30.1 直线与圆（第2课时） 教案 2026-2027学年人教版 九年级数学上册

30.1 直线与圆（第2课时）教案 课型：新授课　　　　课时：1课时　　　　授课年级：九年级 一、课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：了解直线与圆的位置关系；掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线；经历观察、猜想、归纳、证明的探究过程，发展空间观念与推理能力。 二、教材分析 本节课是在学生学习了圆的概念、垂径定理、圆周角定理以及直线与圆的位置关系（用 d 与 r 的数量关系判定位置关系）之后，进一步研究特殊位置关系——相切的性质与判定。切线是"位置关系与数量关系相互转化"的典型载体，是圆这一章的重点内容，也是后续学习切线长定理、三角形的内切圆以及正多边形与圆的基础；切线的判定与性质是中考高频考点，常与勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等知识综合命题。 三、学情分析 九年级学生已掌握圆的基本性质、垂径定理和圆周角定理，理解直线与圆的位置关系由 d 与 r 确定，具备一定的几何推理与表达能力。但学生对性质定理与判定定理容易混淆（互逆关系辨析不清），证明中辅助线的添加（"有点连半径，无点作垂线"）思路尚未形成；例2涉及等腰三角形"三线合一"与角平分线性质的综合运用，推理链条较长，教学中需要搭好台阶、示范规范书写。 四、教学目标（核心素养目标） 1. 会用数学的眼光观察现实世界：在具体图形中识别"过切点的半径"，理解切线的性质与判定的实际背景。 2. 会用数学的思维思考现实世界：掌握切线的性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径）与判定定理（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），体会性质与判定的互逆关系，能进行简单的计算与证明。 3. 会用数学的语言表达现实世界：能规范书写切线性质的几何语言与切线判定的证明过程，掌握"有点连半径，无点作垂线"的辅助线添加方法。 五、教学重难点 教学重点：切线的性质定理与判定定理及其运用。 教学难点：切线性质与判定的区分运用；证明切线时辅助线的添加；例2中利用"三线合一"与角平分线性质证 OE＝OD。 六、教学方法 教学方法：讲练结合法、引导探究法。 教具准备：多媒体课件、圆规、直尺、三角板。 七、教学过程 （一）复习引入（3分钟） 问题1：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l与⊙O相切的条件是什么？ 解：相切⇔d＝r。 问题2：⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为5，直线l与⊙O有几个公共点？此时直线l叫作⊙O的什么？ 解：有1个公共点；此时直线l叫作⊙O的切线。 引入：上节课我们知道了d＝r时直线与圆相切。相切是最特殊也最重要的位置关系——切线有什么性质？反过来，怎样判定一条直线是圆的切线？这就是本节课要研究的问题。 （二）切线的性质（8分钟） 思考：如图30.1-6，直线l与⊙O相切于点A，连接OA。由于直线l与⊙O只有一个公共点，则l上的点P在⊙O外，从而OP＞OA。半径OA与圆心O到直线l上各点的连线长度之间有什么关系？由此可得半径OA与切线l的位置关系是什么？ 解：半径OA是圆心O与直线l上各点连线中最短的（垂线段最短），由此可得半径OA与切线l的位置关系是垂直。 性质定理：（填空）圆的切线＿＿＿于过＿＿＿的半径。 解：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言：如图30.1-6， ∵直线l是⊙O的切线，A为切点， ∴OA⊥l。 3.（口答）如图30.1-6，若OA＝4，则圆心O到直线l的距离等于多少？ 解：∵切线l垂直于过切点的半径OA，∴圆心O到直线l的距离等于OA＝4。 4.（填空）过圆上一点能作圆的切线＿＿条；过圆内一点＿＿＿作圆的切线（填"能"或"不能"）。 解：过圆上一点能作圆的切线1条；过圆内一点不能作圆的切线。 （三）切线的判定（9分钟） 判定定理：（填空）经过半径的＿＿＿并且＿＿＿于这条半径的直线是圆的切线。 解：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何语言：如图30.1-6， ∵OA是⊙O的半径，直线l经过OA的外端A，且l⊥OA， ∴l是⊙O的切线。 辨析："垂直于半径的直线是圆的切线"这句话正确吗？ 解：错误。理由是：这条直线不一定经过半径的外端（垂直于半径的直线若不经过半径的外端，则与圆相离或相交，不是切线）。 例2 （课本P151）如图30.1-9，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。 证明：连接OD、OA，过点O作OE⊥AC于E。 ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB，且OD是⊙O的半径。 ∵AB＝AC，O是BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线（等腰三角形三线合一）。 ∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OE＝OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴OE是⊙O的半径。 又AC经过OE的外端E并垂直于OE， ∴AC是⊙O的切线。 （四）课堂练习（17分钟） 1.（课本P152练习1）如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝45°，AC＝AB。求证：AC是⊙O的切线。 证明：∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，即AC⊥AB。 ∵O是AB的中点，即OA是⊙O的半径， 又AC经过半径OA的外端A并垂直于OA， ∴AC是⊙O的切线。 2.（课本P152练习2）如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点。l1、l2有怎样的位置关系？证明你的结论。 解：l1∥l2。 证明：∵直线l1是⊙O的切线，A为切点， ∴AB⊥l1（切线的性质定理）； 同理，AB⊥l2。 ∴l1∥l2（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）。 3.（课本P152练习3）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，点P为切点。求证：AP＝BP。 证明：连接OP。 ∵AB与小圆相切于点P， ∴OP⊥AB（切线的性质定理）。 ∵OP⊥AB且OP经过圆心O，由垂径定理， ∴OP平分AB， ∴AP＝BP。 4.（选择）下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②经过半径外端的直线是圆的切线；③垂直于半径的直线是圆的切线；④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。其中正确的是（　　）A.①④　B.①②　C.②③　D.③④ 解：①是切线的定义，正确；②缺少"垂直于这条半径"的条件，错误；③缺少"经过半径外端"的条件，错误；④是切线的判定定理，正确。故选A。 5.（填空·综合）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。若⊙C的半径为4.8，则斜边AB所在直线与⊙C的位置关系是什么？若要使⊙C与AB所在直线相切，则⊙C的半径应等于多少？ 解：由勾股定理得。设C到AB的距离为h，由面积法得 h＝AC×BC÷AB＝6×8÷10＝4.8。当r＝4.8时，d＝4.8＝r，AB所在直线与⊙C相切；要使⊙C与AB所在直线相切，⊙C的半径应等于4.8。故填相切；4.8。 6.（填空·中考热点）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以A为圆心、以5为半径作⊙A，则点D与⊙A的位置关系是什么？直线BD与⊙A的位置关系是什么？ 解：AD＝BC＝6＞5，∴点D在⊙A外。由勾股定理得。设A到直线BD的距离为h，由 ，得 h＝2×24÷10＝4.8。∵d＝4.8＜r＝5，∴直线BD与⊙A相交。故填点D在⊙A外；相交。 （五）课堂小结（2分钟） （1）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（3）证明切线时常作的辅助线：已知直线与圆有公共点时，连接半径（证垂直）；没有公共点时，过圆心作直线的垂线，证距离等于半径（简记"有点连半径，无点作垂线"）。 （六）作业布置（1分钟） 必做题：①课本P152练习第1题，写出完整证明过程（证明过程见课堂练习1）；②课本P152练习第3题，写出完整证明过程（证明过程见课堂练习3）。 选做题：把例2中"腰AB与⊙O相切于点D"改为"腰AC与⊙O相切于点E"，其余条件不变，把结论换成"AB是⊙O的切线"，结论还成立吗？写出你的证明。 解：结论仍然成立。证明：连接OE、OA，过点O作OD⊥AB于D。 ∵AC与⊙O相切于点E， ∴OE⊥AC，且OE是⊙O的半径。 ∵AB＝AC，O是BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线（等腰三角形三线合一）。 ∵AO平分∠BAC，OE⊥AC，OD⊥AB， ∴OD＝OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴OD是⊙O的半径。 又AB经过OD的外端D并垂直于OD， ∴AB是⊙O的切线。 八、板书设计 课题：30.1 直线与圆（第2课时） 左栏：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（几何语言：l切⊙O于A ⇒ OA⊥l）→ 应用：求距离、证平行、垂径定理 右栏：切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 → 证切线："有点连半径，无点作垂线" → 例2：三线合一＋角平分线性质 ⇒ OE＝OD 九、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $