专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（一元二次方程+二次函数+反比例函数）·2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （一元二次方程+二次函数+反比例函数）·2026人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握一元二次方程的概念、解法与判别方法，能熟练求解各类方程 · 理解二次函数的图象与性质，能根据解析式判断开口方向、对称轴与顶点坐标 · 掌握反比例函数的图象与性质，能结合k值判断图象分布与增减性 · 能运用函数与方程思想解决实际问题，建立数学模型求解 · 提高综合运用代数与函数知识解决跨章节综合题的能力 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程 定义：只含一个未知数，最高次数为2的整式方程，一般形式ax²+bx+c=0(a≠0) 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程特点灵活选用 判别式Δ=b²-4ac：Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根 根与系数关系（韦达定理）：x₁+x₂=-，x₁x₂= 概念辨析例题：判别方程x²-4x+4=0的根的情况，并求两根之和与两根之积 答案：Δ=16-16=0，有两个相等实根；x₁+x₂=4，x₁x₂=4 解析：Δ=b²-4ac=16-16=0，故有两个相等实根；由韦达定理，x₁+x₂=-=4，x₁x₂==4 ☆ 2.二次函数 定义：形如y=ax²+bx+c(a≠0)的函数，图象是抛物线 顶点式y=a(x-h)²+k：顶点(h,k)，对称轴x=h，a决定开口方向与大小 性质：a>0开口向上有最小值，a<0开口向下有最大值 与一元二次方程关系：抛物线与x轴交点的横坐标即方程ax²+bx+c=0的根 概念辨析例题：求抛物线y=x²-4x+3的顶点坐标、对称轴及与x轴交点 答案：顶点(2,-1)，对称轴x=2，与x轴交点(1,0)和(3,0) 解析：配方得y=(x-2)²-1，故顶点(2,-1)，对称轴x=2；令y=0解得x=1或3 ☆ 3.反比例函数 定义：形如y=(k≠0)的函数，图象是双曲线 k的几何意义：过双曲线上任一点作坐标轴垂线，矩形面积为|k| 性质：k>0时图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小 对称性：图象关于原点中心对称，关于直线y=±x轴对称 概念辨析例题：已知反比例函数y=，求当x=2时的函数值，并判断其图象所在象限 答案：y=3，图象在第一、三象限 解析：代入x=2得y==3；因k=6>0，故图象位于第一、三象限 ☆ 4.函数综合应用 实际问题与二次函数：利润最大、面积最大、运动轨迹等建模 实际问题与反比例函数：压强、密度、速度与时间等关系 函数与方程综合：利用图象交点求方程近似解 几何与函数综合：结合相似、勾股定理求解坐标与面积 概念辨析例题：某商品进价40元，售价60元时每周卖300件，每降价1元多卖20件，求利润最大时的售价 答案：售价57.5元时利润最大 解析：设降价x元，利润W=(60-x-40)(300+20x)=-20x²+100x+6000，当x=2.5时W最大，此时售价57.5元 📋 知识总结表 函数类型 一般形式 图象与性质 一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) Δ=b²-4ac判别根的情况 二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0) 抛物线，a决定开口方向 反比例函数 y=(k≠0) 双曲线，k决定象限分布 韦达定理 x₁+x₂=- x₁x₂= 顶点式 y=a(x-h)²+k 顶点(h,k)，对称轴x=h ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念、解法与应用（第1-26题） · 根据方程特点选择最优解法：缺常数项用因式分解，缺一次项用直接开平方 · 判别式应用：先算Δ再判断根的情况，含参问题注意a≠0 · 应用题步骤：设未知数→列方程→解方程→检验合理性 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）设方程的两个根为，，那么的值等于（    ） A．－2 B．1 C．－1 D．2 2．（2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）方程的根是（   ） A． B． C． D．或 6．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C． D． 7．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 8．（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 10．（2025九年级上·全国·专题练习）在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为，则得到关于x的方程的一般形式是________，________．（，结果精确到0.1） 12．（2025·河北唐山·二模）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则_______． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 15．（2026·广东深圳·二模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为______． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 17．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）在确定一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算结果如表： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的十分位上的数字是_______． 19．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则______． 20．（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）在下列各小题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根？ (1)； (2)； (3)． 22．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程的两个实数根分别为．若，求实数k的值． 23．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）先化简，再求值：，其中是方程的根． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为的矩形自行车棚．一边利用图书馆的后墙（墙长足够长），并利用已有总长为的铁围栏．请你设计，如何搭建较合适？ 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【考点2】二次函数的图象、性质与应用（第27-51题） · 配方法化顶点式：y=ax²+bx+c→y=a(x+)²+ · a、b、c符号判断：a看开口，b看对称轴位置，c看与y轴交点 · 最值问题：结合自变量取值范围，注意顶点是否在范围内 27．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 28．（25-26九年级上·陕西安康·期末）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 30．（23-24九年级上·广东河源·阶段检测）下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线下列说法正确的有（     ） ①开口向上；②顶点坐标为；③对称轴为直线；④与x轴的交点坐标为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 33．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，若某抛物线形沙丘满足的函数表达式为，则最低点到最高点O的垂直高度为______． 34．（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 35．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 36．（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）将抛物线向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为______________． 37．（25-26九年级上·山东临沂·期中）将抛物线向左平移个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为________． 38．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 39．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 40．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象与坐标轴的交点坐标． (2)当时，直接写出的取值范围． 41．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 42．（25-26九年级上·陕西延安·期中）已知二次函数，求二次函数图象与轴交点的坐标． 43．（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 44．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 45．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … (1)求二次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集． 46．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数 的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 47．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)写出此函数的开口方向、对称轴． 48．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 49．（2024·北京西城·二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 50．（25-26九年级上·吉林长春·期末）一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 51．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某商品的进价为每件40元，市场调查反映：商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．商场决定在不亏本的前提下降价销售． (1)若每件商品降价元销售，直接写出该商品每星期的销售利润（单位：元）与之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围； (2)若每星期的销售利润为5720元，求该商品的实际售价； (3)如何定价才能使销售利润最大？ 【考点3】反比例函数的图象、性质与应用（第52-60题） · k的几何意义：S=|k|，常与面积问题结合考查 · 图象对称性：关于原点对称，关于y=±x对称 · 增减性注意：必须强调「在每个象限内」，不能笼统说y随x增大而减小 52．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）下表中和两个量成反比例关系，则的值是（    ） x a y 2 A． B． C． D． 53．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 54．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 55．（23-24九年级上·河北邢台·阶段检测）观察下列函数：①；②；③. 我们发现：它们都具有分式的形式，分子是非零常数，分母不为0. 一般地，形如________的函数，叫做反比例函数，其中______称为比例系数，自变量x的取值范围是______．反比例函数还可以写成或（k为常数，）的形式． 56．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图， 在平面直角坐标系中， 点为第一象限内一点， 连接，，过点作轴于点，，反比例函数的图象经过的中点， 且与交于点． 则线段的长为______． 57．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度是_____． 58．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某长方体游泳池的体积V是，用恰当的函数表达式来表示底面积与该游泳池的高度之间的关系，指出它是什么函数，并写出这个函数的比例系数及当时S的值． 59．（24-25八年级下·浙江温州·期末）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 60．（040课时5用反比例函数解决问题（1）八年级数学下册苏教版）一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足． (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围； (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？ a 2 3 4 t 10 5 💯 课后巩固 复习建议 · 熟练掌握一元二次方程四种解法，根据方程特点灵活选用 · 理解二次函数a、b、c的几何意义，能由图象判断系数符号 · 牢记反比例函数k的几何意义，结合图象解决面积问题 · 重视实际问题建模，掌握利润、面积、运动等常见题型 · 加强跨章节综合训练，提高函数与方程、几何的综合运用能力 【作业1】．（2024九年级·全国·竞赛）下列各问题中的两个变量成反比例关系的是（　　） A．圆的面积与其周长的关系 B．王同学完成赛跑时，所用时间与他的平均速度的关系 C．一根弹簧原长，在其弹性范围内所挂物体的质量与弹簧拉伸的长度的关系 D．一个容器的容积是，该容器盛满溶液时溶液的质量与其密度的关系 【作业2】．（2026·吉林·一模）根据欧姆定律可知，当电压为定值时，电流与电阻成反比例．当时，电流为（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法不正确的是（    ） A．若图中矩形的面积为2，则 B．，y随x的增大而减小 C．图象也经过点 D．当时， 【作业4】．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【作业5】．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线的对称轴是____________轴． 【作业6】．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 【作业7】．（2025·吉林·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【作业8】．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【作业9】．（25-26九年级上·全国·周测）对于函数，当___________时，是的反比例函数；当比例系数为3时，的值为_____． 【作业10】．（25-26七年级上·全国·课后作业）王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 【作业11】．（23-24八年级下·全国·期末）合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是______． 【作业12】．（2026·山西朔州·模拟预测）已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【作业13】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则__________． 【作业14】．（2025·河南漯河·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 【作业15】．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）日渐强大的祖国给了我们安静样和的学习环境．我国某集团军在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．10秒 B．25秒 C．50秒 D．100秒 【作业16】．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 【作业17】．（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【作业18】．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 【作业19】．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 【作业20】．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，某人对地面的压强p（单位：）与这个人和地面接触面积S（单位：）满足反比例函数关系． (1)图象上点A坐标为，求函数解析式； (2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？ (3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？ 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （一元二次方程+二次函数+反比例函数）·2026人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握一元二次方程的概念、解法与判别方法，能熟练求解各类方程 · 理解二次函数的图象与性质，能根据解析式判断开口方向、对称轴与顶点坐标 · 掌握反比例函数的图象与性质，能结合k值判断图象分布与增减性 · 能运用函数与方程思想解决实际问题，建立数学模型求解 · 提高综合运用代数与函数知识解决跨章节综合题的能力 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程 定义：只含一个未知数，最高次数为2的整式方程，一般形式ax²+bx+c=0(a≠0) 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程特点灵活选用 判别式Δ=b²-4ac：Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根 根与系数关系（韦达定理）：x₁+x₂=-，x₁x₂= 概念辨析例题：判别方程x²-4x+4=0的根的情况，并求两根之和与两根之积 答案：Δ=16-16=0，有两个相等实根；x₁+x₂=4，x₁x₂=4 解析：Δ=b²-4ac=16-16=0，故有两个相等实根；由韦达定理，x₁+x₂=-=4，x₁x₂==4 ☆ 2.二次函数 定义：形如y=ax²+bx+c(a≠0)的函数，图象是抛物线 顶点式y=a(x-h)²+k：顶点(h,k)，对称轴x=h，a决定开口方向与大小 性质：a>0开口向上有最小值，a<0开口向下有最大值 与一元二次方程关系：抛物线与x轴交点的横坐标即方程ax²+bx+c=0的根 概念辨析例题：求抛物线y=x²-4x+3的顶点坐标、对称轴及与x轴交点 答案：顶点(2,-1)，对称轴x=2，与x轴交点(1,0)和(3,0) 解析：配方得y=(x-2)²-1，故顶点(2,-1)，对称轴x=2；令y=0解得x=1或3 ☆ 3.反比例函数 定义：形如y=(k≠0)的函数，图象是双曲线 k的几何意义：过双曲线上任一点作坐标轴垂线，矩形面积为|k| 性质：k>0时图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小 对称性：图象关于原点中心对称，关于直线y=±x轴对称 概念辨析例题：已知反比例函数y=，求当x=2时的函数值，并判断其图象所在象限 答案：y=3，图象在第一、三象限 解析：代入x=2得y==3；因k=6>0，故图象位于第一、三象限 ☆ 4.函数综合应用 实际问题与二次函数：利润最大、面积最大、运动轨迹等建模 实际问题与反比例函数：压强、密度、速度与时间等关系 函数与方程综合：利用图象交点求方程近似解 几何与函数综合：结合相似、勾股定理求解坐标与面积 概念辨析例题：某商品进价40元，售价60元时每周卖300件，每降价1元多卖20件，求利润最大时的售价 答案：售价57.5元时利润最大 解析：设降价x元，利润W=(60-x-40)(300+20x)=-20x²+100x+6000，当x=2.5时W最大，此时售价57.5元 📋 知识总结表 函数类型 一般形式 图象与性质 一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) Δ=b²-4ac判别根的情况 二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0) 抛物线，a决定开口方向 反比例函数 y=(k≠0) 双曲线，k决定象限分布 韦达定理 x₁+x₂=- x₁x₂= 顶点式 y=a(x-h)²+k 顶点(h,k)，对称轴x=h ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念、解法与应用（第1-26题） · 根据方程特点选择最优解法：缺常数项用因式分解，缺一次项用直接开平方 · 判别式应用：先算Δ再判断根的情况，含参问题注意a≠0 · 应用题步骤：设未知数→列方程→解方程→检验合理性 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）设方程的两个根为，，那么的值等于（    ） A．－2 B．1 C．－1 D．2 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题主要考查一元二次方程的根与系数关系，直接根据一元二次方程的根与系数关系：即可求解. 【详解】解：∵方程的两个根为，. ∴. 故选：C. 2．（2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】计算方程的判别式，解答即可； 【详解】解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵任何实数的平方都是非负数，即，而， ∴该一元二次方程无实数根． 故选C． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）方程的根是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解是解题的关键，根据题意，移项，再提取公因式即可求解． 【详解】解： 移项得， 提取公因式得，，整理得，， 解得，，， 故选：D ． 6．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据单循环赛规则，每组x个球队的比赛总场数为，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵每组有个球队，单循环赛每两队之间赛一场， ∴总比赛场数为， 又∵每组安排28场比赛， ∴可列方程． 故选：D． 7．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 8．（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、解一元二次方程——配方法 【分析】先由新定义将转化为方程，再由配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由新定义可知， ， 则， ， 则或， 解得或． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为，则得到关于x的方程的一般形式是________，________．（，结果精确到0.1） 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、黄金分割 【分析】本题考查了一元二次方程、黄金分割，熟记黄金分割的定义是解题的关键，本题也可以利用黄金分割公式直接求解，但一定要记准公式．根据黄金分割点的定义，线段是线段的比例中项，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， 即， 整理得， 则， ∴， ∴（舍去）， 所以， 故答案为：；． 12．（2025·河北唐山·二模）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则_______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，根据题意列方程，即可解答，熟知题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 【答案】 2 【知识点】化成一元二次方程的一般式、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【答案】10 【知识点】求一个数的绝对值、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】根据新定义运算规则列出关于的方程，解方程后计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据定义可得， 整理可得：， ∴， ∴． 15．（2026·广东深圳·二模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为______． 【答案】3 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得， 整理得， 解得． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将代入方程，结合可得，化简即可得出答案． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）在确定一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算结果如表： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的十分位上的数字是_______． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】方程的解对应代数式的值为时的取值，根据表格中代数式值的符号变化，确定的取值范围，即可得到十分位数字． 【详解】解：当时，， 当时，， 使的的取值范围是， 这个近似解的十分位上的数字是． 19．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则______． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了方程的解，一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；由方程解得、是方程的根，结合一元二次方程根与系数的关系即可求解；能将看作、是一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解： ，， 、是方程的根， ， ， ； 故答案为：． 20．（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性得到，据此可证明结论． 【详解】略 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）在下列各小题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【详解】（1）解：把代入得： 左边右边， ∴不是方程的根； 把代入得： 左边右边， ∴是方程的根； 把代入得： 左边右边， ∴是方程的根； 综上，，是方程的根； （2）解：把代入得： 右边， ∴不是方程的根； 把代入得： 右边， ∴是方程的根； 把代入得： 右边， ∴是方程的根； 综上，，是方程的根； （3）解：把代入得： 右边， ∴不是方程的根； 把代入得： 右边， ∴是方程的根； 把代入得： 右边， ∴是方程的根； 综上，，是原方程的根． 22．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程的两个实数根分别为．若，求实数k的值． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系. 利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积，将其代入所给的条件中求出k的值. 【详解】解：由得，. . ． 当时， 方程为，其根的判别式， 方程有两个不相等的实数根，符合题意。 23．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】；3 【知识点】分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的根，分式的化简求值，先计算括号内的分式加减法，再计算分式的除法，得到化简结果，再把方程变形后整体代入即可求出计算结果． 【详解】解：原式 ． ∵是方程的根， ∴， ． 原式． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为的矩形自行车棚．一边利用图书馆的后墙（墙长足够长），并利用已有总长为的铁围栏．请你设计，如何搭建较合适？ 【答案】 共有两种搭建方案： （1）垂直于图书馆后墙的边长为，平行于后墙的边长为 （2）垂直于图书馆后墙的边长为，平行于后墙的边长为 【知识点】根据矩形的性质求面积、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】以矩形面积为等量关系，设垂直于墙的边长为未知数，列一元二次方程求解，即可. 【详解】解：设垂直于图书馆后墙的一边长为，则平行于后墙的一边长为， 由题意得， 解得，； 当时，； 当时，； ∵两种结果的边长均为正数，符合实际要求； ∴两种方案均可行； 答：垂直于墙的边长为、平行于墙的边长为，或垂直于墙的边长为、平行于墙的边长为进行搭建. 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】(1)应该邀请支球队参加比赛 (2)有支球队参加比赛 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛， ∴ 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）解：设有支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行场比赛， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 答：有支球队参加比赛． 【考点2】二次函数的图象、性质与应用（第27-51题） · 配方法化顶点式：y=ax²+bx+c→y=a(x+)²+ · a、b、c符号判断：a看开口，b看对称轴位置，c看与y轴交点 · 最值问题：结合自变量取值范围，注意顶点是否在范围内 27．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【详解】解：二次函数的一次项为，其系数为5． 故选：B． 28．（25-26九年级上·陕西安康·期末）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，的对称轴是直线． 根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，可得答案． 【详解】解：∵抛物线为的形式， 其中，，， ∴对称轴为直线， 故选C． 29．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 综上，只有选项C错误. 30．（23-24九年级上·广东河源·阶段检测）下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识点是解题的关键； 一般地，形如(其中)的函数是二次函数，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. 是一次函数，故本选项不符合题意； B. 展开后为，是二次函数，故本选项符合题意； C. ，未明确，若则不是二次函数，故本选项不符合题意； D. 是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线下列说法正确的有（     ） ①开口向上；②顶点坐标为；③对称轴为直线；④与x轴的交点坐标为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据抛物线解析式为顶点式，可直接得到开口方向、顶点坐标、对称轴，再令求与轴的交点，逐一验证各说法． 【详解】解：对于抛物线，∵， ∴抛物线开口向上，①正确．抛物线顶点坐标为，②错误． 抛物线对称轴为直线，③正确． 令，得， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为，④正确． 综上，正确的说法共3个． 32．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 33．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，若某抛物线形沙丘满足的函数表达式为，则最低点到最高点O的垂直高度为______． 【答案】144 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据函数表达式求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：当时，， 则最低点， 那么最低点到最高点O的垂直高度为144， 故答案为：144． 34．（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】 向下 直线 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【详解】解：抛物线解析式为， ， 开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 35．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【知识点】求自变量的值或函数值、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 36．（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）将抛物线向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为______________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 根据二次函数图象的平移规律即可直接得出答案． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为： ， 故答案为：． 37．（25-26九年级上·山东临沂·期中）将抛物线向左平移个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，根据抛物线的平移规律：左加右减，得出新抛物线解析式为，即可求解． 【详解】解：平移后的抛物线解析式为， 新抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 38．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 39．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 40．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象与坐标轴的交点坐标． (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)与轴的交点坐标为，与轴的交点为， (2)或 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及根据交点确定不等式的解集，熟记相关知识及求解方法即可； （1）分别令、即可求解； （2）根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解； 【详解】（1）解：∴令，则； ∴与轴的交点坐标为， 令，解得：，， 与轴的交点为，． （2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，． ∴当时，的取值范围是或． 41．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：点不在抛物线上，理由如下： 将代入 得 ∵ ∴点不在抛物线上． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，代入已知点坐标求解参数； （2）代入点的横坐标计算函数值，与点的纵坐标对比判断． 【详解】（1） 解： ∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 ∴ 这个二次函数的解析式为； （2）略 42．（25-26九年级上·陕西延安·期中）已知二次函数，求二次函数图象与轴交点的坐标． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，令，求出一元二次方程的解，即可得出结果． 【详解】解：令，则， 即， 解得； ∴二次函数图象与轴交点的坐标为． 43．（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)抛物线解析式为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再把代入，进行求解出，即可作答． （2）理解题意，此抛物线的解析式为，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线都经过点， ∴， 把代入， 得， ∴， （2）解：依题意，设此抛物线的解析式为， 由（1）得， ∵抛物线恰好经过点， ∴抛物线恰好经过点， ∴， 解得． ∴． 44．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可得点的坐标，然后代入得出点的坐标，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． 45．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … (1)求二次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式等知识点，看懂图表是解题的关键． （1）将表中数据代入建立方程组求解即可； （2）根据二次函数的对称性找到二次函数与x轴的另一交点，再结合图象即可． 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， ； （2）不等式的解集为． 由图表可知：当时，；当时，；且抛物线开口向上， 不等式的解集为． 46．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数 的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 【答案】 点不在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． 【知识点】y=ax²的图象和性质、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据二次函数的性质可得顶点坐标；将点坐标代入二次函数解析式即可判断点在二次函数图象上；根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可求得和的坐标，分别代入二次函数解析式即可判断是否在二次函数图象上． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 当时，， 点在二次函数的图象上． 点为点关于轴的对称点，点为点关于轴的对称点， 点的坐标为，点的坐标为． 当时，， 点不在二次函数的图象上， 当时，， 点在二次函数的图象上． 【点睛】 47．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)写出此函数的开口方向、对称轴． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为y轴 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质： （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数函数解析式的知识进行分析即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， （2）解：由（1）得：二次函数的解析式为， ∵， ∴此函数的开口向上，对称轴为y轴． 48．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 【答案】(1)，直线 (2)所画函数图象如图所示 (3) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． （3）解：当时，由图象可得：． 49．（2024·北京西城·二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润（售价进价）销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 50．（25-26九年级上·吉林长春·期末）一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 【答案】(1) (2) 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． 【详解】（1）解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； （2）解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 51．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某商品的进价为每件40元，市场调查反映：商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．商场决定在不亏本的前提下降价销售． (1)若每件商品降价元销售，直接写出该商品每星期的销售利润（单位：元）与之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围； (2)若每星期的销售利润为5720元，求该商品的实际售价； (3)如何定价才能使销售利润最大？ 【答案】(1) (2)53元 (3)定价为每件57.5元时销售利润最大 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，， 由题意，，即； （2）解：当时， 解得或（舍去）， （元）， 答：该商品的实际售价为元； （3）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，即实际售价为元时，利润最大． 答：定价为每件57.5元时销售利润最大． 【考点3】反比例函数的图象、性质与应用（第52-60题） · k的几何意义：S=|k|，常与面积问题结合考查 · 图象对称性：关于原点对称，关于y=±x对称 · 增减性注意：必须强调「在每个象限内」，不能笼统说y随x增大而减小 52．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）下表中和两个量成反比例关系，则的值是（    ） x a y 2 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数的运算，熟练掌握反比例函数式子是解题的关键． 反比例关系中，与的乘积为常数，利用已知数据求，再求即可． 【详解】∵与成反比例， ∴， 当，时，， 当时，， ∴，即， 故选：B． 53．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，掌握所有在反比例函数图像上的点的纵横坐标的积，应等于比例系数是解答本题的关键． 将选项中点的纵横坐标相乘，结果是比例系数的，就在双曲线的图象上． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 将选项中点的纵横坐标相乘： A选项，符合题意； B选项，不符合题意； C选项，不符合题意； D选项，不符合题意， 故选A． 54．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 55．（23-24九年级上·河北邢台·阶段检测）观察下列函数：①；②；③. 我们发现：它们都具有分式的形式，分子是非零常数，分母不为0. 一般地，形如________的函数，叫做反比例函数，其中______称为比例系数，自变量x的取值范围是______．反比例函数还可以写成或（k为常数，）的形式． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的概念可直接得出答案． 【详解】解：一般地，形如的函数，叫做反比例函数，其中称为比例系数，自变量x的取值范围是． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了反比例函数的概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 56．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图， 在平面直角坐标系中， 点为第一象限内一点， 连接，，过点作轴于点，，反比例函数的图象经过的中点， 且与交于点． 则线段的长为______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、由反比例函数值求自变量、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据勾股定理得，可得点的坐标，继而确定的值，即可得解．求得点的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：∵轴，，， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点是的中点， ∴点C的坐标为， ∵点和点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴ ∴， ∴线段的长为． 故答案为：． 57．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度是_____． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入表达式中得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴当时，气体的密度是， 故答案为：． 58．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某长方体游泳池的体积V是，用恰当的函数表达式来表示底面积与该游泳池的高度之间的关系，指出它是什么函数，并写出这个函数的比例系数及当时S的值． 【答案】函数表达式为，是h的反比例函数，这个函数的比例系数是360，当时， 【知识点】用关系式表示变量间的关系、根据定义判断是否是反比例函数、求反比例函数值 【分析】由题意得到，即可得到比例系数，再将代入求解即可． 【详解】解：由题意，得（定值）， ∴ 是h的反比例函数，比例系数是360， 当时，． 59．（24-25八年级下·浙江温州·期末）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 【答案】任务1：是的反比例函数，函数表达式为；任务2：198秒 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 任务1：利用待定系数法求出反比例函数解析式； 任务2：将和60分别代入解析式计算求解即可． 【详解】解：任务1：由图象知是的反比例函数， 设，把代入，得 该函数表达式为； 任务2：当时，；而当时，， （秒）． 机器狗完成任务所用的最短时间为198秒． 60．（040课时5用反比例函数解决问题（1）八年级数学下册苏教版）一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足． (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围； (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？ 【答案】(1) ；a的取值范围为； (2) 画出函数图象，如下： (3) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键． （1）按照等量关系“一洼地存的雨水量排完需要的时间每分的排水量”列出函数关系，并由排水时间求得a的取值范围； （2）根据自变量的取值范围结合反比例函数的图象直接画出即可； （3）由（1）求得的函数关系式，代入，解得t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴a的取值范围为； （2）解：根据题意，列表如下： a 2 3 4 t 10 5 （3）解：当时，， 即排水时间需要． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟练掌握一元二次方程四种解法，根据方程特点灵活选用 · 理解二次函数a、b、c的几何意义，能由图象判断系数符号 · 牢记反比例函数k的几何意义，结合图象解决面积问题 · 重视实际问题建模，掌握利润、面积、运动等常见题型 · 加强跨章节综合训练，提高函数与方程、几何的综合运用能力 【作业1】．（2024九年级·全国·竞赛）下列各问题中的两个变量成反比例关系的是（　　） A．圆的面积与其周长的关系 B．王同学完成赛跑时，所用时间与他的平均速度的关系 C．一根弹簧原长，在其弹性范围内所挂物体的质量与弹簧拉伸的长度的关系 D．一个容器的容积是，该容器盛满溶液时溶液的质量与其密度的关系 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据形如的形式的函数叫反比例函数逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，不是反比例关系，故A不符合题意， ，即，是反比例函数关系，故B符合题意， ，即，不是反比例关系，故C不符合题意， ，不是反比例关系，故D不符合题意， 故选：B． 【作业2】．（2026·吉林·一模）根据欧姆定律可知，当电压为定值时，电流与电阻成反比例．当时，电流为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【详解】解：∵， ∴时，． 【作业3】．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法不正确的是（    ） A．若图中矩形的面积为2，则 B．，y随x的增大而减小 C．图象也经过点 D．当时， 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、已知反比例函数的图象，判断其解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，反比例函数的系数k的几何意义． 根据反比例函数的系数k的几何意义判定A；根据反比例函数的图象性质可判定B、D；根据反比例函数图象上点的坐标特征可判定C． 【详解】解：A、∵图中矩形的面积为2，∴，故此选项正确，不符合题意； B、由图象可得：当时，y随x的增大而减小，故此正确，不符合题意； C、反比例函数的解析式为，把代入求得，图象也经过点，故此选项正确，不符合题意； D、由图象可得：当时，，故此错误，符合题意； 故选：D． 【作业4】．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 【作业5】．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线的对称轴是____________轴． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为： 【作业6】．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键，根据反比例函数（是常数）的图象在第二、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， 的取值范围是． 【作业7】．（2025·吉林·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】/ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解不等式得， 即的取值范围是． 【作业8】．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 【作业9】．（25-26九年级上·全国·周测）对于函数，当___________时，是的反比例函数；当比例系数为3时，的值为_____． 【答案】 7 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，明确一般式的比例系数为k. 根据反比例函数的定义解答即可，即根据反比例函数比例系数不为零，和比例系数为3分别求解即可. 【详解】解：,要使其为反比例函数，则， 解得 比例系数为3， 解得： 故答案为：①；② ． 【作业10】．（25-26七年级上·全国·课后作业）王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．正确求出反比例函数解析式是解题关键． 根据糖果的总数不变来列式． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 【作业11】．（23-24八年级下·全国·期末）合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据速度时间路程，即可得到结论，正确理解路程、速度、时间三者之间的关系对解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为． 【作业12】．（2026·山西朔州·模拟预测）已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 【作业13】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则__________． 【答案】4 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征解决此题． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：4． 【作业14】．（2025·河南漯河·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．即可列不等式，计算即可得答案， 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 且， 故答案为：且． 【作业15】．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）日渐强大的祖国给了我们安静样和的学习环境．我国某集团军在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．10秒 B．25秒 C．50秒 D．100秒 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，正确代入数据进行计算是解题关键． 令，代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：令， 则， 解得：，， 一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为50秒， 故选：C． 【作业16】．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，全等三角形的判定和性质，证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或6， 即点A、B的坐标分别为：、， ∴， 设点P的横坐标为：m， 分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， 则与的面积之和， 即与的面积之和始终不变，面积为32． 故选：C． 【作业17】．（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 【作业18】．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质， 根据抛物线的对称性求得，根据平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，轴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A的坐标为， ∴， 设抛物线为， 代入D的坐标得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 【作业19】．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 【答案】(1)； (2)清理完这条河道一共需要6天． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， ∴所求函数解析式为； （2）解：当时，， ∴， 答：清理完这条河道一共需要6天． 【作业20】．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，某人对地面的压强p（单位：）与这个人和地面接触面积S（单位：）满足反比例函数关系． (1)图象上点A坐标为，求函数解析式； (2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？ (3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？ 【答案】(1)函数解析式为 (2) (3)此人应站立在面积至少大的木板上才不至于下陷 【知识点】由反比例函数值求自变量、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，反比例函数与实际问题，能够通过函数图象判断函数类别以及正确求解函数解析式是解题的关键． （1）由图象可知压强与接触的受力面积成反比，故可得到对应的反比例函数，再将点代入解析式即可求得反比例函数的解析式，由反比例函数的解析式可分析得到人的体重． （2）首先换算单位，根据，带入解析式即可求得此人双脚站立时对地面的压强大小． （3）根据得：，将地面能承受的最大压强代入解析式即可求得至少多大的木板才不至于下陷． 【详解】（1）解：由题可设， ∵点在函数图象上， ∴． 解得． ∴函数解析式为； （2）解：， ； （3）解：将代入函数解析式，得： ． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $