 的几何意义（面积与解析式互求）】 【例5】如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图像之间的关系，再根据正方形的中心与原点重合，可知图中四个小正方形全等，即反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 【详解】解：对于反比例函数与，由两函数的解析式可知，两函数的图像关于x轴对称， ∵正方形的中心与原点重合， ∴四个小正方形全等， ∴反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等， ∴阴影部分的面积. 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】过点D作轴于点E，根据k的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得 k，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 对角线轴， , 四边形是矩形， ， k， ∵菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，， ． 【变式5-2】如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式可得：，根据平行四边形的性质可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点 在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， ，， ， 点在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， ． 【变式5-3】反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（     ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由轴，可得，根据和反比例函数图象在第二象限，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 【题型6 求反比例函数解析式】 【例6】如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出反比例函数的解析式为，设的解析式为，由经过，得出的解析式为，设，由平行四边形的性质得，，根据平行四边形的面积可得，则，推出，最后代入直线求出，即可得出结果． 【详解】解：在反比例函数上， ， 解得， 反比例函数解析式为， 设直线表达式为， 将点坐标代入得， 解得， 直线表达式为， 设， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的面积是， ， ， ， ， ， 点在直线上， ， 解得（负值已舍去）， ， 故选：B． 【变式6-1】某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式为，从而可得反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，由此即可得出结果． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴在第二象限， ∴， ∵，， ∴，在第四象限， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点P．点A、点D分别在x轴和y轴的正半轴上，分别连接，若，且四边形的面积为4．则k的值为（     ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】过点P作 轴， 轴，可证四边形是正方形、 ，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的面积公式可以求出点P的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到k的值． 【详解】解：如下图所示，过点P作 轴， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵是第一象限的角平分线， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， 在   和   中， ， ， ， 的坐标为，代入反比例函数 的解析式， 得：， ∴． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点和点，轴于点，已知，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可以求出，从而求出点、、的坐标，根据点、、的坐标求出的面积． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点， ，， ， ， 解得：， ，， 点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示， 轴于点， 点的坐标是， ， ． 【题型7 反比例函数与几何综合】 【例7】如图，过原点的两条直线分别与、相交于A、B和C、D，若，则（     ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设点在上，故；直线过原点，设，代入得，解得，利用勾股定理求出，进而即可求出，代入计算得． 【详解】解：设点A的坐标为， 点A在双曲线上， ∴， 直线过坐标原点， 直线是正比例函数， 设其解析式为， 点A在直线上， ∴，即， 点B也在直线上， ∴． 将代入上式，得， ∴， ∴点B的横、纵坐标与点A的横、纵坐标对应成比例， ∴设点B的坐标为， 点B在上， ∴， 将代入上式得，， ∴， 同理，设点C的坐标为，则点D的坐标为，且， ∵，， ∴ ， 将，代入得，， ∴． 【变式7-1】如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 【变式7-2】如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（     ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】设，；根据轴可推出点B的纵坐标为，横坐标为，再由求解即可． 【详解】解：设， ∵E为的中点， ∴； ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴ ． 【变式7-3】如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：轴 点和点的纵坐标相同， ，即， ，，， ，， ， ，即， ， ． 【题型8 多函数图像辨析（一次、反比例、二次）】 【例8】在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除． 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意． 【变式8-1】反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，符合题意的是选项A； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，选项都不符合题意． 【变式8-2】二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口朝上确定的符号；抛物线与y轴的正半轴有一个交点可确定的符号；再根据抛物线的对称轴处在y轴的右侧，结合的符号，可以确定的符号，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线开口朝上， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴有一个交点， ∴， 根据抛物线的图象可知，抛物线的对称轴处在y轴的右侧， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵，，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，即D选项符合题意． 【变式8-3】在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】梳理函数图象与参数的对应关系，分情况讨论k的取值，综合分析确定正确选项． 【详解】解：①当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项的图象符合要求； ②当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，没有符合条件的选项； 综上，只有B选项符合要求． 【题型9 一次函数与反比例函数交点问题】 【例9】如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点坐标，观察图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象位于反比例函数图象上方部分位于点，之间， ∴当时，的取值范围是． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（     ） A．， B．， C．、同号 D．、异号 【答案】C 【分析】联立得：，再由直线与双曲线有交点，可得该方程有非零实数解，即可求解． 【详解】解：联立与，得：， ∵， ∴，即， ∵直线与双曲线有交点， ∴该方程有非零实数解， 又∵， ∴，即与同号． 【变式9-2】已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数图象确定,，确定对称轴在轴右侧,排除、；利用交点横坐标建立与的关系式，利用抛物线解析式确定与与轴交点纵坐标大于，从而排除，得出答案． 【详解】解：从图象看，一次函数自左到右下降，故, 反比例函数图象在第二、四象限，故， 二次函数对称轴为直线，在轴右侧, 故选项、不符合题意； 只限于双曲线交点横坐标是，这个点既在一次函数上，也在反比例函数上， 代入一次函数和反比例函数得 ：, 整理得：, 将代入二次函数得,故二次函数的图象过, 当时，, 故抛物线与轴交点纵坐标大于，从而选项不符合题意，选符合题意． 【变式9-3】若点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论错误的是（     ） A．函数值随x的增大而减小 B．点N的纵坐标为1 C．若将一次函数的图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象只有一个交点． D．当时， 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得M的坐标，求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可判断①；联立方程求得交点坐标即可判断②；求得直线向下平移后的解析式，然后联立方程求得交点坐标即可判断③；根据函数的图象结合交点坐标即可判断④． 【详解】解：把代入中，得， ∴， 把代入， 则， ∴， ∵，， ∴函数值在第一象限随x的增大而减小，故A正确，不符合题意； 联立方程组， 解得：或， ∴点N的纵坐标为1，故B正确，不符合题意； 若将一次函数的图象向下平移1个单位后，则平移后的函数解析式为：， 联立方程组， 解得：， 则平移后的一次函数与反比例函数图象只有一个交点，故C正确，不符合题意． ∵，， ∴如解图，根据图象可知当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴当时，，故D错误．符合题意． 【题型10 一次函数、反比例函数综合】 【例10】如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，如图，先求解为，直线为，直线为；再判断内部或边界上的整点有，，，，，，；从而可得答案； 【详解】解：如图，设直线为， ∵， ∴， ∴为， 同理可得：直线为， 直线为； ∴内部或边界上的整点有，，，，，，； ∴，，，， 故选C 【变式10-2】已知正比例函数，反比例函数，当时，函数的最大值为（    ）． A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据题意得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】当时，．即， 当且仅当，即时，等号成立 ． 故选：A． 【变式10-3】已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，根据解析式求得点，利用，即可解题． 【详解】解：反比例函数图象过点， ，即有， 将代入，有，解得， 将、，代入中， ，解得， 一次函数， 当时，解得，即， ， 故选：B． 【题型11 反比例函数应用题】 【例11】如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标． (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质． （1）当为的中点时，点的坐标为，由此代入求得函数解析式，把代入解析式即可求得坐标； （2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数、二次函数的性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴该函数的解析式为， 把代入， 得， ∴； （2）由题意知E，F两点坐标分别为，， ∴， ， 在边上，不与A，B重合，即， 解得， ∴当时，有最大值，． 【变式11-1】某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【答案】(1)①；② (2)125辆 【分析】（1）①由每天运送量和总量列出函数关系即可；②根据反比例函数的性质计算求值即可； （2）结合（1）由每天要运送的量计算求值即可； 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵函数在上递减， ∴当x=80时，函数值最小，此时， ∴y≥12500； （2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米， ∴至少需要卡车：12500÷100=125辆； 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键． 【变式11-2】某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式； （2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围． 【答案】（1）S＝；（2）0.1＜a≤0.17． 【分析】（1）利用路程＝总容积平均油耗，即可得出函数关系式； （2）分别得出往返需要的油量进而得出答案． 【详解】解：（1）汽车能够行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）之间的函数关系为：S＝； （2）去省城的耗油量＝200×0.1＝20（L）， 设返回时的平均油耗量为a L/km， ∵20+200a≤60﹣6，且a＞0.1， ∴0.1＜a≤0.17． 答：平均耗油量的范围是0.1＜a≤0.17． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 【变式11-3】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20；（2）能，见解析 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图象解决实际问题是中考的常考题型。 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．下列函数中，不是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反比例函数标准形式为（k为常数，），也可以写成的形式，逐个对照选项，判断式子能不能化成这个形式，是，属于正比例函数，因此它不是反比例函数． 【详解】解：A选项、B选项、D选项均为反比例函数； C选项是正比例函数，不是反比例函数，故选C． 2．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 【答案】C 【详解】解：要使函数有意义，需，即自变量的取值范围是的一切实数． 3．若点在反比例函数的图象上，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将与代入反比例函数解析式求解，再分析判断，即可解题． 【详解】解：当时，， 当时，，解得， 点在反比例函数的图象上， 点的坐标可能是． 4．反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把每个选项中的坐标分别代入函数解析式，分别验证即可． 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 5．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点坐标代入反比例函数一般式，求出比例系数k即可确定解析式. 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 点在函数图象上， 将，代入解析式，得， 解得， 这个函数的解析式为. 6．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若，，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合反比例函数增减性求的最小值，列不等式求解． 【详解】解：将代入，得 分两种情况讨论： ①当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而减小，且， ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向不变， 得， 解得，符合条件； ②当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而增大，且，， ∴，且当时，取得最小值，最小值为 要使，需，即， ∵， ∴，结合，得 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得， 解得，结合，得， 综上，的取值范围是或． 7．反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的增减性推出，进而求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 解得． 8．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 答案】D 【分析】设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 9．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴图象在第二、四象限内， ∵， ∴一次函数为， ∴图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：， 则， ∵， ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意． 10．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 11．若反比例函数图象的一支在第四象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】反比例函数比例系数小于0时，图象位于第二、四象限，根据图象一支在第四象限的条件列不等式求解即可. 【详解】解：∵ 反比例函数图象的一支在第四象限， ∴ ，解得 . 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【答案】 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 13．如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图象经过点D，则k的值为________． 【答案】 【分析】过点分别作轴、轴、的垂线，利用角平分线的性质证明垂线段相等，从而得出点横纵坐标绝对值相等；结合勾股定理求出长，利用全等三角形对应边相等建立关于点坐标参数的方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作轴于，轴于，交的延长线于， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ， 四边形是正方形， 点，， ，， 在中，， 设，则， 点在第二象限， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，且由图可知在下方（若在上方则，此时，由得无解）， ， ， 解得， ， 反比例函数的图象经过点， ． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）相交于点，，点在第一象限，过点作直线，分别交轴、双曲线于点、，且点为的中点，以为底边作等腰，连接，的面积为，则______． 【答案】6 【分析】设点坐标并利用中点公式表示点D，利用点D在双曲线上建立方程，表示出点D坐标，分析得出，运用坐标法表示出的面积，求出的值，进而得到k的值． 【详解】解：设点A的坐标为，因为点A在双曲线上，所以． 因为点A在第一象限，所以，． 点C在x轴上，设点C坐标为， 因为点D是线段的中点，根据中点坐标公式，点D的坐标为． 因为点D也在双曲线上，所以点D的横纵坐标之积等于k，即： ， 整理得：， 将代入上式，得： 解得：， 所以点C的坐标为，点D的坐标为． 由题意知，是以为底边的等腰三角形，所以， 反比例函数图象关于原点中心对称，直线也关于原点对称，所以点A和点B关于原点对称，即原点O是线段的中点，根据线段垂直平分线的性质，点E必在的垂 直平分线上，即直线， 又因为，所以． 因为，且O是的中点，根据平行线分线段成比例定理（或三角形中位线定理的推论），点E到直线的距离等于点O到直线的距离． 设点O到直线的距离为h，则的面积， 同时，的面积 所以，． 点A坐标为，点D坐标为， 利用坐标法计算的面积： 因为，且，所以， 解得， 因为，所以． 15．已知反比例函数的图象经过点，当时，取值范围是______． 【答案】 【分析】先代入已知点求出反比例系数，再根据反比例函数的增减性，结合的范围计算得到的取值范围． 【详解】解：把点代入， 可得：， 反比例函数的解析式为， ， 反比例函数的图象经过二、四象限， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ， ． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义，可得到反比例函数的解析式，即可求解； （2）直接观察函数函数图象，即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则，当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，且轴，的面积为4， ∴， ∴， 即反比例函数的解析式为， 把点和点代入得：， ∴； （2）解：由（1）得：点和点， 观察图象得：当或时，函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴中x的取值范围为或； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则， 当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． 17．如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面组数据： 重物质量 活塞到桶底的距离 (1)该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值加上后得到的数值与对应的距离数值成反比．请你根据数据求出________； (2)在上面组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标，的值作为该点的纵坐标，得到个点的坐标． ①将这个点的坐标填入下表； … … … … ②将这个点描在如图所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； ③给出所得曲线对应的函数表达式________； (3)要使活塞到筒底的距离不小于，求在托盘中放入重物的质量的取值范围． 【答案】(1)8 (2)① 2 3 4 6 24 16 12 8 ②反比例函数的图象如图所示； ③ (3) 【分析】（1）设，把代入得到，把代入即可得到结论； （2）①根据题意求得，的值即可得到结论；②根据题意画出反比例函数的图象即可； ③把，的对应值代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意得到关于的不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：设， 把代入得，， ， ， 把代入得，， ； （2）解：①略 ②略； ③设， 把代入得，， ， 所得曲线对应的函数表达式为； （3）解：当时，即， 解得， 重物的质量的取值范围为． 18．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式，并画出该函数图象的草图； (2)该函数图象上横坐标与纵坐标相同的点：______； (3)当时，y的取值范围：______； (4)当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，x的取值范围：______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据图象进行作答即可； （4）求出两个函数的交点坐标，图象法进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴； 画图略 （2）解：令，则，解得， ∴横坐标与纵坐标相同的点为； （3）解：当时，， ∴当时，； （4）解：令，解得， 由图象可知，当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，或. 19．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． (1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2) ， ； (3)满足不等式的x的取值范围是 ； (4)为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 【答案】(1)； (2)2；； (3)； (4)或． 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数的解析式求解出a的值即可； （2）先由勾股定理求得的长度，结合可得点B的坐标，然后根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求解； （3）根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围即可； （4）先求得的面积，从而得到的面积，然后根据三角形面积公式可求得的长度，即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴， 根据题意，把、代入一次函数，得 ， 解得， （3）解：根据图象可知，当的图象在的图象的上方时，此时， ∴满足不等式的x的取值范围是； （4）解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴的面积， ∵为x轴上一点，且的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴m的值为或． 20．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，双曲线的函数表达式为 (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，解得， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入，得， 点的坐标为，则， ∴ ， ． ∵ ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 60 页 第 1 页 共 60 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题8 反比例函数综合复习 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、反比例函数的概念 2 知识点二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 3 知识点三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 3 知识点四、反比例函数的图象与性质 3 知识点五、反比例系数k的几何意义 4 知识点六、反比例函数与一次函数综合 7 知识点七、用反比例函数解决实际问题的步骤 7 知识点八、反比例函数实际应用常考题型解题方法 8 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 8 【题型1 反比例函数定义与数量关系】 8 【题型2 函数值、自变量与参数求解】 9 【题型3 图像识别、象限、增减性】 9 【题型4 函数值与自变量大小比较、对称性】 10 【题型5 k 的几何意义（面积与解析式互求）】 10 【题型6 求反比例函数解析式】 12 【题型7 反比例函数与几何综合】 13 【题型8 多函数图像辨析（一次、反比例、二次）】 14 【题型9 一次函数与反比例函数交点问题】 15 【题型10 一次函数、反比例函数综合】 16 【题型11 反比例函数应用题】 17 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 20 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 27 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・・反比例函数的定义、解析式三种形式 ・反比例函数图象与性质：双曲线、象限分布、增减性 ・k 的几何意义（矩形、三角形面积） ・待定系数法求反比例函数解析式 ・反比例函数与一次函数交点问题 ・反比例函数比较函数值大小 ・反比例函数实际应用、几何综合 ・选择填空常考查 k 的几何意义、增减性比较大小 ・解答题以一次函数与反比例函数综合为主，包含求解析式、求交点、面积计算 ・多结合几何图形、动点、存在性设问拔高 ・注重数形结合，需要看图转化线段、坐标关系 考情解码： ・易错集中在：忽略每个象限内再谈增减性 ・k 几何意义分不清图形是三角形还是矩形，漏乘系数 ・比较函数值大小时不区分点是否在同一分支 ・联立函数求交点、算面积容易坐标代错 ・综合性强，是中考函数板块重点考查内容 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、反比例函数的概念 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 在中，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x和y的乘积。若k=0，则=0恒成立，失去了x，y成反比的意义，所以是定义的一部分。 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 特别提醒：形如，，的函数不是反比例函数。 知识点二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数（(k为常数，k≠0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 知识点三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 知识点四、反比例函数的图象与性质 性质 表达式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大 对称性 中心对称:反比例函数的图象关于原点成中心对称,如双曲线一支上的点A(a,b)关于原点的对称点A(-a,-b)在双曲线的另一支上 轴对称:反比例函数的图象关于直线y=x或y=-x 成轴对称 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 注意： (1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较. (2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可. (3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称. 知识点五、反比例系数k的几何意义 当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补法进行求解. （一）一点一垂线 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= （二）一点两垂线 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= （三）两点一垂线 结论：S△ABC =2S△ABO = 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC =co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC =co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) （四）两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| （五）两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） （六）两曲一平行 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 知识点六、反比例函数与一次函数综合 1.自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 知识点七、用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点八、反比例函数实际应用常考题型解题方法 1.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 2.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 3.利用反比例函数解决实际问题，要做到： （1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； （2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； （3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 反比例函数定义与数量关系】 【例1】关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【变式1-1】已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 【变式1-2】下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【变式1-3】下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【题型2 函数值、自变量与参数求解】 【例2】若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-3】已知，点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3 图像识别、象限、增减性】 【例3】函数的图像如图所示，则在该坐标系中，函数的大致图像是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 【变式3-2】下列函数中，当时，变量随变量的增大而减小的是（） A． B． C．（） D． 【变式3-3】关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．它的图象经过点 【题型4 函数值与自变量大小比较、对称性】 【例4】已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知反比例函数图象上有两个点和点，且满足，，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【变式4-3】关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．该图象关于直线对称 【题型5 k 的几何意义（面积与解析式互求）】 【例5】如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 【变式5-2】如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（     ） A．10 B． C． D． 【题型6 求反比例函数解析式】 【例6】如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点P．点A、点D分别在x轴和y轴的正半轴上，分别连接，若，且四边形的面积为4．则k的值为（     ） A．2 B． C．4 D．8 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点和点，轴于点，已知，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型7 反比例函数与几何综合】 【例7】如图，过原点的两条直线分别与、相交于A、B和C、D，若，则（     ） A．6 B．4 C． D． 【变式7-1】如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【变式7-2】如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（     ） A．5 B．6 C． D．4 【变式7-3】如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【题型8 多函数图像辨析（一次、反比例、二次）】 【例8】在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【题型9 一次函数与反比例函数交点问题】 【例9】如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（     ） A．， B．， C．、同号 D．、异号 【变式9-2】已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】若点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论错误的是（     ） A．函数值随x的增大而减小 B．点N的纵坐标为1 C．若将一次函数的图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象只有一个交点． D．当时， 【题型10 一次函数、反比例函数综合】 【例10】如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式10-2】已知正比例函数，反比例函数，当时，函数的最大值为（    ）． A．12 B．18 C．24 D．27 【变式10-3】已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型11 反比例函数应用题】 【例11】如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标． (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【变式11-1】某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【变式11-2】某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式； （2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围． 【变式11-3】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．下列函数中，不是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 3．若点在反比例函数的图象上，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 4．反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 5．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若，，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 7．反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 9．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 10．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 11．若反比例函数图象的一支在第四象限，则k的取值范围是______． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 13．如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图象经过点D，则k的值为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）相交于点，，点在第一象限，过点作直线，分别交轴、双曲线于点、，且点为的中点，以为底边作等腰，连接，的面积为，则______． 15．已知反比例函数的图象经过点，当时，取值范围是______． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 17．如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面组数据： 重物质量 活塞到桶底的距离 (1)该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值加上后得到的数值与对应的距离数值成反比．请你根据数据求出________； (2)在上面组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标，的值作为该点的纵坐标，得到个点的坐标． ①将这个点的坐标填入下表； … … … … ②将这个点描在如图所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； ③给出所得曲线对应的函数表达式________； (3)要使活塞到筒底的距离不小于，求在托盘中放入重物的质量的取值范围． 18．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式，并画出该函数图象的草图； (2)该函数图象上横坐标与纵坐标相同的点：______； (3)当时，y的取值范围：______； (4)当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，x的取值范围：______． 19．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． (1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2) ， ； (3)满足不等式的x的取值范围是 ； (4)为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 60 页 第 1 页 共 60 页 学科网（北京）股份有限公司 $