第29章 圆 单元培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第29章 圆 知识点1　圆的定义与有关概念 　　1.定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做半径。 　　2.集合性定义：圆是所有到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合，即圆上任意一点到圆心距离都等于半径。 　　3.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。 　　4.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 　　5.等圆与等弧：半径相等的圆叫等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 知识点2　点与圆的位置关系 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 点到圆心距离与半径的关系 知识点3　垂径定理 　　1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。 　　2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 　　3.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 　　4.知二推三：直径、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧这五条中，已知任意两条即可推出其余三条。 知识点4　弧、弦、圆心角的关系 　　1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 　　2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 　　3.知一推二：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等。 知识点5　圆周角定理及推论 　　1.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 　　2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 　　3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 　　4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。 角 圆心角 圆周角 顶点位置 顶点在圆心 顶点在圆上 对应弧 一条弧所对的圆心角唯一 一条弧所对的圆周角有无数个 知识点6　圆内接四边形 　　1.定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 　　2.性质1：圆内接四边形的对角互补，即，。 　　3.性质2：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角。 知识点7　三角形的外接圆与确定圆的条件 　　1.确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 　　2.外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。 　　3.外心的性质：外心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。 三角形类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外心位置 三角形内部 斜边中点 三角形外部 知识点8　弧长与扇形面积、圆锥 　　1.弧长公式：在半径为的圆中，圆心角所对的弧长。 　　2.扇形面积公式：。 　　3.圆锥：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。 　　4.圆锥侧面积：，全面积，其中为底面半径，为母线长。 【基础必考题型】 【题型1】圆的有关概念辨析 1.核心知识点： 　　圆的定义；弦、直径、弧、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念。 2.解题方法技巧： 　　①逐项分析各说法是否严格符合定义； 　　②直径是弦，但弦不一定是直径； ③等弧必须在同圆或等圆中，长度相等的弧不一定是等弧。 【例题1】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（     ） A．半径是 B．直径是 C．周长是 D．面积是 【答案】A 【详解】解：∵圆规两脚间的距离为所画圆的半径，两脚间距离为． ∴该圆的半径为． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 【答案】或 【分析】弦、可在半径的同侧或异侧，需分两种情况讨论，连接，证明是等边三角形，求出，证明是直角三角形，得到，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B和点C在半径的同侧时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 如图所示，当点B和点C在半径的异侧时，连接， 同理可得，， ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式题1-2】.（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）同一个圆里，半径有( )条；直径的长度是半径的( )倍；( )决定圆的位置． 【答案】 无数 2 圆心 【详解】略 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（     ） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【分析】根据圆和对称轴的有关基本概念，逐一判断即可． 【详解】解：A、圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条，故选项A错误，该选项不符合题意； B、圆的对称轴有无数条，故选项B错误，该选项不符合题意； C、对称轴是直线，直径是线段，因此直径不是圆的对称轴，故选项C错误，该选项不符合题意； D、每条直径所在的直线都经过圆心，因此圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴，故选项D正确，该选项符合题意． 【题型2】点与圆的位置关系的判断 1.核心知识点： 　　点与圆的位置关系；点到圆心距离与半径的比较。 2.解题方法技巧： 　　①计算点到圆心的距离，与半径比较； 　　②点在圆内，点在圆上，点在圆外； ③已知两点距离与半径，可判断满足条件的圆是否存在及个数。 【例题2】.（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 【变式题2-2】.（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 【答案】 7 【分析】根据点与圆的位置关系得到的取值范围，再统计范围内整数的个数即可． 【详解】已知的半径， 根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数， 因此可得的取值范围为, 该范围内的整数为，共个． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【答案】5或1 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：点到上的点的最小距离是4，最大距离是6， 当点在圆内时，的半径； 当点在圆外时，的半径， 综上所述，的半径为5或1． 故答案为：5或1． 【题型3】垂径定理求弦长与半径 1.核心知识点： 　　垂径定理及推论；勾股定理；方程思想。 2.解题方法技巧： 　　①过圆心作弦的垂线，构造以半径、弦心距、半弦长为三边的直角三角形； 　　②利用勾股定理求解； ③设半径建立方程，结合特殊图形（平行四边形、矩形）求半径，平行弦问题分类讨论。 【例题3】.（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【答案】 【分析】根据直径求出半径，利用垂径定理确定半径与弦垂直，构建直角三角形，结合勾股定理求解弦长的一半，进而得出弦长． 【详解】解：设圆心为，连接， 球形部分的直径为， 半径， 为瓶内液体的最大深度， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故截面圆中弦的长为． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 【答案】C 【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴ ∴的半径， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·重庆·期中）如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【答案】 5 【分析】连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则 ，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得① ， 在中，由勾股定理得② ， 得 ， 解得， ∴， ∴． 【题型4】垂径定理的实际应用 1.核心知识点： 　　垂径定理；拱桥、拱门等实际模型。 2.解题方法技巧： 　　①把实际问题抽象为圆与弦的几何模型； 　　②构造直角三角形，用垂径定理和勾股定理求半径或弦长； ③结合情境判断船、门洞等能否通过或确定尺寸。 【例题4】.（2026·安徽六安·一模）如图1，地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线，也叫纬线圈．从赤道向北和向南，各分90度，称为北纬和南纬．纬度角是指地球上某一点与地球球心的连线和赤道平面所成的角度．合肥市的纬度约为北纬，即纬度角为．如图2，赤道半径约为，弦，求合肥市的纬度北纬的纬线直径的长度．（，，，结果精确到） 【答案】 【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解． 【详解】解：设表示南北方向经过圆心的直线与交于点，如图： 根据题意， ，， ，， ， 在中，， ， 北纬的纬线直径的长度为：， 答：纬度北纬的纬线直径的长度是． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图是输水管道的截面示意图，正方形，正方形水平放置在地面上，点，在上．已知的半径为，正方形边长均为，圆心与地面的距离为． (1)求的长度； (2)如图，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查圆的垂径定理、正方形的性质，求弓形的面积等，能够画出辅助线是解题的关键． （1）连接，，作于点，交于点，并结合正方形的性质，得到，通过平行线间的距离处处相等，得到，再根据垂径定理求解即可； （2）过点作，连接，，先根据垂径定理求出、的值，再通过三角函数的计算推出，，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，作于点，交于点， ∵正方形，正方形水平放置在地面，正方形边长均为， ∴， ∴， ∵圆心与地面的距离为， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）如图，过点作，连接，， ∵，， ∴，， ∵，根据勾股定理求得， ∴， ∴，， ∴， ， ∴阴影部分的面积为． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）项目学习 项目背景：图1是山西某市一座有名的大桥，是当地的重要渡河节点．某综合实践小组为了测量大桥桥孔所在圆的半径，开展了项目式学习活动，形成了如下表格． 项目主题 如何测量大桥桥孔所在圆的半径 驱动任务 测量大桥桥孔所在圆的半径 活动内容 利用圆的有关知识进行大桥桥孔所在圆的半径的测量和计算 活动过程 ①方案说明：图2是大桥桥孔的平面示意图，为某一时刻水面的宽度，为弧的中点，于点． ②测量数据：米，米． ③计算：⋯⋯ 交流展示 ⋯⋯ 根据表中数据计算大桥桥孔所在圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 延长至点，连接，使得，则点为圆心，由垂径定理得到，设，则，然后在中由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长至点，连接，使得，则点为圆心， ∵，经过圆心， ∴， 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得 ∴大桥桥孔所在圆的半径为． 【题型5】圆周角定理求角度 1.核心知识点： 　　圆周角定理；同弧或等弧所对的圆周角相等；圆周角与圆心角的关系。 2.解题方法技巧： 　　①找准圆周角所对的弧，实现角的等量转化； 　　②圆周角等于同弧所对圆心角的一半； ③结合等腰三角形、角平分线、三角形内角和与外角建立角度关系。 【例题5】.（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可推出，结合平角的定义和角度的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由圆周角定理得到，再由垂径定理得到，即可根据等弧所对圆心角相等求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点E，D，C在上，已知，那么的度数为______． 【答案】/90度 【分析】先根据弧相等得出，再根据是的直径得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）通过圆心角定理的推论得出，再证明，进而即可得到结论； （2）连接，证明是等边三角形，进而即可得到答案 【详解】（1）略； （2）解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 【题型6】直径所对的圆周角是直角 1.核心知识点： 　　直径所对圆周角为；直角三角形性质。 2.解题方法技巧： 　　①见直径，找其所对的圆周角，得直角； 　　②在直角三角形中利用勾股定理、锐角三角函数求线段； ③坐标或特殊图形中，通过直径与直角关系求角度或坐标。 【例题6】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，并且分别与x轴、y轴相交于A，B两点，已知，，则的半径为________． 【答案】 【分析】连接，先得出线段是的直径，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵经过原点O，并且分别与x轴、y轴相交于A，B两点， ∴， ∴线段是的直径， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及平角的定义. 根据量角器读数确定圆心角的度数，利用互补关系求出，再根据圆周角定理计算的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，为的直径 点在上 由题意得： 与分别是所对的圆周角和圆心角 ． 【培优高频题型】 【题型7】弧、弦、圆心角关系的判断与证明 1.核心知识点： 　　同圆等圆中弧、弦、圆心角对应关系（知一推二）；全等三角形；圆周角定理。 2.解题方法技巧： 　　①在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三组量相互对应； 　　②证明弧相等，可转化为证圆心角相等或弦相等； ③证明线段相等，利用同圆中相等的弧所对的弦相等，多结论问题逐一核对条件。 【例题7】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，在中，是弦，是直径，点是的中点．求证：垂直平分，且． 【答案】证明：∵是的直径，且点是的中点， ，且平分， ∴垂直平分， ∵是直径，且， ． 【分析】直径平分弧，则直径垂直平分弧所对的弦，再由垂直于弦的直径平分弦所对的弧，证得两弧相等． 【详解】略 【变式题7-1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证明：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， ∵，， ， ∵ 是中线，即， ∴过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． (1)求证：平分； (2)若，，求半径． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； (2)半径为． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，再得到，再进一步得到，再根据，得到，即可得出结论； （2）作于点，连接，如图：设的半径为，得到 ，，再根据勾股定理得到，即，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：作于点，连接，如图： 设的半径为，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴半径为． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，是的一条弦，于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的直径，于， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）首先利用垂径定理得到，然后利用圆周角定理证明即可； （2）连接，利用圆周角定理求出，证明是等边三角形，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，于， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【题型8】求圆内接四边形的对角 1.核心知识点： 　　圆内接四边形的性质：对角互补、外角等于内对角。 2.解题方法技巧： 　　①直接利用对角互补； 　　②利用外角等于内对角转化求角； ③结合圆周角定理、三角形内角和综合求解。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知四边形是的内接四边形，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是的内接四边形，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再结合得到为等腰三角形，最后用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ． ， ． ， ． ， ． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】连接,则为直角，可以求出的值，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的值． 【详解】解：连接,如图所示． ∵是圆直径， ∴为直角， ∴， ∴, ∵圆周角与圆周角所对同一段弧， ∴, ∴． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形内接于，，，求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和为求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数． 【详解】解：， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 【题型9】确定圆的条件 1.核心知识点： 　　不在同一直线上的三个点确定一个圆；外心。 2.解题方法技巧： 　　①过三点的圆：作两条垂直平分线交于圆心，求半径； 　　②生活情境（配圆形玻璃、找圆弧圆心）转化为确定圆的问题； ③三点共线时不能确定圆，需判断是否共线。 【例题9】.（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点是直角坐标系第三象限内的一个点． (1)求作，使得经过、两点且圆心在轴上；（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若点的坐标为，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）圆心M一定在线段的垂直平分线上，故作线段的垂直平分线交x轴于点M，再以M为圆心， 的长为半径画圆即可； （2）设点M的坐标为，根据，即建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设点M的坐标为， 由圆的性质可得，则 ∴， ∴ ∴， 解得， ∴圆心的坐标为． ∴的半径为． 【变式题9-2】.（2026九年级上·浙江·专题练习）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 【答案】(1)如图所示，点即为所求． (2)外接圆的面积为 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心； （2）连接，利用勾股定理求得半径，再计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ， 故外接圆的面积为． 【压轴素养题型】 【题型10】弧长、扇形与组合图形面积计算 1.核心知识点： 　　弧长公式；扇形面积公式；阴影部分面积。 2.解题方法技巧： 　　①明确圆心角度数与半径，正确选用弧长、扇形面积公式； 　　②阴影部分面积常用整体减局部或割补法求解； ③扇形与三角形面积相加减，利用对称性、等积转化简化计算。 【例题10】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，弦垂直平分半径，垂足为C，弦与半径相交于点P，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据垂径定理得的长，根据已知平分得，解直角三角形以及运用圆周角定理求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵直径， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，． ∴的半径为2． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D．    (1)若，求的长； (2)若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，如图，利用互余计算出，然后计算出的度数，再根据弧长公式求解即可； （2）利用斜边上的中线性质得到，再判断为等边三角形，则，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积进行计算． 【详解】（1）解：连接，如图，   ，， ， ， ， ， 的度数为； 长为； （2）解：过点作于点，   是的中点，， ， ， 为等边三角形， ， ∵， ∴， ∴， 阴影部分的面积． 【变式题10-2】.（2026·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．利用点的对称，结合，推出圆心在轴上，设圆心，设半径，根据勾股定理求出半径的长度，利用圆周角定理求出圆心角的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：点，的坐标分别是，， ， 垂直平分， 圆心在轴上． 如图，设所在圆的圆心为，连接，． 设的半径为， 在中，，即，解得． ， ， 的长为． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·天津滨海新区·期末）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，其中n是圆心角度数，r为半径，计算即可求解． 【详解】解：设半径为， 弧长公式，其中，， ， ，故半径为， 故选：D． 【题型11】圆锥的有关计算 1.核心知识点： 　　圆锥的侧面积与全面积；母线、底面半径、高。 2.解题方法技巧： 　　①圆锥侧面展开为扇形，弧长等于底面周长，扇形半径等于母线长； 　　②由建立等量关系； 　　③侧面积，结合直角三角形（母线、高、底面半径）求未知量。 【例题11】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，确定旋转得到的圆锥的底面半径和母线长，再分别计算圆锥的侧面积和底面积，求和得到全面积． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ 由勾股定理得 ． 将绕所在直线旋转一周后，得到的圆锥底面半径， 母线长， 圆锥的侧面积为 ， 圆锥的底面积为 ， ∴ 圆锥的全面积为 ． 【变式题11-1】.（2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 【变式题11-2】.（2026·云南昭通·一模）数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【答案】 【分析】先求得，即圆锥的底面圆的周长为，进而求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径为，即， 在中，． 【变式题11-3】.（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥底面圆直径为， 圆锥底面圆周长 ， 扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长 设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得： 解得， 扇形纸片的圆心角为． 【题型12】圆中的最值与动点路径问题 1.核心知识点： 　　隐圆模型；垂线段最短；两点之间线段最短；弧长。 2.解题方法技巧： 　　①定点定长、定弦定角判断动点轨迹为圆（隐圆）； 　　②利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”求最值； ③求动点路径长时，确定动点轨迹所对圆心角，用弧长公式计算。 【例题12】.（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 【变式题12-1】.（25-26九年级下·江西·中考复习）图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其侧面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知，，，垂足分别为，，，，．（参考数据：，，） (1)求的长； (2)碓工作时，从图2的位置逆时针旋转到最高处（如图3所示），此时，求点C的运动路径长（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，然后在中，解直角三角形即可； （2）如图：过A作，则，易得，点C的运动路径长为以A为圆心，以为半径，圆心角为圆弧的长，最后运用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． （2）解：如图：过A作，则， 由（1）可得， ∵ ∴， ∴点C的运动路径长为以A为圆心，以为半径，圆心角为圆弧的长，即． 【变式题12-2】.（2026·广东广州·二模）如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，从而判定点在以为直径的圆上运动；通过分析点在起点和终点时点的位置，确定点的运动轨迹为以为直径的半圆，最后利用勾股定理求出，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当点在点时，与重合，此时点与点重合， 当点在点时，与重合， ∵为的直径， ∴， 即， 又∵， ∴点与点重合， ∴点运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为，半径， ∴，， 在中，， ∴点运动的路径长为． 【变式题12-3】.（2026·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 (1)如图①，在中，，，，为上的一点，求的最小值． 问题解决 (2)如图②，矩形是一个花园，米，米，点，处是凉亭，分别在，边上，已知点，关于对称．现对花园进行改建，在直线下方（不局限在矩形内部）找一点建成游客休息中心，要求，并挖一个三角形池塘，是否存在点，使得这个池塘的面积最大？如果存在，请求出池塘的最大面积；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由如下： 连接， 四边形是矩形， ， 点，关于对称， ， ， ， 设， 解得 ， ， ， ， ，的长是一个定值， 点在以为弦的圆弧上运动，过圆心作于点，连接， ，， ， ， ，即， 解得，， 设中边上的高为， ， 当最大时，的面积最大， 当高过圆心时最大，设圆心到的距离为，此时， 作于点，设中边上的高为， ， ， ， ， , , ， ， ， 设，， 则， 解得， ， ， ， ， ， 池塘的面积最大为． 【分析】（1）由勾股定理的逆定理得为直角三角形，再根据垂线段最短得当时，最小，用面积法求出的最小值； （2）由对称性和矩形的性质求出的长，由已知条件可知，点在以为弦的圆弧上运动，的面积最大，即边上的高取最大值，当边上的高经过圆心时，高取最大值． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，最小， 此时， ， 的最小值为； （2）略 易错点 　　1.混淆弦与直径、劣弧与优弧：直径是特殊的弦，弦不一定是直径；大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧。 　　2.误用垂径定理条件：平分弦的直径垂直于弦，但当弦为直径时该推论不成立。 　　3.等弧误判：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须在同圆或等圆中且能互相重合。 　　4.弧长与扇形面积公式混淆：弧长，扇形面积，注意公式中的半径与角度。 重点 　　1.垂径定理及其推论，构造直角三角形求弦长、弦心距、半径。 　　2.圆周角定理及其推论，同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角是直角。 　　3.弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质。 　　4.弧长与扇形面积公式、圆锥的侧面积计算。 难点 　　1.垂径定理与折叠、坐标、情境的综合应用。 　　2.圆中动点问题的最值与运动路径长。 　　3.隐圆模型的识别：定点定长、定弦定角判断动点轨迹。 　　4.扇形与三角形组合图形的阴影部分面积计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的个数是（     ） ①直径是弦；②半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④任意三点确定一个圆． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据圆的基本知识进行判断即可． 【详解】解：①直径是弦，故①正确； ②半圆是弧，故②正确； ③同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，故③错误； ④不在同一直线上的三点确定一个圆，故④错误． 综上，正确的个数为2． 2．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接计算的度数． 【详解】解：， ． 3．如图，中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，且，故得． 【详解】 解： ， ， ∵， ∴， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 二、填空题 4．已知，，、的长分别是一元二次方程的两根，则外接圆的半径为__________． 【答案】 【分析】先解一元二次方程得到两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长，根据直角三角形外接圆直径等于斜边长求半径． 【详解】解：∵和的长分别是一元二次方程的两根， 对方程因式分解得， 解得或， 不妨设，， ∵ 中，， ∴ 由勾股定理得， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴ 外接圆的半径为． 5．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 【答案】5 【分析】设的半径为r，则，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 解得，故的半径为5． 6．如图，一个直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于点，且过圆心，连接．若的直径为，则弦的长为______． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理可得，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵的直径为， ∴． 三、解答题 7．如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是________；外接圆半径为________； (3)该圆圆心到弦的距离为________．的长度为________． 【答案】(1)如图，点O即为所求； (2)； (3)； 【分析】（1）各边垂直平分线的交点即为外接圆的圆心； （2）根据点的位置判断即可，利用勾股定理求出半径； （3）取的中点H，连接，由勾股定理求出；由勾股定理逆定理证明是等腰直角三角形，，再由弧长公式求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：点O的坐标为，外接圆的半径； （3）解：取的中点H，连接， ∵，， ∴， ∴该圆圆心到弦的距离为； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ． 8．如图，线段是的直径，弦，，求和的度数． 【答案】，的度数是 【详解】解：连接，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据圆周角定理可得， ∵线段是的直径，弦， ∴， ∵的度数等于， ∴的度数为． 9．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 【答案】这个月洞门所在圆的半径为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 连接，设的半径为，则，，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图2，连接， 设的半径为，则，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 答：这个月洞门所在圆的半径为． 10．按要求解题： (1)如图1，已知四边形ABCD是的内接四边形，连接AC、BD，且．试说明：． (2)如图2，请用无刻度直尺和圆规在CD上找一点，使得． 【答案】(1) 证明：， ， 又 ， ． (2) 【分析】（1）在同一个三角形中，等边对等角；同弧所对的圆周角相等； （2）在同一个三角形中，等边对等角；同弧所对的圆周角相等． 【详解】（1）略 （2）延长，以A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点E； 作的垂直平分线：分别以A、E为圆心，大于长为半径在两侧画弧，两组弧各交于一点，连接两组弧的交点， 作的垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于长为半径在两侧画弧，两组弧各交于一点，连接两组弧的交点， 两条垂直平分线交于， 以为圆心，为半径画圆， 圆和交于一点，这点就是． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29章 圆 知识点1　圆的定义与有关概念 　　1.定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做半径。 　　2.集合性定义：圆是所有到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合，即圆上任意一点到圆心距离都等于半径。 　　3.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。 　　4.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 　　5.等圆与等弧：半径相等的圆叫等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 知识点2　点与圆的位置关系 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 点到圆心距离与半径的关系 知识点3　垂径定理 　　1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。 　　2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 　　3.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 　　4.知二推三：直径、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧这五条中，已知任意两条即可推出其余三条。 知识点4　弧、弦、圆心角的关系 　　1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 　　2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 　　3.知一推二：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等。 知识点5　圆周角定理及推论 　　1.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 　　2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 　　3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 　　4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。 角 圆心角 圆周角 顶点位置 顶点在圆心 顶点在圆上 对应弧 一条弧所对的圆心角唯一 一条弧所对的圆周角有无数个 知识点6　圆内接四边形 　　1.定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 　　2.性质1：圆内接四边形的对角互补，即，。 　　3.性质2：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角。 知识点7　三角形的外接圆与确定圆的条件 　　1.确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 　　2.外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。 　　3.外心的性质：外心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。 三角形类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外心位置 三角形内部 斜边中点 三角形外部 知识点8　弧长与扇形面积、圆锥 　　1.弧长公式：在半径为的圆中，圆心角所对的弧长。 　　2.扇形面积公式：。 　　3.圆锥：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。 　　4.圆锥侧面积：，全面积，其中为底面半径，为母线长。 【基础必考题型】 【题型1】圆的有关概念辨析 1.核心知识点： 　　圆的定义；弦、直径、弧、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念。 2.解题方法技巧： 　　①逐项分析各说法是否严格符合定义； 　　②直径是弦，但弦不一定是直径； ③等弧必须在同圆或等圆中，长度相等的弧不一定是等弧。 【例题1】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（     ） A．半径是 B．直径是 C．周长是 D．面积是 【变式题1-1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 【变式题1-2】.（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）同一个圆里，半径有( )条；直径的长度是半径的( )倍；( )决定圆的位置． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（     ） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴 【题型2】点与圆的位置关系的判断 1.核心知识点： 　　点与圆的位置关系；点到圆心距离与半径的比较。 2.解题方法技巧： 　　①计算点到圆心的距离，与半径比较； 　　②点在圆内，点在圆上，点在圆外； ③已知两点距离与半径，可判断满足条件的圆是否存在及个数。 【例题2】.（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【变式题2-1】.（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【变式题2-2】.（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 【变式题2-3】.（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【题型3】垂径定理求弦长与半径 1.核心知识点： 　　垂径定理及推论；勾股定理；方程思想。 2.解题方法技巧： 　　①过圆心作弦的垂线，构造以半径、弦心距、半弦长为三边的直角三角形； 　　②利用勾股定理求解； ③设半径建立方程，结合特殊图形（平行四边形、矩形）求半径，平行弦问题分类讨论。 【例题3】.（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 【变式题3-2】.（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·重庆·期中）如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【题型4】垂径定理的实际应用 1.核心知识点： 　　垂径定理；拱桥、拱门等实际模型。 2.解题方法技巧： 　　①把实际问题抽象为圆与弦的几何模型； 　　②构造直角三角形，用垂径定理和勾股定理求半径或弦长； ③结合情境判断船、门洞等能否通过或确定尺寸。 【例题4】.（2026·安徽六安·一模）如图1，地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线，也叫纬线圈．从赤道向北和向南，各分90度，称为北纬和南纬．纬度角是指地球上某一点与地球球心的连线和赤道平面所成的角度．合肥市的纬度约为北纬，即纬度角为．如图2，赤道半径约为，弦，求合肥市的纬度北纬的纬线直径的长度．（，，，结果精确到） 【变式题4-1】.（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图是输水管道的截面示意图，正方形，正方形水平放置在地面上，点，在上．已知的半径为，正方形边长均为，圆心与地面的距离为． (1)求的长度； (2)如图，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为，求阴影部分的面积． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）项目学习 项目背景：图1是山西某市一座有名的大桥，是当地的重要渡河节点．某综合实践小组为了测量大桥桥孔所在圆的半径，开展了项目式学习活动，形成了如下表格． 项目主题 如何测量大桥桥孔所在圆的半径 驱动任务 测量大桥桥孔所在圆的半径 活动内容 利用圆的有关知识进行大桥桥孔所在圆的半径的测量和计算 活动过程 ①方案说明：图2是大桥桥孔的平面示意图，为某一时刻水面的宽度，为弧的中点，于点． ②测量数据：米，米． ③计算：⋯⋯ 交流展示 ⋯⋯ 根据表中数据计算大桥桥孔所在圆的半径． 【题型5】圆周角定理求角度 1.核心知识点： 　　圆周角定理；同弧或等弧所对的圆周角相等；圆周角与圆心角的关系。 2.解题方法技巧： 　　①找准圆周角所对的弧，实现角的等量转化； 　　②圆周角等于同弧所对圆心角的一半； ③结合等腰三角形、角平分线、三角形内角和与外角建立角度关系。 【例题5】.（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点E，D，C在上，已知，那么的度数为______． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型6】直径所对的圆周角是直角 1.核心知识点： 　　直径所对圆周角为；直角三角形性质。 2.解题方法技巧： 　　①见直径，找其所对的圆周角，得直角； 　　②在直角三角形中利用勾股定理、锐角三角函数求线段； ③坐标或特殊图形中，通过直径与直角关系求角度或坐标。 【例题6】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，并且分别与x轴、y轴相交于A，B两点，已知，，则的半径为________． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【培优高频题型】 【题型7】弧、弦、圆心角关系的判断与证明 1.核心知识点： 　　同圆等圆中弧、弦、圆心角对应关系（知一推二）；全等三角形；圆周角定理。 2.解题方法技巧： 　　①在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三组量相互对应； 　　②证明弧相等，可转化为证圆心角相等或弦相等； ③证明线段相等，利用同圆中相等的弧所对的弦相等，多结论问题逐一核对条件。 【例题7】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，在中，是弦，是直径，点是的中点．求证：垂直平分，且． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． (1)求证：平分； (2)若，，求半径． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，是的一条弦，于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型8】求圆内接四边形的对角 1.核心知识点： 　　圆内接四边形的性质：对角互补、外角等于内对角。 2.解题方法技巧： 　　①直接利用对角互补； 　　②利用外角等于内对角转化求角； ③结合圆周角定理、三角形内角和综合求解。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知四边形是的内接四边形，，求的度数． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是的内接四边形，且．若，求的度数． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形内接于，，，求的度数． 【题型9】确定圆的条件 1.核心知识点： 　　不在同一直线上的三个点确定一个圆；外心。 2.解题方法技巧： 　　①过三点的圆：作两条垂直平分线交于圆心，求半径； 　　②生活情境（配圆形玻璃、找圆弧圆心）转化为确定圆的问题； ③三点共线时不能确定圆，需判断是否共线。 【例题9】.（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【变式题9-1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点是直角坐标系第三象限内的一个点． (1)求作，使得经过、两点且圆心在轴上；（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若点的坐标为，求的半径． 【变式题9-2】.（2026九年级上·浙江·专题练习）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式题9-3】.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 【压轴素养题型】 【题型10】弧长、扇形与组合图形面积计算 1.核心知识点： 　　弧长公式；扇形面积公式；阴影部分面积。 2.解题方法技巧： 　　①明确圆心角度数与半径，正确选用弧长、扇形面积公式； 　　②阴影部分面积常用整体减局部或割补法求解； ③扇形与三角形面积相加减，利用对称性、等积转化简化计算。 【例题10】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，弦垂直平分半径，垂足为C，弦与半径相交于点P，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D．    (1)若，求的长； (2)若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积． 【变式题10-2】.（2026·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·天津滨海新区·期末）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【题型11】圆锥的有关计算 1.核心知识点： 　　圆锥的侧面积与全面积；母线、底面半径、高。 2.解题方法技巧： 　　①圆锥侧面展开为扇形，弧长等于底面周长，扇形半径等于母线长； 　　②由建立等量关系； 　　③侧面积，结合直角三角形（母线、高、底面半径）求未知量。 【例题11】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 【变式题11-1】.（2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【变式题11-2】.（2026·云南昭通·一模）数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【变式题11-3】.（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【题型12】圆中的最值与动点路径问题 1.核心知识点： 　　隐圆模型；垂线段最短；两点之间线段最短；弧长。 2.解题方法技巧： 　　①定点定长、定弦定角判断动点轨迹为圆（隐圆）； 　　②利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”求最值； ③求动点路径长时，确定动点轨迹所对圆心角，用弧长公式计算。 【例题12】.（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【变式题12-1】.（25-26九年级下·江西·中考复习）图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其侧面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知，，，垂足分别为，，，，．（参考数据：，，） (1)求的长； (2)碓工作时，从图2的位置逆时针旋转到最高处（如图3所示），此时，求点C的运动路径长（结果保留）． 【变式题12-2】.（2026·广东广州·二模）如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【变式题12-3】.（2026·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 (1)如图①，在中，，，，为上的一点，求的最小值． 问题解决 (2)如图②，矩形是一个花园，米，米，点，处是凉亭，分别在，边上，已知点，关于对称．现对花园进行改建，在直线下方（不局限在矩形内部）找一点建成游客休息中心，要求，并挖一个三角形池塘，是否存在点，使得这个池塘的面积最大？如果存在，请求出池塘的最大面积；如果不存在，请说明理由． 易错点 　　1.混淆弦与直径、劣弧与优弧：直径是特殊的弦，弦不一定是直径；大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧。 　　2.误用垂径定理条件：平分弦的直径垂直于弦，但当弦为直径时该推论不成立。 　　3.等弧误判：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须在同圆或等圆中且能互相重合。 　　4.弧长与扇形面积公式混淆：弧长，扇形面积，注意公式中的半径与角度。 重点 　　1.垂径定理及其推论，构造直角三角形求弦长、弦心距、半径。 　　2.圆周角定理及其推论，同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角是直角。 　　3.弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质。 　　4.弧长与扇形面积公式、圆锥的侧面积计算。 难点 　　1.垂径定理与折叠、坐标、情境的综合应用。 　　2.圆中动点问题的最值与运动路径长。 　　3.隐圆模型的识别：定点定长、定弦定角判断动点轨迹。 　　4.扇形与三角形组合图形的阴影部分面积计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的个数是（     ） ①直径是弦；②半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④任意三点确定一个圆． A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知，，、的长分别是一元二次方程的两根，则外接圆的半径为__________． 5．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 6．如图，一个直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于点，且过圆心，连接．若的直径为，则弦的长为______． 三、解答题 7．如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是________；外接圆半径为________； (3)该圆圆心到弦的距离为________．的长度为________． 8．如图，线段是的直径，弦，，求和的度数． 9．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 10．按要求解题： (1)如图1，已知四边形ABCD是的内接四边形，连接AC、BD，且．试说明：． (2)如图2，请用无刻度直尺和圆规在CD上找一点，使得． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $